2 E.S. MATEMÁTICA Prof. Claudia Mazzini

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1 Nos espera un año de mucho trabajo, de grandes desafíos, que nos invita a descubrir los maravillosos caminos de esta ciencia. Te invito a participar de este viaje por el mundo matemático, juntos podemos disfrutarlo. Claudia Bloque: Números y operaciones Unidad 1: Números enteros. Números enteros: concepto. Operaciones con números enteros. Propiedades. Utilización de la jerarquía y las propiedades de las operaciones y las reglas de uso del paréntesis en cálculos y problemas. Propiedad distributiva. Potenciación y radicación: propiedades. Actividad disparadora: Anotá en un papelito un número entero comprendido entre -10 y +10. Recogemos todos los papelitos en una caja. Asumiendo que cada papel que contenga un número positivo representa un importe a nuestro favor y cada número negativo una deuda. Cómo harías para determinar el valor total contenido en la caja? Anotamos los números contenidos en los papeles de la caja en el pizarrón y compartimos nuestras ideas. Conclusiones. Actividades: 1. Escribí un valor para agregar a la caja y beneficiarla? 2. Y si agregamos dos papeles? 3. Escribí dos números para agregar a la caja de manera tal que no modifiquen su valor final. 4. Escribí un número para agregar a la caja de forma tal que se perjudique, es decir que disminuya su valor. 5. Escribí dos números para agregar a la caja de tal forma que se perjudique. Qué números se pueden escribir para responder satisfactoriamente esta pregunta? 6. Qué números debemos agregar a la caja para que quede en cero? Es la única opción? 7. Sacá un número de tal forma que no se altere el resultado de la caja. 8. Sacá dos números que no alteren la situación de la caja. 9. Sacá tres números de manera tal que el valor no se modifique. 10. Sacá un número de tal forma que se perjudique la caja. 11. Quitá dos números de manera que la caja se perjudique. 12. Sacá un número de la caja para que esta se beneficie. 13. Sacá dos números de la caja para que se beneficie. 14. Conclusiones: en qué situaciones se beneficia la caja?; en qué situaciones se perjudica? Actividades complementarias: 15. Tenemos una caja cuyo valor es +48. Queremos que valga +100, qué debemos hacer? 16. Fabricá una caja cuyo valor sea Fabricá una caja cuyo valor sea +40; de la que pueda extraerse el Fabricá una caja cuyo valor sea -35; de la que pueda extraerse el +6, con la condición de que esta caja contenga solamente tres papeles. Señalá en cada caso si la solución es única, si hay más de una o no tiene solución. Definiciones y convenciones: El conjunto de los números enteros se simboliza con la letra y está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos están precedidos por el signo -. Si un número no está precedido por ningún signo se entiende que es positivo. El cero no es positivo ni negativo. 1

2 Por convención, los positivos se ubican en la recta numérica a la derecha del cero y los negativos a su izquierda. Para representar números en una recta numérica es necesario establecer la posición de un número cualquiera (en general el cero, pero podría ser cualquier otro) y una escala (por ejemplo la distancia que representa la unidad o cualquier otra cantidad según la conveniencia). Valor absoluto o módulo: El valor absoluto de un número es la distancia que lo separa del cero (ojo; las distancias se consideran siempre positivas) y se indica poniendo el número entre barras, Valor absoluto de 5 = 5 = 5 Valor absoluto de -2 = -2 = 2 Números opuestos: Dos números son opuestos cuando sumados dan cero. Ejemplo: = 0, entonces 3 y -3 son opuestos. Observación: Dos números opuestos tienen igual valor absoluto y distinto signo, salvo el cero que es el único opuesto de sí mismo. Recordamos: Símbolos: Para escribir que un número es mayor que otro usamos el símbolo, por ejemplo decimos que 5 2. También conocemos el símbolo que se lee es menor que, por ejemplo decimos 3 7. Propiedades: Una vieja conocida es la propiedad distributiva. Sabemos que la multiplicación es distributiva respecto a la adición (o suma) ya que, por ejemplo 2. (13 + 5) = = = 36 También se cumple que, por ejemplo (2 + 5).(8 + 6) = = = 98 En general expresamos que: a.(b+c) = a.b + a.c Y que (a+b).(c+d) = a.c + a.d + b.c + b.d Actividades: 19. Verificá ahora si será válida la propiedad distributiva en estos casos: a) (13 4). 2 = b) ( ) : 5 = 15 : : 5 c) 42 : ( ) = 42:3 + 42:1 + 42:2 20. Qué otras propiedades conocés? 21. Expresá cada dato como un número entero a) El año 356 a.c.:.. b) Ganancia de $ 356:.. c) 76 m bajo el nivel del mar:.. d) Deuda de $ 5000:.. e) Pérdida de $ 370:.. f) Altura del Aconcagua, 6900 m:.. g) Temperatura en Bariloche, 3 bajo cero:.. h) 5 subsuelo: En el gráfico se muestran las temperaturas promedio mensuales registradas en una isla del sur 2

