Tema 2: Búsqueda. Formalización de la resolución de problemas Ejemplos Procedimiento general de búsqueda Estrategias de control Búsqueda heurística

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1 Tema 2: Búsqueda Formalización de la resolución de problemas Ejemplos Procedimiento general de búsqueda Estrategias de control Búsqueda heurística 1

2 Resolución de problemas: formalización CONCEPTO BÁSICO: ESPACIO DE ESTADOS (Influencia de la teoría de autómatas finitos) < Q, R, C > Q: representación de los posibles estados del problema (estructura de datos que describe el estado). R: reglas u operaciones que describen las transiciones en el espacio de estados: C: control. RQ X Q Q PROCESO DE RESOLUCIÓN: Encontrar r 1, r 2,... Que conducen de q 0 a q f 2

3 Búsqueda en espacio de estados. Ejemplos Problema del 8 puzzle : Estados:Todas las posibles configuraciones de las fichas Operaciones: Una para mover cada ficha en cada una de las cuatro direcciones ( muchas!) Mejor: Una para mover el espacio en cada una de las cuatro direcciones: 4 operaciones. Control:?? 3

4 Búsqueda en espacio de estados. Ejemplos Problema del 8-puzzle : q q f r 1 : r 2 : r 3 : r 4 : card(q) = 9! =

5 Búsqueda en espacio de estados. Ejemplos Problema del robot aspirador: I: Ir a la izquierda D: Ir a la derecha A: Aspirar 5

6 Búsqueda en espacio de estados. Ejemplos Problema del robot aspirador: 6

7 Búsqueda en espacio de estados. Ejemplos Problema de los cubos de agua : Descripción: Disponemos de 2 cubos, uno de 4 litros y otro de 3 y un grifo para llenarlos. Debemos consegir que el cubo de 4 litros tenga 2 litros de agua. Estado: Par ordenado (x, y). x=0,1,2,3,4 y=0,1,2,3 Estado inicial: (0,0) Estafo final: (2,n) Reglas: (x,y), x<4 (4,y) (x,y), x>0 (0,y) (x,y), y<3 (x,3) (x,y), x+y 4, y>0 (4,y-(4-x)) (x,y), x>0 (x-d,y) (x,y), x+y 3, x>0 (x-(3-y),y) (x,y), y>0 (x,y-d) (x,y), x+y 4, y>0 (x+y,0) (x,y), y>0 (x,0) (x,y), x+y 3, x>0 (0,(x+y)) Una solución: (0,0) 2 (0,3) 9 (3,0) 2 (3,3) 7 (4,2) 5 (0,2) 9 (2,0) 7

8 Búsqueda en espacio de estados: procedimiento general begin estado := est_inic while not estado = est_fin do begin regla := selecc(r, estado) estado := aplicación(regla, estado) end end regla := selecc (R, estado) CONTROL según sea, la búsqueda será más o menos inteligente 8

9 Estrategias de control: características fundamentales Debe causar que el problema avance. Ejemplo: en el problema de los cubos de agua no es válido seleccionar siempre la primera regla aplicable. Debe ser sistemático. Es decir, siempre debe producir la misma solución ante el mismo problema. Ejemplo: no es válido como estrategia de control elegir una operación al azar. 9

10 Tipos de búsqueda según estrategias de control ALGORITMO Disponemos de información segura sobre qué operación aplicar BUSQUEDA EXHAUSTIVA (A CIEGAS) Exploración del árbol de búsqueda sistemáticamente pero sin información BUSQUEDA HEURÍSTICA (INFORMADA) información sobre el problema (información del dominio) que permite reducir la búsqueda. 10

11 Búsqueda en espacio de estados Problema de pesetas y duros : Estado: lista con 2 P, 2 D y 1 _ (30 estados) Reglas: r1: desplazar P a hueco derecho r2: desplazar D a hueco izquierdo r3: P salta hacia la derecha r4: D salta hacia la izquierda P r 1 P P D D q 0 r 2 r 3 P D D P P D D P P D D r 1 r 4 r 2 r 3 r 4 P P D D D D P P q f 11

