Estructuras de Datos y Algoritmos. Curso 2009/2010. Tema 5: Algoritmos voraces

Transcripción

1 Estructuras de Datos y Algoritmos Facultad de Informática Universidad Politécnica de Valencia Curso 2009/2010 Tema 5: Algoritmos voraces FI UPV: Curso 2009/2010

2 TEMA 5. Algoritmos voraces Objetivos Estudio de la técnica de diseño de algoritmos voraces. Estudio de algunos problemas clásicos. Otros ejemplos de algoritmos voraces se verán en el tema 6. Contenidos 1 Introducción. Ámbito de aplicación. Ejemplos. 2 El problema de la mochila con fraccionamiento. 3 Código Huffman. Bibliografía Introduction to Algorithms, de Cormen, Leiserson y Rivest (sección 17.2) Fundamentos de Algoritmia, de Brassard y Bratley (capítulo 6) Computer algorithms, de Horowitz, Sahni y Rajasekaran (capítulo 4) FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.1

3 1. INTRODUCCIÓN El esquema algorítmico de resolución voraz o avariciosa (greedy) se aplica normalmente a problemas de optimización: Búsqueda del valor óptimo (máximo o mínimo) de una cierta función objetivo f : X R en un dominio X determinado. El esquema voraz consiste en tratar de obtener un óptimo global tomando decisiones localmente óptimas. Es decir: Cada solución x del dominio X puede descomponerse en un conjunto de elementos más simples x = {x 1, x 2,..., x n } La estrategia voraz selecciona el valor de cada x i de manera irreversible, sin volver a replantearse la elección de los x 1,..., x i 1. Para ello elige el x i que resulte más prometedor de entre los que permiten seguir formando una solución factible. No siempre encuentra la solución óptima, pero en ocasiones permite encontrar una solución aproximada con un coste computacional bajo. FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.2

4 1. INTRODUCCIÓN Ejemplos Cajero automático: El desglose de una cantidad de dinero con el menor número posible de monedas y billetes. La mochila con fraccionamiento: La carga de un contenedor con diferentes materiales fraccionables que reportan beneficios distintos de modo que maximicemos el beneficio total sin exceder la cantidad máxima de carga. La asignación de un recurso único a una serie de actividades de las que se conoce el tiempo de inicio y finalización de modo que se atienda el mayor número de tareas. Código Huffman: Diseño de la codificación de un alfabeto de modo que se minimize la longitud esperada (en bits) de los mensajes. FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.3

5 1. INTRODUCCIÓN Ejemplos En el próximo tema veremos algunos algoritmos de grafos que utilizan una estrategia voraz, entre ellos: Los algoritmos de Kruskal y de Prim para el problema del recubrimiento mínimo en un grafo no dirigido, ponderado y conexo. El algoritmo de Dijkstra para el problema del camino más corto de un vértice a otro en un grafo ponderado. Existen algunos problemas que admiten solución aproximada aunque no óptima con una estrategia voraz, entre ellos: El coloreado de un grafo. El problema del viajante de comercio. FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.4

6 1. INTRODUCCIÓN Un ejemplo detallado Cajero automático: Suministrar la cantidad de billetes solicitada de forma que el n o total de billetes sea mínimo. Se supone que el cajero dispone de suficientes billetes de todas las cantidades consideradas. Ejemplo: M = 110 euros. B = {10, 20, 50} (11 billetes) (6 billetes) (3 billetes) La estrategia voraz consiste en ir seleccionando el billete de mayor valor: A veces no hay solución; p.e. si M = 30 y no hay billetes de 10 A veces no la encuentra; p.e. si M = 110 y no hay billetes de 10 A veces encuentra una factible pero no óptima; p.e. B = {100, 500, 1100, 50} y M = La solución que se obtendría es: (6 billetes) y la óptima es: (4 billetes) FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.5

