Tema 2: Representación Digital de la Información

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Juan Francisco Díaz Martin
hace 5 años
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1 Tema 2: Representación Digital de la Información Jorge Juan Chico Julián Viejo Cortés 2-7 Departamento de Tecnología Electrónica Universidad de Sevilla Usted es libre de copiar, distribuir y comunicar públicamente la obra y de hacer obras derivadas siempre que se cite la fuente y se respeten las condiciones de la licencia Attribution-Share alike de Creative Commons. Puede consultar el texto completo de la licencia en Contenidos Introducción Definiciones Números naturales Números enteros Números reales/racionales 2

2 Introducción Codificación digital Los circuitos digitales con los que se construyen los ordenadores trabajan con señales bivaluadas Valores posibles en el conjunto {,} Los computadores se emplean para almacenar todo tipo de información: números enteros, reales, texto, gráficos, audio, video, etc. Esta información ha de traducirse a los símbolos del conjunto {,} para poder ser procesada por un ordenador Codificación digital: Proceso por el cual cualquier tipo de información se representa numéricamente. Posteriormente estos números se codifican con {,} 3 Introducción Codificación digital Ventajas de la codificación digital Mayor facilidad de diseño y fabricación de equipos Posibilidad de transmisión sin pérdida de calidad (salvo cuantización) Más opciones de tratamiento de la información: compresión, detección/corrección de errores, almacenamiento, etc. Tratamiento homogéneo de la información: sonido, imagen, texto, etc. Inconvenientes Error de cuantización (pero es controlable) Necesario etapas de conversión: Analógico -> Digital Digital -> Analógico 4

3 Ejemplo señal señal+ruido Amp Tr Rv Amp ruido Amp A/D Cod Tr Rv Dec D/A Amp señal+ ruido cuantiz. 5 Definiciones BIT (b) (BInary digit) Dígito binario (cifra binaria). Símbolo que puede ser ó. Es la unidad mínima de información. Palabra Conjunto de "n" bits. Típicamente, 8, 6, 32 ó 64. Normalmente, los ordenadores trabajan con palabras completas en vez de con bits sueltos. Byte (B) Palabra de 8 bits Unidad práctica de información Cantidades de información expresadas en bytes o múltiplos del byte 6

4 Definiciones Múltiplos del byte Tradicionalmente se emplean unidades del SI pero con significado relativo a potencias binarias Esto introduce confusión en muchos caso Diskete:,44MB = KB = x24b Disco 6GB = 6 MB = 6xx24x24B DVD 4,7GB = 47MB = 4,7xx24x24B Estándar para unidades binarias: IEC, IEEE SI Binario IEC kilo k 3 2 kibi Ki mega M mebi Mi giga G gibi Gi tera T tebi Ti peta P pebi Pi exa E exbi Ei zetta Z zebi Zi 7 Número naturales. Sistemas de numeración. Bases El sistema decimal común es un sistema de numeración posicional que emplea símbolos y donde la base es : Símbolos:,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 327= Pesos: Símbolos: Valor: Suma 327 8

5 Número naturales. Base 2 Los sistemas digitales pueden representar de forma "natural" números en base 2, usando los símbolos {,} Ej: = Pesos: Símbolos: Suma Valor: Números naturales. Base b Lo mismo aplicado a una base genérica b x: magnitud, b: base n: número de cifras, {xi}: cifras x=x n b n... x b x b Mayor número representable con n cifras: b n - El cambio de base b a base se realiza aplicando directamente la fórmula anterior con las cifras del número en base b.

6 Números naturales. Cambio de base a base b El cambio de base a una base cualquiera b puede realizarse dividiendo sucesivamente la magnitud por la base y extrayendo los restos 23 ( 234 ( Números naturales. Bases 8 y 6 Base 8 (octal): {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Base 6 (hexadecimal): {,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} 2

7 Números naturales. Bases 8 y 6 Equivalencias con la base 2 8=2 3 6=2 4 B-2 B B-2 B B-2 B A B C D E F 3 Números naturales. Bases 8 y 6 Las bases 8 y 6 se emplean como una forma compacta de representar números binarios cifra octal -> 3 cifras binarias cifra hexadecimal -> 4 cifras binarias (8 2 B A 2BA (6 4

8 Números enteros. Representación signo-magnitud signo magnitud +9 ( -4 ( Signo: (+), (-) Representable con n bits: 2 n - Representaciones del :, 2 n x 2 n 5 Números enteros Representación en exceso Se representa en base 2 el resultado de sumar al número el valor del exceso o sesgo. El resultado de sumar el exceso debe ser un entero positivo. Esto define el rango de números representables. Ej: exceso 2n- (números de n bits, ej: 8 bits) -35 ( = 93 = (exc-28 2 n x 2 n 6