3 Temperatura ( C) 2 E.S. MATEMÁTICA Prof. Claudia Mazzini 0-2 E F M A M J J A S O N D Mes del año a) Cuál es la máxima temperatura promedio registrada? b) En qué meses la temperatura promedio fue 2 bajo cero? c) Si se llama amplitud térmica a la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima, Cuál es la amplitud térmica anual en esa isla? 23. Completá el siguiente cuadro: Opuesto Módulo 24. a) Cuántos números enteros hay entre -2 y 4? Escribilos b) Cuántos números enteros hay entre -5 y -4? c) Cuántos números enteros hay entre a y a+4, siendo a un número entero? 25. Completá el cuadro con los anteriores y siguientes de cada número: Anterior Siguiente 26. Escribí: a) Un número negativo cuyo valor absoluto sea mayor que 3. b) Un número negativo cuyo valor absoluto sea menor que 4. c) Todos los números enteros que tengan módulo menor que 3. d) Cuatro números enteros, (dos positivos y dos negativos) que tengan módulo mayor que Dada la siguiente recta, completá con Verdadero o Falso en cada una de las siguientes afirmaciones: a) a es mayor que -50. c) a es negativo. b) 0 es menor que b. d) b es menor que c. 28. La siguiente tabla muestra las temperaturas mínimas registradas en una determinada ciudad a lo largo de una semana. Lun Mar Mie Jue Vie Sáb Dom 2 C 5 C -2 C -4 C 0 C 1 C -1 C a) Qué día se registró la temperatura más baja? Cuál fue esa temperatura? b) Qué día se registró la temperatura más baja de esa semana? Cuál fue? c) Cuántos grados de diferencia hubo entre ambas temperaturas? 29. La temperatura en la ciudad A, a las 12 del mediodía era de 6 C, a la madrugada se registraron 11 C menos. Cuál fue la temperatura a la madrugada? 30. Completá cada afirmación con Verdadero o Falso, si es falso mostrá un contraejemplo. a) Al comparar dos números enteros, es menor el que se encuentra a la izquierda en la recta numérica. b) Un número negativo es siempre menor que cero. c) El módulo de un número positivo es siempre mayor que el de un número negativo. 3

4 d) El cero es menor que todos los números positivos. e) El módulo de los números negativos es menor que cero. f) Si el módulo de un número es menor que el módulo de otro, entonces el primer número es menor que el segundo. 31. Los números a y b representados en la recta numérica son números enteros. Ubicá en la misma recta el cero y el opuesto de b, es decir b. qué signo tiene a? y su opuesto? qué signo tiene b? y su opuesto? cómo hiciste para determinar la ubicación del cero? 32. Qué se puede decir de los enteros m y p si sabemos que: a) m + p = m b) m + p = 0 c) m + m = Representá en la siguiente recta: 200, -125, 50, -50, -150 y 75 Las cuatro operaciones básicas en. Hasta aquí sumamos y restamos con números enteros, les propongo ahora completar lo que sepan de la siguiente tabla de multiplicación, no se apuren en completar lo que no sepan, juntos analizaremos la estructura lógica de la tabla y compartiremos ideas para completarla Conclusiones: Cuando multiplicamos un número entero por cero el resultado será.. Cuando multiplicamos dos números de igual signo el resultado será.. Cuando multiplicamos dos números de distinto signo el resultado será.. Actividades: 34. Calculá: a) = e) = b) = f) (-2). (-1 + 1) = c) = g) (-4 + 7). 3 (-2). -1 = d) = h) 50 (-6) = 35. Obtené el número más grande posible combinando los números: +24; -6; 0; +5; -8 sin repetirlos, usando las operaciones: +, -,. y : 36. Qué valores deben tomar a y b para que sean verdaderas cada una de las siguientes igualdades? Decidí en cada caso si la solución es única, si hay muchas soluciones, cuántas?, o si no tiene solución a) a.b = -16 f) a. b = 0 k) a. a = -36 b) a : +8 = 0 g) a : b = -1 l) a. a = 49 c) a : -6 = -2 h) +8 : b = -1 m) a. 0 = b d) a 2 = +81 i) a. -1 = b n) a. b = +12 e) a : b = 0 j) a : 0 = 3 ñ) 0 : a = b 37. Completá la siguiente tabla: x 4

