SELECTIVIDAD MURCIA MATEMÁTICAS II. e πi +1 = 0 MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II. Germán Ibáñez

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1 MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II MATEMÁTICAS II SELECTIVIDAD MURCIA e πi + = icosaedro octaedro cubo tetraedro 4 de febrero de 7 Germán Ibáñez dodecaedro

2 .

3 Índice general. Año Septiembre Junio Año 5.. Septiembre Junio Año Septiembre Junio mayores Año Septiembre Junio mayores 5 años Reserva Septiembre Reserva Reserva Año Septiembre Junio Muestra cn diciembre Año Septiembre Junio Año Septiembre Junio

4 8. Año Septiembre Junio Año Septiembre Junio Año Septiembre Junio Año Septiembre Junio Año Septiembre Junio Año Septiembre Junio

5 Selectividad Matemáticas II (Murcia) Año 6.. Septiembre 6 CUESTIÓN A. Considere la siguiente matriz A = a) Calcule el determinante de A. senα cosα cosα senα b) Calcule las potencias sucesivas A,A 3,A 4 y A 5. Calcule A 6. selcn Sep 6 Solución: senα cosα a) A = cosα senα = sen α cos α = senα cosα senα cosα b)a = cosα senα. cosα senα = = I 3 sen α+cos α sen α+cos α = A 3 = A A = I 3 A = A; A 4 = A 3 A = A A = I 3 ; A 5 = A 4 A = I 3 A = I 3 De esta forma A 6 = A 8 = ( A ) 8 = I 8 3 = I 3 CUESTIÓN A. Los puntos P = (,,),Q = (,,) y R = (,3,3) son tres vértices consecutivos del siguiente paralelogramo: P S Q R 3

6 4 Año 6 a) Calcule el área del paralelogramo. b) Determine el cuarto vértice del paralelogramo. selcn Sep 6 Solución: a) y b) Hallaremos primero el vértice S(x, y, z) pues el área pedida es área del paralelogramo determinado por PQ y PS y viene dada por el módulo del producto vectorial S = PQ PS Son iguales los vectores PQ = (,, ) = (,,) y SR = ( x,3 y,3 z) igualando coordenadas resulta: x =,y =,z =, luego S(,,) Resulta el vector PS = (,, ) = (,,) por tanto PQ PS i j k = = j+ k es el vector: (,,) cuyo módulo es + = 8. El área del paralelogramo es S = 8 CUESTIÓN A3. Dada la función f(x) = e x +x se pide: a) Estudie las asíntotas de la gráfica de f(x). b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los extremos relativos de la función. selcn Sep 6 Solución: a) Asíntotas horizontales: y = n n = lím f(x) = lím e x +x = e =, por la derecha + y por la izquierda x x Asíntota horizontal en y = por ambos lados Ya no se estudian las oblicuas. Respecto a las asíntotas verticales, valores de x que hagan infinita la y, vemos que no hay pues el denominador no se anula. b) Crecimiento y extremos: f (x) = e x +x x (+x ). Anulando queda x =, x = ± x - y + y ց ր ց MÍNIMO MÁXIMO CUESTIÓN A4. a) Calcule la siguiente integral indefinida b) Determine el valor de a > para que selcn Sep 6 Solución: a) e x (+e x ) dx = t = e x dt = e x dx dx = dt t = a e x (+e x ) dx e x (+e x ) dx = 4 (+t) dt = +t = +e x +C

7 . Septiembre 6 5 a e x b) (+e x ) dx = 4; e a = 3; a = ln3 [ ] a +e x = +e a + + +e = +e a + = 4 ; +e a = 4 ; + ea = CUESTIÓN B. x y z Sabiendo que = calcule razonadamente los siguientes determinantes: a) 3x y z x 4+y 6+z b) 3x 3y 3z selcn Sep 6 Solución: a) Como al multiplicar una línea por un número el determinante queda multiplicado por ese número, 3 y al intercambiar dos líneas cambia de signo 3x y z = 3 x y z 8 6 = 3 x y z 4 6 = x y z = b) Como si cada elemento de una determinada fila es igual a la suma de varios sumandos, el determinante es igual a la suma de los determinantes que se obtienen al sustituir dicha fila por los primeros sumandos, los segundos, etc. +x 4+y 6+z 3x 3y 3z = dos filas proporcionales vale = +x 4+y 6+z 3x 3y 3z + +x 4+y 6+z 3x 3y 3z el último tiene dos filas proporcionales vale = 3 como el dado por tanto el determinante es 3 = 6 CUESTIÓN B. +x 4+y 6+z = Como el último tiene = 4 6 3x 3y 3z + x y z 3x 3y 3z = Como que con dos intercambios de filas queda 4 6 x y z Considere el planoπ que pasa por el puntop = (,,) y tiene como vectores directores los x vectores v = (,,) y w = (,, ). Considere la recta r dada por r : = y + = z 3 a) Estudie la posición relativa de π y r. b) Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto Q = (,, ), es paralela a π y perpendicular a r. selcn Sep 6 Solución: a) Veamos si el vector dirección de la recta u = (,3,) es combinación lineal de los vectores dirección del plano:

8 6 Año 6 3 = 3 Por tanto la recta y el plano se cortan en un punto. b) La recta buscada es paralela a π por tanto su vector director es combinación lineal de v = (,,) y w = (,, ), es decir a v+b w = a(,,)+b(,, )= (a,b,a b), como ha de ser perpendicular al dirección de la recta, su producto escalar será cero: (a,b,a b) (,3,)= a+3b+a b= 4a+b = por tanto tomando a =,b = 4 obtenemos un vector que cumple todas la condiciones, es el vector v 4 w = (, 4,) La recta buscada que pasa por Q = (,, ) es por tanto CUESTIÓN B3. Considere la función dada por f(x) = a) Calcule lím f(x) y lím f(x) x x + x+ = y 4 = z + { a+ln( x) si x < x e x si x b) Determine el valor de a para que la función sea continua en todo R. selcn Sep 6 Solución: a) lím f(x) = lím (a+ln( x)) x x = a+ln(+ ) = lím f(x) = lím x + L Hôpital = lím x + x + x e x = e = = lím e x = x + x e x = L Hôpital x = lím x + e x = b) Para que sea continua en x = han de ser iguales los límites lím x f(x) y lím x + f(x) lím f(x) = lím x e x = x + x + lím x f(x) = lím (a+ln( x)) = a+ln = a x Por tanto es continua para a = CUESTIÓN B4. x 3 +x+ a) Calcule la siguiente integral indefinida dx x + b) Obtenga una primitiva F(x) de la función f(x) = x3 +x+ x + F() =. selcn Sep 6 Solución: x 3 ( +x+ a) x dx = x+ ) + x + dx = x +artanx+c que cumpla la condición b) F(x) = x + artanx + C, haciendo F() = resulta: + + C =. la primitiva buscada es F(x) = x +artanx+

