ALGORITMOS DE BÚSQUEDA. Ing. Ronald A. Rentería Ayquipa

Transcripción

1 ALGORITMOS DE BÚSQUEDA

2 Algoritmos de Búsqueda Tipos Tipos de algoritmos de búsqueda ALGORITMOS DE BÚSQUEDA NO INFORMADA ALGORITMOS DE BÚSQUEDA HEURÍSTICA

3 Búsqueda no informada Introducción Búsqueda no informada Conocidos como algoritmos de búsqueda ciega No dependen de la información del problema Son generales (aplicables a cualquier problema) Algoritmos exhaustivos (pueden llegar a recorrer todo el árbol para llegar a una solución) Aplicables a problemas pequeños Políticas de recorrido: En anchura (Anchura prioritaria) En profundidad (Profundidad prioritaria, Profundidad iterativa)

4 Búsqueda no informada Búsqueda en anchura prioritaria Búsqueda en Anchura Prioritaria Los nodos se visitan y generan por niveles La estructura para los nodos abiertos es una cola (FIFO) Un nodo es visitado cuando todos los nodos de los niveles superiores y sus hermanos precedentes han sido visitados Características: Completitud: El algoritmo siempre encuentra una solución Complejidad temporal: Exponencial respecto al factor de ramificación y la profundidad de la solución O(r p ) Complejidad espacial: Exponencial respecto al factor de ramificación y la profundidad de la solución O(r p ) Optimalidad: La solución que se encuentra es óptima en número de niveles desde la raíz

5 Búsqueda no informada Búsqueda en profundidad prioritaria Búsqueda en Profundidad Prioritaria Los nodos se visitan y generan buscando los nodos a mayor profundidad y retrocediendo cuando no se encuentran nodos sucesores La estructura para los nodos abiertos es una pila (LIFO) Para garantizar que el algoritmo acaba (caminos infinitos) debe imponerse un límite en la profundidad de exploración (profundidad limitada) Características Completitud: El algoritmo encuentra una solución si se impone un límite de profundidad y existe una solución dentro de ese límite Complejidad temporal: Exponencial respecto al factor de ramificación y la profundidad del límite de exploración O(r p ) Complejidad espacial: En el caso de no controlar los nodos repetidos el coste es lineal respecto al factor de ramificación y el límite de profundidad O(rp). Si tratamos repetidos el coste es igual que en anchura. Si la implementación es recursiva el coste es O(p) Optimalidad: No se garantiza que la solución sea óptima

6 Búsqueda no informada Búsqueda en profundidad limitada Búsqueda en Profundidad Limitada La estructura de abiertos es ahora una pila Se dejan de generar sucesores cuando se llega al límite de profundidad Esta modificación garantiza que el algoritmo acaba pero no una solución Si tratamos repetidos el ahorro en espacio es nulo

7 Búsqueda no informada Tratamiento repetidos Tratamiento de nodos repetidos En anchura Si el repetido está en la estructura de nodos cerrados podemos descartarlo. Tendrá una profundidad igual o mayor al repetido cerrado (por tanto un costo igual o mayor) Si el repetido está en la estructura de nodos abiertos podemos descartarlo. Tendrá una profundidad igual o mayor al repetido abierto (por tanto un costo igual o mayor)

8 Búsqueda no informada Tratamiento repetidos Tratamiento de nodos repetidos En profundidad Si el repetido está en la estructura de nodos cerrados lo dejaremos, si tiene una profundidad menor Si el repetido está en la estructura de nodos abiertos podemos olvidarlo, seguro que tiene una profundidad mayor

9 Búsqueda no informada Profundidad iterativa Búsqueda en profundidad iterativa (ID) Intenta combinar el comportamiento espacial de la búsqueda en profundidad (DFS) con la optimalidad de la búsqueda en anchura (BFS), por esto es el más ventajoso de los anteriores. El algoritmo consiste en realizar búsquedas en profundidad sucesivas con un nivel de profundidad máximo acotado y creciente en cada iteración Así se consigue el comportamiento de BFS pero sin su coste espacial, ya que la exploración es en profundidad, y además los nodos se regeneran a cada iteración Además esto permite evitar los casos en que DFS no acaba (existen ramas infinitas) En la primera iteración la profundidad máxima será 1 y este valor irá aumentando en sucesivas iteraciones hasta llegar a la solución Para garantizar que el algoritmo acaba si no hay solución, se puede definir una cota máxima de profundidad en la exploración