5 El doble de El siguiente de El anterior de La mitad de El cuadrado de El triple de El doble del siguiente de El siguiente del doble de El cuadrado de la mitad de La mitad del cuadrado de El anterior del doble del siguiente de 38. Escribí en lenguaje matemático y luego resolvé: a) El doble de un número j, aumentado en dos unidades es igual a -8, Cuál es el número? b) El anterior de un número h, multiplicado por -7 y luego disminuido en 3 unidades es igual a 4, Cuál es el número? c) Si a un número z lo triplico obtengo lo mismo que al hacer , Cuál es z? d) La octava parte de un número, menos 154 da -162, Cuál es el número? e) La suma de tres números enteros consecutivos es -37, Cuáles son esos números? 39. Completá el siguiente cuadro, cuando el resultado sea entero: a b a + b a - b a. b a : b Completá la siguiente pirámide, sabiendo que cada ladrillo es el producto de los dos que le sirven de base Completá con un número entero. a) = 24 d) 47 : = - 47 b) (-1). (-1). = -1 e) = 0 c) -60 :. 3 = 90 f) 5. (-2). = Resolvé: a) = d) = b) = e) 2. (-3). -8 = c) = f) (-2) = 43. Resolvé de dos formas distintas, es decir aplicando la propiedad distributiva y sin aplicarla. a) 2. ( ) = d) ( ) : 2 = b) ( ). (-4) = e) ( ) : (-3) = c) ( ). (-12) = f) ( ) : (-10) = 44. Separá en términos y resolvé: a) 20 : (-7 + 2) + (-3) = d) (3 + 14) : (-1) (4 7). 2 = b) (-3). (-5) + 21 : (-3) = e) 10 + (-3). (-4) : (-2) (8 4. 2) = c) ( ) : 2 (-35) : (-1-4) = f) [25 : (-4 + 9)] : (-1). (-2) = 45. Completá con Verdadero o Falso, explicá por qué. 5

6 a) 2. (t + 3) = 2.t + 6 c) (q 8). (-3) = (-3). q + 24 b) 4 : (m x) = 4 : m 4 : x d) (50 + b) : (-2) = b : (-2) 46. a) Qué número obtenés si a 7 les sumás 8 y al resultado le restás -15? b) Cuál es el número que al restarle 10 da 37? 47. a) Si multiplicás cinco números distintos de cero y sólo tres de ellos son números negativos, qué signo tendrá el resultado? b) Si multiplicás siete números distintos de cero y exactamente dos de ellos son negativos, qué signo tendrá el resultado? 48. a) Ubicá en la recta numérica los números que están a una distancia 4 del número -7. b) Cuántos números enteros están a una distancia menor que 5 del número -1? Cuáles son? c) Ubicá en la recta numérica los puntos A y B que representan números enteros de modo que cumplan simultáneamente: A< -1 ; B>0 y la distancia entre A y B es 3. d) Qué diferencia hay si se pide que la distancia ente A y B sea 5? Potenciación y radicación. Definimos x n = x. x.. x; siendo n un número natural; y llamamos base a la x, exponente a la n, y potencia a x n n factores Por convención: si n = 0, el resultado es 1; es decir: x 0 = 1 Y si n = 1, el resultado es x; es decir que: x 1 = x Esta operación presenta propiedades especiales, que nos serán muy útiles. Analizaremos primero la distributividad de la potenciación con otras operaciones: 1) Con la adición: (2 + 3) 2 = = por lo que está claro que la potenciación no es distributiva con la suma. 2) Con la multiplicación: (3. 5) 2 = = = 225, lo que no prueba que la propiedad se cumpla en todos los casos, pero al menos sospechamos que así es. Para comprobar que se cumple en todos los casos debemos trabajar genéricamente, es decir con letras que representen absolutamente a cualquier número, y no con números particulares. (x. y) n = x n. y n (x. y). (x. y).. (x. y) = x.x.. x. y.y.. y n factores n factores n factores Pero como la multiplicación es asociativa podemos sacar los paréntesis del primer miembro (lo que está a la izquierda del igual). Y por la propiedad conmutativa de la multiplicación, podemos conmutar el orden de los factores y mostrar que ambos miembros son iguales. Ahora sí podemos afirmar que la potenciación es distributiva respecto de la multiplicación. Observemos ahora qué pasa cuando multiplicamos potencias de igual base: Por ejemplo: x 3. x 4 = (x.x.x). (x.x.x.x) = x.x.x.x.x.x.x = x 7 En el primer paso aplicamos la definición de la potencia, en el segundo sacamos los paréntesis por la asociatividad de la multiplicación y nuevamente aplicamos la definición de la potenciación. Así las cosas podemos concluir: x a. x b = x (a+b) Esta propiedad se llama producto de potencias de igual base. Análogamente cuando dividimos potencias de igual base, x 5 : x 2 = = x.x.x = x 3 Por lo que concluimos: x a : x b = x (a-b) Esta propiedad se llama cociente de potencias de igual base. Cuando elevamos una potencia a otro exponente, por ejemplo: (x 3 ) 2 = (x.x.x). (x.x.x) = x.x.x.x.x.x = x 6 6