9 . Junio Junio 6 CUESTIÓN A. Considere las matrices A = ( 4 ) y B = ( 4 3 a) Compruebe que ambas matrices son regulares (o invertibles) y calcule sus correspondientes matrices inversas. b) Determine la matriz X que cumple la ecuación AXB = A+B. selcn Jun 6 Solución: a) Para que una matriz tenga inversa el determinante ha de ser distinto de. A = 4+ = 6; B = 4 6 = La inversa es la adjunta de la traspuesta dividida por el determinante: ( ) ( 4 Hallamos A ; A = 8; A t = ; adj(a t ) = 4 B ; B = ; B t = ( 4 3 ) ( ; adj(b t ) = 3 4 ) ) ; A = ) ( / ; B = 3/ b) Resolvemos la ecuación AXB = A+B; A AXBB = A (A+B)B ( /6 /3 /6 /3 ) ) X = A (A+B)B = 6 ( 4 ( ) ( ) 4 8 /3 /3 = 6 5/3 4/3 ) ( 8 4 ) ( 3 4 ) = ( 4 6 ) ( 3 4 ) = CUESTIÓN A. Considere los puntos P = (,7,3),Q = (,,5) y R = (,,5). a) Calcule el área del triángulo PQR. b) Determine la ecuación general (o ímplícita) del plano que contiene al triángulo PQR. c) Calcule la ecuación (en cualquiera de sus formas) de la recta que pasa por P, está contenida en el plano que contiene al triángulo PQR y es perpendicular al lado QR. selcn Jun 6 Solución: a) El área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo que determinan los vectores RP = (3,9, ), RQ = (,4,), que viene dada por el módulo de su producto vectorial: RP RQ i j k = 3 9 = 8 i 4 j 6 k 4 Área triángulo = = 6 = 9 = 9 u b) Ya tenemos un vector ortogonal al plano el (8, 4, 6) y como solo necesitamos la dirección lo acortamos v = (4,, 3), por tanto el plano es π : 4x y 3z + D =, hacemos que pase por Q = (,,5) : D = ; D = 5. El plano por PQR es π : 4x y 3z +5 =

10 8 Año 6 c) La recta buscada r es perpendicular al vector v = (4,, 3) ortogonal de π y al vector RQ = (,4,), por tanto su vector dirección viene dado por v RQ i j k = 4 3 = i 6 j + k Tomamos 4 como vector dirección de r el (6, 3,) x = +6t Las ecuaciones paramétricas son: r : y = 7 3t z = 3+t CUESTIÓN A3. Calcule los siguientes límites: ( ) 4+x 4 x a) lím = x 4x senx( senx) b) lím x π/ cos x = selcn Jun 6 Solución: 4+x 4 x a) lím = x 4x (4+x) (4 x) lím x 4x( 4+x+ 4 x) = lím x { } operando con el conjugado = lím x 4x( 4+x+ 4 x) = 6 = 8 ( 4+x 4 x)( 4+x+ 4 x) x 4x( 4+x+ 4 x) { } senx( senx) b) lím x π/ cos = x L Hôpital cosx senxcosx senx = lím = lím x π/ cosxsenx x π/ senx = CUESTIÓN A4. a) Calcule la siguiente integral indefinida x+ (x +x+) dx b) Determine el área del recinto limitado por el eje OX, las rectas verticales x = y x+ x =, y la gráfica de la función f(x) = (x +x+) selcn Jun 6 Solución: x+ a) (x +x+) dx = { es potencial} = (x+)(x +x+) dx = (x +x+) = x +x+ +C b) Como la función es siempre positiva en el intervalo de integración el área viene dada por la integral definida: [ ] x+ S = (x +x+) dx = x = +x+ 4++ = 7 + = 6 u 7 CUESTIÓN B. Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: x+3y +z = 5 ax+z = ay z = a a) Determine para que valores del parámetro a el sistema tiene solución única. Calcule dicha solución para a =. =

11 . Junio 6 9 b) Determine para que valor del parámetro a el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. c) Determine para que valor del parámetro a el sistema no tiene solución. selcn Jun 6 Solución: Primero estudiamos el sistema, para ello hacemos el determinante de la matriz de coeficientes: 3 M = a a = a +a que se anula para: a =,a = Para a y a rango(m) = 3 = rango(a) = número de incógnitas, sistema compatible determinado. Para a = la matriz ampliada es 3 5 A = es evidente que el rango de M y de A es por tanto Para a =, rango(m) = = rango(a) < 3 = número de incógnitas, sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Para a = la matriz ampliada es 3 5 A =, el menor: por tanto 3 5 Para a =, rango(m) = < 3 = rango(a) sistema incompatible. a) Para a = el sistema es compatible determinado: por Cramer: 5 3 x = = 4 = ; y = 5 x+3y +z = 5 x+z = y z = = 4 = ; z =, M = 3 5 = = b) Como hemos visto para a = tiene infinitas soluciones dependientes de un parámetro, el sistema queda: x+3y+z = 5 +z = z = ;z = ; x = 5 3y. Por tanto la solución es x = 5 3t,y = t,z = ;t R c) Por lo ya estudiado el sistema no tiene solución para a = CUESTIÓN B. Considere los puntos P = (,,),Q = (,,)yr = (,,). a) Estudie si el triángulo PQR es o no rectángulo en el vértice P. b) Dado el punto S = (,,3), calcule el volumen del tetraedro de vertices P, Q, R y S. selcn Jun 6 Solución: a) Consideramos los vectores PQ = (,,), PR = (,,)

12 Año 6 Como el producto escalar PQ PR = concluimos que no son ortogonales, por tanto el triángulo no es rectángulo en P. b) Es el volumen del tetraedro que determinan los vectores PQ, PR, PS = (,,3), que es el producto mixto dividido por seis. V = 6 3 = 8 6 = 4 3 u3 CUESTIÓN B3. El numero de personas, medido en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa viene dado por la función 9x f(x) =, donde x es el tiempo transcurrido, medido en dias, desde que se x +x+9 inicio el contagio. a) Cual es el numero de personas enfermas el cuarto día? b) Que día se alcanza el máximo numero de personas enfermas? Cual es ese numero máximo?. c) Puede afirmarse que la enfermedad se irá erradicando con el paso del tiempo? Razone la respuesta. selcn Jun 6 Solución: 9 4 a) Es f(4) = = = 9 mil b) Derivamos:f (x) = 9x 8 (x +x+9) = ; 9x 8 = ; x = 9;x = ±3, f(3) = 45, exactamente 5 personas es el númmero máximo. 4 x 3 y + y ր ց MÁXIMO 9x c) Tenemos que lím f(x) = lím x + x + x = pues el infinito de denominador es más potente, se +x+9 podría hacer más explícito dividiendo numerador y denominador por x. Por tanto se puede afirmar que la enfermedad se erradicará con el paso del tiempo. CUESTIÓN B4. a) Calcule la siguiente integral indefinida x e x dx b) Obtenga una primitiva F(x) de la funcion f(x) = x e x que cumpla la condición F() =. selcn Jun 6 Solución: { } u = x a) Es integral por partes x e x du = xdx dx = dv = e x dx v = e [ ] x x e x xe x e x dx = x e x xe x +e x +C = x e x xe x dx = { u = x du = dx dv = e x dx v = e x } = b) F() = e +C = e+c = ; C = e, la primitiva buscada es F(x) = x e x xe x +e x + e

