Introducción a Sistemas Difusos Tipo-2

Transcripción

1 Introducción a Sistemas Difusos Tipo-2 Luis G. Marín Departamento de Ingeniería Eléctrica Universidad de Chile EL L. Marin & D. Sáez 1

2 Modelo computacional Sistemas Difusos Base de reglas x Entradas puntuales Fusificador Defusificador Salidas puntuales y Conjuntos Difusos De entrada Inferencia Conjuntos Difusos De salida EL L. Marin & D. Sáez 2

3 Opciones de construcción x Fusificador Inferencia Defusificador y Singleton Non-singleton Funciones de pertenencia: Triangulares Trapezoidales Guassianas. T-normas: Producto Mínimo. S-normas: Máximo Suma.. Centroide Centroide discreto Promedio de centros Máximo de centros.. EL L. Marin & D. Sáez 3

4 Incertidumbre, funciones de pertenencia y conjuntos difusos tipo dos EL L. Marin & D. Sáez 4

5 La incertidumbre y sus múltiples facetas. En el dominio empírico, la incertidumbre aparece asociada a los errores y resoluciones en los instrumentos de medición. En un dominio cognoscitivo, la incertidumbre emerge de la vaguedad y la ambigüedad del lenguaje natural. ej. El café está como tibio ej. Por favor llegue temprano. EL L. Marin & D. Sáez 5

6 Incertidumbre y sistemas difusos Incertidumbre en el significado de las palabras que se usan en las reglas. Incertidumbre en los consecuentes que son usados en las reglas. Incertidumbre en las medidas. Incertidumbre en los datos empleados para diseñar el sistema difuso. EL L. Marin & D. Sáez 6

7 Incertidumbre y sistemas difusos La lógica difusa tipo uno maneja la incertidumbre acerca de los significados de las palabras por medio de funciones de pertenencia precisas. La incertidumbre asociada a la definición de las palabras se relaciona con la vaguedad. EL L. Marin & D. Sáez 7

8 Conjuntos difusos tipo dos EL L. Marin & D. Sáez 8

9 Motivación Experto su definición de adecuada (Etiqueta lingüistica) Temperatura ( C ) Variable Lingüistica Generalmente las palabras (Etiquetas lingüisticas) tienen significados difusos EL L. Marin & D. Sáez 9

10 Motivación Experto (1) adecuada Experto (2) adecuada Experto (M) adecuada EL L. Marin & D. Sáez 10

11 Motivación µ ( x, u) = 0.1 µ ( x, u) = 0.5 µ ( x, u ) = 1 EL L. Marin & D. Sáez 11

12 Motivación Experto Fenómeno "Ruidoso" Puede ser difícil definir una función de pertenencia. La función toma un aspecto borroso. EL L. Marin & D. Sáez 12

13 Motivación Se asigna una distribución de amplitud El experto trata de modelar el aspecto borroso... EL L. Marin & D. Sáez 13

14 Un conjunto difuso tipo dos Se emplea un conjunto difuso tipo uno cuando la pertenencia de un elemento no se puede definir en uno o en cero. Si las circunstancias son tan borrosas, que incluso hay problemas para definir el grado de pertenencia como un valor puntual, se usa entonces un conjunto difuso tipo dos. EL L. Marin & D. Sáez 14

15 Conceptos asociados a. Función de pertenencia Gaussiana b. Incertidumbre alrededor de la función de pertenencia c. Huella de incertidumbre EL L. Marin & D. Sáez 15

16 Conjunto difuso tipo dos EL L. Marin & D. Sáez 16

17 Conjuntos difusos tipo dos de intervalo Cuando todos los grados secundarios de un conjunto difuso tipo dos tienen valor de uno, este conjunto recibe el nombre de conjunto difuso tipo dos de intervalo. Un conjunto difuso tipo dos de intervalo se representa correctamente en dos dimensiones. EL L. Marin & D. Sáez 17

18 Huella de incertidumbre La unión de todas las pertenencias primarias se denomina Huella de incertidumbre. a. Huella de incertidumbre b. Funciones de pertenencia secundarias en x 1 y x 2 Tomado de : J. Mendel, Uncertain rule-based fuzzy logic systems, Prentice-Hall, 2001 EL L. Marin & D. Sáez 18

19 Ejemplos de huellas de incertidumbre Gaussiana con desviación estandar fija y valor medio "incierto" Gaussiana con valor medio fijo y desviación estandar "incierta" Forma triangular EL L. Marin & D. Sáez 19

20 Funciones de pertenencia superior e inferior 1.0 Función de pertenencia superior Función de pertenencia inferior EL L. Marin & D. Sáez 20 x

21 Construcción de las funciones de pertenencia limite 1. Capture la vaguedad en el problema por medio de una función de pertenencia tipo uno. 2. Obtenga los parámetros de la función de pertenencia. 3. Identifique la incertidumbre anexa 4. Identifique como esta incertidumbre anexa afecta los parámetros de la función de pertenencia. 5. Proponga una huella de incertidumbre EL L. Marin & D. Sáez 21

22 Ejemplo 1.0 Max (u1,u2,u3,u4) Max (u1,u2,u3,u4) U Min (u1,u2,u3,u4) EL L. Marin & D. Sáez 22

23 Operaciones en conjuntos difusos tipo uno Sean A y B dos conjuntos difusos sobre el universo discurso Y, caracterizados por las funciones de pertenencia ua(y) y ub(y) respectivamente. A continuación se presentarán las funciones de pertenencia correspondientes a los conjunto s unión e intersección entre A y B. EL L. Marin & D. Sáez 23

