Limitaciones de la Teoría de Circuitos

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María del Rosario Ríos Calderón
hace 5 años
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1 Limitaciones de la Teoría de Circuitos Alfonso Zozaya Departamento de Electrónica y Comunicaciones Universidad de Carabobo (UC) Valencia, Venezuela, noviembre de 2004

2 A. Zozaya Ago Contenido Introducción Planteamiento del problema Planteamiento de la solución Planteamiento del experimento Resultados Conclusiones

3 A. Zozaya Ago Introducción En la referencia [1], Taflove advierte como en las grandes empresas manufactureras de circuitos integrados e impresos, como Intel, IBM, Motorola, y otras, a los ingenieros electrónicos recién empleados se les hace la siguiente cruda advertencia:

4 A. Zozaya Ago Introducción Circuito = agrupación de elementos pasivos: resistores, capacitores e inductores, y activos: generadores ideales de tensión y de corriente. Postulados rectores: leyes de Kirchhoff. Configuración geométrica de los elementos topología de la estructura circuital. Interpretación correcta de la topología análisis del circuito sistema de ecuaciones lineales.

5 A. Zozaya Ago Introducción Los postulados rectores en la Teoría de Circuitos no tienen validez ilimitada. Existe un vacío en los currículos de Teoría Electromagnética [2, 3, 4] y Teoría de Circuitos [5, 6, 7] en cuanto al marco de validez de esta última. En esta presentación nos proponemos ilustrar las Limitaciones de la Teoría de Circuitos.

6 A. Zozaya Ago Planteamiento del problema Dado el circuito simple que se ilustra en la figura 1. Una realización concreta del circuito se ilustra en la figura 2. + = = ω = + Γ D + D Figura 1: Diagrama esquemático Figura 2: Layout.

7 A. Zozaya Ago Planteamiento del problema La Ley de Voltajes de Kirchhoff establece para el circuito de la figura 1: V i = 0 (1) i Pero la Teoría de Campos establece para el layout de la figura 2: E dl = jω B ds S }{{}}{{} Γ(S) P i V i 0, en general (2)

8 A. Zozaya Ago Se necesita saber cuales premisas han de cumplirse para que jω S B ds 0.

9 A. Zozaya Ago Planteamiento de la solución Expresión exacta del campo magnético: B = A. El campo A se relaciona con la corriente en el circuito mediante la ecuación: A = µ I(l )dl e jκr 4π R Γ(S) donde R = r r, a R = R R, y r, r e I(l ) se explican en la figura 3.

10 A. Zozaya Ago Planteamiento de la solución Γ I( l ')d l ' r ' R r A( r) D D o Figura 3: Diagrama esquemático

11 A. Zozaya Ago Planteamiento de la solución Sustituyendo la expresión de A en la ecuación B = A, se obtiene: B = jκµ I(l )dl e jκr 4π Γ(S) R a R + µ I(l )dl e jκr 4π Γ(S) R }{{} 2 a R }{{} campo B R de radiación campo B I de inducción (3) El campo de radiación prevalece para los puntos muy alejados del circuito (R ) El campo de inducción predomina para los puntos muy próximos al circuito (R 0). Cómo lograr que B R,B I 0?

12 A. Zozaya Planteamiento de la solución Ago Condición de no radiación I( l' ) dl' r ' r ' 2 2 I( l ' ) dl ' 1 α α r ' 1 a r r d B( r) Figura 4: Detalle de un elemento de corriente y su retorno. El campo B R se puede aproximar como [8]: B r jκµ e jκr 4π r Γ(S) I(l )dl e jκr cos α a r α es el ángulo que forman los vectores r y r, tal que r a r = r cos α. I(l 2)dl = I(l 1)dl. db(r) I(l 1)dl e jκr 1 cos α 1 + I(l 2)dl e jκr 2 cos α 2 r = r 1 r 2

13 A. Zozaya Planteamiento de la solución Ago Condición de no radiación Si r /λ 0, resulta: ( ) db I(l 1)dl e jκr 1 cos α 1 e jκr 2 cos α 2 ( ) I(l 1)dl e jκr 1 a r e jκr 2 a r [ ] I(l 1)dl e jκ(r 2 + r ) a r e jκr 2 a r I(l 1)dl e jκr 2 a r 0 [ ] e j2π λ r a r 1

14 A. Zozaya Planteamiento de la solución Ago Condición de no radiación Si la condición r /λ 0 se cumple para cada par de elementos de corriente: máx { r } λ Esta condición se conoce como condición de no radiación. Entonces: si máx { r } λ, será cierto que B R 0. Y se podrá escribir: B 0 }{{} campo B R de radiación + µ 4π I(l )dl e jκr Γ(S) R 2 a R }{{} campo B I de inducción