13 Selectividad Matemáticas II (Murcia) Año 5.. Septiembre 5 CUESTIÓN A. Considere las siguientes matrices: ( ) ( ) A = y B = a) Calcule C = A t A B B t, donde A t y B t denotan, respectivamente, las matrices traspuestas de A y B. b) Halle una matriz X tal que X C = D, siendo D = 4 4 selcn Sep 5 Solución: a) C = A t A B B t = ( ) ( b) X C = D; X = D C ) ( Hallamos C ; C = ; C t = X = D C = CUESTIÓN A. 4 4 ) ( ) ( = ( ( / ) ( ) ( ; adj(c t ) = ) = ) = ( ) ) ( / ; C = Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por el vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. a) Calcule los puntos medios de los tres lados del triángulo de vértices A = (5,3,6),B = (,,) y C = (5,7,4). b) Calcule las ecuaciones de las tres medianas de dicho triángulo. c) Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto. )

14 Año 5 A = (5,3,6),B = (,,) y C = (5,7,4) selcn Sep 5 Solución: a) Punto medio de AB = M AB = (,,4) Punto medio de AC = M AC = (5,5,5) Punto medio de BC = M BC = (,3,3) b) Mediana de A: punto A = (5,3,6), vector dirección M BC A = (3,,3); tomamos (,,) m A = x = 5+t y = 3 z = 6+t Mediana de B: punto B = (,,), vector dirección x = +s y = +s z = +s Mediana de C: punto C = (5,7,4), vector dirección x = 5+v y = 7+v z = 4 M AC B = (6,6,3); tomamos (,,) m B = M AB C = (3,6,); tomamos (,,) m C = c) Hallemos el posible punto de corte igualando la última coordenada z y comprobemos que cumple todas las igualdades: { +s = 4 resulta t = ;s = 6+t = 4 Resulta el punto donde se cortan (3,3,4) del que se deduce que v = y pertenece a todas las medianas. CUESTIÓN A3. Calcule los siguientes límites: ( )x +5 x 6 x+3 a) lím = x + x+ b) lím x + ( x x ) = selcn Sep 5 Solución: a) lím e x + lím x + b) lím x + ( ) x +5 x 6 lím x+3 = { } = e ( x+ x ) ( ) +5 7 x+3 x+ = e lím x + ( x ) x = lím x x + x = x + ( x ) ( ) +5 x 6 x+3 x+ 7x 35 x+ +4x+3 = e 7 { } + = + = e lím x + ( x ) +5 x+3 ( ) x 6 x x+ = CUESTIÓN A4. a) Calcule la integral indefinida tan (x) dx b) De todas las primitivas de la función f(x) = tan (x), encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (π/4,). selcn Sep 5 Solución: a) Se utiliza la fórmula de trigonometría: +tan x = cos x

15 . Septiembre 5 3 tan xdx = ( ) cos x dx = tanx x+c b) F(X) = tanx x+c; F( π 4 ) = ;tan π 4 π 4 +C = ; π 4 +C = ; C = π 4 La primitiva es F(X) = tanx x+ π 4 CUESTIÓN B. Se dice que una matriz cuadrada A es idempotente si cumple que A = A. a) SiA es una matriz idempotente, calcule razonadamente A 5. b) Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es idempotente a a A = a a b selcn Sep 5 Solución: a)a = A; A 3 = A A = A A = A; A 5 = A b) A = a a a a b a a a a b = Para que sea idempotente tiene que ser : { a = a = a;a a = ; a = ; b = b;b b = ; CUESTIÓN B. a a a a b { b = b = Considere la recta r y el plano π dados por las ecuaciones siguientes r : x = y 3 4 = z y π : x y +z = 3 5 a) Compruebe que la recta r es paralela al plano π y calcule la distancia entre ellos. b) Determine la recta que pasa por el punto P = (,,) y es perpendicular al plano π. Calcule la intersección de dicha recta con el plano π. selcn Sep 5 Solución: Vamos a obtener un punto y un vector dirección de la recta: r : Además el vector w = (,, ) es ortogonal a π. { Q(,,) v = (3,4,5) a) El producto escalar v w = = indica que el vector ortogonal a π es ortogonal a r, luego r y π son paralelos o coincidentes. Para hallar la distancia de r y π basta hallar la distancia de un punto de r a π. 3+ d(r,π) = d(q,π) = = 5, luego son paralelos +( ) + 6 b) La recta s que pasa por P = (,,) buscada tiene como vector dirección a w = (,,), luego en x = t paramétricas es: s : y = t z = +t

16 4 Año 5 Para hallar la intersección de s con π, sustituimos s en π: +t ( t)++t = 3; 6t = 6;t =, x = + el punto intersección se obtiene sustituyendo en r, s : y = Es el punto (,,) z = CUESTIÓN B3. Calcule los máximos y los mínimos de las siguientes funciones: a)f(x) = xln(x), con x >. b) g(x) = x, con x R. ex selcn Sep 5 Solución: a) f (x) = ln(x)+ =, x = /e, x e y + y ր ց MÁXIMO Sustituyendo f(/e) = /e resulta que hay un máximo en (/e, /e) b) g (x) = (x x )e x, x =,x =, x y + y ց ր ց MÍNIMO MÁXIMO Sustituyendo g() =, g() = 4 e resulta que hay máximo en (,) y mínimo en (, 4 e ) CUESTIÓN B4. a) Calcule la integral indefinida ln(+x ) dx b) De todas las primitivas de la función f(x) = ln(+x ), encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (, ). selcn Sep 5 Solución: a) ln(+x u = ln(+x ) dx = ); du = x +x dx dv = dx; v = x = x ln(+x ) ( x ln(+x ) ) +x dx = x ln(+x ) x+artanx+c x dividiendo: +x dx = cociente = resto = - = b) Buscamos que F(x) = x ln(+x ) x+artanx+c pase por el punto (, ) F() = +C = La primitiva buscada es F(x) = x ln(+x ) x+artanx

17 . Junio Junio 5 CUESTIÓN A. a) Discuta, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: x+y +az = x+ay +z = a ax+y +z = b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a =. selcn Jun 5 Solución: Hacemos el determinante de la matriz de coeficientes: a M = a a = a3 +3a que se anula para: a =,a = Para a y a rango(m) = 3 = rango(a) = número de incógnitas, sistema compatible determinado. x+y +z = Para a = el sistema queda x+y +z = es evidente que el rango de M y de A es por x+y +z = tanto Para a =, rango(m) = = rango(a) < 3 = número de incógnitas, sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones dependientes de dos parámetros. Para a = la matriz ampliada es A =, el menor: por tanto = Para a =, rango(m) = = rango(a) < 3 = número de incógnitas, sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. x+y = b) Para a = queda el sistema: x+z = y +z = x =, de solución: y = z = CUESTIÓN A. Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos A = (,,),B = (3,4,) y C = (5,, ). El cuarto vértice D está en la recta r que pasa por el punto (,, 3) y tiene como vector director el vector (,,). a) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta r. b) Calcule las coordenadas del vértice D para que el volumen del tetraedro sea 9. selcn Jun 5 Solución: x = t a) r : y = +t t R z = 3+t b) El tetraedro de vértices A,B,C,D viene dado por los vectores AD = ( t,+t,3 + t) = ( t,+t,3+t), AB = (,3,), AC = (3,,)