12 Búsqueda en espacio de estados Algunos problemas sencillos se pueden resolver mediante algoritmos (buscando a mano la solución) P P D D q 0 D D P P q f Pero, qué pasa si cambiamos q 0 o q f? D P D P q 0 P P D D q f Debemos hablar de INSTANCIAS DE UN PROBLEMA 12

13 Árboles de búsqueda Factor de ramificación: b Profundidad del nodo solución óptimo: d Máxima profundidad del espacio de estados: m Frontera de búsqueda b b 2 b m Es decir: O(b m ) nodos = Crecimiento exponencial 13

14 Estrategias de búsqueda a ciegas Estrategia de búsqueda: Elección del orden de expansión de los nodos del arbol 1. Búsqueda en profundidad 2. Búsqueda en amplitud 3. Búsqueda de coste uniforme 4. Búsqueda en profundidad limitada 5. Búsqueda en profundidad iterativa 6. Búsqueda bidireccional 14

15 Evaluación de estrategias 1. Completa?: Encuentra siempre la solución si existe 2. Complejidad: a) Temporal: Número de nodos explorados b) Espacial: Máximo número de nodos en memoria 3. Óptimo?: Encuentra siempre la mejor solución 15

16 Búsqueda en amplitud ( breadth-first ) Se basa en desarrollar completamente cada nivel del árbol antes de pasar a desarrollar el siguiente. 16

17 Búsqueda en amplitud 1- lista := estado_inicial 2- MIENTRAS (lista 0) y no solucion a- Eliminar primer elemento de lista y asignarlo a E b- Para cada regla aplicable a E i- Aplicar la regla ii- Si el estado resultante el objetivo, salir devolviéndolo iii- Si no, añadir el nuevo estado a lista 17

18 Evaluación de búsqueda en amplitud 1. Completa?: Sí (si b es finito) 2. Complejidad: a) Temporal: 1+ b 2 + b b d O(b d ) b) Espacial: O(b d ): exponencial, hay que guardar todos los nodos en memoria 3. Óptimo?: Sí (si el coste de cada paso es 1) 18

19 Búsqueda en profundidad ( depth-first ) Se basa en elegir un camino en el árbol y seguirlo hasta el final. Si no se encuentra la solución se retrocede ( backtraking ) y se prueba por otro camino. 19

20 Búsqueda en profundidad ( depth-first ) Se implementa mediante un algoritmo recursivo. 1- SI estado_inicial = estado_objetivo ENTONCES salir con éxito 2- MIENTRAS no éxito y no fracaso a- Generar los sucesores del estado inicial. SI no hay más sucesores ENTONCES fracaso b- Llamar al algoritmo para cada uno de los nodos generados como estado inicial c- Si se devuelve éxito, devolver éxito, si no continuar el bucle 20

21 Evaluación de búsqueda en profundidad 1. Completa?: No (falla si hay espacios de profundidad infinita o bucles). Sí en espacios finitos 2. Complejidad: a) Temporal: O(b m ) (m puede ser mucho mayor que d) b) Espacial: O(bm): lineal 3. Óptimo?: No 21

22 Ventajas de la búsqueda en extensión No se pierde explorando caminos infructuosos que consumen mucho tiempo sin llegar a una solución o de los que no se vuelve nunca (bucles en profundidad). Si hay una solución la encuentra. Es más, si hay varias encuentra la óptima. Ventajas de la búsqueda en profundidad Requiere mucha menos memoria (sólo hay que guardar el camino actual). Puede encontrar una solución sin examinar mucho el árbol, sobre todo si hay varios caminos a la solución. 22

23 Evaluación de estrategias Completa Complejidad Temporal Complejidad Espacial Óptima Amplitud Si O(b d ) O(b d ) Si (con coste 1) Profundidad No O(b m ) O(bm) No 23

