Tema 4: Recursión e inducción en ACL2

Transcripción

1 Tema 4: Recursión e inducción en ACL2 José Luis Ruiz Reina Departamento de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla Razonamiento automático, 2012/13 José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 1 / 31

2 Ampliando la lógica de ACL2 Quedan por ver dos importantes características de la lógica de ACL2: Cómo poder razonar sobre las funciones (programas) definidos por el usuario? Cómo demostrar propiedades sobre algoritmos recursivos? Ambas cuestiones están íntimimante relacionadas José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 2 / 31

3 Definiciones del usuario en la lógica de ACL2 Ejemplo: supongamos que definimos en ACL2 la siguiente función (defun cuadrado (x) (* x x)) Para poder razonar sobre la función cuadrado, debemos introducir su definición como un axioma: (equal (cuadrado x) (* x x)) En general, la idea es que por cada definición de una función: (defun f (x1... xn) cuerpo) se incluye el siguiente axioma en la lógica (principio de definición): (equal (f x1... xn) cuerpo) Sin embargo, se impondrán ciertas restricciones para evitar que se introduzcan inconsistencias en la lógica José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 3 / 31

4 Ejemplos de definiciones prohibidas Variables libre en el cuerpo: (defun g (x) (+ x y)) De esta definición podríamos derivar (por instanciación) (equal (g 0) 1) y también (equal (g 0) 0) y por tanto (equal 0 1), que contradice al teorema de la aritmética (not (equal n (+ n 1))) No terminación: (defun f (x) (+ (f x) 1)) Nuevamente, contradice al teorema de la aritmética (not (equal n (+ n 1))) Conclusión: debemos controlar la admisión de definiciones en la lógica En particular, sólo se admitirá una función si previamente se demustra que termina para cualquier dato de entrada José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 4 / 31

5 Terminación de funciones Ejemplo: (defun concatena (l1 l2) (if (endp l1) l2 (cons (first l1) (concatena (rest l1) l2)))) Intuitivamente, esta función termina porque el tamaño de l1 decrece estrictamente en cada llamada recursiva y el tamaño no puede decrecer infinitamente Una manera de demostrar que una función (f x1.. xn) termina es: Proporcionar una medida m : U n N (donde U es el conjunto de todos los datos ACL2) Demostrar que en cada llamada recursiva (f t1... tn) que aparece en la definición de f bajo unas condiciones C i, se tiene el teorema: (implies C i (< (m t1... tn) (m x1... xn))) En el ejemplo: Proporcionar una medida m concreta y demostrar el teorema (implies (not (endp l1)) (< (m (rest l1) l2) (m l1 l2))) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 5 / 31

6 La función predefinida acl2-count La función que nos da el tamaño de un dato se denomina acl2-count y está predefinida: Pares cons: suma del tamaño de sus componentes más 1 Entero: su valor absoluto Racional: suma del tamaño de numerador y denominador Complejo: suma de parte real e imaginaria Cadena: su longitud Caracter o símbolo: 0 Ejemplos: ACL2!>(acl2-count ( )) 14 ACL2!>(acl2-count (3 4)) 9 ACL2!>(acl2-count ()) 0 José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 6 / 31

7 Ejemplos de terminación En muchos casos (aunque no en todos) basta con tomar como medida el acl2-count de uno de los argumentos Terminación de concatena: Medida: (m l1 l2)=(acl2-count l1) Teorema a demostrar: (implies (not (endp l1)) (< (acl2-count (rest l1)) (acl2-count l1))) Intuitivamente, éste teorema es cierto por la definición de acl2-count y por el hecho de que estamos en el caso de que l1 es consp José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 7 / 31

8 Ejemplos de terminación Factorial: (defun fact (n) (if (zp n) 1 (* n (fact (1- n))))) Terminación de fact: Medida: (m n)=(nfix n) Teorema a demostrar: (implies (not (zp n)) (< (nfix (1- n)) (nfix n))) nfix es la función que sobre los números naturales es la identidad y fuera de ellos devuelve 0 (así nos aseguramos que la medida es siempre un número natural) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 8 / 31