18 6 Año 5 El volumen viene dado por V = 6 [ AD; AB, AC] [ AD; AB, AC] = t +t 3+t 3 3 = 7 9t luego 7 9t = 6 9;±( 7 9t) = 54 { 7 9t = t = 54 { t = 9 t = 3 { D(, 7, 6) D (,5,6) CUESTIÓN A3. a) Calcule lím x +e /x +e /x b) Calcule lím x + +e /x +e /x c) Es continua la función f(x) = +e/x en x =? Justifique la respuesta. +e/x selcn Jun 5 Solución: +e /x { } +e a) lím x +e = + = = /x +e + +e /x { } b) lím x + +e = e /x x e /x e /x = lím /x L Hôpital x + e /x = lím = lím x x + e/x x + (e /x ) = lím { } = x + e /x = c) Los límites laterales en x = no coinciden y la función no está definida en x =, hay discontinuidad de salto finito. CUESTIÓN A4. a) Calcule la integral indefinida x artanx dx b) De todas las primitivas de la función f(x) = x artanx, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (, ). selcn Jun 5 Solución: a) x artanxdx = ( ) +x dx = x artanx x+artanx+c u = artanx; du = +x dx dv = xdx; v = x = x artanx b) Buscamos que F(x) = x artanx x+artanx+c pase por el punto (, ) F() = artan +artan+c = ; +C = ;C = La primitiva pedida es F(x) = x artanx x+artanx CUESTIÓN B. x +x dx = x artanx Se dice que una matriz cuadrada A es involutiva si cumple que A = I, donde I denota la matriz identidad. a) Justifique razonadamente que toda matriz involutiva es regular (o invertible). b) Determine para qué valores de los parámetros a y b la siguiente matriz es involutiva selcn Jun 5 Solución:

19 . Junio 5 7 a) Una matriz tiene inversa cuando su determinante no es. Como el determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de los determinantes A = A A = A A = A = I = pone de manifiesto que en una matriz involutiva A = b) A A = I a a a a b a a a a b = a a b = Por tanto a =,a = ± ; b = ;b = ± CUESTIÓN B. Considere la recta r y el plano π dados por las ecuaciones siguientes: r : x = y + = z y π : x+y +z = 7 a) Compruebe que la recta r corta al plano π y calcule el ángulo que forman. b) Determine el plano que pasa por el punto P = (, 3,3), es paralelo a la recta r y es perpendicular al plano π. selcn Jun 5 Solución: a) Un vector dirección de la recta r es v = (,,); un vector ortogonal al plano π es w = (,,), el producto escalar de los dos es v w = + = 3, luego no son ortogonales por tanto la recta no es paralela al plano y en consecuencia podemos afirmar que se cortan. Veamos el ángulo cos(α ) = v. w v. w = 3 = 6. 6 ; arcos = 6 El ángulo es es complementario r,π = 9 6 = 3 b) El plano que pasa por el punto P = (, 3,3), es paralelo a la recta r y es perpendicular al plano π. viene dado por: x y +3 z 3 = 3x+3y+3z +6 =. El plano buscado es x y z = CUESTIÓN B3. Considere la función dada por: f(x) = { x +ax 3 si x ln(x )+b si x > Determine los valores de los parámetros a y b para los cuales la función f(x) es continua y derivable en todo R. selcn Jun 5 Solución: Es continua y derivable siempre por ser resultado de operaciones entre funciones continuas y derivables en sus trozos salvo quizá donde se parte el dominio que es en x =, vamos a estudiar los límites laterales: lím x f(x) = lím +ax 3) = a x (x lím x + f(x) = lím x + ln(x )+b = b

20 8 Año 5 Como f() = a, para que sea continua ha de ser a = b Veamos los límites laterales en x = de la función derivada para que coincidan: { { x+a si x x+a si x f (x) = x x si x > = x si x > lím x f (x) = lím x x+a = +a lím f (x) = lím x + x + x = Para que coincidan a =, por tanto para que sea continua b = y entonces: { x 3 si x f(x) = ln(x es continua y derivable en todo R. ) si x > CUESTIÓN B4. Considere el recinto limitado por la gráfica de las funciones f(x) = senx y g(x) = tanx en el primer cuadrante del plano XY de la figura. a) Determine los puntos de corte de dichas gráficas. b) Calcule el área de dicho recinto. selcn Jun 5 Solución: a) senx = tanx; senx = senx senx ; senx = ; senx( cosx cosx cosx ) = senx = ; x = cosx = ; cosx = ; x = π 3 b)s = π/3 (f g) dx = π/3 senx senx dx = [ cosx+ln cosx ]π/3 = cos(π/3)+ln(cos(π/3)) cosx ( cos+ln(cos) = +ln + ln = +ln = 368

21 Selectividad Matemáticas II (Murcia) 3 Año Septiembre 4 CUESTIÓN A. a) Compruebe que la matriz A = matriz inversa. ( 3 ), es regular (o inversible) y calcule su b) Resuelva la ecuación matricialaxa = B, siendoala matriz anterior yb = OJO!: El producto de matrices NO es conmutativo. selcn Sep 4 Solución: ( 5 3 a) Una matriz es invertible si su determinante no es cero, en nuestro caso: A = 3+ = La matriz inversa es la adjunta de la traspuesta dividida por el determinante de la matriz: A = A [adj(at )] A t = ( 3 ) ( 3 ; adj(a t ) ) ( 3 ; A = b) Primero despejamos X: AXA = B; AXA A = B A ; AX = B A ; A AX = A B A ; X = A B A ( ) ( ) ( ) A B = = ( ) ( ) ( ) A B A = = CUESTIÓN A. a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a: { x+3y = 8 r : s : x 4y +z = 7 = y a 4 = z +6 5a 6 b) Para el valor del parámetro a = 4 determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas. selcn Sep 4 Solución: Vamos a obtener un punto y un vector dirección de cada recta: 9 ) )

22 Año 4 r : r : { x+3y = 8 4y +z = resolviendo el sistema dejando y como parámetro: r : { P(8,,) v = ( 3,, 4); o mejor v = (3,,4) s : { Q(,, 6) w = (7,a 4,5a 6) x = 8 3y y = y x = 4y por tanto: Estudiamos el rango de la matriz formada por los dos vectores: ( ) 3 4 Anulamos los dos menores: 7 a 4 5a a 4 = 3a +7=;a = 5 3 ; a 6 = 5a 8 8 = ;a = 46 5 Por tanto a R el rango es dos, nunca son paralelos, por tanto las rectas se cruzan o se cortan. (También se podría haber visto que la proporcionalidad de los vecores: 3 7 = a 4 = 4 es imposible 5a 6 para cualquier valor de a) Para que se corten ha de ser ran( QP, v, w) =. Basta anular el determinante de la matriz que forman: = 4a+96 = ;a = 4 7 a 4 5a 6 Resumiendo: Para a = 4, las rectas se cortan; para a 4 las rectas se cruzan. x = 7t b) Para a = 4, la recta s queda: s : y = z = 6+4t Que sustituyendo en la primera igualdad de r resulta: 7t = 8; t = 8, sustituyendo este valor en s 7 x = 8 obtenemos: s : y =. z = 6+6 El punto de corte de las dos rectas es (8,,) CUESTIÓN A3. Dada la función f(x) = ax+b x, determine los valores de los parámetros a y b sabiendo que f(x) cumple las siguientes propiedades: a) f(x) alcanza su máximo en el punto de abscisa x = ; b) La gráfica de f(x) pasa por el punto (49,9). selcn Sep 4 Solución: a) f (x) = a+ b x ; f () = ; a+ b = ;a+b = b) f(49) = 9; 49a+b 49 = 9; 49a+7b = 9 Despejandoben la primera y sustituyendo en la segunda queda:49a 7 a = 9; 9a = 9; a =. Resulta: f(x) = x+ x CUESTIÓN A4. a) Calcule la integral indefinida artanx dx b) De todas las primitivas de la función f(x) = artanx, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (,3).