24 Búsqueda de coste uniforme Cada nodo tiene asociado un coste no uniforme. 24

25 Búsqueda de coste uniforme Se basa en desarrollar el nodo con menor coste. Arad Zerind Sibiu Timisoara 75+71= = = = 229 Oradea Fagaras Rim. Vilces Lugoj = = = = =299 Sibiu Bucharest Craiova Pitesti Mehandia 25

26 Evaluación de búsqueda de coste uniforme 1. Completa?: Sí 2. Complejidad: a) Temporal: Número de nodos con g coste de la solución óptima: O(b d ) b) Espacial: Número de nodos con g coste de la solución óptima: O(b d ) 3. Óptimo?: Si 26

27 Algoritmo general 1- lista := estado_inicial 2- MIENTRAS (lista 0) y no solucion a- Eliminar primer elemento de lista y asignarlo a E b- Para cada regla aplicable a E i- Aplicar la regla ii- Si el estado resultante el objetivo, salir devolviéndolo iii- Si no, añadir el nuevo estado a lista 27

28 Evaluación de estrategias Completa Complejidad Temporal Complejidad Espacial Óptima Amplitud Si O(b d ) O(b d ) Si (con coste 1) Profundidad No O(b m ) O(bm) No 28

29 Búsqueda en profundidad limitada Búsqueda en profundidad con un límite de profundidad l. Implementación: los nodos a profundidad l no tienen sucesores 29

30 Búsqueda en profundidad limitada Problema: calcular l. En ciertos problemas es fácil: Viaje por Rumanía: 20 ciudades: con l = 19 encontramos solución En otros imposible 30

31 Evaluación de profundidad limitada 1. Completa?: No (falla si l es pequeño) 2. Complejidad: a) Temporal: O(b l ) b) Espacial: O(bl) 3. Óptimo?: No 31

32 Búsqueda en profundidad iterativa Se basa en elegir utilizar búsqueda en profundidad limitada aumentando l si no se encuentra la solución. l = 1 l = 2 l = 3 l = 4 32

33 Evaluación de profundidad iterativa 1. Completa?: Si 2. Complejidad: a) Temporal: (d+1)1+ db 2 + (d-1)b b d O(b d ) b) Espacial: O(bd) 3. Óptimo?: Si (con coste 1). Se puede modificar para coste uniforme 33

34 Búsqueda en bidireccional Buscar simultáneamente desde el estado inicial y el final. 34

35 Evaluación de búsqueda bidireccional 1. Completa?: Si 2. Complejidad: a) Temporal: O(b d/2 ) b) Espacial: O(b d/2 ) 3. Óptimo?: Si (con coste 1). Se puede modificar para coste uniforme 35

36 Búsqueda en bidireccional No vale para todos los problemas: Los operadores deben ser reversibles. Problema si hay varias soluciones. Debe haber comprobación eficiente de encuentro. 36

37 Comparación de estrategias Amplitud Coste Profund. Profund. Profund. Bidirecc. Uniforme Limitada Iterativa (si se puede) Complejidad Temporal O(b d ) O(b d ) O(b m ) O(b l ) O(b d ) O(b d/2 ) Complejidad Espacial O(b d ) O(b d ) O(bm) O(bl) O(bd) O(b d/2 ) Óptima Si Si No No Si Si Completa Si Si No Si Si Si (si l d) 37

38 Problemas de búsqueda a ciegas COMPLEJIDAD (EXPLOSIÓN COMBINATORIA) Espacial y temporal Es tan importante? Ejemplo: b = nodos/sg 100 bytes/nodo Profundidad Nodos Tiempo Memoria ms. 100 bytes ms. 1 Kb seg. 1 Mb min. 111 Mb horas 11 Gb días 1 Tb años 111 Tb años Tb. 38

39 Ejemplo de explosión combinatoria Problema del viajante: Descripción: Un viajante debe visitar varias ciudades (existen carreteras que unen todas las ciudades entre sí). El viajante desea encontrar el camino más corto que una todas las ciudades de tal manera que pase una sola vez por cada una de ellas. Espacio de estados: Para 10 ciudades: 10! = estados Para 25 ciudades: 25! = estados (!!!) 39