7 1. INTRODUCCIÓN Esquema general voraz 1 // C Conjunto de elementos o candidatos 2 // S Conjunto de elementos de la solucion en curso 3 // solucion(s) Determina si S es solucion 4 // factible(s) Determina si S completable o factible 5 // seleccion(c) Selecciona un candidato 6 // f Funcion objetivo 7 voraz(c) { 8 S = cjt_vacio; 9 while (!solucion(s) && (C!= cjt_vacio)) { 10 x = selecciona(c); 11 C = C - {x}; 12 if (factible(unir(s,{x}))) 13 S = unir(s,{x}); 14 } 15 if (solucion(s)) 16 cout << "La solucion es " << S; 17 else 18 cout << "No hay solucion\n"; 19 } FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.6

8 2. LA MOCHILA CON FRACCIONAMIENTO Tenemos una mochila de capacidad M y N objetos para incluir en ella. Cada objeto tiene un peso p i y un beneficio b i, 1 i N. Los objetos se pueden fraccionar. Cómo llenar la mochila de forma que el beneficio total de los elementos que contenga sea máximo? Planteamiento del problema Datos del problema: capacidad M y N objetos de peso p 1,..., p N y beneficio b 1,..., b N Resultado: x 1,..., x N, donde 0 x i 1, 1 i N Maximizar el beneficio N i=1 b ix i con la restricción de que los objetos quepan en la mochila N i=1 p ix i M FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.7

9 2. LA MOCHILA CON FRACCIONAMIENTO Criterio de selección de los objetos: Objeto de mayor beneficio b i p = 30, 18, 15, 10, b = 25, 13, 12, 10 y M = 50 Step M C solución 50 {1, 2, 3, 4} {2, 3, 4} {3, 4} {4} 1 1 2/15 0 Beneficio = /15 12 = 39,6 FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.8

10 2. LA MOCHILA CON FRACCIONAMIENTO Criterio de selección de los objetos: Objeto de menor peso p i p = 30, 18, 15, 10, b = 25, 13, 12, 10 y M = 50 Step M C solución 50 {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3} {1, 2} {1} / Beneficio = 7/ = 40,83 FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.9

11 2. LA MOCHILA CON FRACCIONAMIENTO Criterio de selección de los objetos: Objeto con mayor beneficio unitario b i /p i p = 30, 18, 15, 10, b = 25, 13, 12, 10 y M = 50 Step M C solución 50 {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3} {2, 3} {2} /15 1 Beneficio = / = 42,99 FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.10

12 2. LA MOCHILA CON FRACCIONAMIENTO 1 using namespace std; 2 #include <iostream> 3 #include <queue> // cola de prioridad 4 class objeto { 5 public: 6 string nombre; 7 float peso, beneficio, bu; // bu = beneficio unitario 8 objeto() {}; // constructor 9 objeto(string nombre, float peso, float beneficio); // constructor 10 // al comparar dos objetos se comparan por beneficio unitario: 11 bool operator < (const objeto& b) const {return bu < b.bu;} 12 bool operator > (const objeto& b) const {return bu > b.bu;} 13 bool operator <= (const objeto& b) const {return bu <= b.bu;} 14 bool operator >= (const objeto& b) const {return bu >= b.bu;} 15 bool operator == (const objeto& b) const {return bu == b.bu;} 16 }; 17 objeto::objeto(string nombre, float peso, float beneficio) { 18 this->nombre = nombre; this->peso = peso; 19 this->beneficio = beneficio; bu = beneficio/peso; 20 } FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.11

13 2. LA MOCHILA CON FRACCIONAMIENTO 21 typedef priority_queue<objeto> cola_prioridad_objetos; 22 int main(int argc, char **argv) { // programa principal 23 cola_prioridad_objetos Q; 24 string nombre; 25 float capacidad_max,capacidad,beneficio,peso,gano,r; 26 objeto obj; 27 cin >> capacidad_max; // leemos los datos 28 while (cin >> nombre >> peso >> beneficio) 29 if (peso > 0) Q.push(objeto(nombre,peso,beneficio)); 30 gano = 0; capacidad = 0; 31 while ((capacidad < capacidad_max) && (Q.size() > 0)) { 32 obj = Q.top(); Q.pop(); // extraemos el de mayor b.u. 33 r = (capacidad_max - capacidad)/obj.peso; 34 if (r>1) r = 1; // como mucho el objeto entero 35 capacidad += r*obj.peso; 36 gano += r*obj.beneficio; 37 cout << "Meto " << r << " de " << obj.nombre << endl; 38 } 39 cout << "Ganancia = " << gano << endl; 40 } FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.12

