Toolbox para OFDM. Diego Fermín Vilca Ureta, José Enrique González García y José Luis Rodríguez Vázquez 24 Noviembre 2011.

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1 Toolbox para OFDM Diego Fermín Vilca Ureta, José Enrique González García y José Luis Rodríguez Vázquez 24 Noviembre 2011 Para el desarrollo de proyectos en general, siempre se busca una división de tareas, que desarrolladas a la par o de forma encadenada, tengan como meta la consolidación de un objetivo planificado; sin ser ajenos a ello, desde el departamento de Ingeniería Audiovisual y de Comunicaciones (IAC) de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica de Telecomunicación (EUITT), se ha planteado en el área de procesado de la señal obtener una toolbox en Matlab que de forma paulatina mejore, amplíe y optimice un grupo de herramientas y funciones diseñadas, para con ello conseguir un mejor desarrollo y manejo de simulaciones en un sistema de comunicación empleando Multiplexación por División de Frecuencia Ortogonal (OFDM). Hasta ahora, se llevan realizados dos Proyectos Fin de Carrera orientados a este objetivo. El primero 1 se inició con un estudio teórico de OFDM junto con la implementación de las herramientas básicas para la simulación del sistema, las cuales se utilizaron en una primera versión de la Interfaz Gráfica de Usuario (GUI). Ahora, en el segundo proyecto 2, se han optimizado las herramientas ya existentes y se ha ampliado el conjunto de funciones del esquema de comunicación, para poder de esta forma realizar una interfaz gráfica que permita un mejor análisis, corroboración y estudio de los conceptos relacionados con esta técnica de multiplexación. Para la exposición de la técnica de multiplexación bajo estudio se presenta primero una introducción matemática a este tipo de modulación, luego con esta base, se muestra su despliegue frente a un canal multitrayecto junto con la inserción de prefijo cíclico como técnica principal para solucionar el problema de pérdida de ortogonalidad ocasionada por el multicamino, finalmente apoyándose en la teoría revisada se exponen los resultados obtenidos con una interfaz gráfica desarrollada en Matlab, que entre otras opciones permite el estudio de la Multiplexación por División de Frecuencia Ortogonal en un canal multicamino modelable y la evaluación de la BER mediante el Método de Monte Carlo con diferentes opciones en transmisión y recepción que admiten evaluar y comparar las tasas de bit de erróneo para los distintos casos programados. 1 Pedro Nieto Neira. Implementación de Herramientas Básicas para la Simulación de Sistemas OFDM. PFC, Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica de Telecomunicaciones, Universidad Politécnica de Madrid, Junio Diego F. Vilca Ureta. Ampliación y Optimización de las Herramientas para la Simulación de Sistemas OFDM. PFC, Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica de Telecomunicaciones, Universidad Politécnica de Madrid, Septiembre 2011 Introducción La transmisión mediante OFDM se basa en la multiplexación de un conjunto de símbolos en un grupo de portadoras, las cuales debido a la ortogonalidad que presentan, permiten una transmisión

2 toolbox para ofdm 56 simultánea sin interferencia intersimbólica mientras la ortogonalidad de las subportadoras se mantenga. El conjunto de K subportadoras que conforman un símbolo OFDM se puede expresar en el dominio temporal como 3 : s (t) = K 1 d k e j2πk f t rect Ts (t) (1) k=0 Donde la subportadora k-ésima se encuentra a la frecuencia k f, siendo f la variación de frecuencia entre subportadoras consecutivas. Luego si expresamos 1 muestreado con periodo T m para N muestras obtenemos: 3 F. Casadevall Palacio R. Ferrús Ferre Jordi Pérez Romero R. Agusti Comes, F. Bernardo Álvarez and O. Sallent Roig. LTE: Nuevas Tendencias en Comunicaciones Móviles. Fundación Vodafone España, Madrid, 2010 s [n] = Siendo: K 1 d k e j2πk f nt K 1 m rect Ts [nt m ] = d k e j 2πkn N rectts [n] (2) k=0 k=0 T m = 1 f m = 1 N f Si tenemos en cuenta que para el caso de secuencias de duración finita 4 la Transformada Discreta de Fourier Inversa (IDFT) se puede expresar como 2 salvo una constante multiplicativa, y tomando los distintos valores de d k como S[k], entonces un símbolo OFDM se puede modular y a su vez demodular mediante las siguientes relaciones 5 : s [n] = N IDFT (S [k])) (3) S [K] = 1 N DFT(s [n]) (4) Conviene indicar que en OFDM las diferentes portadoras del sistema pueden llevar diferente modulación, por ejemplo, en TDT (Televisión Digital Terrestre) hay portadoras moduladas en BPSK y otras en 64QAM. En la Figura 1 se muestra un sencillo ejemplo con 6 portadoras, 4 de ellas moduladas en 16QAM y dos de ellas en BPSK donde se pueden observar las representaciones parciales para cada una de ellas en el dominio del tiempo, junto con sus respectivas constelaciones y finalmente el símbolo OFDM transmitido, tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. En este caso, si utilizásemos FFT para el cálculo de la DFT habría que añadir dos portadoras (con amplitud cero, por ejemplo) para poder trabajar con un número de portadoras potencia de 2 (8 = 2 3 ). 4 John G. Proakis. Digital Communication. Prentice Hall, Boston, Con la finalidad de acelerar los procesos de cálculo, el tiempo de procesado y la implementación en dispositivos, la IDFT y la DFT se realizan mediante la Transformada Rápida de Fourier Inversa (IFFT) y la Transformada Rápida de Fourier (FFT) respectivamente en transmisión y recepción.