40 Búsqueda heurística (o informada) Del griego heuriskein que significa descubrir o encontrar Un heurísitco es una ayuda para guiar el proceso de búsqueda. En general, con la utilización de heurísticos no se van a conseguir siempre resultados óptimos (la mejor solución), pero si se van a conseguir resultados de buena calidad en media en un tiempo razonable. Se utilizan en problemas complejos donde aparece el problema de la explosión combinatoria. En este tipo de problemas, los algoritmos de búsqueda exhaustiva tienen unos costes inaceptablemente altos (sólo son válidos para problemas sencillos). 40

41 Ejemplo de heurístico para el problema 1- Seleccionar aleatoriamente una ciudad 2- REPETIR a- Seleccionar como siguiente ciudad, de las no visitadas aún, la más próxima. MIENTRAS no se hayan recorrido todas la ciudades. La complejidad de la resolución del problema pasa de O(n!) a O(n 2 ). Se reduce mucho (para 25 ciudades pasa de 25! a 625). No siempre conseguiremos el resultado óptimo pero sí que conseguiremos resultados buenos en un tiempo razonable. 41

42 Tipos de heurísticos El heurístico anterior se denomina heurístico del vecino más cercano ( nearest neighbor heuristic -NNH ) y es válido para muchos problemas de tipo combinatorio. En general, podemos clasificar los heurísticos en dos grandes grupos: GENERALES - Válidos para muchos problemas diferentes. - Por ejemplo: el del vecino más próximo. ESPECÍFICOS - Diseñados para un problema particular. 42

43 Justificación del uso de heurísticos Los heurísticos evitan la explosión combinatoria, lo cual ya justifica su uso, pero además: Normalmente, en problemas complejos no necesitamos soluciones óptimas, sólo suficientemente buenas. Aunque las aproximaciones conseguidas con heurísticos no sean buenas en el caso peor, el caso peor no se da normalmente. Tratar de entender por qué (o por qué no) funciona un heurístico muchas veces nos da un conocimiento mayor del problema que estamos intentando resolver. 43

44 Mecanismos de aplicación de heurísticos BÚSQUEDA BEST-FIRST (Primero el mejor) Idea: utilizar una función de evaluación para cada nodo (estimación de la idoneidad de expandir ese nodo). Aplicación: Expandir siempre el nodo no expandido más idóneo. Mecanismos: Búsqueda de Greedy. Búsqueda A *. 44

45 Búsqueda de Greedy Función de evaluación: h(n) (heurístico) (estima el coste desde el nodo n hasta un nodo solución). Ejemplo: En el problema del viaje por Rumanía: h DLR (n) = distancia en línea recta desde n a Bucharest. La búsqueda de Greedy expande el nodo que parece estar más cerca del objetivo. 45

46 Búsqueda de Greedy: Ejemplo 46 Bucharest Giurgiu Urziceni Hirsova Eforie Neamt Oradea Zerind Arad Timisoara Lugoj Mehadia Dobreta Craiova Sibiu Fagaras Pitesti Rimnicu Vilcea Vaslui Iasi Straight line distance to Bucharest Giurgiu Urziceni Hirsova Eforie Neamt Oradea Zerind Arad Timisoara Lugoj Mehadia Dobreta Craiova Sibiu Fagaras Pitesti Vaslui Iasi Rimnicu Vilcea Bucharest

47 Búsqueda de Greedy: Ejemplo Se basa en desarrollar el nodo con menor valor de h. Arad (366) Zerind (374) Sibiu (253) Timisoara (329) Oradea (380) Fagaras (178) Rim. Vilces (193) Arad (366) Sibiu (253) Bucharest (0) 47

48 Evaluación de búsqueda de Greedy 1. Completa?: No (puede perderse en bucles) 2. Complejidad: a) Temporal: O(b m ): pero un buen heurístico puede conseguir grandes mejoras b) Espacial: O(b m ): guarda todos los nodos en memoria 3. Óptimo?: No 48

