CONDICIONES DE PLASTIFICACIÓN. CRITERIOS DE COMPARACIÓN

Transcripción

1 CONDICIONES DE PLASTIFICACIÓN. CRITERIOS DE COMPARACIÓN La normativa de cálculo establece como resistencia de cálculo del acero f yd la tensión de límite elástico f y (o la tensión de rotura f u, según el análisis efectuado), afectada por el coeficiente parcial de seguridad correspondiente. f yd f y M0 La normativa admite que cuando en un punto sometido a una tensión según un solo eje, se cumple > f yd, se produce el agotamiento por plastificación del material en dicho punto. En las piezas reales las tensiones no suelen ser monoaxiales; es frecuente que sean biaxiales (tensiones normales en dos direcciones perpendiculares o tensión normal y tensión tangencial) e incluso triaxiales.

2 Por este motivo resulta necesario para saber hasta que valor aumentar las solicitaciones, en dichos estados bi o triaxiales sin que se produzca la rotura o el agotamiento de la sección. Será necesario establecer una tensión de comparación co, función del estado tensional de la pieza analizada, tal que cumpla que cuando es menor que el límite elástico del material, este no entre en fluencia ( co f yd ). CRITERIO DE RANKINE O DE LA TENSIÓN PRINCIPAL MAYOR Se supone que la plastificación en un punto se alcanzará cuando la tensión principal mayor, positiva o negativa, llegue a ser igual al límite elástico por tracción simple del material, es decir, supuesto que: I II III

3 la plastificación se alcanzará cuando: I = f yd y como por definición se tiene: co f yd deberá ser: co = I Puede comprobarse que co es independiente de II y III según este criterio, lo que está en contradicción con la experiencia.

4 Por otra parte se ha observado que sometidos a compresión hidrostática, los metales soportan grandes cargas sin romperse ni plastificar, en contra de lo afirmado por este criterio; por ello no tiene interés práctico, citándose únicamente a título de curiosidad histórica. CRITERIO DE TRESKA O DE LA TENSIÓN TANGENCIAL MAYOR Se supone que la plastificación en un punto se alcanzará cuando la máxima tensión tangencial en dicho punto alcanza el mismo valor que la máxima tensión tangencial en el ensayo de tracción simple. En el ensayo: I = f yd II = III = y como: max =( I - III ) /

5 se tendrá: max = f yd / Por otro lado, en el punto en el que se estudia el agotamiento: max =( I - III ) / luego: f yd = I - III o sea: co = I - III En el caso de tensiones planas, conocidas:

6 x ; y ; xy se pueden hallar fácilmente las tensiones principales I, III mediante las expresiones: x y I x y xy x y III x y xy Sustituyendo en la expresión de co se obtiene: 4 xy co x y Si el estado tensional en el punto en que se estudia viene dado por:

7 x ; y 0 ; xy se tendrá: co 4 Para el caso de esfuerzo cortante puro ( = 0), se tendrá: co luego: f yd

8 que tampoco coincide exactamente con la experiencia. Sí es cierto que en el caso de compresión hidrostática, las tensiones tampoco están limitadas. CRITERIO DE BELTRAMI Se supone que la plastificación en un punto comienza cuando en él se ha almacenado una cantidad de energía por unidad de volumen igual a la que se acumula en el punto de la probeta del ensayo de tracción simple en el que se inicia la plastificación. El trabajo acumulado por unidad de volumen resulta: dt 1 I I II II III III Sustituyendo las deformaciones por sus valores en función de la tensión:

9 1 I E I II III 1 II E II I III 1 III E III I II se obtiene: dt I II III E E I II I III II III En el ensayo de tracción simple se tiene: I f ; yd II 0 ; III 0

10 luego: dt f yd E Igualando: f yd I II III I II I III II III Como por definición debe ser: co f yd resulta:

11 co I II III I II I III II III En ejes que no son principales de inercia resulta: dt 1 x x y y z z xy xy xz xz yz yz 1 xy x E x y z xy G 1 xz y E y x z xz G 1 yz z E z x y yz G Sustituyendo resulta:

12 dt x y z E E x y x z y z xy xz yz G y de la misma forma que anteriormente: co x y z x y x z y z ( 1 ) xy xz yz Para el caso de estado plano resulta: co x y x y ( 1 ) xy y si: x ; y 0 ; xy

13 resulta: co ( 1 ) 0.3 co.6 CRITERIO DE HUBER VON MISES Se basa en las mismas hipótesis que el de Beltrami, pero observando que para estados de compresión hidrostática hay variación de volumen pero no se alcanza la plastificación, se supone que el trabajo correspondiente a la variación de volumen no influye sobre la misma, por lo que debe restarse de la expresión del trabajo. Considerando que el trabajo total por unidad de volumen valía:

14 dt I II III E E I II I III II III si se aplica un estado de compresión hidrostática: I ; II ; III resulta: dt _v 3 3 E dt _v 3 ( 1 ) E

15 que será el trabajo por cambio de volumen. En el caso general en que las tensiones principales sean distintas entre sí (caso no hidrostático), el trabajo de cambio de volumen por unidad de volumen resulta: dt _v 1 6E I II III Restando del obtenido anteriormente, y considerando la relación entre los módulos de elasticidad longitudinal y transversal, resulta: dt dt _v 1 6G I II III I II I III II III En el ensayo de tracción simple se tiene: I f ; yd II 0 ; III 0

16 luego: dt dt _v f yd 6G y como: co f yd resulta: co I II III I II I III II III o lo que es lo mismo:

17 1 co I II I III II III Si hay dos tensiones principales iguales, por ejemplo: II III resulta: co I III I III co I III lo que coincide con el criterio de Treska. Referida a ejes principales, la tensión de comparación resulta:

18 co x y z x y x z y z 3 xy xz yz En el caso de estado plano de tensiones: y 0 ; xy 0 ; yz 0 y por tanto: co x z x z 3 xz Cuando solo existen y sobre un plano oblicuo, resulta: co 3

19 Cuando solo existen tensiones tangenciales (cortante puro): x 0 ; z 0 ; xz la condición de no plastificación será: co 3 f yd 3 Este criterio está bastante de acuerdo con la experiencia. Si las tres tensiones principales son del mismo signo y valores muy similares, el valor de co se mantiene muy pequeño y por tanto, según este criterio, no se alcanza la plastificación aún para valores muy altos de las tensiones principales. Si éstas son de compresión concuerda con el hecho experimental de que el acero puede resistir grandes presiones hidrostáticas sin plastificar. Si las tensiones principales son de tracción, se observa que tampoco se produce la plastificación, pero si se alcanzan valores

20 suficientemente altos puede producirse la rotura de la pieza. Por ello se limita el valor de la mayor tensión principal a: I f yd