10 Búsqueda no informada Profundidad iterativa Búsqueda en profundidad iterativa (ID) Iteración 1: 1 Iteración 2: 2, 3, 4, 5 Iteración 3: 6, 7, 8, 9,, 21

11 Búsqueda no informada Profundidad iterativa Búsqueda en profundidad iterativa (ID)

12 Búsqueda no informada Profundidad iterativa Búsqueda en profundidad iterativa (ID) Completitud: El algoritmo siempre encontrará la solución Complejidad temporal: La misma que la búsqueda en anchura. El regenerar el árbol en cada iteración solo añade un factor constante a la función de coste O(r p ) Complejidad espacial: Igual que en la búsqueda en profundidad Optimalidad: La solución es óptima igual que en la búsqueda en anchura

13 Búsqueda no informada Ejemplos Ejemplos En esta sección vamos a ver ejemplos de ejecución de los algoritmos vistos anteriormente. Utilizaremos los algoritmos de búsqueda ciega para encontrar una solución (camino entre los nodos inicial y final) Supondremos que hacemos un tratamiento de los nodos repetidos durante la ejecución del algoritmo. Hay que tener en cuenta también que para poder recuperar el camino, los nodos deben tener un enlace al padre que los ha generado.

14 Búsqueda no informada Ejemplos Ejemplos En la figura, podemos ver el grafo que vamos a utilizar en los siguientes ejemplos. Este grafo tiene como nodo inicial el 1 y como nodo final el 8, todos los caminos son dirigidos y tienen el mismo coste.

15 Búsqueda no informada Ejemplos Ejemplo: Búsqueda en anchura 1. Este algoritmo comenzaría encolando el nodo inicial (nodo 1). 2. Los nodos sucesores del primer nodo son los nodos 2 y 3, que pasarían a ser encolados 3. El siguiente nodo extraído de la cola sería el 2, que tiene como sucesores el 4 y el El siguiente nodo extraído de la cola sería el 3, que tiene como sucesores el 4, el 5 y el 7. Como el 4 está repetido no se encolaría al ser de la misma profundidad que el nodo repetido. 5. El siguiente nodo extraído de la cola sería el 4, que tiene como sucesor el 5. Como el 5 está repetido no se encolaría al tener profundidad mayor que el nodo repetido. 6. El siguiente nodo extraído de la cola sería el 6, que tiene como sucesores el 7 y el 8. Como el 7 está repetido no se encolaría al tener profundidad mayor que el nodo repetido. 7. El siguiente nodo extraído de la cola sería el 5, que tiene como sucesores el 6 y el 7. Como los dos nodos corresponden a nodos repetidos con profundidad menor, no se encolarían. 8. El siguiente nodo extraído de la cola sería el 7, que tiene como sucesor el 8. Como el 8 está repetido no se encolaría al tener la misma profundidad que el nodo repetido. 9. El siguiente nodo extraído de la cola sería el 8 que es el nodo solución y por tanto acabaría la ejecución. En la figura sgte. se puede ver el árbol de búsqueda que se genera. En el caso de los nodos cerrados necesitamos una estructura adicional para controlar los nodos repetidos (resultado)

16 Búsqueda no informada Ejemplos Ejemplo: Búsqueda en anchura

17 Búsqueda no informada Ejemplos Ejemplo: Búsqueda en profundidad 1. Este algoritmo comenzaría empilando el nodo inicial (nodo 1). 2. Los nodos sucesores del primer nodo son los nodos 2 y 3, que pasarían a ser empilados 3. El siguiente nodo extraído de la pila sería el 2, que tiene como sucesores el 4 y el El siguiente nodo extraído de la pila sería el 4, que tiene como sucesor el El siguiente nodo extraído de la pila sería el 5, que tiene como sucesores el 6 y el 7. Como el nodo 6 está en la pila en con nivel superior descartaríamos este nodo. 6. El siguiente nodo extraído de la pila sería el 7, que tiene como sucesor el El siguiente nodo extraído de la pila sería el 8 que es el nodo solución y por tanto acabaría la ejecución. En la figura sgte. se puede ver el árbol de búsqueda que se genera. Fijarse que en este caso el camino es más largo que el encontrado con el algoritmo anterior. Para el control de repetidos, si se quiere ahorrar espacio, pueden solo tenerse en cuenta los nodos que hay en la pila como se ha hecho en el ejemplo, esto evitará que podamos entrar en bucle y que tengamos que tener una estructura para los nodos cerrados.