7 Y en general decimos que: (x a ) b = x (a.b) Esta propiedad se llama potencia de potencia. Llamamos raíz enésima de x y lo anotamos, al número que elevado a la n da x, siendo n el índice de la raíz. Cuando n = 2 no lo escribimos, es decir que entendemos que es la raíz cuadrada de x, o raíz de índice 2. Por ejemplo = 2, ya que 2 5 = 32 = 4, ya que 4 2 = 16; en este caso (y siempre que el índice es par) existen dos números que elevados al cuadrado dan 16: el 4 y el -4. Para que la radicación sea una operación, la solución debe ser única, por lo cual se adopta como solución a la positiva, por lo que decimos que la raíz cuadrada de 16 es 4 y no -4. Actividades: 49. Calculá: a) 2 3 = f) (-1) 0 = k) (-1) 32 = b) (-3) 2 = g) (-1) 1 = l) (-1) 245 = c) = h) (-1) 2 = m) = d) (-25) 0 = i) (-1) 3 = n) 0 1 = e) 25 0 = j) (-1) 4 = ñ) = 50. Completá con, ó =: a) d)7 5 : b) (9 2 ) e) [(-2) 3 ] 3 (-2) 7 c) (-2) 2 (-2) 5 f) (-4) 5 : (-4) 3 (-4) Completá para que las expresiones resulten verdaderas: a) (m ) 2 = m 6 d) t 7 : t. = t 0 b) (x 10 : x 8 ). = x 8 e) (b. ) 5. b 3 = b 3 c) a... a 5 = a 11 f) (y 8 : y. ) 2 = y 8 52.Completá el cuadro: n n 2 n n Decidí si es Verdadero o Falso. Explicá. a) (3 + 2) 10 = d) (4 7) 3 = b) (3 + 5) 2 = (3 + 5). (3 + 5) e) (6. 2) 4 = c) (8 : 4) 3 = 8 3 : 4 3 f) (9 6) 2 = (9 6). (9 + 6) 54. Resolvé aplicando las propiedades de la potenciación, enunciá en cada paso la propiedad aplicada: a) (a 5 ) 3. (a 4 : a 2 ) 2 = c) (t. t 2 ) 7 : t 5 ) 3 = b) (b 2. b 4 ) 3 : b 10 = d) [(a + b) 2. (a + b) 4 ] 5 = 55. Calculá, cuando sea posible, si no es posible explicá porque: a) = h) = b) = i) = c) = j) = d) = k) = e) = l) = f) = m) = g) = n) = 56. Resolvé aplicando la propiedad distributiva de la radicación: 7

8 a). = d) = b) = e) = c) = f) = 57. Completá escribiendo los dos números enteros consecutivos entre los que está comprendida cada raíz. a).. d).. b).. e).. c).. f) Separá en términos y resolvé, aplicando propiedades siempre que se pueda: a) : (-2) (4 3 0 ) = i) + ( ). (-1) = b) 25 : (-2-3) 2 + (-1).((10 30) = j) + (-16) 0 = c) (-3 + 8) 3 (4-2. 3) 2 = k) 2. (5 9) + = d) (-1-2) 3 + (10 88) 0 = l) + (-8 3) 2 = e) [16 : (-2) (-4)] 2 = m) = f) (-3) 35 : (-3) 33 ( ) = n) = g) 3 + (2 6) 3 - = ñ) 3 + = h) [(-2) 5 : (-2) 3 ] 3 (2 3.4) = o) - = Revisión e integración: 1. a) Escribí los opuestos de los siguientes números: 4, -3, 2, -5, 6 y -6 b) Ordená todos los números del ítem a) en forma creciente. c) Ubicalos sobre una recta numérica. 2. Resolvé cada situación y escribí la operación que corresponda: a) Juliana sube 6 pisos en el ascensor y luego baja 8 pisos, cuántos pisos más arriba o más abajo que al principio termina? b) Un buzo desciende 15 metros bajo el nivel del mar y luego 7 metros más, en qué posición respecto del nivel del mar se encuentra luego del último descenso? 3. Leandro y Jorge salen de su casa a pasear en bicicleta. Leandro avanza 6 Km y luego retrocede 2Km; mientras que Jorge avanza 8 Km y retrocede 5 Km. a) a qué distancia del punto de partida se encuentra cada uno? b) quién recorrió más Km? 4. Cuántos números enteros de una cifra hay? y de dos cifras? y de tres? 5. Calculá: a) -7-7 = b) = c) -2-3 = d) = 6. Ordená de menor a mayor, teniendo en cuenta que a 0: a; a ; a 2 ; a 3 ; a+1 7. Indicá si es Verdadero o Falso. Si es falso mostrá un contraejemplo. a) El producto de dos números enteros siempre es un entero positivo. b) El producto de varios números enteros negativos es siempre un entero negativo. c) El producto de varios números enteros positivos es siempre un entero positivo. 8. Ubicá en la recta numérica el -3, 0, 1, 2, 5 y 6: 9. A, B y C representan números enteros. Las siguientes son sus representaciones en la recta numérica: 8