23 3. Septiembre 4 selcn Sep 4 Solución: a) artanxdx = u = artanx; du = +x dx dv = dx; v = x x +x dx = xartanx ln(+x )+C = xartanx x dx = xartanx +x b) Buscamos que F(x) = xartanx ln(+x )+C pase por el punto (,3) F() = artan ln(+ )+C = 3; ln+c = 3;C = 3 La primitiva pedida es F(x) = xartanx ln(+x )+3 CUESTIÓN B. a) Discuta, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: ax+z = ay z = a x y +z = b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a =. selcn Sep 4 Solución: Hacemos el determinante de la matriz de coeficientes: a M = a = a 3a que se anula para: a =,a = 3 Para a y a 3 rango(m) = 3 = rango(a) = número de incógnitas, sistema compatible determinado. Para a = la matriz ampliada es A =, es evidente que el rango de M y de A es por tanto Para a =, rango(m) = = rango(a) < 3 = número de incógnitas, sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Para a = 3 la matriz ampliada es 3 A = 3 3, el menor: por tanto el rango de M es y el de A es 3 luego: = 9 Para a =, rango(m) = < 3 = rango(a), sistema incompatible. +z = b) Para a = queda el sistema: z = x y+z = x = t de solución: z =,y = x; o sea: y = t t R z =

24 Año 4 CUESTIÓN B. Considere la recta r y el plano π dados por las ecuaciones siguientes: r : x = y = z + y π : 7x y = 8 a) Compruebe que la recta r corta al plano π y calcule el ángulo que forman. b) Determine el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π. selcn Sep 4 Solución: a) Un vector dirección de la recta r es v = (3, 4,); un vector ortogonal al plano π es w = (7,,), el producto escalar de los dos es v w = +4 = 5, luego no son ortogonales por tanto la recta no es paralela al plano y en consecuencia podemos afirmar que se cortan. Veamos el ángulo cos(α ) = v. w v. w = 5 = ; arcos = El ángulo es es complementario r,π = 9 45 = 45 b) El plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π viene dado por: x y +4 z = (z +)( 3+8) =. El plano buscado es z = 7 CUESTIÓN B3. Calcule los siguientes límites: ( ) x 3 a) lím x x 5 x x b) lím x xlnx+ x (x ) = selcn Sep 4 Solución: ( x ) 3 a) lím x x 5 x x b) lím x xlnx+ x (x ) = CUESTIÓN B4. (x )(x 3) x (x 5) = lím x (x 5)(x ) } { L Hôpital lnx+ x x = lím { = x (x ) L Hôpital 3x 3x 6 = lím x x 7x = 3 } x = lím = x a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = lnx x b)calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = e y x = e selcn Sep 4 Solución: lnx a) x dx = (lnx) (lnx) dx = = ln x +C x b) f(x) = lnx x es negativa en [ ) e, y positiva en (,e], por tanto hay que hacer dos integrales:

25 3. Septiembre 4 3 e e [ ln x = [ ln x = ] = ln e ]e = ln e ln e ln = ( ) = Por tanto el área pedida es S = u =

26 4 Año Junio 4 CUESTIÓN A.: Sabiendo que x y z = 4, calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los 4 siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando. 3x 3y 3z x y z a) b) 3x 3y + 3z +4 x+ y + z +. selcn Jun 4 Solución: a) 3 3x 3y 3z x y z 4 = Al multiplicar una fila por un número el determinante queda multiplicado por ese número. = 3 4 = 6 = 3 x y z = 3 x y z 4 = Si se permutan entre sí dos filas de un determinante éste cambia de signo. = b) x y z 3x 3y+ 3z +4 x+ y + z + x y z 4 = 8. = a - a. 3 3 a - a ; Un determinante es igual al que resulta de sumar a una fila una combinación lineal de las restantes, es decir, una suma de esas filas multiplicadas por números. = x y z 4 = x y z 4 = CUESTIÓN A.: a) Determine para qué valor del parámetro a la recta r : es perpendicular al plano π : 6x+ay +z =. { x+y +z = x y +z = b) Demuestre que si a = 8 la recta r corta al plano π en un punto y calcule dicho punto de corte. selcn Jun 4 Solución: a) La recta viene dada como intersección de planos, pasamos la recta a paramétricas resolviendo el sistema de dos ecuaciones y tres incognitas: { x+y = z Pasando z al segundo miembro para que quede como parámetro: r : sumando queda x y = z y = z;y = +z, sustituyendo en la primera x = z y = z ( +z)= 3z, resulta: x = 3t r : y = +t z = t

27 3. Junio 4 5 Para que la recta r y el plano π sean perpendiculares el vector dirección de aquella ( 3,,) y el vector ortogonal de éste ( 6,a,) han de ser paralelos o sea proporcionales: 6 3 = a = por tanto la recta r y el plano π son perpendiculares cuando a = 4 b) Sustituimos las paramétricas de r en la ecuación de π : 6x 8y + z = 6( 3t) 8( + t) + t = resulta t = ; sustituyendo en las paramétricas resulta que el punto de corte es (,,) CUESTIÓN A.3: Dada la función f(x) = ex, se pide: x a) Dominio de definición y cortes con los ejes. b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas). c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos). d) Representación gráfica aproximada. selcn Jun 4 Solución: a) Dominio de definición R {} cortes con eje OX : y = ; ex x nunca se anula, no hay. corte con eje OY : x = no hay. b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas). Verticales: e x lím x f(x) = lím x x = e x lím f(x) = lím x + x + x = Asíntota vertical x = Horizontales: y = n n = lím f(x) = lím x x e x x = { L Hôpital } e x = lím x =, no hay por la derecha e x n = lím f(x) = lím x x x = = asíntota horizontal y = por la izquierda. Como lo dice explícitamente veamos oblicua por la derecha que sería la única posibilidad pues por la izquierda hay horizontal: y = mx + n f(x) m = lím x x = lím e x { x x = L Hôpital } e x = lím =, no hay por la derecha x x c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos). f (x) = ex (x ) x = ;x = x y + y ց ր MÍNIMO d) Representación gráfica aproximada.

