El teorema de Euclides y algunas de sus demostraciones

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Xavier Iglesias Maldonado
hace 6 años
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1 El teorema de Euclides y algunas de sus demostraciones j. armando Velazco Bitácora personal de matemáticas mayo 21,

2 El presente trabajo se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional. Para mayor información puede visitar cba creativecommons.org Límite de responsabilidad y exención de garantía: El autor o los autores han hecho su mejor esfuerzo en la preparación de este material. Se distribuye gratuitamente con la esperanza de que sea útil, pero sin ninguna garantía expresa o implícita respecto a la exactitud o contenido. Los textos traducidos o materiales de otros autores que en este trabajo aparezcan deben utilizarse siguiendo la licencia correspondiente utilizada por el autor original, pues es posible que no estén cubiertos por la licencia de este documento. 2016, J. Armando Velazco - cerosypuntos.wordpress.com 2

3 1.1. Introducción Desde hace un buen tiempo quería abordar el tema en este blog, pero no he tenido mucho tiempo, razón aparte de que no siempre se cuenta con los conocimientos necesarios para hablar de los temas que uno quisiera. Lo que pretendo en esta entrada es poner algunas demostraciones sobre la infinitud de los números primos con la finalidad de profundizar en su comprensión (y tener tales demostraciones a la mano). En cualquier libro de teoría elemental de números se habla sobre la infinitud de los primos y creo bastante sorprendente que Euclides haya hecho tal observación, más aún, que la haya demostrado con un razonamiento tan bello: que haya aparecido la noción de infinito antes de nuestra era nos dice algo de la estatura intelectual del genio; la búsqueda de un argumento convincente del porqué que perdura hasta nuestros días como uno de los más elegantes es digno de admiración. En el presente escrito se expondrán algunas demostraciones no tan conocidas de este teorema notando que la mayoría de ellas tiene como base el siguiente teorema. Teorema 1. Todo entero n > 1 es primo o admite al menos un divisor primo. Demostración. Procedamos por inducción sobre n. Cuando n = 2 el resultado se cumple, pues los únicos divisores de 2 son ±1, ±2 y por lo tanto es primo. Supongamos que para entero k {2, 3,..., n 1} el resultado se cumple y veamos ahora qué ocurre cuando k = n. Si n es primo no habría nada que probar, así que podemos suponer que n es compuesto y por lo tanto n = rt para ciertos enteros r, t Z >0. Por propiedades de divisibilidad r < n y t < n por lo que aplica la hipótesis inductiva y entonces n admite un divisor primo. Teorema 2 (Teorema de Euclides). Existe una infinidad de números primos. Demostración de Euclides. Supongamos que sólo existe un número finito de números primos, digamos p 1, p 2,..., p n. Sea N = n + 1. Cómo N > 1, entonces es primo o producto de primos. Como N > para i {1, 2,..., n} deducimos que N debe ser compuesto, sin embargo, ninguno de los divide a N, pues de hacerlo se tendría que N y por lo tanto 1 lo que no tiene sentido. Se ha llegado así a una contradicción al teorema 1, la cual se originó al suponer que los números primos son finitos. Primera demostración. Supongamos que sólo hay una cantidad finita de números primos, digamos p 1, p 2,..., p n. Sea N = n. Ahora, sea q = mín{ : (N! + 1).} Tal q existe, por el teorema fundamental de la aritmética. Si q < N entonces q (N! + 1), pues q N! por lo tanto q > N y así q > para i = 1,..., n por lo tanto, existe una cantidad infinita de números primos. Con una idea derivada de la prueba anterior se tiene la siguiente Segunda demostración. Se hará uso del lema siguiente, que el lector puede consultar en [2]. 3

4 Lema. si n > 2, entonces existe un primo p tal que n < p < n! En efecto, sea z = n! 1, entonces z > 1, por el teorema fundamental de la aritmética existe un divisor primo p tal que p z. Si p n entonces p debe dividir a 1, lo que es un absurdo, por lo tanto n < p n! 1 < n!. Ya probado el lema, el teorema queda demostrado al ser N un conjunto no acotado. A continuación se presenta otra demostración, en la cual se hace uso nuevamente del 1, en conjunto con propiedades elementales de la divisibilidad en Z, la demostración es por contradicción. Tercera demostración. Supongamos que existe sólo una cantidad finita de números primos, digamos p 1,..., p n. Ahora sea N = n p i y definamos a = n 1, entonces an = ( n 1 )N = n N Z Por lo tanto, existe p k en el conjunto de los números primos tal que p k an, de donde en particular p k N, i k Lo que implica que N p k = an n, i k N De donde p k N p k lo que es una contradicción. Así, los números primos son infinitos. Otra demostración que se tiene es llevada a cabo con la ayuda de la famosa función indicatriz de Euler. Cuarta demostración. Suponga que existe sólo una cantidad finita de números primos, digamos p 1,..., p n y sea N = Entonces, para todo 1 < n < N se tiene que mcd(n, N) 1, es decir, n y N no son primos relativos, dada la definición de N. Aplicando ahora la definición de la función φ (el número de enteros menores o iguales a N y primos relativos con él) se tiene que φ(n) = 1. Por otra parte, φ es una función aritmética multiplicativa, entonces φ(n) = φ( ) = Es decir, 1 > 1, lo que es una contradicción. ( 1) > 1 De la anterior tenemos una variante; de propiedades del máximo común divisor tenemos: 4

5 Quinta demostración. Supongamos que existe sólo una cantidad finita de números primos, digamos p 1,..., p n y sea N =, entonces para todo 1 < n < N se tiene que mcd(n, N) 1, es decir, n y N no son primos relativos dada la definición de N. En particular ello implica que mcd(n, N 1) 1 lo que es una contradicción, pues para cualquier n Z se tiene que mcd(n, n 1) = 1. 5

6 Bibliografía [1] Fine B., Rosenberger G., Number Theory - An introduction via the Distribution of Primes, Birkhäuser. [2] Pineda Ruelas M., Villa Salvador G. D., Divisibilidad, UAM - I. de clase/divisibilidad.pdf. [3] Rosen K. H., AT& T Labs Elementary Number Theory and Its Applications, Pearson Addison Wesley. 6

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