MÉTODO DINÁMICO MODAL PARA EDIFICIOS CON DISIPADORES DE ENERGÍA VISCOSOS NO-LINEALES RESUMEN ABSTRACT

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1 MÉTODO DINÁMICO MODAL PARA EDIFICIOS CON DISIPADORES DE ENERGÍA VISCOSOS NO-LINEALES Victor Manuel Rivera Marquez 1 y Sonia E. Ruiz Gómez 2 RESUMEN Se propone un método simplificado para la rehabilitación de edificios con disipadores de energía viscosos nolineales. El método se aplica para diseñar la rehabilitación de un edificio de acero de 6 niveles y 5 crujías que cumple con las condiciones de resistencia, pero no cumple las condiciones de desplazamientos laterales de entrepiso permitidas por el código de diseño sísmico. ABSTRACT A simplified method for the seismic rehabilitation of buildings with non-linear viscous dampers is proposed. The method is applied for the rehabilitation of a 6-story, 5-bay steel building that has the required strength, but has not the minimum drift required by the seismic design code. INTRODUCCION El ingeniero se ha visto en la necesidad de mejorar el comportamiento de las estructuras ante eventos sísmicos. Esto ha llevado a desarrollar e investigar nuevos dispositivos o sistemas sismorresistentes con el fin de lograr un adecuado comportamiento sísmico de dichas estructuras. Existe una diversidad de dispositivos o sistemas para la disipación de energía sísmica a través de amortiguamiento suplementario. Dichos sistemas se dividen en: sistemas pasivos, sistemas activos y sistemas semi-activos. En este estudio se tratan los disipadores de energía viscosos no-lineales de tipo pasivo, que disipan una porción de la energía a través de un fluido viscoso. En estos dispositivos se generan fuerzas de magnitud proporcional a la velocidad que se oponen al movimiento de la estructura, sin utilizar fuentes de poder externas. El método se presenta mediante una serie de pasos basados en la dinámica estructural y en estudios previos (Chopra, 2007; Paz, 1992; Ramírez et. al., 2001; 2002; Claros y Ruiz, 2009). El criterio se ejemplifica mediante la rehabilitación de un edificio, que cumple por resistencia lateral y gravitacional pero no por desplazamientos laterales de entrepiso. Los dispositivos de amortiguamiento viscoso tendrán la función de reducir los desplazamientos laterales en el edificio provocadas por sismo. DIFINICIONES BÁSICAS SISTEMA ESTRUCTURAL BÁSICO, CONVENCIONAL SISTEMA ESTRUCTURA-DISIPADOR Y SISTEMA En lo que sigue se menciona el Sistema Estructural Básico (SB). Este puede estar formado a base de marcos con elementos resistentes a momentos flexionantes, de muros, o bien sistemas de marcos-muro, sistemas con contravientos o combinados, así como sistemas tipo péndulo invertido, o sistemas tipo columna en voladizo. En el ejemplo que se presenta más adelante el SB está formado por marcos de acero. También se menciona el Sistema Estructura- Disipador (ED). Este está compuesto por un SB más el conjunto de disipadores 1 Estudiante de posgrado, Instituto de Ingeniería, Coordinación de Mecánica Aplicada, Universidad Nacional Autónoma de México. 2 Investigadora, Instituto de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad Universitaria, Coyoacán, México, D. F. Teléfono: (55) , sruizg@iingen.unam.mx 1