14 Es un código binario de longitud variable. El objetivo consiste en representar los datos más frecuentes con el menor número de bits posibles. Se utiliza para compresión de información. Se trata de un algoritmo voraz Entrada: una tabla de frecuencias de aparición de los símbolos del alfabeto Σ. Salida: Un código binario prefijo. Un código binario es prefijo si ningún símbolo del alfabeto Σ está codificado con una secuencia de bits que es un prefijo de la secuencia de bits que codifica cualquier otro símbolo El conjunto de soluciones factibles es el conjunto de árboles binarios con Σ hojas, cada una de las cuales corresponde a un símbolo distinto del alfabeto. De entre todos ellos nos interesa el que hace mínimo el valor de f(t ) = a Σ d T (a) freq(a) donde d T (a) representa la profundidad del símbolo a en el árbol T y freq(a) es la frecuencia del símbolo a. FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.13

15 Supongamos que tenemos un fichero con caracteres. Carácter a b c d e Frecuencia (en miles) Código de longitud fija Código de longitud variable Número de bits utilizando el código de longitud fija: Número de bits utilizando el código de longitud varible: Código de longitud fija: bits bits Codificación aace Descodificación aace Código de longitud variable: Codificación aace Descodificación ? FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.14

16 Descodificación con código de longitud variable 0 A 1 B D d C b a 0 e 1 c A 1 D 1 a A 1 D 1 a A 0 B 1 C 1 c A 0 B 1 C 0 e FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.15

17 TRAZA EJEMPLO 30 a 25 b 15 c 20 d 10 e FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.16

18 TRAZA EJEMPLO 10 e 15 c 20 d 25 b 30 a FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.17

19 TRAZA EJEMPLO 20 d e 15 c 25 b 30 a FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.18

20 TRAZA EJEMPLO 25 b 30 a d e 15 c FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.19

21 TRAZA EJEMPLO d b 30 a e 15 c FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.20

22 TRAZA EJEMPLO d b 30 a 10 e 15 c FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.21

23 1 // Huffman, pseudocodigo 2 Crear un heap con n nodos (caracter, frecuencia); 3 4 for (i = 1; i < n; i++) { 5 Crear un nuevo nodo A; 6 Asignar el minimo del heap como hijo izquierda de A; 7 Eliminar el minimo del heap; 8 Asignar el minimo del heap como hijo derecha de A; 9 Eliminar el minimo del heap; 10 La clave de A es la suma de las claves de los hijos; 11 Insertar el nodo en el heap; 12 } 13 return unico elemento del heap; El coste computacional es O(n log n) FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.22

24 73 dic_cadena_cadena* huffman(dic_cadena_entero& entrada) { 74 dic_cadena_cadena *salida = new dic_cadena_cadena; 75 if (entrada.size() == 0) return salida; 76 cola_prioridad_nodos Q; pnodo uno,dos,tres,raiz; int iteracion = 1; 77 cout << "Metemos los simbolos en una cola de prioridad:\n"; 78 dic_cadena_entero::iterator i; 79 for (i = entrada.begin(); i!= entrada.end(); i++) { 80 uno = pnodo(new nodo(i->first, i->second)); 81 Q.push(uno); cout << "Inserto " << uno << endl; 82 } 83 while (Q.size() > 1) { 84 cout<<"\niteracion "<<iteracion<< "\n \n";iteracion++; 85 uno = Q.top(); Q.pop(); cout << "Extraigo " << uno << endl; 86 dos = Q.top(); Q.pop(); cout << "Extraigo " << dos << endl; 87 tres=pnodo(new nodo(uno,dos)); 88 Q.push(tres);cout<<"Inserto "<<tres<<endl; 89 } 90 raiz = Q.top(); raiz.n->recorrido_extraccion(string(""),salida); 91 raiz.n->recorrido_liberar(); delete raiz.n; 92 return salida; 93 } FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.23