9 Ejemplos de terminación Longitud de una lista: (defun long (l) (if (endp l) 0 (+ (long (rest l) 1)))) Terminación de long: Medida: (m l)=(acl2-count l) Teorema a demostrar: (implies (not (endp l)) (< (acl2-count (rest l)) (acl2-count l))) Es el mismo teorema que en el ejemplo de concatena José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 9 / 31

10 Ejemplos de terminación Tomar los elementos de posición impar en una lista: (defun alternos (l) (if (endp l) l (cons (car l) (alternos (cddr l))))) Terminación de alternos: Medida: (m l)=(acl2-count l) Teorema a demostrar: (implies (not (endp l)) (< (acl2-count (cddr l)) (acl2-count l))) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 10 / 31

11 Ejemplos de terminación Mezcla de listas ordenadas: (defun mezcla (l1 l2) (cond ((endp l1) l2) ((endp l2) l1) ((<= (first l1) (first l2)) (cons (first l1) (mezcla (rest l1) l2))) (t (cons (first l2) (mezcla l1 (rest l2)))))) Terminación de mezcla: Medida: (m l1 l2)=(+ (long l1) (long l2)) Teorema a demostrar: ;;; Primera llamada recursiva: (implies (and (not (endp l1)) (not (endp l2)) ((<= (first l1) (first l2)))) (< (+ (long (rest l1)) (long l2)) (+ (long l1) (long l2)))) ;;; Segunda llamada recursiva: (implies (and (not (endp l1)) (not (endp l2)) (not ((<= (first l1) (first l2))))) (< (+ (long l1) (long (rest l2))) (+ (long l1) (long l2)))) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 11 / 31

12 Ejemplos de terminación Algoritmo mergesort: (defun mergesort (l) (if (or (endp l) (endp (cdr l))) l (mezcla (mergesort (alternos l)) (mergesort (alternos (cdr l)) Terminación de mezcla: Medida: (m l)=(long l) Teorema a demostrar: ;;; Primera llamada recursiva: (implies (and (not (endp l)) (not (endp (cdr l)))) (< (long (alternos l)) (long l))) ;;; Segunda llamada recursiva: (implies (and (not (endp l)) (not (endp (cdr l)))) (< (long (alternos (cdr l))) (long l))) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 12 / 31

13 Ejemplos de terminación Función de Ackermann: (defun ack (x y) (if (zp x) (1+ y) (if (zp y) (ack (1- x) 1) (ack (1- x) (ack x (1- y)))))) En este caso, una medida en los números naturales no nos sirve (aunque la función realmente termina) Generalización del orden entre naturales: órdenes bien fundamentados José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 13 / 31

14 Órdenes bien fundamentados y terminación Sea A un conjunto y un orden entre sus elementos. Decimos que está bien fundamentado si no existe una secuencia infinita a 0 a 1 a 2 a 3... Generalización del método para demostrar que la definición de una función (f x1.. xn) termina: Proporcionar una medida m : U n A (donde U es el conjunto de todos los datos ACL2, y A es un conjunto en el que hay definido un orden bien fundamentado ) Demostrar que en cada llamada recursiva (f t1... tn) que aparece en la definición de f bajo unas condiciones C i, se tiene el teorema: (implies C i ( (m t1... tn) (m x1... xn))) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 14 / 31

15 Órdenes bien fundamentados y terminación Ejemplos de órdenes bien fundamentados N con el orden usual entre números naturales Orden lexicográfico: En el conjunto N N de los pares de números naturales, se define el orden < lex de la siguiente manera: (x 1, x 2 ) < lex (y 1, y 2 ) syss x 1 < y 1 o bien x 1 = y 1 y x 2 < y 2 La función de Ackermann se puede demostrar que termina usando como medida el par formado por sus argumentos y < lex como orden bien fundamentado José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 15 / 31