15 A. Zozaya Planteamiento de la solución Ago Condición de cuasiestacionariedad del campo B Bajo la premisa de no radiación, el campo B se puede expresar mediante la ecuación: B µ I(l )dl e j 2π λ R 4π R 2 a R Γ(S) Designemos ahora con D max la máxima dimensión del circuito ( 2D para el circuito bajo estudio). Impongamos que: 2π λ D max 0 D max λ 0, entonces sigue que D max λ. Y sigue, además: I(l ) = I l 2π e j λ R a R 2 R a R R 2

16 A. Zozaya Planteamiento de la solución Ago Condición de cuasiestacionariedad del campo B La condición D max λ se conoce como condición de cuasiestacionariedad de los campos. La condición de cuasiestacionariedad de los campos es más potente que la condición de no radiación: D max λ implica que máx { r } λ. El viceversa no es cierto. Bajo la condición de cuasiestacionariedad, el campo B tiene la forma de

17 A. Zozaya Planteamiento de la solución Ago un campo magnetostático: B = µ 4π Γ(S) Idl a R R 2

18 A. Zozaya Planteamiento de la solución Ago Circulación de E a lo largo del circuito Γ(S) E dl = jω S B ds ( µ V i = jω i S 4π ( µ = I j ω 4π S Γ(S) Γ(S) Idl a R R 2 dl a R R 2 ) ) ds ds } {{ } } L {{ p } } X L p {{ } Z L p

19 A. Zozaya Planteamiento de la solución Ago Circulación de E a lo largo del circuito + V 1 IZ + L i V i + IZ Lp = 0 V ( ω) Z = jx 1 L Z = jx 3 c V 3 + Z L = jx L Z2 = R + V 2 La realización física del circuito que se muestra en la figura 2 ya no se corresponde con el diagrama esquemático dado en la figura 1. Figura 5: Diagrama esquemático del circuito que resulta después de su implementación física. i V i + IZ Lp = i V i, ω / ω L p 0,2R

20 A. Zozaya Ago Planteamiento del experimento l Nal 1 Γ l a 1 l l 2a l s s2 s m D Rmn s M l a n l D Figura 6: Discretización del layout de la figura 2. i V i = Ijω S ( µ 4π Γ(S) dl a R R 2 dl l n a l ds s m Γ(S) N n=1 S M m=1 i V i Ijω µ 4π l s M N 1 ) R 2 m=1 n=1 mn } {{ } L p ds

21 A. Zozaya Ago Resultados Γ 4cm Γ 1cm Γ 1cm 4 cm (a) Layout # 1 4 cm (b) Layout # 2 1 cm (c) Layout # 3 Figura 7: Implementaciones del diagrama esquemático de la figura 1. Layout L p f D max /λ Layout #1 114,7 [nh] 14 [MHz] 0,0026 Layout #2 52 [nh] 31 [MHz] 0,0043 Layout #3 16 [nh] 99,5 [MHz] 0,0047

22 A. Zozaya Ago Resultados De las tres realizaciones físicas distintas del mismo circuito, el layout # 3 es la mejor, porque satisface la condición de cuasiestacionariedad en un rango de frecuencias mayor. Este resultado se puede enunciar también diciendo que la ecuación de voltaje de Kirchhoff en el layout # 3 predecirá el comportamiento del circuito en un rango de frecuencias mayor.

23 A. Zozaya Ago Conclusiones La deducción de la ley de voltaje Kirchhoff a partir de la ecuaciones de Maxwell pone de manifiesto sus limitaciones intrínsecas. Estas limitaciones pueden ser establecidas en función de las dimensiones del circuito. Para el análisis y diseño de circuitos eléctrico basados en la Teoría de Circuitos es obligatorio tener presente tales limitaciones.

24 A. Zozaya Ago Pizarra

25 A. Zozaya Ago Referencias [1] A. Taflove, Why study electromagnetics: the first unit in an undergraduate electromagnetics course, Antennas and Propagation Magazine, IEEE, vol. 44, no. 2, pp , April [2] David Cheng, Fundamentals of Engineering Electromagnetics, Addison- Wesley Series in Electrical Engineering. Pearson Education, October [3] William Hayt, Engineering Electromagnetics, McGraw Hill College Div, [4] Hermann A. Haus and James R. Melcher, Electromagnetic Fields and Energy, Prentice Hall, USA, 1989.

26 A. Zozaya Ago [5] Robert L. Boylestad, Introductory Circuit Analysis, Pearson Education, 10 edition edition, March [6] Susan A. Riedel and James W. Nilsson, Electric Circuits, Prentice Hall, 6th rev edition edition, August [7] Charles Alexander and Matthew Sadiku, Fundamentals of Electric Circuits, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 2 edition edition, January [8] Constantine Balanis, Antenna Theory, Analysis and Design, John Wiley & Sons, Inc., 1982.

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