18 Búsqueda no informada Ejemplos Ejemplo: Búsqueda en profundidad

19 Búsqueda no informada Ejemplos Ejemplo: Búsqueda en profundidad iterativa 1. Primera iteración (profundidad 1) 1.1 Se comenzaría empilando el nodo inicial (nodo 1). 1.2 Al extraer este nodo de la pila habríamos visitado todos los caminos de profundidad 1 y con eso acabaríamos la iteración 2. Segunda Iteración (profundidad 2) 2.1 Se comenzaría empilando el nodo inicial (nodo 1). 2.2 Los nodos sucesores del primer nodo son los nodos 2 y 3, que pasarían a ser empilados. 2.3 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 2, los nodos sucesores estarían a mayor profundidad que el límite actual, no los empilaríamos. 2.4 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 3, los nodos sucesores estarían a mayor profundidad que el límite actual, no los empilaríamos. Al extraer este nodo de la pila habríamos visitado todos los caminos de profundidad 2 y con eso acabaríamos la iteración. 3. Tercera Iteración (profundidad 3) 3.1 Se comenzaría empilando el nodo inicial (nodo 1). 3.2 Los nodos sucesores del primer nodo son los nodos 2 y 3, que pasarían a ser empilados. 3.3 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 2, que tiene como sucesores el 4 y el El siguiente nodo extraído de la pila sería el 4, los nodos sucesores estarían a mayor profundidad que el límite actual, no los empilaríamos. 3.5 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 6, los nodos sucesores estarían a mayor profundidad que el límite actual, no los empilaríamos. 3.6 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 3, que tiene como sucesores el 4, el 5 y el El siguiente nodo extraído de la pila sería el 4, los nodos sucesores estarían a mayor profundidad que el límite actual, no los empilaríamos. 3.8 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 5, los nodos sucesores estarían a mayor profundidad que el límite actual, no los empilaríamos. 3.9 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 7, los nodos sucesores estarían a mayor profundidad que el límite actual, no los empilaríamos. Al extraer este nodo de la pila habríamos visitado todos los caminos de profundidad 3 y con eso acabaríamos la iteración. 4. Cuarta Iteración (profundidad 4) 4.1 Se comenzaría empilando el nodo inicial (nodo 1). 4.2 Los nodos sucesores del primer nodo son los nodos 2 y 3, que pasarían a ser empilados. 4.3 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 2, que tiene como sucesores el 4 y el El siguiente nodo extraído de la pila sería el 4, que tiene como sucesor el El siguiente nodo extraído de la pila sería el 5, los nodos sucesores estarían a mayor profundidad que el límite actual, no los empilaríamos. 4.6 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 6, que tiene como sucesores el 7 y el El siguiente nodo extraído de la pila sería el 7, los nodos sucesores estarían a mayor profundidad que el límite actual, no los empilaríamos. 4.8 El siguiente nodo extraído de la pila sería el 8 que es el nodo solución y por tanto acabaría la ejecución.

20 Búsqueda no informada Ejemplos Ejemplo: Búsqueda en profundidad iterativa En la figura, se puede ver el árbol de búsqueda que se genera. En este caso encontramos el camino más corto, ya que este algoritmo explora los caminos en orden de longitud como la búsqueda en anchura. Para mantener la ganancia en espacio en este caso no se han guardado los nodos cerraros, es por ello que no se ha tratado en nodo 4 en el paso 3.7 como repetido.

21 Búsqueda heurística Introducción BÚSQUEDA HEURÍSTICA Supone la existencia de una función de evaluación que debe medir la distancia estimada al (a un) objetivo (h(n)) Esta función de evaluación se utiliza para guiar el proceso haciendo que en cada momento se seleccione el estado o las operaciones más prometedoras No siempre se garantiza encontrar una solución (de existir ésta) No siempre se garantiza encontrar la solución más próxima (la que se encuentra a una distancia o número de operaciones menor) Existen múltiples algoritmos: Branch and Bound, Best First Search A, A* IDA* Búsqueda local (Hill climbing, Simulated annealing, Alg. Genéticos)

22 Búsqueda heurística Branch and Bound Branch and Bound Ramificación y acotación Generaliza las búsquedas en anchura prioritaria (BFS) y en profundidad prioritaria (DFS) Se guarda para cada estado el coste (hasta el momento) de llegar desde el estado inicial a dicho estado. Guarda el coste mínimo global hasta el momento Deja de explorar una rama cuando su coste es mayor que el mínimo actual Si el coste de los nodos es uniforme equivale a una búsqueda por niveles