9 a) Analizá los signos de los números que representan cada una de las letras. b) Ubicá en la misma recta los opuestos de A, B y C. c) Analizá los signos de A, B y C. d) De los siete números representados: Cuál es el menor? Por qué? Cuál es el mayor? Por qué? 10. De acuerdo con la siguiente representación del número M sobre la recta numérica: Ubicá en la recta numérica los siguientes números: a) M + 1 d) - M + 1 b) M 1 e) - (M + 1) c) - M 1 f) - (M 1) 11. Decidí si cada una de las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas, explicando el por qué de la decisión. Si decís falso proponé un contraejemplo. a) Si en una multiplicación de números enteros, la cantidad de factores es impar, el producto será negativo. b) Si en una multiplicación de números enteros negativos, la cantidad de factores es impar, el producto será negativo. c) Si en una multiplicación de números enteros, la cantidad de factores negativos es mayor que la de positivos, el producto será negativo. d) Si en una multiplicación de números enteros, la cantidad de factores negativos es impar, el producto será negativo. 12. Calculá: a) El área de un cuadrado cuyo perímetro es 24 m. b) El volumen de un cubo de arista 12 cm. c) El volumen de un cubo cuya cara tenga 64 m 2 de área. 13. Si un cubo de arista a + 2cm tiene un volumen de 343 cm 3, cuánto mide a? 14. Separá en términos y resolvé, aplicando propiedades siempre que se pueda: a) + 2. (-3 - = d) (-2) 34 : (-2) 32 (-6 3) + 4. (-1) 33 = b) = e) - (-2) 5 : (-2) 2 + = c) (-4) + = f) - ( ) 2 - = 9

10 Unidad 2: Números racionales. Noción de número irracional. Notación científica. Números Racionales: concepto. Noción de número irracional. Operaciones con números racionales, propiedades. Ordenamiento y ubicación en la recta numérica de elementos de distintos conjuntos numéricos. Lectura, escritura e identificación de números de distintos conjuntos. Pasaje a fracción. Cálculos combinados en Q. Notación científica. Actividad disparadora Trabajaremos en grupos. Cada grupo recibirá un folio con una hoja A4 amarilla y piezas de papel blanco. Deberán identificar qué fracción del papel amarillo representa cada una de las piezas. Cotejarán conmigo los resultados obtenidos. A continuación deberán armar el rompecabezas y decidir cuántas hojas A4 necesitarían como mínimo para reproducir el rompecabezas que recibieron. Intentaremos codificar la información a través de operaciones matemáticas. Definiciones y convenciones. Hasta aquí trabajamos con números naturales y enteros. Pero desde mucho antes conocés las fracciones y números decimales. Todos los números que puedan expresarse como cociente de dos enteros se llaman números racionales. El conjunto de todos los números racionales se denomina con la letra Existen distintas expresiones para este tipo de números; por ejemplo, del cociente entre 1 y 2 obtenemos el ½ (en su expresión fraccionaria) o el 0,5 (en su expresión decimal); pero entendemos que ambos representan el mismo número. En la fracción ½ decimos que 1 es el numerador y 2 el denominador, este nunca puede ser cero; ya que no está definida la división por cero. Por convención, cuando una fracción es negativa, escribimos el signo menos a su numerador, para que no se confunda con la raya de fracción. En la escuela primaria aprendiste que el denominador indica la cantidad de partes iguales en que se divide el entero, mientras que el numerador indica cuántas de esas partes tomamos. A su vez las fracciones se pueden clasificar en: Propias, cuando el numerador es menor que el denominador Por ejemplo: Impropias, cuando el numerador es mayor que el denominador. Éstas pueden expresarse también como números mixtos. Por ejemplo: Aparentes, cuando el numerador es múltiplo del denominador, por lo que representan números enteros. Por ejemplo: Las expresiones decimales también admiten clasificaciones, decimos que pueden ser: Exactas, aquellas con una cantidad finita (limitada) de decimales Por ejemplo: 0,27 ó 3,125 Periódicos puros, parte decimal se repite infinita cantidad de veces Por ejemplo: 0,33333 que anotamos ó 5, = Periódicos mixtos, tienen algún o algunos decimales no periódicos y otros periódicos 10

