Conjuntos Difusos. Conjuntos Crisp x Difusos Definición Representación Propiedades Formatos Operaciones Hedges

Transcripción

1 Conjuntos Difusos Conjuntos Crisp x Difusos Definición Representación Propiedades Formatos Operaciones Hedges

2 Formatos de los Conjuntos La función Verdad de um conjunto fuzzy representa las propiedades semánticas del concepto El modelaje del sistema será tanto mejor cuanto más precisamente la función Verdad mapear el comportamiento del fenómeno

3 Formatos de los Conjuntos Ejemplo: µ (χ) Mediana Edad Edad Importante: Apesar de la diferencia en las curvas, los modelos fuzzy no son muy sensibles a esta elasticidad Modelos Fuzzy son Robustos y Elásticos

4 Formatos de los Conjuntos Linear Trapezoidal Triangular Formato S Formato Z Formato Pl Gausiana Singleton Irregulares

5 Formatos de los Conjuntos Linear Es el conjunto mas sencillo, siendo una buena elección en la aproximación de conceptos no bien comprendidos

6 Formatos de los Conjuntos Trapezoidal Rápido Procesamiento. Contiene descontinuidades. Variable Independiente Parámetros del formato

7 Formatos de los Conjuntos Triangular: Más simple que la Trapezoidal Variable Independiente Parámetros del formato

8 Formatos de los Conjuntos Formato S: Ecuación Cuadrática Variable Independiente Parámetros del formato

9 Formatos de los Conjuntos Formato S con 2 parámetros Variable Independiente Parámetros del formato

10 Formatos de los Conjuntos Formato Z: Z ( x,a,b ) = 1 S ( x,a,b ) Variable Independiente Parámetros del formato

11 Formatos de los Conjuntos Formato Pl: Unión de las curvas S y Z Variable Independiente Parámetros del formato

12 Formatos de los Conjuntos Gausianas: Distribución Normal Cae a cero para valores mucho mayores o mucho menores que el promedio

13 Formatos de los Conjuntos Singleton: - En realidad no es un conjunto Fuzzy Simplifica los cálculos para produzir las salidas Fuzzy ( utilizado en las salidas ) cuando

14 Formatos de los Conjuntos Irregulares: - Ocasionalmente las formas patrones no consiguen capturar la semántica de una variable representaciones arbitrarias

15 Formatos de los Conjuntos Irregulares: - Ocasionalmente las formas patrones no consiguen capturar la semántica de una variable representaciones arbitrarias

16 Conjuntos Difusos Conjuntos Crisp x Difusos Definición Representación Propiedades Formatos Operaciones Hedges

17 Operaciones Conjuntos Crisp Función Discriminante: - Determina si los individuos del conjunto universal son o no miembros de un cierto conjunto A 4 Operaciones Básicas: - Unión, Intersección, Negación y Unión Exclusiva

18 Operaciones Conjuntos Crisp Ejemplo: U = {1,2,...25} Intersección: Todos los elementos de U están en S1 y también en S2 Complemento Todos los elementos de U Que NO Pertenecen a S1 Unión Todos los elementos de U Que Pertenecen a S1 o a S2 Unión Exclusiva

19 Operaciones Conjuntos Crisp Ley de la No Contradición Ley de la Exclusión Mutua

20 Operaciones Conjunto Fuzzy De la misma forma que en el caso de los conjuntos crisp, existen operaciones para combinar y modificar los conjuntos difusos. Las operaciones son aplicadas al Grado de Pertenencia Como saber si un cierto elemento es o no miembro de un conjunto difuso? Si está dentro del domínio del conjunto; Si el Grado de Pertenencia es > 0; Si este elemento está mas allá del límite α-cut.

21 Operaciones Básicas Intersección Unión Complemento

22 Operadores Difusos 2 Contextos: operadores entre funciones de pertenencia de una misma variable; operadores aplicados a expresiones difusas con dos variables difusas diferentes Se desea encontrar el grado de veracidad de una cierta declaración condicional (antecedente de la regla fuzzy)

23 Operadores Difusos Para esos dos contextos, se tiene los siguientes tipos de operadores: Operadores de Zadeh Operadores Compensatorios Operadores T-Norm y T-Conorm

24 Operadores de Zadeh Intersección: En analogía con los conjuntos crisp, que utilizan el operador AND, en conjuntos difusos generalmente se utiliza el Mínimo de las Funciones de Pertenencia.