28 6 Año CUESTIÓN A.4: a) Calcule la integral indefinida tan xdx b) De todas las primitivas de la función f(x) = tanx, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas (,). selcn Jun 4 Solución: a) tanxdx = senx dx = logarítmica = cosx senx dx = ln cosx +C cosx b) F(x) = ln cosx +C; pasa por (,), F() =, ln cos +C =, ln+c =, C = la primitiva buscada es g(x) = ln cosx + CUESTIÓN B.: a) Discuta el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro a: ax+3y +z = a x+ay +az = x+y z = b) Si es posible, resuélvalo para el valor de a =. selcn Jun 4 Solución: Hacemos el determinante de la matriz de coeficientes: a 3 M = a a = +a+4 que se anula para: a =,a = Para a y a rango(m) = 3 = rango(a) = número de incógnitas, sistema compatible determinado. Para a = la matriz ampliada es 3 A =, la última columna es la anterior cambiada de signo, luego el rango de M y de A es por tanto Para a =, rango(m) = = rango(a) < 3 = número de incógnitas, sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Para a = la matriz ampliada es 3 A =, la última columna es la primera, luego el rango de M y de A es por tanto Para a =, rango(m) = = rango(a) < 3 = número de incógnitas, sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones dependientes de un parámetro.

29 3. Junio 4 7 b) Para a = queda: x+3y +z = x y z = x+y z = Restando las dos últimas resulta y = ; y =, pasando z al otro miembro como parámetro, la última queda: x = +z, la solución del sistema resulta: x = +t y = z = t,t R CUESTIÓN B.: Dos de los tres vértices de un triángulo son los puntos A = (,,) y B = (,,3). El tercer vértice C está en la recta r que pasa por los puntos P = (,,) y Q = (,,). a) Determine la ecuación de la recta r. b) Calcule las coordenadas del vértice C para que el área del triángulo sea 5 unidades cuadradas. Observación: Hay dos soluciones. selcn Jun 4 Solución: a) Vector dirección de r : PQ = (,,); Tomamos como punto Q r : x = t y = z = b) Un punto X de la recta tiene de coordenadas (t,,) el área del triángulo de vértices A,B,X viene dado por la mitad del módulo del producto vectorial AB AX AB AX i j k = = ( i j(t )) = ( i+(t ) j) t La mitad del módulo es +(t ) = { t = 4 5; +t t+ = 5; t = + 4 La posibles soluciones son punto C( 4,,) el punto C (+ 4,,) CUESTIÓN B.3: Dada la función f(x) = xlnx x, se pide: a) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Calcule la ecuación de dicha recta. b) Determine el punto de la gráfica de f para el cual la recta tangente es paralela al eje OX. Calcule la ecuación de dicha recta. selcn Jun 4 Solución: a) La bisectriz del primer cuadrante es y = x, por tanto hemos de buscar el punto donde la derivada valga. f (x) = lnx+x = lnx = x f(e) = elne e = Por tanto la derivada es paralela a la bisectriz del primer cuadrante en el punto (e,). La recta pedida es : y = x e b) Buscamos el punto donde la derivada valga :

30 8 Año 4 f (x) = lnx+x = lnx = x f() = ln = La recta pedida es : y = CUESTIÓN B.4: a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = xcosx. b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = xcosx y el eje de abscisas entre x = y x = π. selcn Jun 4 Solución: { } u = x du = dx a) xcosxdx = dv = cosx v = senx = x.senx senxdx = x.senx+cosx b) Como la función pasa de positiva a negativa en π, integramos cada trozo: S = S : π π π xcosxdx = [x.senx+cosx] π = π.sen π +cos π (.sen+cos) = π xcosxdx = [x.senx+cosx] π π El área total es: S = π = π.senπ+cosπ ( π.sen π +cos π ) = π ; S = π mayores 4 CUESTIÓN A.: a) Calcule, utilizando el método que estime más adecuado, el rango de la matriz A = a 3 a 4 en función del parámetro a. 5a b)resuelva el siguiente sistema de ecuaciones: x+3y +3z = x+y +4z = x+y = y z = selcn mayores 4 Solución: a 3 a) A = a 4 5a a 3 a 4 5a a 3 a 4 en al cálculo del rango. = 5 5a Anulamos: 5 5a = para a = ± = Por tanto la 4a fila es combinación lineal de las dos primeras y la podemos eliminar

31 3.3 mayores 4 9 Por tanto: Para a ± rango 3. Para a = rango Para a = rango b) El sistema es homogéneo, como hemos visto para a =, el rango de la matriz de coeficientes es 3, igual al número de incógnitas por tanto tiene solo la solución trivial x =,y =,z =. CUESTIÓN A.: a) Determine la recta que pasa por el punto P = (,,3) y es perpendicular al plano x = 3 λ+µ π : y = λ+µ, λ,µ R z = +λ µ b) Calcule la distancia del punto P al plano π. selcn mayores 4 Solución: a) Hallamos primero la ecuación general deπ: π : v = (,,) x = t Recta r : y = +t z = 3 t R x 3 y z +3 b) Distancia del punto P al plano π, d(p,π) = = ( ) + = x+y+3 = vector ortogonal: CUESTIÓN A.3: Dada la función f(x) = x x a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes. b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas). c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. d) Representación gráfica aproximada. selcn mayores 4 Solución: a) Dominio R {} Corte con OX: y =, x =. Corte con OY el mismo

32 3 Año 4 b) Asíntotas verticales: en x = x lím x f(x) = lím x x = x lím x +f(x) = lím x + x = + Asíntotas horizontales: lím f(x) = lím x x Asíntotas oblicuas: y = mx + n m = lím x f(x) x = lím x n = lím f(x) mx = lím x x Asíntotas oblicuas: y = x+ c) f (x) = x 4x x x(x ) = x x (x ), x 4x = x 4 y + + y ր ց ր MÁXIMO MÍNIMO x =, no hay x x x +x x = lím x x { x = x = 4 = d) CUESTIÓN A.4: a) Calcule la integral indefinida x senx dx b) Aplicando el apartado anterior, calcule la integral definida π/ x senx dx. selcn mayores 4 Solución: { } u = x a) Es integral por partes x du = xdx senx dx = = x cosx+ xcosxdx = dv = senxdx v = cosx { } u = x du = dx = x cosx+xsenx senxdx = x cosx+xsenx+cosx+c dv = cosxdx v = senx π/ b) x senx dx = [ x cosx+xsenx+cosx ] π/ π ) cos π = ( + π sen π + cos π (cos) = π CUESTIÓN B.: Las edades de un hijo, su padre y su abuelo cumplen las siguientes condiciones: La suma de las edades del hijo, del padre y el doble de la del abuelo es 8 años. El doble de la edad del hijo más la edad del abuelo es años. La edad del padre es el doble de la del hijo. a) Plantee un sistema de ecuaciones con las condiciones descritas en el enunciado para averiguar la edad de cada uno de ellos. b) Resuélvalo. selcn mayores 4 Solución: x= edad del hijo, y= edad del padre, z= edad del abuelo