23 Búsqueda heurística Greedy best first Greedy Best First La estructura de abiertos es una cola con prioridad La prioridad la marca la función de estimación (coste del camino que falta hasta la solución) En cada iteración se escoge el nodo más cercano a la solución (el primero de la cola), esto provoca que no se garantice la solución optima

24 Búsqueda heurística Heurísticos Importancia del estimador

25 Búsqueda heurística Heurísticos Importancia del estimador

26 Búsqueda heurística Heurísticos Heurísticos Posibles heurísticos (estimadores del coste a la solución) h(n) = w(n) = #desclasificados h(n) = p(n) = suma de distancias a la posición final h(n) = p(n) + 3 s(n) donde s(n) se obtiene recorriendo las posiciones no centrales y si una ficha no va seguida por su sucesora sumar 2, si hay ficha en el centro sumar 1

27 Búsqueda heurística Heurísticos Costes

28 Búsqueda heurística Búsqueda A* Búsqueda A* La función de evaluación tiene dos componentes: 1. coste para ir desde el (un) inicio al nodo actual 2. coste (estimado) para ir desde el nodo actual a una solución f (n) = g(n) + h(n) f es un valor estimado del coste total del camino que pasa por n h (heurístico) es un valor estimado de lo que falta para llegar desde n al (a un) objetivo g es un coste real (lo gastado por el camino más corto conocido hasta n) La preferencia es siempre del nodo con menor f, en caso de empate, la preferencia es del nodo con menor h.

29 Búsqueda heurística Búsqueda A* Búsqueda A* Con esta función podemos variar el comportamiento del algoritmo Si n h(n) = 0, todo estará controlado por g (estaremos en presencia de un algoritmo de Branch & Bound) Si n h(n) = 0 y además el coste de todos los arcos es 1 estaremos realizando una búsqueda en anchura. Si dicho coste fuera 0, la búsqueda sería aleatoria Al ser h una estimación del verdadero coste h*, cuanto más se aproxime h a h* mayor será la tendencia a explorar en profundidad. Si h = h* entonces A* converge directamente hacia el objetivo Se puede demostrar que si h(n) es un minorante del coste real h*(n), es decir si n h(n) h*(n) A* encontrará (de haberlo) un camino óptimo.

30 Búsqueda heurística Búsqueda A* El algoritmo A* La estructura de abiertos es una cola con prioridad La prioridad la marca la función de estimación (f (n) = g(n) + h(n)) En cada iteración se escoge el mejor camino (el primero de la cola) Es el mismo algoritmo que el Best First!

31 Búsqueda heurística Búsqueda A* Tratamiento de repetidos Si es un repetido que está en la estructura de abiertos Si su coste es menor substituimos el coste por el nuevo, esto podrá variar su posición en la estructura de abiertos Si su coste es igual o mayor nos olvidamos del nodo Si es un repetido que esta en la estructura de cerrados Si su coste es menor reabrimos el nodo insertándolo en la estructura de abiertos con el nuevo coste Atención! No hacemos nada con sus sucesores, ya se reabrirán si hace falta Si su coste es mayor o igual nos olvidamos del nodo

32 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

33 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

34 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

35 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

36 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

37 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

38 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

39 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

40 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

41 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

42 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

43 Búsqueda heurística Búsqueda A* A* Ejemplo

44 Búsqueda heurística Búsqueda IDA* Búsqueda IDA* Similar a ID (es decir iteración de búsqueda en profundidad con un límite en la búsqueda) En ID el límite lo daba una cota máxima en la profundidad En IDA* el límite lo da una cota máxima sobre el valor de la función f Ojo! La búsqueda es una DFS normal y corriente, el heurístico f sólo se utiliza para podar Empezamos con corte = f(inicial)

45 Búsqueda heurística Búsqueda IDA* Algoritmo IDA* La función generar_sucesores solo genera aquellos con una f menor o igual a la del límite de la iteración La estructura de abiertos es ahora una pila (búsqueda en profundidad) Hemos de tener en cuenta que si tratamos los nodos repetidos el ahorro en espacio es nulo

46 Búsqueda heurística Búsqueda con limitación de memoria Otros algoritmos con limitación de memoria Las reexpansiones de IDA* pueden suponer un elevado coste temporal Existen algoritmos que por lo general reexpanden menos nodos Su funcionamiento se basa en eliminar los nodos menos prometedores y guardar información que permita reexpandirlos Ejemplos: Best first recursivo Memory Bound A* (MA*)