3 toolbox para ofdm 57 Multitrayecto en OFDM y Prefijo Cíclico Figura 1: Ejemplo señal OFDM con 6 portadoras, representación en el dominio del tiempo y de la frecuencia En un canal multitrayecto al efectuar el proceso de integración en el intervalo [0, T s ], solo para la réplica del primer trayecto el periodo de integración coincide con el símbolo OFDM que se debería obtener, mientras que para las réplicas de los demás trayectos, se integra parte del símbolo OFDM deseado y parte del símbolo anterior, obteniendo con ello interferencia entre subportadoras e interferencia intersimbólica, estos dos efectos son más significativos cuanto mayor sea el retardo asociado a las réplicas por trayecto del canal. Con el objetivo de combatir los dos tipos de interferencia generada, la solución utilizada en OFMD es el empleo en transmisión de un prefijo cíclico. Esta solución, como se observa en la Figura 2, consiste en alargar la transmisión de cada símbolo OFDM (T P + T S ), repitiendo al principio de cada símbolo la señal que se envía en los últimos segundos correspondientes al tiempo de prefijo (T P ) utilizado. Utilizar prefijo cíclico, no cambia el proceso de demodulación,

4 toolbox para ofdm 58 Figura 2: Inserción del Prefijo Cíclico puesto que la integración que no tiene en cuenta el prefijo, es de duración T S pero en el intervalo [T P T S + T P ], esto se ilustra en la Figura 3: De esta forma, si se escoge una duración de prefijo cíclico tal que sea superior al máximo retardo de las componentes multicamino (T P >τ N 1 ), se consigue combatir la interferencia intersimbólica, esto ocurre porque la integración de cada una de las réplicas se hace sobre el símbolo OFDM completo, asegurando que los productos de subportadoras diferentes se integren en intervalos completos T S, manteniendo con ello la ortogonalidad 6. Interfaz Gráfica de Usuario (GUI) La segunda versión de la interfaz gráfica implementada, cuya ventana principal se visualiza en la Figura 4, presenta un esquema de bloques de transmisión, recepción y canal como el de la Figura 5, el cual permite habilitar y deshabilitar algunos bloques, para una mejor comparación y estudio de OFDM empleando distintas opciones, dentro del grupo de funciones implementadas se encuentran aquellas que corresponden a los bloques que conforman la arquitectura de comunicación. Además de poder simular un esquema de comunicación con implementaciones de sistemas reales 7, la interfaz gráfica incluye un panel donde se puede visualizar el estado de la información en distintos puntos del sistema de transmisión y recepción, así como un panel donde mediante el método de Monte Carlo se puede obtener las tasas de bit erróneo para determinados niveles de E b /N o (energía por bit con respecto a la densidad espectral de potencia de ruido). Junto a esos paneles se incluye también dos menús, uno que permite almacenar las curvas de BER (tasa de bit erróneo) obtenidas con el método de Monte Carlo así como representar las curvas teóricas de las modulaciones utilizadas; y un segundo menú que ejemplifica 6 La ortogonalidad no se pierde puesto que las componentes frecuenciales del símbolo se mantienen, aunque temporalmente existan retardos. Espectralmente los retardos son un cambio de fase y no de frecuencia, si a su vez temporalmente se repiten muestras para añadir el prefijo cíclico, estas muestras repetidas contribuirán espectralmente a las frecuencias del símbolo original, sin generar nuevas componentes espectrales en el símbolo. 7 Issam Toufik Stefania Sesia and Matthew Baker. LTE - The UMTS Long Term Evolution. Whiley & Sons, second edition, 2009

