Sistemas de Inferencia Difusa

Transcripción

1 27 de mayo de 2011

2

3 Medidas de Difusidad Denición Dada una función I(A) : P(U) [0, 1], I es una medida de difusidad (ambigüedad) si y sólo si se cumple que I(A) es mínimo para µ A (x i ) = 0 µ A (x i ) = 1 i I(A) es máximo para µ A (x i ) = 0.5 i I(A) I(A ) con A denido según la función característica µ A (x i ) µ A (x i ) para µ A (x i ) 0.5 y µ A (x i ) µ A (x i ) para µ A (x i ) 0.5 I(A) = I(A) A continuación, algunos ejemplos

4 Índice de difusidad Sea s(a) = {x x U, µ A (x) > 0} el soporte de A y sea n = #{s(a)} la cardinalidad del soporte de A. se pueden denir El índice de difusidad del conjunto A está dado entonces por ν(a) = 2 n k d(a, A ) con A denido según µ A (x) = { 1 si µ A (x) si µ A (x) 0.5 y k dado por el orden de la norma usada ( 1 /2 en caso de la norma euclidea)

5 Entropía de De Luca y Termini La entropía de un conjunto difuso permite decir qué tan dispersos (emborronados) están los elementos del conjunto según la función característica en cada punto del universo en el que está contenido La entropía de un conjunto difuso A está dada por H(A) = 1 n ln 2 n S (µ A (x i )) donde S (µ A (x i )) = µ A (x i ) ln µ A (x i ) (1 µ A (x i )) ln (1 µ A (x i )) es la función de Shannon (Teoría de la información) i=1

6 Índice de nodifusidad Dado un conjunto difuso A y su complemento A, con n siendo la cardinalidad de su soporte, se tiene que El índice de nodifusidad de A, η(a) se dene como η(a) = 1 n n [ µa (x i ) µ A (x i ) ] i=1 Esta función tiene las siguientes propiedades η(a) [0, 1] η(a) es monótona decreciente en [0, 0.5] y monótona creciente en [0.5, 1] η(a) tiene un mínimo absoluto cuando µ A (x i ) = 0.5, siendo η(a) = 0

7 Proposiciones Difusas

8 Proposiciones Difusas Medidas de Difusidad Una proposición, regla o cláusula difusa establece una relación entre valores de un dominio y el espacio difuso. Existen proposiciones difusas : incondicionales sin calicadores con calicadores condicionales

9 Proposición Borrosa Incondicional sin calicadores Tiene la forma A ES B donde A y B representan conjuntos denidos de forma verbal (lingüística) a los cuales se asocia una función característica que cuantica la pertenencia de los elementos del universo al conjunto A, así µ A (x) = α ENTONCES resultado = µ 1 B (α) Estas proposiciones sirven para restringir el espacio de salida o denir el espacio solución

10 Proposición Borrosa Incondicional con calicadores Tiene la forma (A ES B) ES C donde A, B y C representan conjuntos denidos de forma verbal (lingüística) Ejemplo: Que la temperatura media de la ciudad ha aumentado es muy cierto A: La temperatura media de la ciudad B: aumentado C: muy cierto (calicador) min{µ A (x), µ B (x)} = α ENTONCES resultado = µ 1 muy cierto (α)

11 Proposición Borrosa Condicional Combina uno o más conjuntos borrosos de entrada (antecedentes o premisas) y asocian uno de salida (consecuente), son reglas del tipo: SI x ES A ENTONCES y ES B, o SI x ES A ENTONCES C, donde: x ES A es el antecedente y representa un conjunto de valores lingüísticos denido por un conjunto borroso en el universo de discurso U y ES B o C es el consecuente, que puede o no seguir lógica borrosa. Si sigue lógica borrosa, representa un conjunto de valores lingüísticos denido por un conjunto borroso en el universo de discurso V Se suele notar A B La implicación borrosa puede interpretarse como µ A (x)ˆ µ B (x) (usualmente con la forma de la función min) o como la implicación clásica A B (equivalente a p q)

12 Utilizan conjuntos, reglas y razonamiento borroso y constituyen una herramienta de modelado y computación. Componentes: la base de reglas (selección de reglas borrosas) la base de datos o diccionario (funciones características utilizadas en las reglas borrosas) mecanismo de razonamiento (procedimiento de inferencia) conclusiones. Puede trabajar con datos de I/O clásicos o difusos

13

14 Neuronas de Funcionamiento Difuso En sistemas neurodifusos el motor de inferencia esta constituido por una red neurodifusa Constan de unidades de inferencia o neuronas de funcionamiento difuso x i La salida de cada unidad se dene como ( n ) v j (x) = f w iˆ x i [0, 1] i=1 µ i1 µ i2... µ in w i1 w i2 w in Σ f (x ) i i donde f es una función de activación usual (p.ej. la sigmoide)

15 Transformaciones Unipolares a Bipolares Las operaciones de lógica difusa denidas hasta ahora son señales unipolares sobre el intervalo positivo unitario [0, 1]. Tales operaciones lógicas proveen solamente el estado de la neurona correspondiente a excitaciones (positivas) Para considerar tanto los valores de excitación (positivos) y de inhibición (negativos y necesarios para el funcionamiento correcto de un sistema de tipo neuronal), se deben considerar una forma de representar los valores en lógica difusa en un intervalo bipolar, es decir, proyectar dichos valores al invervalo [ 1, 1] y redenir las funciones lógicas para que tomen valores en dicho intervalo z(t) = 2x(t) 1 Neg(x) = 1 x Neg(z) = z

16 Correspondencia de Operaciones Lógicas Unipolares a Bipolares Operación Señales unipolares (x) Señales Bipolares (z) Transformación x = z+1 2 z = 2x 1 Negación Neg(x)=1-x Neg(z)=-z Condiciones de contorno tnorma 0ˆ 0 = 0, 1ˆ 1 = 1,1ˆ x = x snorma 0ˇ 0 = 0, 1ˇ 1 = 1,0ˇ x = x Ley de de Morgan x 1ˆ x 2 = 1 (x 1ˇ x 2 ), x 1ˇ x 2 = 1 (x 1ˆ x 2 ) 1ˆ 1 = 1, 1ˆ 1 = 1,1ˆ z = z 1ˇ 1 = 1, 1ˇ 1 = 1, 1ˇ z = z z 1ˆ z 2 = (z 1ˇ z 2 ), z 1ˇ z 2 = ( z 1ˆ z 2 )

17 Aprendizaje y Adaptación en Sabiendo que n v j (z) = f w ijˆ z i [0, 1] i=1 }{{} u con f(u) u α sgn(u) [ 1, 1], α > 0, el error respecto a una salida conocida se dene como ε =v d (z i ) v(z i ) [ 1, 1]. El grado de similitud y el de error se denen respectivamente como η(z 1, z 2 ) = 1 z 1 z 2 Así, los pesos w ji y el valor de α de cada unidad j se actualizan según con wij n+1 = w ijˇ wn n ji αij n+1 = α ijˇ αn n ji w n ij = z n i ˇ E(vn d, v) α n ij = u n i ˇ E(vn d, v)