16 Ordinales en ACL2 En ACL2, existe un conjunto de datos (subconjunto del total U) sobre el que hay definido un orden bien fundamentado. Son datos ACL2 formados mediante conses y números naturales. El predicado que reconoce estos ordinales ACL2 es o-p y el orden que hay definido entre ordinales es la función o< (ambos predefinidos). Es una representación concreta del concepto matemático de ordinal (hasta ε 0 ) Los números naturales son ordinales ACL2 y entre ellos el orden o< coincide con el orden usual entre naturales José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 16 / 31

17 Ordinales en ACL2 Ordinal Dato ACL ω ((1. 1). 0) ω + 1 ((1. 1). 1) ω + 2 ((1. 1). 2) ω 2 ((1. 2). 0) ω ((1. 2). 1) ω 3 ((1. 3). 0) ω 2 ((1. 2). 0) ω 2 + ω ((2. 1) (1. 5). 7) ω 3 ((3. 1). 0) ω ω ((((1. 1). 0). 1). 0) ω ω + ω 85 + ω ((((1. 1). 0). 1) (85. 1) (3. 2). 5) ω (ω2 ) ((((2. 1). 0). 1). 0) ω (ωω ) ((((((1. 1). 0). 1). 0). 1). 0) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 17 / 31

18 Axiomas que define o-p y o<: (equal (o-p x) (if (o-finp x) (natp x) (and (consp (car x)) (o-p (o-first-expt x)) (not (eql 0 (o-first-expt x))) (posp (o-first-coeff x)) (o-p (o-rst x)) (o< (o-first-expt (o-rst x)) (o-first-expt x))))) (equal (o< x y) (cond ((o-finp x) (or (o-infp y) (< x y))) ((o-finp y) nil) ((not (equal (o-first-expt x) (o-first-expt y))) (o< (o-first-expt x) (o-first-expt y))) ((not (= (o-first-coeff x) (o-first-coeff y))) (< (o-first-coeff x) (o-first-coeff y))) (t (o< (o-rst x) (o-rst y))))) Metateorema: o< es un orden bien fundamentado en el conjunto de datos ACL2 que cumplen la propiedad o-p José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 18 / 31

19 Principio de definición en ACL2 Dada una historia h (secuencia de definiciones previas), la definición (defun f (x1... xn) cuerpo) es admisible respecto de h si: f es un símbolo de función nuevo (no aparece en el lenguaje de h), Cada xi, 1 i n, es un símbolo de variable distinto, cuerpo es un término en el lenguaje de h ampliado con el símbolo f de aridad n, cuyas variables libres están entre las x i, existe un término m en el lenguaje de h (que llamaremos medida de terminación) respecto del cual es posible demostrar, en h, las siguientes conjeturas de terminación: (o-p m) Por cada ocurrencia en cuerpo de un subtérmino de la forma (f t 1...t n) (es decir, por cada llamada recursiva) la fórmula: (implies C (o< σ(m) m)) donde C son las condición bajo la cual se produce dicha llamada recursiva y σ la sustitución {x 1 t 1,...,x n t n}. Si la definición se admite, se introduce el siguiente axioma: (equal (f x1... xn) cuerpo) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 19 / 31

20 Observaciones sobre el principio de definición en ACL2 Como veremos en los temas siguientes, el demostrador trata de demostrar automáticamente la terminación de cada función que se define, antes de ser admitida en la lógica Por defecto, intenta usar acl2-count de alguno de sus argumentos Si la terminación no es trivial, el usuario tiene que proporcionar la madida explícitamente Usualmente, una medida en los naturales suele bastar para probar la terminación de una función Rara vez necesitaremos un orden lexicográfico, que se puede simular con ordinales: Si tenemos dos medidas en los naturales, m1 y m 2, su combinación lexicográfica se consigue con el ordinal ω (m 1 + 1) + m 2 (en ACL2, se forma el ordinal (cons (cons 1 (1+ m 1 )) m 2 ) y se compara con o<). José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 20 / 31

21 Demostraciones por inducción Nos queda una última regla de inferencia: inducción Ejemplo de demostración por inducción en ACL2: Supongamos que queremos demostrar lo siguiente: (equal (long (concatena l1 l2)) (+ (long l1) (long l2))) Sería correcto darla por demostrada si hubiéramos demostrado las siguientes fórmulas?: (implies (endp l1) (equal (long (concatena l1 l2)) (+ (long l1) (long l2)))) (implies (and (not (endp l)) (equal (long (concatena (rest l1) l2)) (+ (long (rest l1)) (long l2)))) (equal (long (concatena l1 l2)) (+ (long l1) (long l2)))) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 21 / 31