5 toolbox para ofdm 59 niveles de PAPR (relación de potencia de pico a potencia media) y obtiene los valores para la señal simulada. Figura 3: Señal recibida e intervalo de integración utilizando prefijo cíclico Simulación en un Canal Multitrayecto Con la interfaz gráfica implementada, junto con las opciones y facilidades que nos permite, hacemos una evaluación del uso de prefijo cíclico en el envío de un símbolo OFDM en un canal modelado con multitrayecto de tres rayos 8,9. Para este canal se realizarán dos tipos de simulación, donde los ensayos del primer tipo se han realizado con 32 subportadoras, y los del segundo tipo con 1024 subportadoras, ambos tipos de simulación emplean una modulación 10 4QAM sin código de canal, ni entrelazado. Antes de evaluar el comportamiento de las señales en un entorno multitrayecto, en la Figura 6 se puede comprobar que la inserción de un prefijo cíclico de 1/4 para un símbolo OFDM con 32 muestras, 8 José María Hernando Rábanos. Transmisión por Radio. Centro de Estudios Ramón Areces, tercera edition, Philip Balaban Michel C. Jeruchim and K. Sam Shanmugan. Simulation of Communication System. KA/PP, second edition, Al emplear varias subportadoras, cada una de ellas o en grupos pueden modularse de forma distinta dependiendo de los requisitos y características de la comunicación, esto es utilizado en portadoras piloto o portadoras de control, así como en la agrupación de información para distintos usuarios.

6 toolbox para ofdm 60 repite las últimas 8 muestras al inicio del símbolo. La parametrización del canal multitrayecto de tres rayos es: Figura 4: Ventana principal de la Interfaz Gráfica de Usuario Primer trayecto: 0 db de atenuación y 0 muestras de retardo. Segundo trayecto: 12 db de atenuación y 4 muestras de retardo. Tercer trayecto: 20 db de atenuación y 6 muestras de retardo. Para el canal multitrayecto parametrizado, el menor retardo es de 4 muestras y el mayor de 6, por ello, para un símbolo OFDM de 32 muestras, la inserción de un prefijo de 1/32 o de 1/16 solo genera 1 y 2 muestras de guarda adicional respectivamente, no pudiendo combatir con ello ni el menor retardo que introduce el canal; esto se constata en la Figura 7, donde la BER para la señal OFDM con prefijo cíclico de 1/32 y 1/16, sigue la tendencia a la curva de BER de la misma señal en ausencia de prefijo. Por el contrario, un prefijo cíclico de 1/8, genera 4 muestras de señal de guarda, con lo cual, el retardo mínimo que introduce el canal, que a su vez tiene más contribución de señal indeseada por multitrayecto (12 db respecto el rayo directo) es soslayado, quedando solo el tercer rayo como fuente generadora de pérdida de ortogonalidad en la señal recibida, en la misma figura puede observarse, que la tendencia de la curva de BER para este prefijo es dependiente de la relación E b /N o hasta los 11 db, sin embargo, en la Figura 8 se observa que la curva empieza

7 toolbox para ofdm 61 Figura 5: Esquema de bloques del sistema OFDM implementado a separarse de la curva de tendencia, llegando hasta un nivel en el que la tasa de error es constante, esto se produce puesto que a pesar de mejorar la comunicación con un mayor índice de prefijo eliminando el problema introducido por el segundo trayecto, el tercer trayecto continua introduciendo problemas porque el prefijo de 1/8 no es suficiente para evitarlo. Si se utiliza un índice de prefijo de 1/4, el símbolo OFDM tendrá 8 muestras de margen, como el mayor retardo de canal es de 6 muestras, el problema queda cubierto, esto se observa en la Figura 7, donde la BER para este prefijo presenta la respuesta común frente la relación E b /N o. A pesar de que con el prefijo cíclico de 1/4 se elimina el problema de pérdida de ortogonalidad en el símbolo recibido, no debemos olvidar que el modelo de canal introduce un retardo de 6 muestras, y con el prefijo tenemos una guarda sólo de hasta 8 muestras, es decir, que aunque el problema es solucionado, el canal introduce pérdidas adicionales por estar la comunicación trabajando muy cerca del límite de muestras permitido, esto se ve claramente en la Figura 8, donde la curva de BER para la señal con prefijo 1/8 empeora de 2 a 3 db respecto la curva de BER de una modulación 4QAM en un canal sin multicamino, esta diferencia podemos catalogarla como un margen de error por multitrayecto.