49 Búsqueda A * Idea: Evitar expandir caminos que ya acumulan un coste elevado (tener en cuenta lo que ha costado llegar al nodo actual Función de evaluación: f(n) = g(n) + h(n) (se denomina potencia heurística) g(n): coste para llegar al nodo n. h(n): coste estimado para llegar a un nodo solución desde el nodo n. f(n): coste total estimado del camino para llegar al objetivo a través del nodo n. 49

50 Búsqueda A * La búsqueda A * utiliza heurísticos admisibles (h * (n)): h * (n) hp(n) donde hp(n) es el heurístico perfecto (coste real desde el nodo n al nodo solución). Ejemplo: En el problema del viaje por Rumanía: h DLR (n) es un heurístico admisible (nunca sobreestima la distancia actual por carretera a Bucharest. Teorema: La búsqueda A* es óptima. 50

51 Búsqueda A * : Ejemplo Se basa en desarrollar el nodo con menor valor de f. Arad (366) Zerind (75+374) Sibiu ( ) Timisoara ( ) Arad ( ) Oradea ( ) Fagaras ( ) Rim. Vilces ( ) Craiova ( ) Pitesti (317+98) Rim. Vilces ( ) Craiova ( ) Sibiu ( ) Buicharest (418+0) 51

52 Prueba de que el algoritmo A * es óptimo Supongamos un nodo objetivo subóptimo G 2 y un nodo nsin expandir que se encuentre en el camino a la solución óptima G 1. Nodo raíz n G 2 G 1 f(g 2 ) = g(g 2 ) ya que h(g 2 ) = 0 > g(g 1 ) ya que G 2 es subóptimo f(n) ya que h es admisible Dado que f(g 2 ) > f(n), A * nunca seleccionará G 2 para expandir. 52

53 Evaluación de búsqueda A* 1. Completa?: Si 2. Complejidad: a) Temporal: Exponencial en [error relativo de h x longitud del camino a la solución b) Espacial: Guarda todos los nodos en memoria 3. Óptimo?: Si 53

54 El algoritmo PATHMAX Con algunos heurísiticos admisibles, f puede disminuir a lo largo de un camino del árbol. Ejemplo: n g = 5 h = 4 f = 9 1 n g = 6 h = 2 f = 8 PATHMAX: Modificación de A * para solucionar este problema. f(n ) = max (g(n )+h(n ), f(n)) Con esta modificación, f es no decreciente. 54

55 Heurísticos admisibles. Ejemplos Problema del 8-puzzle : q q f h 1 (n) = numero de piezas descolocadas h 2 (n) = distancia Manhattan total (número de casillas para llegar a la posición deseada de cada ficha). h 1 (q 0 ) = 7 h 2 (q 0 ) = = 18 55

56 Heurísticos dominantes Si h 2 (n) h 1 (n) para todo n. (ambos admisibles) entonces h 2 domina a h 1 y es mejor para realizar la búsqueda. Ejemplo: d = 14 Profundidad iterativa = nodos A * (h 1 ) = 539 nodos A * (h 2 ) = 113 nodos d = 24 Profundidad iterativa = demasiados nodos A * (h 1 ) = nodos A * (h 2 ) = nodos 56

57 Problemas de satisfacción de restricciones Tipos de Problemas 1. Búsqueda de camino a una solución: Ejemplos: 8-puzzle, cubo de Rubick, prueba de teoremas, buscar rutas. 2. Juegos con adversarios: Ejemplos: ajedrez, damas, Othello. 3. Satisfacción de restricciones No hay una solución concreta, sólo se deben cumplir determinadas condiciones Ejemplos: 8-reinas, mapas de colores Algoritmos separados para cada tipo, pero: Podemos solucionar problemas de satisfacción de restricciones mediante búsqueda de camino, pero generalmente no muy bien Los dos primeros presentan similaridades 57

58 Satisfacción de restricciones: ejemplos 8 reinas Mapa de colores Búsqueda en profundidad: 46 nodos y 12 retrocesos (Existen heurísticos para resolverlo Expandiendo sólo 8 nodos: directo) 58