25 Operadores de Zadeh Intersección: Intersección entre dos funciones de pertenencia de la misma variable

26 Operadores de Zadeh Intersección: Intersección entre funciones de pertenencia de dos variables diferentes Ejemplo: Si x es Y AND z es W Entonces m es P El Grado de Pertenencia de m en el conjunto fuzzy P es determinado por la fuerza o grado de intersección entre el conjunto Y y el conjunto W

27 Operadores de Zadeh Intersección: Cuáles son los miembros del grupo abajo que son al mismo tiempo ALTOS y de MEDIANA EDAD? Nombre Edad Altura

28 Intersección Caso Crisp Conjunto Alto Conjunto Mediana Edad

29 Intersección Crisp Cuales los miembros que son Altos y de Mediana Edad? Miembros con Edad entre 35 y 45 años y Altura mayor a 1,75 m

30 Intersección Crisp Cuales los miembros que son Altos y de Mediana Edad? Miembros con Edad entre 35 y 45 años y Altura mayor a 1,75 m Nombre Edad Altura

31 Intersección Caso Fuzzy Conjunto Alto Conjunto Mediana Edad

32 Intersección Fuzzy Cuales los miembros que son Altos y de Mediana Edad? Miembros con Grado de Pertenencia diferente de cero para ambos conjuntos Alto y Mediana Edad Nombre Edad µm-e(x) Altura µalto (y) Fuzzy

33 Intersección Fuzzy Cuales los miembros que son Altos y de Mediana Edad? Miembros con Grado de Pertenencia diferente de cero para ambos conjuntos Alto y Mediana Edad Nombre Edad µm-e(x) Altura µalto (y) Fuzzy Crisp

34 Operadores de Zadeh Unión: En analogía con los conjuntos crisp, que utilizan el operador OR, en conjuntos difusos generalmente se utiliza el Máximo de las Funciones de Pertenencia.

35 Operadores de Zadeh Unión: Unión entre dos funciones de pertenencia de la misma variable

36 Operadores de Zadeh Unión: Unión entre funciones de pertenencia de dos variables diferentes Ejemplo: Si x es Y OR z es W Entonces m es P Si x es Y Entonces m es P Si z es W Entonces m es P

37 Operadores de Zadeh Unión: Cuáles son los miembros del grupo abajo que son ALTOS o de MEDIANA EDAD? Nombre Edad Altura

38 Unión Crisp Cuales los miembros que son Altos o de Mediana Edad? Miembros con Edad entre 35 y 45 años o Altura mayor a 1,75 m Nombre Edad Altura

39 Unión Crisp Cuales los miembros que son Altos o de Mediana Edad? Miembros con Edad entre 35 y 45 años o Altura mayor a 1,75 m Nombre Edad Altura

40 Unión Fuzzy Cuales los miembros que son Altos o de Mediana Edad? Nombre Edad µm-e(x) Altura µalto (y)

41 Unión Fuzzy Cuales los miembros que son Altos o de Mediana Edad? Nombre Edad µm-e(x) Altura µalto (y) Fuzzy

42 Unión Fuzzy Cuales los miembros que son Altos o de Mediana Edad? Nombre Edad µm-e(x) Altura µalto (y) Fuzzy Crisp

43 Operadores de Zadeh Complemento: En analogía con los conjuntos crisp, el complemento del conjunto fuzzy A contiene TODOS los elementos que no están en A En conjuntos difusos generalmente se utiliza: Suponiendo subconjuntos normalizados

44 Operadores de Zadeh Complemento: Cuáles son los miembros del grupo abajo que NO son ALTOS Ni de MEDIANA EDAD? Nombre Edad Altura

45 Complemento Caso Crisp Conjunto NO Alto Conjunto NO Mediana Edad

46 Complemento Crisp Cuales los miembros que NO son Altos NI de Mediana Edad? Miembros con Edad menor que 35 y mayor que 45 años y Altura menor a 1,75 m Nombre Edad Altura

47 Complemento Caso Fuzzy Conjunto NO Alto Conjunto NO Mediana Edad

48 Complemento Fuzzy Cuales los miembros que No son Altos Ni de Mediana Edad? Miembros con Grado de Pertenencia diferente de cero para ambos conjuntos No Alto y No Mediana Edad Nombre Edad µm-e(x) Altura µalto (y)

49 Complemento Fuzzy Cuales los miembros que No son Altos Ni de Mediana Edad? Miembros con Grado de Pertenencia diferente de cero para ambos conjuntos No Alto y NO Mediana Edad Nombre Edad µm-e(x) Altura µalto (y) Fuzzy

50 Complemento Fuzzy Cuales los miembros que NO son Altos Ni de Mediana Edad? Miembros con Grado de Pertenencia diferente de cero para ambos conjuntos No Alto y No Mediana Edad Nombre Edad µm-e(x) Altura µalto (y) Fuzzy Crisp

51 Operaciones Conjunto Fuzzy Ley de la No-Contradicción: Ley de la Exclusión Mutua:

52 Ley de la No-Contradicción Cuales los miembros que son de Mediana Edad y No Mediana Edad al mismo tiempo? Nombre Edad µm-e(x) µm-e (y) Fuzzy

53 Ley de la No-Contradicción Cuales los miembros que son de Mediana Edad y No Mediana Edad al mismo tiempo? Nombre Edad µm-e(x) µalto (y) Fuzzy