11 Por ejemplo: 0, = ó 3, = Para operar con expresiones decimales periódicas tenemos dos posibilidades, trabajar con sus expresiones fraccionarias (y así lograr exactitud en los resultados) o bien hacerlo con expresiones decimales aproximadas, ya que sería imposible operar con los infinitos decimales. Muchas veces no necesitamos suma exactitud y nos basta con una buena aproximación. Es importante que reconozcamos que al aproximar estamos introduciendo un error. Existen dos formas de aproximar, una es el truncamiento y otra el redondeo. Para truncar directamente cortamos y nos quedamos con los decimales que queremos considerar, es decir para aproximar por truncamiento el con tres decimales escribiríamos 0,166. Para aproximar por redondeo no sólo cortamos, sino que al hacerlo consideramos el valor de la primera cifra descartada; si esta es 5, 6, 7, 8 ó 9 aumentamos en 1 el último decimal considerado, es decir que para redondear ese mismo número con tres decimales escribiríamos 0,167, ya que el primer dígito descartado era 6. Actividades: 1. Indicá cuales de estos números son Naturales, Enteros o Racionales: -1; ; 2; ; ; 2. Cuál es mayor, ó? Justificá de varias maneras. 3. Odená en forma creciente: 4. Escribí todas las fracciones irreducibles que: a) tengan denominador 15 y están comprendidas entre 0 y 1. b) tengan denominador 17 y están comprendidas entre 1 y 2. c) tengan denominador 11 y estén comprendidas entre -2 y Escribí todas las fracciones irreducibles de denominador menor o igual que 5, comprendidas entre 0 y 1; y ordenalas en forma creciente. 6. Las siguientes figuras son cuadrados. Qué parte del cuadrado está sombreada en cada caso? 7. Sombreá de tres formas distintas 3/8 de un cuadrado. 8. Representá en forma gráfica estas fracciones: 9. Representá en la recta numérica: 10. Si un segmento de 8 cm representa del entero, cuántos cm de largo mide el entero? 11. Ubicá el 0, el 1 y el -1 en la siguiente recta numérica: 12. De los siguientes números: indicá cuáles son: a) Menores que cero b) Mayores que cero y menores que uno c) Mayores que uno d) Menores que Es lo mismo 3/5 que 3,5? Dá una justificación a tu respuesta. 14. a) Qué número está justo en la mitad entre 100 y 200? b) Y entre 60 y 120? c) Y entre 18 y 19? d) Y entre 6,3 y 6,4? e) Y entre 8,4 y 8,5? f) Y entre 4,42 y 4,43? g) Y entre? 15. a) Transformá estas fracciones en expresiones decimales y señalá cuáles son exactas, cuáles periódicas puras y cuáles periódicas mixtas: 11

12 b) Indicá en cada una de las anteriores entre qué números enteros consecutivos se encuentran. c) Aproximá la primera de ellas a los centésimos por truncamiento y por redondeo. Definiciones y convenciones Decimos que dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte del entero, por ejemplo: 2/3 4/6 8/12 Para obtener fracciones equivalentes se multiplica o divide numerador y denominador por el mismo número entero distinto de cero, así Llamamos fracción irreducible a aquella cuyo numerador y denominador tienen como único divisor común el 1. Simplificar una fracción es hallar su equivalente irreducible. Decimos que una fracción es decimal cuando tiene como denominador sólo potencias de 10, o es equivalente a una fracción de estas características. Las fracciones que admiten una fracción decimal equivalente son aquellas cuyos denominadores tienen como únicos divisores primos el 2 y/o el 5. Ejemplo: son fracciones decimales,, por lo que es una fracción decimal., por lo que es una fracción decimal. En una fracción decimal con denominador 100, el numerador representa un porcentaje, así si nos referimos a de los casos, estamos indicando 23 de cada 100, es decir el 23%; por lo que aceptamos que 23% Actividades 16. a) Elegí cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a b) Elegí cuál o cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes a 17. Hallá el valor de x para que se verifiquen las igualdades: a) b) c) d) 18. Para preparar un color verde intenso se mezclan 12 latas de azul con 9 latas de amarillo. Si se quiere preparar pintura conservando esa tonalidad, usando 15 latas de azul, cuántas latas de amarillo serán necesarias? y si se usaran 10 latas de amarillo, cuántas de azul necesitaríamos agregar? 19. Hallá la fracción irreducible de cada una de las siguientes expresiones decimales: a) 0,8 b) -1,4 c) 2,5 20. Expresá como porcentaje las siguientes fracciones: a) b) c) 21. Calculá de manera fraccionaria: a) el 10% de 120 b) el 30% de 80 c) el 45% de 180 d) el 70% de Indicá el porcentaje que representa cada fracción: a) b) c) d) 23. Expresá como fracción irreducible: a) 18% b) 35% c) 45% d) 80% 12