9 Números enteros Rep. Complemento a 2 x= x n b n... x b x b Pesos: Símbolos: Suma Valor: -8 4 El primer bit indica el signo: (+), (-) Una sola representación del cero: n x 2 n 7 Números enteros. Ca2: extensión del signo Al extender el número de bits de un número codificado en Ca2, los bits extendidos toman todos el mismo valor que el antiguo bit de signo

10 Números enteros. Ca2: Propiedad Si en la representación en Ca2 de una cantidad entera x se complementan todos los bits y, tratando el resultado como un número binario sin signo, se le suma, el resultado es la representación en Ca2 de -x 9 Números enteros. Ca2: Propiedad 2 Si las representaciones en Ca2 de dos cantidades enteras x e y se suman, tratándolas como enteros binarios sin signo y despreciando el posible acarreo, el resultado es la representación en Ca2 de la cantidad x+y, salvo que se produzca desbordamiento. El mismo sumador de binarios naturales sirve para enteros representados en Ca2 2

11 Números enteros. Ca2: Propiedad 3 (Regla de desbordamiento): Si dos cantidades binarias representadas en Ca2, ambas con el mismo signo, se suman tratándolas como enteros binarios sin signo, se produce desbordamiento si el signo del resultado, interpretado en Ca2 es distinto al signo de las cantidades sumadas. 2 Números enteros Ca2: Ejemplos = -7 = = -2 = -4 = = = +3 = = +7 = -4 = = -5 = +5 = = -7 = -7 = = +3 Desbordamiento! 22

12 Números enteros. Resumen x s-m Ca2 exc. 2 n / Números reales. Cambio de base x=x n b n... x b x b... x m b m Base b a base : Directamente. Basta con hacer las operaciones en base., 2 = Base a base b: 2 /2 /8=2,875 Parte entera: como para números naturales Parte decimal: multiplicando sucesivamente por la base y tomando la parte entera 24

13 Números reales. Punto fijo: cambio de base Ejemplo: 3,27 ( 3 = ( (2,27 x 2 =,54 -> "",54 x 2 =,8 -> "",8 x 2 =,6 -> "",6 x 2 =,32 -> "",32 x 2 =,64 -> "",64 x 2 =,28 -> ""... 3,27 ( =, (2 25 Números reales. Representación en punto fijo En muchas ocasiones, es necesario almacenar y operar con números que no son enteros. Una opción para representar números con parte fraccionaria es la Notación en Punto Fijo: número fijo de bits para representar la parte fraccionaria. Representación aproximada: error de aproximación. 26

14 Números reales. Representación en punto fijo x=x n b n... x b x b... x m b m parte entera parte frac. No permite representar números muy pequeños o muy grandes No es flexible 27 Números reales. Rep. en punto flotante.23 2 x=m B E Equivalente a la notación científica decimal: M: mantisa, B: base, E: exponente Flexibilidad: permite representar números muy grandes y muy pequeños Introduce error de cuantización La precisión depende del valor del número representado: a mayor valor, menor la precisión. 28

15 Números reales. Notación IEEE-754 (parcial) signo exponente (E*) mantisa (M*) Base: 2 Signo ( bit): -> +, -> - Exponente (8 bits): sesgado, con un sesgo de 27 E*: valor almacenado E*= E: exponente real E=E*-27= Números reales. Notación IEEE-754 (parcial) signo exponente (E*) mantisa (M*) Mantisa (23 bits): normalizada, parte entera = M =,bbb...b M* = bbb...b (23 bits) 3

16 Números reales. Notación IEEE-754 (parcial) Mayor número representable: Menor número representable: Menor número positivo representable: 2 26 Mayor número negativo representable: Números reales. Notación IEEE-754 (parcial) Algunos casos especiales: cero: E*=, M*= Infinito: E*=255, M*= s= -> +Inf s= -> -Inf números no normalizados: E*=, M* E = -26 M=M* 32

17 Números reales. Punto flotante. Paso a base signo exponente (E*) mantisa (M*) Se obtiene M a partir de M* y el signo Se obtiene E a partir de E*: E = E*-27 Se hacen las operaciones x=m 2 E 33 Números reales. Punto flotante. Paso a base Ejemplo: signo: -> + Mantisa (M) =, (2 =, ( E* = (2 = 48 ( ; E = E* - 27 = 2 x=, =

18 Números reales. Punto flotantes. Paso desde base Se obtiene una estimación del exponente: E' Se elige como exponente (E) la parte entera de E' Se calcula el valor de la mantisa (M). Se calculan E* y M* y se pasan a binario. Se construye la palabra binaria. x=m 2 E E '=log 2 x E=ent E ' M = x 2 E 35 Números reales. Punto flotantes. Paso desde base Ejemplo: E ' =log =2.77 E=ent 2.77 =2 M = = signo + : E* = 27+2 = 48 = (2 M =, =. (2 M* =... 36

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