2 XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato viscosos. Por otro lado, se hace referencia al Sistema Convencional (SC). Este es un sistema estructural sin disipadores que presenta la misma geometría que el SB y que se diseña para resistir los efectos de las cargas gravitacionales y de las fuerzas laterales reducidas debidas a sismo, calculadas mediante el método estático. El Sistema Convencional debe cumplir con los requisitos de resistencia que indican las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo, (NTCDS-2004). CONSTANTE DE AMORTIGUAMIENTO Y EXPONENTE DE AMORTIGUAMIENTO La ecuación de movimiento de un sistema de un grado de libertad con masa m, rigidez k, constante de amortiguamiento viscoso no-lineal, sujeto a aceleraciones del suelo es: Ů ŮŮ Esta ecuación indica que la relación fuerza ()-velocidad (Ů) para un amortiguador viscoso no-lineal se expresa mediante: Ů Ů Donde es la constante de amortiguamiento determinado experimentalmente con unidades de fuerza por velocidad; es el exponente de amortiguamiento (positivo real) con valores en un intervalo de 0.35 a 1.0 para aplicaciones sísmicas y Ů es la función que devuelve un valor unitario con el signo de la velocidad. En el método modal que se presenta se utilizan los parámetros y. PASOS DEL MÉTODO PROPUESTO DE DISEÑO Enseguida se presenta un método para la rehabilitación de estructuras utilizando disipadores viscosos nolineales. El método se explica mediante los siguientes pasos: 1.- El método es aplicable para el caso en el que el SB cumpla por resistencia pero no por desplazamientos laterales. 2.- Primeramente se obtienen las propiedades geométricas y las dinámicas del SB (masas, pesos, periodos y formas modales). 3.- Se calculan el peso modal efectivo (We m ) y el factor de participación (Γ m ) correspondientes a cada modo. 1 2 donde: ú ó ú é 2

3 4.- Para el análisis modal se debe incluir el efecto de los modos naturales que ordenados según valores decrecientes de sus respectivos periodos de vibración sean necesarios para que la suma de los pesos modales efectivos (We m ) en cada dirección del análisis sea mayor o igual a 90% del peso total de la estructura (W o ); es decir: PASOS APLICABLES AL MODO FUNDAMENTAL (PRIMER MODO): 5.- Se proponen constantes de amortiguamiento ( ), así como valores del exponente de amortiguamiento de no-linealidad ( ) correspondientes a cada nivel (i). 6.- Se supone una ductilidad global efectiva ( ) y con las y propuestas, se calcula la relación de porcentaje de amortiguamiento crítico viscoso para el modo 1, mediante la expresión (Ramírez et al, 2001): 2 Ѳ donde: é ó ó é ó. é Ѳ Á ó ó, ó El desplazamiento de azotea (ecuación 5) se calcula, como un primer tanteo, con un amortiguamiento crítico inherente de la estructura igual a 5%, y se supone. 7.- Se revisa que el porcentaje de amortiguamiento crítico inherente de la estructura (5%) más el porcentaje de amortiguamiento viscoso adicional del modo m (ζ dm ) sea menor que 35%. Si no cumple esta condición se regresa al paso 5. Es decir: 5% 35% 7 Esta condición se establece debido a que se ha comprobado que el comportamiento de una estructura con amortiguamiento por fluido viscoso se optimiza en un intervalo del 20% al 25% adicional al 5% del 3

4 XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato amortiguamiento crítico. Aquí se propone un límite del 30% de amortiguamiento crítico más el 5% inherente en la estructura. Este es el mismo límite (35%) que se recomienda en el documento FEMA Con la ductilidad supuesta ( ) se obtiene el desplazamiento de azotea ( ), considerando comportamiento inelástico (ecuación 5). Se utiliza el coeficiente sísmico reducido, correspondiente al amortiguamiento. 9.- Se calcula el cortante basal del modo m (Vo m ): Se revisa que el cortante basal calculado del modo 1 (Vo 1 ) sea mayor que el siguiente valor (este paso solo se aplica al modo fundamental): 9 donde: á í á ó La fuerza cortante representa un límite mínimo permitido asociado a la ordenada del espectro de diseño con 5% de amortiguamiento, reducido por Q y R. El valor de s para estructuras regulares e irregulares está dado por (Rivera Marquez, 2010): ; ; donde: á é ó í ñ ñ í, ñ í, En la figura 1 se presenta el valor de en función de. 4