13 Equivalencias entre decimales y fracciones Como vimos, para pasar una fracción a decimal bastará con realizar el cociente entre el numerador y el denominador, pero cómo hacemos el camino inverso, es decir encontrar una fracción equivalente a un determinado decimal? El caso de los decimales exactos ya lo viste en la escuela primaria: 2,7 = 1,33 = 0,007 = En cambio para pasar a fracción decimales periódicos debemos trabajar un poco más. Nos basaremos en que al multiplicar toda una igualdad por un número distinto de cero obtenemos otra igualdad, así como al sumar o restar igualdades obtenemos otra igualdad, así por ejemplo, para encontrar la fracción equivalente al número n = = 0, n = 3,33333 restando n = 0,33333 obtenemos: 9 n = 3 de donde: n = Para el caso de un periódico mixto como por ejemplo: n = 100n = 16,6666 restando 10n = 1,6666 = 0, obtenemos: 90 n = 15 de donde: n = Y siempre podrás comprobar si lo hiciste bien, ya que al hacer los cocientes 1/3 obtendremos 0,33333 así como haciendo 1/6 obtendremos 0, Actividades: 24. Expresá como fracción irreducible las siguientes expresiones decimales: a) b) 4,36 c) d) e) f) Operaciones en Para sumar o restar fracciones, ambas deben tener el mismo denominador; por lo que, en los casos en que no es así deberemos buscar fracciones equivalentes a ambas con un mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores originales. Por ejemplo: Para multiplicar fracciones multiplicamos numerador con numerador y denominador con denominador, antes podemos verificar si se puede simplificar algo (es decir dividir por el mismo número algún valor del numerador con algún otro del denominador. Por ejemplo: ; ya que -25 y 5 se pueden simplificar por cinco, mientras que 14 y 21 se puede dividir por siete. Para dividir fracciones transformamos la división en una multiplicación del inverso, es decir: Para elevar una fracción a un exponente natural, se elevan el numerador y el denominador a dicho exponente, por ejemplo: Para hallar la raíz de índice n de una fracción se halla la raíz del numerador y del denominador, entonces: Como vimos en la unidad 1, la potenciación dispone de ciertas propiedades, que por supuesto se deberán seguir cumpliendo con los racionales. Pero aún nos falta averiguar qué significa elevar a un exponente negativo, y resolverlo. 13

14 Por ejemplo queremos calcular, por supuesto que se deberán seguir cumpliendo las propiedades estudiadas. Les propongo estudiar un rato el caso y luego compartiremos las propuestas y las pondremos a prueba Elaboraremos juntos las conclusiones. Actividades: 25. Cuánto hay que agregar a para obtener? 26. En cuánto excede? 27. Indicá el sumando que falta: a) c) e).. + b).. + d) f) Completá el cuadrado mágico: 2/ /5-4/5 29. Cuánto valen los 5/8 de un terreno que mide 260,35 m 2 a razón de $550 el m 2? 30. Cuántos alfileres de 3,5 cm de largo se pueden fabricar con un alambre de 285m?, sabiendo que hay una pérdida de 2 mm de alambre por cada alfiler. 31. Dos caminantes deciden hacer el viaje de Buenos Aires a Luján en tres etapas. El primero recorre 1/3 del camino en la primera etapa y 5/9 en la segunda etapa. El segundo hace ¼ del camino en la primera etapa y 3/5 en la segunda etapa. Al finalizar la segunda etapa, cuál de los dos está más cerca de Luján? 32. Un alpinista intenta llegar a la cumbre de una montaña con el siguiente plan de viaje: el primer día recorrerá la mitad del camino, el segundo día la mitad de lo que le falte, y cada uno de los días siguientes recorrerá la mitad de lo que le falte para alcanzar la cumbre. Al finalizar el quinto día de marcha, de acuerdo con su plan, qué parte del recorrido le falta para llegar a la cumbre? 33. Al cumplir 21 años el maestro de artes marciales recorrió el mundo para aprender la sabiduría de la naturaleza; en este viaje ocupó la séptima parte de su vida. Dedicó la mitad de su vida a enseñar en el templo. Y su ancianidad que duró un séptimo de su vida, la pasó lejos del templo, dedicado a la meditación. Cuántos años vivió el maestro? 34. En un curso de 25 alumnos, 2/5 de esa cantidad estudia computación, la quinta parte de los restantes estudia inglés y el resto practica deportes. Cuántos alumnos estudian computación? Cuántos alumnos estudian inglés? y cuántos practican deportes? 35. Laura gastó los 2/5 de sus ahorros en regalos, ¼ en ropa y le quedaron $49. a) Cuánto dinero había ahorrado? b) Cuánto dinero gastó en ropa? c) Cuánto dinero gastó en regalos? 36. Aldo y Bruno tenían cada uno la misma cantidad de dinero para pasar sus vacaciones. Aldo gastó 1/3 la primera semana, 1/2 la segunda semana y el resto lo ahorró. Bruno gastó 1/4 la primera semana pero ahorró el doble de lo que ahorró Aldo.