22 Demostraciones por inducción En general, para una una fórmula Φ(x): Podemos decir que está demostrada si demostramos las siguientes fórmulas?: (implies (endp x) Φ(x)) (implies (and (not (endp x)) Φ((cdr x))) Φ(x)) Justificación: Supongamos, por reducción al absurdo, que hubiera datos ACL2 que no verificaran la propiedad descrita por Φ. Sea x0 uno de esos elementos, pero con el menor tamaño de entre todos los que no cumplen Φ. Es claro que x0 no es atómico, ya que por la primera fórmula se tiene que todos los atómicos cumplen Φ. Luego x0 es consp. Como x0 tiene el menor tamaño que pueda tener un elemento que no cumpla Φ, entonces (cdr x0) cumple Φ. Pero entonces aplicando la segunda fórmula, tendriamos que x0 cumple Φ. Contradicción. Luego todos los datos ACL2 cunplen la propiedad Φ José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 22 / 31

23 Inducción bien fundamentada Principio general de inducción bien fundamentada: Sea Φ una propiedad sobre elementos de un conjunto X, sea (A, ) un conjunto bien fundamentado, y m : X A. Supongamos que para cualquier x X se tiene: [ y X(m(y) m(x) Φ(y))] Φ(x) Entonces Φ(x) para cualquier x X. Intuitivamente: Supongamos que para cualquier x podemos demostrar Φ(x) pudiendo usar en esas demostraciones que Φ se cumple para elementos que son menores (respecto de una medida bien fundamentada); entonces Φ se cumple para cualquier x. Justificación: generalización del argumento de la página anterior Es fundamental que la medida sea bien fundamentada para que la justificación ( dónde se usa?) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 23 / 31

24 Inducción en ACL2 El principio de inducción en ACL2 es un caso particular del principio de inducción bien fundamentada. En este caso el conjunto bien fundamentado (A, ) es el definido por los ordinales ACL2 (o-p) y el orden asociado (o<). En la práctica, la mayoría de las demostraciones se podrán justificar con una medida en los números naturales En el principio de inducción ACL2, para demostrar una propiedad: Se divide la demostración en distintos casos Algunos casos se demostrarán directamente (casos base). En otros casos (casos inductivos), podremos suponer que la propiedad es cierta para una serie de instancias (hipótesis de inducción) menores respecto de una medida ordinal (o en particular, natural). También hay que demostrar que las hipótesis de inducción son sobre instancias menores respecto de la medida. Una vez demostrados todos los casos, podemos inferir que la propiedad es un teorema. José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 24 / 31

25 El principio de inducción en ACL2 La fórmula Φ se deriva a partir de las siguientes fórmulas: Caso base: (implies (and (not C 1 )... (not C k )) Φ) Casos de inducción: para cada 1 i k, (implies (and q i σ i,1 (Φ)... σ i,hi (Φ)) Φ) donde C 1,...,C k son condiciones (casos inductivos), σ i,j (1 i k, 1 j h i ) son sustituciones (instancias) y las siguientes fórmulas son teoremas, para cierto término m: (o-p m) Para cada i, j tales que 1 i k y 1 j h i, (implies C i (o< σ i,j (m) m)) Decimos entonces que Φ se demuestra por inducción en las variables del término m, denominado medida. José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 25 / 31

26 Ejemplos de inducción en ACL2 Fórmula Φ(n) a demostrar: (implies (and (natp n) (> n 2)) (> (fact n) n)) Casos e hipótesis de inducción: Caso base: (zp n) Caso inductivo e hipótesis de inducción: C1: (not (zp n)) HI1: Φ((1- n)) Fórmulas que habría que demostrar: (implies (zp n) (implies (and (natp n) (> n 2)) (> (fact n) n))) (implies (and (not (zp n)) (implies (and (natp (1- n)) (> (1- n) 2)) (> (fact (1- n)) (1- n)))) (implies (and (natp n) (> n 2)) (> (fact n) n))) Y los teoremas que aseguren que las instancias inductivas son menores respecto de la medida (acl2-count n) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 26 / 31