5 so Ts (seg) Ecuación (11) Figura 1 Factor s o en función de T s Se obtiene el desplazamiento de fluencia (Xy) mediante un análisis estático no-lineal ("pushover") del Sistema (este paso solo se aplica al modo fundamental) Se calcula la demanda de ductilidad (μ d ), y se compara con el valor μ e (supuesto en el paso 5) Si no cumple lo anterior se supone un nuevo valor de y se repiten los pasos 5 al 12. Se tomará la última ductilidad calculada como valor inicial de la siguiente iteración ( ) Se revisa la respuesta del marco (distorsiones y fuerzas en el disipador) en dos instantes de respuesta: máximo desplazamiento y máxima velocidad. a) Máximo desplazamiento: Se calculan los desplazamientos del i-ésimo nivel (Xm i ): 14 Se obtienen las distorsiones del i-ésimo entrepiso correspondientes al modo m ( ): 15 Se calculan las fuerzas laterales ( y los cortantes de entrepiso ( ): donde: é, á é, á 5

6 XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato b) Máxima Velocidad (Ů): Se calculan las fuerzas en los disipadores ( ): Ů 2 Ů Ѳ Ů donde: é, á Ů á á, é ó PASOS APLICABLES A LOS MODOS SUPERIORES AL FUNDAMENTAL Se calculan la constante de amortiguamiento C di y el porcentaje de amortiguamiento crítico viscoso (ζ dm ): Ů 4 Ѳ donde: Ů á á 1 è 15.- Se repiten los pasos 7, 8, 9 y 13 con la diferencia que para el caso de modos superiores se tomará C di = C di Se repiten los pasos 14 y 15, para cada modo superior al fundamental. COMBINACIÓN DE RESPUESTAS MODALES Y SELECCIÓN DEL DISIPADOR. 17.-Se calculan las combinaciones de las respuestas máximas modales. a) Respuesta en la etapa de máximo desplazamiento; correspondientes al i-ésimo nivel:

7 b) Respuesta en la etapa de máxima velocidad; correspondientes al i-ésimo nivel: Se seleccionan los disipadores adecuados con base en la fuerza, el desplazamiento máximas de entrepiso y el exponente de amortiguamiento de no-linealidad (a di ) propuesto, correspondientes a cada nivel. Para ello se utiliza la fuerza del disipador (Fd i ) y los desplazamientos máximos de entrepiso que se calculan usando la siguiente expresión: Ѳ 26 DESCRIPCIÓN DE LA ESTRUCTURA EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL MÉTODO PROPUESTO El método se aplica a una estructura de acero con 6 niveles y 5 crujías en la dirección X, y 5 crujías en la dirección Y. El sistema de piso está compuesto de losacero de 12 cm de espesor total y 6 cm de capa de compresión. La estructura es de uso habitacional. Está desplantada en terreno con periodo dominante de 0.7 seg. ANÁLISIS DE CARGAS Las cargas vivas se obtienen según las recomendaciones de las Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones (2004) para un edificio de uso habitacional. Las cargas muertas se consideran de 260 kg/m 2 para planta baja y entrepisos, y 360 kg/m 2 para la azotea. Las propiedades de los materiales son: acero estructural fy= 3515 kg/cm 2, en varillas fy= 4200 kg/cm 2 y para el concreto (el sistema de piso) de f c=250 kg/cm 2. ESTRUCTURACIÓN En la figura 2 se muestran las dimensiones del edificio que se analiza en este ejemplo. Figura 2 Marco Tipo. En las figuras 3a y 3b se presenta una vista en planta, y en la figura 4 los perfiles IR de vigas y columnas que constituyen la estructura. 7

8 XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato Figura 3a Plantas niveles 1, 2 y 3 Figura 3b Plantas niveles 4, 5 y IPR 533x84.6kg/m. IPR 533x101.3kg/m. IPR 356x90.7kg/m. IR 356 X kg/m IR 356 X kg/m IR 356 X 314 kg/m Figura 4 Perfiles IR ANÁLISIS ESTRUCTURAL El análisis sísmico y el diseño de la estructura convencional (sin disipadores) se realizaron de acuerdo con las especificaciones de las Normas Técnicas Complementarias Para diseño y Construcción de Estructuras de Acero-2004 (NTCDA-2004, NTCDS-2004, Meli, 2001). Se consideraron los siguientes parámetros de diseño: Zona sísmica I, Grupo B, Q=2.0, T s =0.7seg, y factor por irregularidad estructural unitario. APLICACIÓN DEL MÉTODO PARA REHABILITAR LA ESTRUCTURA CON DISIPADORES DE ENERGÍA VISCOSOS NO-LINEALES El método se aplica al marco tipo que se muestra en la figura Figura 5 Geometría de marco tipo. 8