25 13 typedef map<string,string> dic_cadena_cadena; 14 typedef map<string,int> dic_cadena_entero; 15 class nodo { 16 public: 17 string simbolo; 18 int freq; 19 nodo *h_izq, *h_der; 20 nodo(string simbolo, int freq); // constructor para una hoja 21 nodo(nodo *x, nodo *y); // constructor que junta 2 nodos 22 void recorrido_extraccion(string prefijo, dic_cadena_cadena* dic); 23 void recorrido_liberar(); // para liberar la memoria al final 24 void recorrido_imprimir(ostream &s); // para una traza del algoritmo 25 }; 26 nodo::nodo(string simbolo, int freq) { // constructor para una hoja 27 this->simbolo = simbolo; this->freq = freq; h_izq = h_der = 0; 28 } 29 nodo::nodo(nodo *x, nodo *y) { // constructor que junta 2 nodos 30 simbolo = string(""); // no hace falta, no se utiliza 31 freq = x->freq + y->freq; h_izq = x; h_der = y; 32 } FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.24

26 33 void nodo::recorrido_extraccion(string prefijo, dic_cadena_cadena* dic) { 34 if (h_izq == 0) // es una hoja, caso base 35 (*dic)[simbolo] = prefijo; 36 else { // necesariamente tiene los 2 hijos 37 h_izq->recorrido_extraccion(prefijo+"0",dic); 38 h_der->recorrido_extraccion(prefijo+"1",dic); 39 } 40 } 41 void nodo::recorrido_liberar() { 42 if (h_izq!= 0) { 43 h_izq->recorrido_liberar(); delete h_izq; 44 h_der->recorrido_liberar(); delete h_der; 45 } 46 } 47 void nodo::recorrido_imprimir(ostream &s) { 48 if (h_izq!= 0) { 49 s << "[" << freq << "]("; 50 h_izq->recorrido_imprimir(s); s << ","; 51 h_der->recorrido_imprimir(s); s << ")"; 52 } else s << "[" << freq << "]" << simbolo; 53 } FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.25

27 54 class pnodo { // basicamente es un puntero a nodo public: 56 nodo *n; // <-- unico atributo de la clase 57 pnodo() {}; // un contructor 58 pnodo(nodo *n) { this->n = n; } // otro constructor 59 operator nodo*() { return n; } // conversion automatica a nodo* 60 int freq() const { return n->freq; } 61 // sobrecargamos comparaciones OJO!!! es mayor el de menor freq 62 bool operator < (const pnodo& b) const {return freq() > b.freq();} 63 bool operator > (const pnodo& b) const {return freq() < b.freq();} 64 bool operator <= (const pnodo& b) const {return freq() >= b.freq();} 65 bool operator >= (const pnodo& b) const {return freq() <= b.freq();} 66 bool operator == (const pnodo& b) const {return freq() == b.freq();} 67 }; 68 ostream& operator<< (ostream& s, pnodo& p) { 69 p.n->recorrido_imprimir(s); 70 return s; 71 } 72 typedef priority_queue<pnodo> cola_prioridad_nodos; FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.26

28 94 int main(int argc, char **argv) { // programa principal 95 dic_cadena_entero entrada; 96 string simbolo; 97 int freq; 98 while (cin >> simbolo >> freq) 99 entrada[simbolo] = freq; 100 dic_cadena_cadena *salida = huffman(entrada); 101 dic_cadena_cadena::iterator iter; 102 cout << "\nla codificacion Huffman obtenida es:\n"; 103 for (iter = salida->begin(); iter!= salida->end(); iter++) 104 cout<<setw(5)<<left<<iter->first<<" --> "<< iter->second<<endl; 105 } FI UPV: Curso 2009/2010 Página 5.27