MEDIDAS DE POSICIÓN. Cuartiles.

Transcripción

1 MEDIDAS DE POSICIÓN. Las medidas de posición se usan para descbir la posición que tiene un dato especíico en relación con el resto de los datos. Dos de estas medidas de posición más conocidas son los cuartiles y los percentiles. Cuartiles. Son los valores de una vaable que dividen en cuartos a los datos ordenados; Cada conjunto de datos posee tres cuartiles. El pmer cuartil, Q, es el número tal que cuando mucho el 25 de los datos es menor que el valor de Q. El segundo cuartil es la mediana. El tercer cuartil,, es un número tal que cuando mucho el 75 de los datos es menor que. Esto se muestra en el siguiente esquema: Min Percentiles. Q Q 2 Max n Son los valores de una vaable que dividen al conjunto de datos ordenados en 00 subconjuntos; cada conjunto de datos tiene 99 percentiles. El k-esimo percentil, P k, es un valor tal que cuando mucho (00-k) de los datos es mayor. Esto se muestra en el siguiente esquema: Así hasta Min P P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 97 P 98 P 99 Max Observaciones. El pmer cuartil y el 25avo percentil son iguales; es decir, Q =P 25. También, =P 75. La mediana, el segundo cuartil Q 2, y el 50avo percentil son iguales, Mediana = Q 2 = P50, así cuando se pida encontrar Q 2 o P 50, aplique el procedimiento para encontrar la mediana.

2 CUARTILES Y PERCENTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS. El procedimiento para determinar el valor de los cuartiles es el mismo que para los percentiles y se muestran a continuación: Paso. Ordenar los datos del menor al mayor. Paso 2. Calcular, donde n es el tamaño de la muestra y k la medida de posición 00 buscada (cuartil o percentil). Paso 3. a) Si el resultado del cálculo anteor ( ) es un número entero, se le deberá sumar b) Si el resultado del cálculo anteor ( ) 00 no es un número entero, este se deberá tomar como el siguiente entero más grande. Paso 4. Con la posición encontrada en el paso anteor, remitirse a los datos ordenados y veicar a que valor de nuestros datos le corresponde la posición buscada. Ejemplo resuelto. Los siguientes datos corresponden al número de autos que llegan a diao al taller de la empresa Dodge para su reparación, durante los meses de marzo y abl (40 días), de lunes a viernes. Determinar: a) Pmer cuartil Q b) Tercer cuartil c) El 45 percentil

3 Paso. Ordenar los datos de menor a mayor Para el pmer cuartil Q. Paso 2. n= 40 datos, k=25, ya que Q = P25 (pmer cuartil es igual al 25 percentil) Q = 00 40(25) 000 Q = = = Paso 3. Como = 0, el 0 es un número entero, por lo que se deberá de agregar 0.5, 00 entonces el Q se encuentra en la posición 0.5, entonces está entre 0 y avo dato Paso 4. Q en este caso está entre 3 y 4 autos, Q = = = Q =3.5 autos. Para el tercer cuartil. Paso 2. n= 40 datos, k=75, ya que = P75 (tercer cuartil es igual al 75 percentil) = 00 40(75) 3000 = = = Paso 3. Como = 30, el 30 es un número entero se deberá de agregar 0.5, por lo que Q3 00 se encuentra en la posición 30.5 Paso 4. Entonces está entre 30 y 3avo dato, está en este caso entre 20 y 2autos, = = = =20.5 autos. 2 2

4 Para el 45 percentil P 45. Paso 2. n= 40 datos, k=45 P 45 = 00 40(45) 800 P 45 = = = Paso 3. Como = 8, el 8 es un número entero se deberá de agregar 0.5, por lo que 00 P 45 se encuentra en la posición 8.5, entonces está entre 8 y 9avo dato Paso 4. P 45 en este caso está entre 7 y 7 autos, P 45 = = = P 45 =7.5 autos. CUARTILES Y PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS. Si los datos se presentan en una tabla de distbución de recuencia, los cuartiles y los percentiles se determinan de la siguiente manera: El pmer cuartil es aquel que divide al 25 de los elementos del 75 de los valores restantes, en una muestra o población y se calcula utilizando, la siguiente expresión: Q = L n 4 Donde: Q =Pmer cuartil. Lr i =Límite real ineor de la clase que contiene el pmer cuartil. n= Tamaño de muestra. Fa= Número acumulado de las observaciones que preceden a la clase que contiene el pmer cuartil. = Frecuencia de la clase que contiene al pmer cuartil. Ac= Es el tamaño o amplitud de la clase donde se localiza el pmer cuartil.

5 El tercer cuartil, es el valor que separa al 75 del 25 supeor de los elementos de una muestra y lo podemos obtener de la siguiente orma: Q 3 = L 3n 4 = Tercer cuartil. Lr i =Límite real ineor de la clase que contiene el tercer cuartil. n= Tamaño de muestra. Fa= Número acumulado de las observaciones que preceden a la clase que contiene el tercer cuartil. = Frecuencia de la clase que contiene al tercer cuartil. Ac= Es el tamaño o amplitud de la clase donde se localiza el tercer cuartil. La amplitud cuartilica será = - Q De manera semejante, 99 percentiles dividen a una distbución en 00 partes iguales. La amplitud percentilica es por lo general la distancia entre percentil 0 y el percentil 90. Los percentiles se calculan de manera semejante a los cuartiles, Utilizando las siguientes expresiones: 0 Percentil = L 0n Percentil = L 90n 00

6 Ejemplo resuelto. Si los datos del ejercicio anteor se presentan en una tabla de distbución de recuencias, hallar el pmer cuartil (Q ), el tercer cuartil ( ) y el 45 percentil (P 45 ) Tabla de distbución de recuencias Clase Límites de clase Límites reales de clase Frecuencia Frecuencia relativa marca de clase recuencia acumulada recuencia relativa acumulada N Li Ls L Lrs i mi ai rai Pmer cuartil. n 40 Como = = 0 en el decimo dato esta el pmer cuartil, el cual corresponde a la clase Q Q = L n =.5 4 (3) Q =.5 (3) 5 9 Q =.5 5 Q =.5.8 = 3.3 Por lo tanto el cuartil Q es 3.3 autos.

7 Tercer cuartil ( ). 3n 3(40) 20 Como = = = 30 en el 30avo dato esta el tercer cuartil, el cual corresponde a la clase 4. 3n Q L 4 3 = 3(40) 9 = (3) 30 9 = 7.5 (3) (3) (3) = 7.5 = 7.5 es de 20.5 autos. Percentil 45 P 45 45(40) 800 Como = = 8, en el 8avo dato esta el P 45, el cual corresponde a la clase a la clase 3. 45n 45 Percentil = L 00 45(40) 2 45 Percentil = (3) Percentil = 4.5 (3) 7 45 Percentil = (3) 7 45 Percentil = = Percentil es de 7.07 autos.