9 Los pasos que se siguieren fueron los siguientes: 1.- Se revisó que el SB cumpliera por resistencia lateral y por carga vertical; sin embargo, no cumplió con los límites de desplazamientos máximos de entrepiso que establecen las NTCDS-2004, por lo que se aplicó el método propuesto. 2.- Se obtuvieron las propiedades dinámicas del SB (ver tabla 1). Tabla 1 Propiedades dinámicas Nivel Peso Masa Período (seg) Formas modal H (wi) (ton*s²/m) cos Ѳ 1er 2o 3er 1er 2o 3er (cm) (ton) Modo Modo Modo Modo Modo Modo El peso de la estructura es igual a: Se calculó el peso modal efectivo (We m ) y el factor de participación (Γ m ) de cada modo, aplicando las ecuaciones 1 y 2, respectivamente. Los resultados del cálculo que se realizó para el primer modo y el segundo modo son: Primer modo: Segundo modo: Para el análisis modal se debe incluir el efecto de los modos naturales que ordenados según valores decrecientes de sus periodos de vibración sean necesarios para que la suma de los pesos modales efectivos (We m ) en cada dirección del análisis sea mayor o igual a 90% del peso total de la estructura W o (ver ecuación 3). Para nuestro caso se tiene: Dado que los dos primeros modos cumplen la condición antes mencionada, aquí solo se tomará el primer y el segundo modos para el resto de los cálculos. Pasos correspondientes al modo fundamental (primer modo): 5.- Se propusieron constantes de amortiguamiento (C di ), valores de exponente de amortiguamiento de nolinealidad (a di ) correspondiente a cada nivel (i). Se propusieron los siguientes valores de C di y a di, uniformes para todos los niveles. 9

10 XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato , 2, 0.75, entonces Con la ductilidad efectiva ( ) y las constantes de C di y a di propuestas, se calculó la relación de porcentaje de amortiguamiento crítico viscoso para el modo 1, según la ecuación 4. Para un primer tanteo el valor se obtiene usando el espectro de diseño para un 5% de amortiguamiento crítico, 2 y R=2. El valor de se obtiene a partir de la figura 6. a' ( β ) 0.25 Q = Q = a' 1 = T 1 = 2.09 s T ed ( s ) Figura 6 Espectros de diseño. T s =0,7 seg, μ e =Q=2 y ζ=5% El desplazamiento máximo estimado de azotea resultó igual a: La relación de porcentaje de amortiguamiento crítico viscoso correspondiente al primer modo resulta como sigue (ver ecuación 4): ,. 5.18% 7.- Se revisó que el porcentaje de amortiguamiento crítico inherente de la estructura (5%) más el porcentaje de amortiguamiento critico viscoso del modo m (ζ dm ) fuera menor que 35% (ver ecuación 7). 5% 35% 5.18% 5% 35% 10.18% 35% OK 8.- Con la ductilidad supuesta ( ) y el valor de se recalculó el desplazamiento de azotea del primer modo (ecuación 5). Se consideró el valor de 10.18%; a 1 se obtuvo con este ultimo valor de amortiguamiento efectivo, como se indica en la figura 7. 10