33 3.3 mayores 4 3 x = x+y +z = 8 x+z = y = x 8 CUESTIÓN B.: = 8, y = x+y +z = 8 x+z = x+y = 8 A = 8 = 36, z = 8, M = = 64 a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a: x = +λ r : y = aλ λ R; s : x a = y + = z z = 3+λ b) Para el valor del parámetro a = determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas. selcn mayores 4 Solución: { R(,,3) a) r : r = (, a,) ; s : a a = a +3a =,a = Nunca pueden ser paralelas { S(,,) s = (a,,) { Para a, rango[ r, s, RS] = 3, las rectas se cruzan. Para a =, se cortan Para a =, se cortan b)r : x = +λ y = λ z = 3+λ t R; s : x = y + = z RS = (,, ) Como sabemos que se cortan basta sustituir las paramétricas de r en la primera igualdad de s: x = x = y +; +λ = λ+; λ = ; y = El punto es (,,) z = CUESTIÓN B.3: a) Demuestre que la distancia del punto (4,) a un punto de la gráfica de la función y = x viene dada por la siguiente expresión: f(x) = (x 4) +x b) Determine el punto P = (x,y) de la gráfica anterior que minimiza la distancia al punto (4,). selcn mayores 4 Solución: a) Sea Q(4,) Los puntos P = (x,y) de la gráfica de y = x tienen de coordenadas P(x, x) d(qp) = PQ = (x 4) +(y ) = (x 4) +( x) = (x 4) +x =

34 3 Año 4 b) d(qp) = f(x) = (x 4) +x = x 7x+6 Anularemos la derivada f (x) = x 7/ y + y ր ց MÍNIMO El punto es ( 7, 7 CUESTIÓN B.4: a) Calcule la integral indefinida ) x 7 el estudio del crecimiento muestra que: x 7x+6 x + x dx b) Aplicando el apartado anterior, calcule la integral definida selcn mayores 4 Solución: a) x + x dx = t = x dt = x dx = t dx dx = tdt == t+ln t+ = x x+ln x+ x b) + x dx = [ x x+ln x+ ] = +ln t dt = dividiendo +t x + x dx (t + t )dt = t+

35 Selectividad Matemáticas II (Murcia) 4 Año Septiembre 3 CUESTIÓN A.: Clasifique y resuelva, si es posible, el siguiente sistema de ecuaciones: x+3y +z = x+y +z = 4x+5y +z = selcn Sep 3 Solución: El determinante de la matriz de coeficientes es M = Por tanto el rango de M es La matriz ampliada es: A = = la última columna es igual a la anterior por tanto: rango de M = = rango de A < 3 = número de incógnitas. El sistema es compatible indeterminado con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Para resolverlo pasamos por ejemplo la z al segundo miembro como parámetro: { x+3y = z x+y = z restando queda y =, y entonces x = z Solución: x = z,y =,z R CUESTIÓN A.: Tres de los cuatro vértices de un tetraedro son los puntos A = (3,4,), B = (,,) y C = (5,,). El cuarto vértice D está en la recta r que pasa por los puntos (,,3) y (,4,5). a) Determine la ecuación de la recta r. b) Calcule las coordenadas del vértice D para que el volumen del tetraedro sea 6 unidades cúbicas. 33

36 34 Año 3 Observación: Hay dos soluciones distintas; basta con calcular una de ellas. selcn Sep 3 Solución: a) Recta r: tomamos el primer punto P(,,3) y el vector que definen los dos (,4,5 3) = (,,) como solo interesa la dirección lo dividimos por y queda como vector dirección de r v = (,,). Nos interesa para el siguiente apartado dar la recta en paramétricas: r : x = t y = +t z = 3+t t R b) El volumen del tetraedro que determinan los vectores { BA, BC, BD} es el producto mixto dividido por seis. { BA = (3,4, )= (,3,), BC = (3,4, )= (3,,), BD = ( t,+t,3+t )= ( t,+t,3+t)} hacemos el producto mixto: V = t +t 3+t = 9(t+3) 6 = 3(t+3) Tiene que valer 6, en valor absoluto por tanto: 3(t+3) = 6; 3(t+3) = ±6, que da como soluciones: t = y t = 7 Por lo tanto el cuarto vértice D que está en la recta r puede ser: D(,3,4) o bien D (8, 5, 4) CUESTIÓN A.3: Calcule los siguientes límites: ( ) x x + + a) lím x + x senx b) lím x cosx selcn Sep 3 Solución: a) lím x + ( x + x lím x + (x +) e ) x + = ( x + x senx b) lím x cosx = / L Hôpital ) lím x + (x +) = e = lím x xcosx senx ( ) x = = e / L Hôpital lím x + ( x ) +4 x = e cosx 4x senx = lím = x cosx = CUESTIÓN A.4: 6 a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = x +x 8 b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = y x =. selcn Sep 3 Solución: a) Es un integral de una función racional: primero vamos a ver si se puede descomponer en factores el denominador; raíces del denominador x = 4,x = ; reales simples; la descomposición es:

37 4. Septiembre x +x 8 = 6 (x+4)(x ) = A x+4 + B x = A(x )+B(x+4) (x+4)(x ) A y B los obtenemos identificando numeradores 6 = A(x ) + B(x + 4) que para x = 4 da 6 = 6A; A = y para x = da 6 = 6B; B = luego ( 6 x +x 8 dx = x+4 + ) dx = ln x+4 +ln x +C x b) La función tiene signo constante en el intervalo de integración por tanto hacemos la integral definida: 6 x +x 8 dx = [ ln x+4 +ln x ] = ln4 + ln ( ln + ln4) = ln4 + ln = ln +ln = 4ln+ln = ln 693 = 386 Por tanto el área del recinto es S = ln 386 CUESTIÓN B.: a b c Sabiendo que: 6 3 = calcule, sin desarrollar ni utilizar la regla de Sarrus, los siguientes determinantes, indicando en cada paso qué propiedad de los determinantes se está utilizando. a) 3a 3b 3c a b c b) a+6 b c+3 a+ b+ c+ selcn Sep 3 Solución: a) Aplicando las propiedades de los determinantes vamos a intentar llegar el determinante inicial: intercambiamos a 3a 3b 3c sacamos el 3 como = 3a 3b 3c y 3 a = fila = a b c factor de la primera = 3 fila = ese 3 lo multiplica- a b c mos en la segunda = 6 3 fila = a b c b) Operamos con combinaciones lineales de las filas que no alteran el determinante a+6 b c+3 a+ b+ c+ = a a a b c 3 a a = 6 3 = CUESTIÓN B.: a) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A = (,3,) y B = (,8,). b) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (,,3) y es perpendicular a la recta r. selcn Sep 3 Solución:

38 36 Año 3 a) Recta r: tomamos el primer punto A(,3,) y el vector director el que definen los dos v = AB = (,8 3, ) = ( 3,5,), la ecuación continua de r es: x 3 = y 3 = z 5 b) Como el plano es perpendicular a la recta su vector director es vector ortogonal al plano por tanto éste tiene de ecuación general: 3x+5y +z +D =, hacemos que pase por el punto (,,3) y queda 3++3+D = El plano es 3x+5y+z = CUESTIÓN B.3: Descomponga el número 48 como suma de dos números positivos de tal manera que el producto de uno de ellos por el cubo del otro sea el mayor valor posible. selcn Sep 3 Solución: Sean x e y los sumandos: x+y = 48 Ha de ser f = x 3 y máximo; f(x) = x 3 (48 x) = 48x 3 x 4 Anularemos la derivada f (x) = 44x 4x 3 = 4x (36 x) el estudio del crecimiento muestra que: x 36 y + y ր ց MÁXIMO Los sumandos son 36 y CUESTIÓN B.4: a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = x e x b) Calcule la siguiente integral definida x e x dx selcn Sep 3 Solución: { } u = x a) Es integral por partes x e x du = xdx dx = dv = e x dx v = e x = x e x [ ] x e x xe x e x dx = x e x xe x +e x +C xe x dx = { u = x du = dx dv = e x dx v = e x } = b) x e x dx = [ x e x xe x +e x] = e e+e () = e