24 Unión de dos conjuntos difusos tipo uno ua(y) ua U B (y) ub(y) Y Y Y ua U B (y) = max [ua(y), ub(y)] EL L. Marin & D. Sáez 24

25 Intersección de dos conjuntos difusos tipo uno ua(y) ua U B (y) ub(y) Y Y Y ua n B (y) = min [ua(y), ub(y)] EL L. Marin & D. Sáez 25

26 Complemento de un conjunto difuso tipo uno ua(y) ua(y) Y Y ub(y) ub(y) Y Y ub(y)= 1- ub(y) EL L. Marin & D. Sáez 26

27 Operaciones en conjuntos difusos tipo dos ua U B (y) x y Suponga que se tienen dos conjuntos difusos tipo dos de intervalo, Cómo es la huella de incertidumbre para la unión, intersección y complemento? El problema radica en que por cada elemento del conjunto se tienen múltiples valores de pertenencia dado que se ha considerado incertidumbre EL L. Marin & D. Sáez 27 x y

28 Conjuntos difusos tipo dos de intervalo Todos los valores de pertenencia secundarios valen uno, por tanto se anticipa el resultado del principio de extensión. Tan solo es necesario operar los límites del intervalo. La carga computacional se reduce! EL L. Marin & D. Sáez 28

29 Unión, intersección y complemento. Unión Para cada x : Lim superior := máximo de limites superiores. Lim inferior := máximo de limites inferiores. Intersección. Para cada x: Lim superior := mínimo de limites superiores Lim inferior := mínimo de limites inferiores Complemento Para cada x: Lim superior := complemento del limite superior Lim inferior := complemento EL L. del Marin limite & D. Sáez inferior. 29

30 Ejemplo ua U B (y) x x UNION EL L. Marin & D. Sáez 30

31 Ejemplo x x Intersección EL L. Marin & D. Sáez 31

32 Ejemplo x Complemento EL L. Marin & D. Sáez 32

33 Modelo computacional de un sistema difuso tipo dos de intervalo Fuzzification Inference Engine Type Reduction Defuzzification Arithmetic section Logical section Rule base Type-0 ( Crisp point) Type-1 fuzzy set Type-2 fuzzy set EL L. Marin & D. Sáez 33

34 Fusificación Fusificación singleton tipo x 1 Valor de pertenencia superior (UMV) Valor de pertenencia inferior (LMV) EL L. Marin & D. Sáez 34

35 Inferencia con incertidumbre Implicación x1 MIN f i x2 MIN AND f i Output EL L. Marin & D. Sáez 35

36 Inferencia con incertidumbre Agregación de reglas R 1 R 2 EL L. Marin & D. Sáez 36

37 Centroide generalizado de un conjunto difuso tipo dos de intervalo En una huella de incertidumbre hay infinitos conjuntos difusos tipo uno empotrados. A cada conjunto difuso empotrado le corresponde un centroide que lo Representa Por tanto habría infinitos centroides Proyectados sobre y. Sin embargo estos centroides están Acotados (c l,c r ) c l c r EL L. Marin & D. Sáez 37

38 Conjuntos Frontera C l = min ( todos los centroides de ls conjuntos difusos empotrados en B) Donde y i son los puntos resultantes de discretizar y EL L. Marin & D. Sáez 38

39 Conjuntos Frontera C r = max( todos los centroides de los conjuntos difusos tipo uno empotrados en B) EL L. Marin & D. Sáez 39

40 Algoritmo iterativo de Karnik-Mendel Reductor de tipo centroide. Suponiendo que el conjunto Difuso tipo dos de intervalo Es el resultado de un proceso De inferencia : Discretice B en M términos Obtenga y i Para cada y i obtenga fu i : cota superior de la pertenencia primaria de y i fl i : cota inferior de la pertenencia primaria de y i fm i : valor medio de la pertenencia primaria fl i fu i y i fm i = (fu i +fl i )/2 EL L. Marin & D. Sáez 40

41 Algoritmo KM c l M i= 1 = M f i= 1 i l f y i l i 1. Calcule c l inicialmente haciendo f li igual a fm i. Haga c l* = c l 2. Encuentre L ( 1 L M-1) tal que y L c l y L+1 3. Calcule c l con f li =fu i para i L y f li = fl i para i > L. sea c ** l =c l 4. Si c l* = c ** l finalice y haga c l = c l **. Si no, vaya al paso cinco. 5. Haga c l * igual a c ** l y retorne al paso dos. EL L. Marin & D. Sáez 41

42 Algoritmo KM Sentido de búsqueda EL L. Marin & D. Sáez 42

43 Algoritmo KM Sea c r c r i M = 1 = M f i= 1 i r f y i r i 1. Calcule c r inicialmente haciendo f ri igual a fm i. Haga c r* = c r 2. Encuentre R ( 1 R M-1) tal que y R cr y R+1 3. Calcule c r con f ri =fl i para i R y f ri = fu i para i > R. sea c ** r =c r 4. Si c r* = c ** r finalice y haga c r = c r **. Si no, vaya al paso cinco. 5. Haga c r * igual a c ** r y retorne al paso dos. EL L. Marin & D. Sáez 43

44 Algoritmo KM Sentido de búsqueda EL L. Marin & D. Sáez 44

45 Defusificación La salida de un sistema difuso tipo dos de intervalo es un valor puntual, el cual se calcula como : Yout = ( c l + c r )/2 c l c r Yout EL L. Marin & D. Sáez 45