11 a' ( β ) 0.18 Q = Q = a' 1 = T 1 = 2.09 s T ed ( s) Figura 7 Espectros de diseño. T s =0,7 seg, μ e =Q=2 y ζ efectivo 1 =10.18% Para obtener el espectro reducido de la figura 7 se utilizó el factor de amortiguamiento β ν (Castillo y Ruiz, 2010) la forma de evaluarlo aparece publicada en las Memorias de este congreso. 9.- Se calculó el cortante basal, con la ecuación Se revisó que el cortante basal calculado del modo 1(Vo 1 ) fuese menor que el valor de s multiplicado por el cortante basal del análisis del sistema convencional (Vo e ) (ver ecuación 9). Se aplicaron las ecuaciones 10, 11 y 12: Dado que T 1 =2.09seg. > T a =0.33seg., entonces se usó la ecuación: El cortante basal del Sistema Convencional (Vo e ) se consideró sólo para un marco, por lo tanto se dividió la fuerza total entre la que toman los 6 marcos que constituyen a la estructura Se obtiene el desplazamiento de fluencia (Xy), mediante un análisis estático no-lineal del sistema ("pushover", ver figura 8). 11

12 XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato Cortante basal (ton) Xy =20 cm pushover Desplazamiento (cm) Figura 8 Resultados del análisis estático no-lineal del edificio 12.- Se calculó la demanda de ductilidad (μ d ), y se comparó con el valor de μ e (supuesto en el paso 5) Como el valor de 1.28 no es cercano a 2, se supone un nuevo valor de y se repiten los pasos 5 al 12. Se realizaron las iteraciones que se presentan en la tabla 2. Tabla 2 Iteraciones desde los pasos 5 al 10 Iteraciones Ductilidad (μ e ) ζ efectivo (%) D azot (cm) Valores de inicio % % % % % % Enseguida se revisó el marco en dos instantes de respuesta: máximo desplazamiento y máxima velocidad. a) Máximo desplazamiento: Se calcularon las distorsiones, las fuerzas laterales y las cortantes de entrepisos (ver ecuaciones 15 a 17): b) Máxima Velocidad (Ů) (ver ecuaciones 18 y 19): Se calculan las fuerzas en los disipadores: 12

13 Ů Ů Ů. cos Ů Una vez obtenido el cálculo correspondiente al modo fundamental, se prosiguió con el cálculo correspondiente al segundo modo. Pasos para los modos superiores al fundamental 14.- Se aplicaron las expresiones 20 y 21, correspondientes al segundo modo Ů % 15.- Se repitieron los pasos 7, 8, 9 y 13 con la diferencia que se tomó C di = C di. Se verificó que se cumpliera la condición que el no fuese mayor que 35%. 5% 35% 14.37% 5% 35% 19.37% 35% (OK) Con la ductilidad supuesta se obtuvo el desplazamiento de azotea (X2 azot ) asociados al segundo modo (ver ecuación 5). a 2 se obtiene usando 19.37%, como se indica en la figura

14 XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato a' ( β ) 0.13 Q = 2 y ζ = 5% a' 2 = μ e = 1.17 y ζ efectivo2 = 19.37% T 2 = 0.67 s T ed ( s) Figura 9 Espectros de diseño. T s =0,7 seg, μ e =1.17 y ζ efectivo 2 = 19.37% Se calculó el cortante basal, con la ecuación 8. ; ; Se revisó el marco en dos instantes de la respuesta correspondiente al modo 2. a) Máximo desplazamiento: Se calcularon las distorsiones máximas de entrepiso, las fuerzas laterales y las fuerzas cortantes de entrepiso (ver ecuaciones 15 a 17), asociadas al segundo modo: b) Máxima Velocidad ( Ů ): Se calcularon las fuerzas en los disipadores asociadas al segundo modo: Ů Ů Ů. cos Ů

15 En este ejemplo se consideró 1 debido a que el amortiguamiento que se le adiciona a la estructura es bajo Como antes se indicó (paso 4) es suficiente considerar solo dos modos de vibración para estimar la respuesta máxima de la estructura. Combinación de modos y selección del disipador 17.-Se calcularon las combinaciones de las respuestas máximas modales. a) Respuesta en la etapa de máximo desplazamiento (se usan las ecuaciones 22, 23 y 24). Se empleó el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las contribuciones modales (SRSS), para estimar la respuesta total de fuerzas y desplazamientos. Se usó este método debido a que las frecuencias modales son suficientemente lejanas entre sí b) Respuesta en la etapa de máxima velocidad (se aplica la ecuación 25) Se seleccionaron los disipadores adecuados para cada nivel, con base en la fuerza del disipador ( ) y el desplazamiento máximos del disipador ( ). Los desplazamientos ( ) se calcularon utilizando la ecuación cos 27.6 ; DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS DE ENTREPISO En lo que sigue se presentan las distorsiones máximas de entrepiso de la estructura correspondientes a dos estados límite: estado límite de servicio y estado límite de colapso. Estas figuras se refieren al marco con disipadores viscosos no-lineales correspondientes al exponente a di =