39 4. Junio Junio 3 CUESTIÓN A.: Discuta, en función del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones: x+y +z = x ay +z = ax+y +z = 4 No hay que resolverlo en ningún caso. selcn Jun 3 Solución: Hacemos el determinante de la matriz de coeficientes: M = a a = a que se anula para: a =,a = Para a y a rango(m) = 3 = rango(a) = número de incógnitas, sistema compatible determinado. Para a = la matriz ampliada es A =, es evidente que el rango de M y de A es por tanto 4 Para a =, rango(m) = = rango(a) < 3 = número de incógnitas, sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones dependientes de un parámetro. Para a = la matriz ampliada es A =, el menor: 4 4 = 6 por tanto el rango de M es y el de A es 3 luego: Para a =, rango(m) = < 3 = rango(a), sistema incompatible. CUESTIÓN A.: Tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A = (,3, 4),B = (,6,7) y C = (5,,). D C A B a) Calcule el área del paralelogramo. b) Determine el cuarto vértice, D. selcn Jun 3 Solución: Empezamos por el apartado b) Los vectores AB = (,6 3,7+4) = (,3,) y DC = (5 x, y, z) son iguales, por tanto, igualando coordenadas: = 5 x;3 = y; = z resulta: x = 4,y = 4,z = 9 el punto es D(4, 4, 9) a) El área del paralelogramo es el módulo del producto vectorial de los vectores AB = (,3,), (4, 4 3, 9+4) = (3, 7, 5) AD =

40 38 Año 3 AB AD = i j k = 6 i+38 j 6 k El módulo es = 5544 CUESTIÓN A.3: Dada la función f(x) = x, se pide: x a) Dominio de definición y puntos de corte con los ejes. b) Estudio de las asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas). c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos (máximos y mínimos). d) Representación gráfica aproximada. selcn Jun 3 Solución: ) Dominio y regionamiento Estudiamos el signo de la función. Hallando las raíces de numerador y denominador resulta que delimita región de cambio de signo de y : x = x y + El dominio es R {} ) Puntos de corte con los ejes: Anulamos cada variable: con OY : x =, resulta y = El origen es el único punto de corte 3) Asíntotas: Rectas tangentes en el infinito verticales valores de x en los que la función se va a infinito: Asíntotas verticales x = horizontales: no hay Asíntota oblicua y = mx + n fx) m = lím x x = lím x x x x = n = lím (f(x) mx) = lím x x x x x = x = Asintota oblicua:; y = x+ x 4) Extremos y crecimiento Estudiamos el signo de la derivada f (x) = x x (x ) x y y ր ց ր MÁXIMO MÍNIMO

41 4. Junio 3 39 CUESTIÓN A.4: Calcule la siguiente integral indefinida x x 6 dx selcn Jun 3 Solución: x dx, a partir de las raíces del denominador planteamos la descomposición en fracciones x 6 simples x x 6 = x (x+)(x 3) = A x+ + B x 3 = A(x 3)+B(x+) (x+)(x 3) Identificando numeradores: = A(x 3)+B(x+), para x = 3 resulta = 5B, B =, para x = queda = 5A luego A =, sustituyendo: ( x x 6 dx = x+ + ) dx = ln x+ +ln x 3 +C x 3 CUESTIÓN B.: a) Compruebe que la matriz A = y calcule su matriz inversa. ( 4 3 ), es regular (o inversible) b) Resuelva la ecuación matricial AX + A = B, siendo A la matriz anterior y B = ( ) 3 4 OJO!: El producto de matrices NO es conmutativo. selcn Jun 3 Solución: a) Una matriz es invertible si su determinante no es cero, en nuestro caso: A = 4+3 = La matriz inversa es la adjunta de la traspuesta dividida por el determinante de la matriz: A = A [adj(at )] A t = ( 4 3 ) ( ; adj(a t ) 3 4 ) ( ; A = 3 4 Primero despejamos X: AX +A = B; AX = B A ; X = A (B A ) ( ) ( ) ( ) A = = ( ) ( ) ( ) 3 3 B A = = ( ) ( ) ( ) X = A (B A 5 ) = = CUESTIÓN B.: a) Determine la ecuación del plano π que contiene a los puntos A = (3,,),B = (5,,) y C = (,, ). b) Determine la ecuación de la recta r que pasa por los puntos D = (,,) y E = (, 6,). c) Estudie la posición relativa de r y π. selcn Jun 3 Solución: a) Considerando los vectores AB = (5 3,, ) = (,,), AC = ( 3,, ) = (,, ) como solo interesa la dirección cambiamos el signo al último. )

42 4 Año 3 π : x 3 y z = ; 3x+y 5z = b) Considerando el vector DE = (, 6, ) = (, 8, ) como solo interesa la dirección cambiamos el signo (, 8, ) r : x = y = z 8 c) Veamos si el vector ortogonal deπ es perpendicular al dirección de r: (3,, 5) (,8,)= 3+8 5=, por tanto la recta es paralela o está contenida en el plano, comprobemos si un punto de r por ejemplo el D(,,) está en π : =, por tanto la recta no está contenida en el plano. La recta y el plano son paralelos. CUESTIÓN B.3: Considere la función dada por { x si x f(x) = e x si x = a) Demuestre que la función es continua en todo R. b) Determine si la función es derivable en x = y, en caso afirmativo, calcule f (). selcn Jun 3 Solución: a) Es continua siempre por ser resultado de operaciones entre funciones continuas salvo quizá donde se parte el dominio o se anula el denominador que es en x = donde vamos a estudiarla: { x lím f(x) = lím x x e x = L Hôpital } = lím x e x = El límite es exactamente igual por la derecha, además f() =, luego sí es continua en x = b) Como la función es continua es suficiente comprobar que los límites laterales en x = de la función derivada coinciden f (x) = xex e x + ( e x ) si x lím f xe x e x + (x) = lím x x ( e x ) = e x +xe x e x lím x ( e x )e x = lím x { L Hôpital xe x (e x e x ) = El límite es exactamente igual por la derecha } = { L Hôpital } e x +xe x = lím x (e x e x ) = Por tanto la función es derivable en x = y f (x) = En este caso quizá sea más simple aplicar la definición de derivada: f f(+h) f() () = lím h { h } = lím L Hôpital h CUESTIÓN B.4: = lím h e h e h he h = h e h + { h L Hôpital = lím h } h+ e h e h h = lím h a) Encuentre una primitiva de la función f(x) = artgx. b) Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) y el eje de abscisas entre x = y x =. h+ e h = lím h h( e h ) e h e h e h he h = = lím h h+ e h h he h =