27 Ejemplos de inducción en ACL2 Fórmula Φ(x,l) a demostrar: (implies (member x (alternos l)) (member x l)) Casos e hipótesis de inducción: Caso base: (endp l) Caso inductivo e hipótesis de inducción: C1: (not (endp l)) HI1: Φ(x,(cddr l)) Fórmulas que habría que demostrar: (implies (endp l) (implies (member x (alternos l)) (member x l))) (implies (and (not (endp l)) (implies (member x (alternos (cddr l))) (member x (cddr l)))) (implies (member x (alternos l)) (member x l))) Y los teoremas que aseguren que las instancias inductivas son menores respecto de la medida (acl2-count l) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 27 / 31

28 Ejemplos de inducción en ACL2 Fórmula Φ(l1,l2) a demostrar: (implies (and (ordenada l1) (ordenada l2)) (ordenada (mezcla l1 l2)))) Casos e hipótesis de inducción: Caso base : (or (endp l1) (endp l2)) Casos inductivos e hipótesis de inducción: C1: (and (not (endp l1)) (not (endp l2)) (<= (car l1) (car l2))) HI1: Φ((cdr l1),l2) C2: (and (not (endp l1)) (not (endp l2)) (> (car l1) (car l2))) HI2: Φ(l1,(cdr l2)) Fórmulas que habría que demostrar: (implies (or (endp l1) (endp l2)) Φ(l1,l2)) (implies (and (not (endp l1)) (not (endp l2)) (> (car l1) (car l2)) Φ((cdr l1),l2)) Φ(l1,l2)) (implies (and (not (endp l1)) (not (endp l2)) (> (car l1) (car l2))) Φ(l1,(cdr l2))) Φ(l1,l2)) Y los teoremas que aseguren que las instancias inductivas son menores respecto de la medida (+ (long l1) (long l2)) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 28 / 31

29 Ejemplos de inducción en ACL2 Fórmula Φ(l) a demostrar: (ordenada (mergesort l)) Casos e hipótesis de inducción: Caso base : (or (endp l) (endp (cdr l))) Caso inductivo e hipótesis de inducción: C1: (and (not (endp l)) (not (endp (cdr l)))) HI1(1): Φ((alternos l)) HI1(2): Φ((alternos (cdr l))) Fórmulas que habría que demostrar: (implies (or (endp l) (endp (cdr l))) Φ(l)) (implies (and (not (endp l)) (not (endp (cdr l))) Φ((alternos l)) Φ((alternos (cdr l))) Φ(l)) Y los teoremas que aseguren que las instancias inductivas son menores respecto de la medida (long l) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 29 / 31

30 Esquemas de inducción La manera de estructurar una demostración por inducción (medida justificativa, casos inductivos e hipótesis de inducción en cada caso), se denomina esquema de inducción El principio de inducción nos dice cuándo un esquema es correcto para probar algo, pero no si es el esquema adecuado Un esquema puede ser correcto, pero las fórmulas que genera pueden ser falsas Cómo encontrar un esquema de inducción adecuado? José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 30 / 31

31 Esquemas de inducción Toda función recursiva sugiere un esquema de inducción: Medida justificativa: la que se usa para probar su terminación Casos inductivos: las diferentes condiciones bajo las cuales se producen llamadas recursivas Hipótesis de inducción: para cada caso inductivo, las correspondientes a las instancias sobre las que se hacen las llamadas recursivas. Los ejemplos anteriores son los esquemas inductivos sugeridos por fact, alternos, mezcla y mergesort respectivamente Habitualmente el esquema de inducción que sugiere una función recursiva es el adecuado para probar propiedades sobre dicha función ( por qué?) José L. Ruiz Reina (Universidad de Sevilla) Introducción a ACL2 RAC 2012/13 31 / 31