8 toolbox para ofdm 62 Figura 6: Inserción de Prefijo Cíclico En el caso de un símbolo OFDM con mayor período, el índice de prefijo introducido aumenta en mayor proporción el tiempo de símbolo en comparación a un símbolo con un periodo mucho menor, por ejemplo, en caso de tener 1024 muestras temporales de señal, los prefijos de 1/32, 1/16, 1/8, 1/4 introducirán 32, 64, 128 y 256 muestras adicionales respectivamente, esto, en un canal parametrizado con un retardo máximo de 6 muestras, permite que con cualquier prefijo se haga frente al error generado por multitrayecto, además, la diferencia entre las muestras límites que nos permite cada prefijo es mucho mayor que el mayor retardo encontrado en el canal, todo ello se ilustra y comprueba en la Figura 9, donde para cualquier prefijo empleado la curva de BER es la misma; en un canal con estas características y con el tipo de señal utilizado, se buscará introducir el menor índice de prefijo a costa de aumentar la eficiencia de transmisión en relación a la cantidad de información útil enviada. Como se ha comentado, el margen permisible para el máximo retardo es alto, por lo cual, el símbolo con cualquier prefijo cubre con amplio rango los problemas acarreados por multicamino, generando por tanto una respuesta en BER muy cercana a la teórica de la modulación correspondiente, en nuestro caso de 4QAM, teniendo un distancia a ella de no más de 0.5 db, como se puede observar con detalle en la Figura 10.

9 toolbox para ofdm 63 Figura 7: Curvas de BER de una señal OFDM de 32 subportadoras en un canal multitrayecto de tres rayos Figura 8: Curvas de BER de una señal OFDM de 32 subportadoras, con prefijo 1/8 y 1/4 en un canal multitrayecto de tres rayos. Figura 9: Curvas de BER de una señal OFDM con 1024 subportadoras en un canal multitrayecto de tres rayos.

10 toolbox para ofdm 64 Figura 10: Curva de BER de una señal OFDM de 1024 subportadoras, con prefijo cíclico de 1/32 y curva teórica de la modulación correspondiente. Conclusiones Con los resultados obtenidos, se pueden abstraer las siguientes conclusiones: El uso de prefijo cíclico es la mejor técnica contra el multitrayecto, siendo efectivo siempre que el máximo periodo de retardo sea menor que el período de guarda introducido por el prefijo. El prefijo cíclico es más efectivo cuanto mayor sea la diferencia entre el retardo introducido por el canal y el período de guarda, pero aunque el prefijo cíclico combata en gran medida la pérdida de ortogonalidad, dependiendo de las características multitrayecto del canal, existirá un margen de pérdida por multitrayecto a tener en cuenta. Referencias Philip Balaban Michel C. Jeruchim and K. Sam Shanmugan. Simulation of Communication System. KA/PP, second edition, Pedro Nieto Neira. Implementación de Herramientas Básicas para la Simulación de Sistemas OFDM. PFC, Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica de Telecomunicaciones, Universidad Politécnica de Madrid, Junio John G. Proakis. Digital Communication. Prentice Hall, Boston, F. Casadevall Palacio R. Ferrús Ferre Jordi Pérez Romero R. Agusti Comes, F. Bernardo Álvarez and O. Sallent Roig. LTE: Nuevas Tendencias en Comunicaciones Móviles. Fundación Vodafone España, Madrid, 2010.

11 toolbox para ofdm 65 José María Hernando Rábanos. Transmisión por Radio. Centro de Estudios Ramón Areces, tercera edition, Issam Toufik Stefania Sesia and Matthew Baker. LTE - The UMTS Long Term Evolution. Whiley & Sons, second edition, Diego F. Vilca Ureta. Ampliación y Optimización de las Herramientas para la Simulación de Sistemas OFDM. PFC, Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica de Telecomunicaciones, Universidad Politécnica de Madrid, Septiembre 2011.

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