16 XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato Entrepiso Distorsiones máximas de entrepiso Límite (NTCDS-2004) Sin disipadores ạ di =0.75 Figura 11 Distorsiones máximas de entrepiso correspondientes al estado límite de servicio Entrepiso Límite (NTCDS-2004) Sin disipadores.a di = Distorsiones máximas de entrepiso Figura 12 Distorsiones máximas de entrepiso correspondientes al estado límite de seguridad contra colapso. CONCLUSIONES Se presentó un método para el diseño de edificios con disipadores de energía viscosos no-lineales. El método se ejemplifica mediante la rehabilitación de un marco de acero con este tipo de disipadores. Se encontró que las distorsiones máximas de entrepiso se redujeron alrededor del 53% en promedio cuando se introdujeron disipadores viscosos no-lineales en la estructura (usando el exponente de no-linealidad igual a 0.75). REFERENCIAS Castillo Cruz, T. y Ruiz Gómez S. E. (2010), Regla para reducir las ordenadas espectrales para el diseño sísmico de estructuras con disipadores de tipo viscoso desplantados en el valle de México. XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, León, Guanajuato. Castillo Cruz, T. (2010), Método de análisis sísmico para estructuras con disipadores de energía, Tesis doctoral en proceso, Programa de Maestría y Doctorado en Ingeniería, Instituto de Ingeniería, UNAM. Claros Stark, E. y Ruiz Gómez S. E. (2009), Método modal espectral para la rehabilitación de edificios con disipadores viscosos, XVII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Puebla, Pue. 16

17 Claros Stark, E. (2009), Método simplificado para el análisis y rehabilitación de edificios utilizando disipadores de energía viscosos, Tesis de Maestría, Programa de Maestría y Doctorado en Ingeniería, Instituto de Ingeniería, UNAM. Chopra A. (2007), Dynamics of Structures. Theory and applications to earthquake engineering, Pearson Prentice Hall, New Jersey. USA. Departamento del Distrito Federal (2004), Normas Técnicas Complementarias para el Diseño y Construcción de Estructuras de Acero, México, D.F. Departamento del Distrito Federal (2004), Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo, México, D.F. Departamento del Distrito Federal (2004), Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones, México, D.F. FEMA-450, (2003), NEHRP Recommended provisions for seismic regulations for new buildings and other structures, Washington, D.C. USA. Meli, R. (2001), Diseño estructural, Editorial Limusa, primera reimpresión de la segunda edición, México. Paz, M. (1992), Dinámica Estructural. Teoría y cálculo, Editorial Reverté, S. A. Ramírez O., Constantinou M., Kircher C., Whittaker A., Johnson M. y Gómez J., (2001), Development and evaluation of simplified procedures for analysis and design of buildings with passive energy dissipation systems, Technical Report MCEER Buffalo, NY. USA. Ramírez O., Constantinou M., Kircher C., Whittaker A. y Chrysostomou C. (2002), Elastic and Inelastic Seismic Response of Buildings with Damping Systems, Earthquake Spectra, Vol. 18, No. 3, , Buffalo, NY. USA. Rivera Marquez V. (2010), Método simplificado para rehabilitación de edificios utilizando disipadores de energía viscosos no-lineales, Tesis de Maestría, Programa de Maestría y Doctorado en Ingeniería, Instituto de Ingeniería, UNAM. AGRADECIMIENTOS Se agradece el apoyo de la DGAPA-UNAM dentro del proyecto PAPIIT-IN