54 Ley de la No-Contradicción Cuales los miembros que son de Mediana Edad y No Mediana Edad al mismo tiempo? Nombre Edad µm-e(x) µm-e (y) Fuzzy 4 Miembros tienen Grado de Pertenencia diferente de cero para ambos conjuntos Mediana Edad y No-Mediana Edad

55 Ley de la No-Contradicción Cuales los miembros que son Altos y No Altos al mismo tiempo? Nombre Altura µalto(y) µalto (y) Fuzzy

56 Ley de la No-Contradicción Cuales los miembros que son Altos y No Altos al mismo tiempo? Nombre Altura µalto(y) µalto (y) Fuzzy TODOS los miembros tiene grado de pertenencia diferente de cero para ambos los conjuntos ALTO y No-ALTO

57 Ley de la Exclusión Mutua Cuales los miembros que son de Mediana Edad y No Mediana Edad al mismo tiempo? Nombre Edad µm-e(x) µm-e (y) Fuzzy

58 Ley de la Exclusión Mutua Cuales los miembros que son de Mediana Edad o No Mediana Edad al mismo tiempo? Nombre Edad µm-e(x) µm-e (y) Fuzzy

59 Ley de la Exclusión Mutua Cuales los miembros que son de Mediana Edad o No Mediana Edad al mismo tiempo? Nombre Edad µm-e(x) µm-e (y) Fuzzy No TODOS los miembros tienen grado de pertenencia uno para la unión de los conjuntos Mediana-Edad y No-Mediana-Edad

60 Ley de la Exclusión Mutua Cuales los miembros que son Altos o No Altos al mismo tiempo? Nombre Altura µalto(y) µalto(y) Fuzzy NINGUNO de los miembros tienen grado de pertenencia igual a uno para la unión de los conjuntos ALTO y No-ALTO

61 Operadores Difusos Operadores de Zadeh Operadores Compensatorios Operadores T-Norm y T-Conorm

62 Operadores Compensatorios Utilizan formas alternativas a las de Zadeh para las operaciones con conjuntos; Compensatórios porque actuan de forma a compensar los operadores rígidos de MÍN y MÁX de Zadeh. Desprecian las informaciones contenidas en la otra variable!

63 Operadores Compensatorios Aplicación - Reglas donde una de las asertivas: Tiene un muy pequeño o es un conjunto crisp

64 Operadores Compensatorios Operadores Alternativos Transformaciones Aritméticas Simples Producto Promedio Suma Limitada Diferencia Limitada... Transformaciones Funcionales mas Complejas Yager

65 Transformaciones Aritméticas Intersección Operador Intersección Zadeh Promedio Producto Diferencia Limitada (Lukasiewicz)

66 Intersección Ejemplo: Operador Zadeh Diferencia Limitada

67 Transformaciones Aritméticas Unión Operador Unión Zadeh Promedio Suma Probabilística Suma Limitada

68 Unión Ejemplo: Operador Zadeh suma Limitada

69 Transformaciones Funcionales Funciones Yager Los operadores compensatorios anteriores involucran sencillas manipulaciones algebraicas Los operadores Yager involucran una familia parametrizada de operadores

70 Intersección

71 Unión

72 Operadores Difusos Operadores de Zadeh Operadores Compensatorios Operadores T-Norm y T-Conorm

73 Operadores T-Norm Definición: Sea T una función de dos variables x, y en el intervalo [0,1]. Si, para cualquier x, y, z en [0,1], las siguientes condiciones sean satisfechas T es dicha una operación T-norm T(x,1) = x T(x,0) = 0 Si x x, entonces T(x,y) T(x,y) T(x,y) = T(y,x) T(T(x,y),z) = T(x,T(y,z))

74 Ejemplos: Operadores T-Norm

75 Operadores T-Conorm Definición: Sea S una función de dos variables x, y en el intervalo [0,1]. Si, para cualquier x, y, z en [0,1], las siguientes condiciones sean satisfechas S es dicha una operación T-Conorm S(x,0) = x S(x,1) = 1 Si x x, entonces S(x,y) S(x,y) S(x,y) = S(y,x) S(S(x,y),z) =S(x,S(y,z))

76 Ejemplos: Operadores T-Conorm

77 Otras Operaciones Básicas A es subconjunto de B A es igual a B A es subconjunto propio de B Para por lo menos 1 elemento de X

78 Propiedades de Conjuntos Fuzzy Dominancia 1 función de pertenencia con µ(x) = 1 x X 0 función de pertenencia con µ(x) = 0 x X

79 Propiedades de Conjuntos Fuzzy Asociatividad Ej.:

80 Propiedades de Conjuntos Fuzzy Comutatividad Ej.:

81 Propiedades de Conjuntos Fuzzy Distributividad Ej.:

82 Propiedades de Conjuntos Fuzzy De Morgan: Ej.:

83 Fuente: Notas de clase de LÓGICA NEBULOSA Prof. Marley M. B. R. Vellasco ICA PUC-Rio