15 Si Bruno ahorró $156, cuántos pesos gastó Bruno la segunda semana? 37. Un corredor se entrena en una pista. El afirma que en la primera etapa de la carrera recorrió 1/3 de la pista, y en la segunda y última etapa recorrió los ¾ restantes. Es posible? 38. De una jarra que contiene 2 ¼ litros de agua llene dos vasos de ¼ litro cada uno y un vaso de 1/3 de litro. Cuánta agua quedo en la jarra? 39. A Juan le proponen que elija la bolsa de golosinas más pesada. La primera bolsa pesa 3 ½ kg y la segunda pesa 20/6 kg. Cuál pensás que eligió Juan? Cuánto pierde si elige mal? 40. María gastó 1/3 de sus ahorros en libros para la escuela y 5/9 de los mismos en un regalo de cumpleaños para su mamá. a) Qué parte de sus ahorros gastó? b) Qué parte le quedó? c) Gastó más en los libros o en el regalo? d) Si tenía ahorrados $ 126, Cuánto le costaron los libros? e) Y el regalo? f) Cuánto dinero le quedó? 41. La cuarta parte de un camino es de tierra; las dos quintas partes, de empedrado y el resto está asfaltado. a) Qué parte del camino está asfaltado? b) Cuál de las tres partes del camino es más largo? c) Está asfaltada más de la mitad del camino? d) Si el camino tuviera 140 Km, Cuántos kilómetros estarían empedrados? e) Cuántos de tierra? f) Y asfaltados? 42. Calculá, pasando previamente todo a fracción, simplificando y aplicando propiedades cuando sea posible: a) b) c) d) e) f) g) h) Notación científica Cuando los dígitos del visor de la calculadora no alcanzan para expresar un número, porque es muy grande o muy pequeño, muchas calculadoras utilizan expresiones diferentes. Por ejemplo para , puede leerse: , o también 3.9 x10 11 Recordá que en la calculadora el punto es equivalente a nuestra coma. Cuando un número se expresa en la forma a x 10 n, donde a es un número racional mayor o igual que 1 y menor que 10, y n es un entero, se dice que ese número está expresado en notación científica. 15

16 Las calculadoras científicas tienen la tecla Exp que se utiliza para escribir números en notación científica. En nuestro ejemplo, para escribir deberíamos escribir 3. 9 Exp 1 1 Para entender un poco más les propongo las siguientes Actividades: 43. Completá el cuadro. En la columna del centro escribí el resultado de cada cálculo, usando la calculadora. En la columna de la derecha escribí el resultado obtenido haciendo la cuenta en papel o mentalmente. Cálculo Con la calculadora En papel o mentalmente 123 x x x A partir del problema anterior, anticipá que aparecerá en el visor de la calculadora al realizar cada cálculo. Luego comprobá con la calculadora. Cálculo Anticipo La calculadora mostró 108 x x x x x x x Indicá cuál o cuáles de las siguientes escrituras corresponden al número , y de todas ellas cuál es la correcta en notación científica. a) 12,34 08 b) 1, c) 1, d) 1, e) 0, Expresá en notación científica: a) b) 0, c) d) 347, Expresá cada número en notación científica y después resolvé aplicando las propiedades del producto y la potenciación y expresá el resultado en notación científica: a) = b) : 0, = c) 0, : -0, = d) 0, : = 48. Calculá, aplicando propiedades y expresá el resultado en notación científica: a) (2, ) 2 = b) (3, ) : (1, ) -1 = c) d) 49. Escribí cada número en notación científica, calculá aplicando propiedades y expresá el resultado en notación científica: a) b) c) = Revisión: 1. Señalá entre los números siguientes, cuáles son naturales (N), cuáles enteros (Z), y cuáles racionales (Q) : 2/3 ; 5 ; 0,7 ; 1/7 ; -3 ; 2 ; -3,7 Representálos en la recta numérica. 2. Completá el cuadrado mágico 2,25 6 1,25 3,75 1,25 3,5 1,5 5,25 5,5 2,5 3 4,75 0,75 2,75 0,5 2,25 16

17 3. Ordená los números de menor a mayor: -3,090 ; -3,1 ; -3,0901 ; -3,092 ; 5,001 ; 5,009 ; 5,09 ; 5, Cuál es mayor 11/12 ó 12/13? Justificá de tres formas diferentes. 5. Tres recipientes contienen agua: el primero 50/47 de litro, el segundo 62/55 de litro y el tercero 33/30 de litro. Qué recipiente contiene menos agua y cuál más? 6. Si de un camino se han recorrido las tres séptimas partes, Cuántos más debe recorrer para llegar a la mitad del camino? 7. Escribí dos racionales comprendidos entre: a) -3 y -2 d) 0,2 y 0,22223 b) e) -12,976 y -12,975 c) f) 6,0008 y 6,00009 Explicá en cada caso el procedimiento empleado. 8. El 45% de los alumnos de un curso son varones y 22 son mujeres, Cuántos alumnos hay en el curso? 9. Matías tiene dos bolsas de 120 caramelos cada una. Le regala a Pedro la mitad de una bolsa, a Juan un sexto del total de caramelos y a Martín dos quintos de los que le quedaban, Cuántos caramelos le quedan? 10. Es posible establecer cuántas fracciones con denominador 13 hay entre dos números enteros consecutivos, sin considerar esos números? 11. La siguiente tira mide 2/3 de cierta unidad. Dibujá otra tira que mida 5/6 de esa misma unidad 12. Inés tiene una jarra y un balde. A partir de volcar el contenido de la jarra en el balde establece que, con 8 jarras llena 3 baldes. a) Qué parte del balde es la jarra? b) Cuántas jarras necesita para llenar un balde? 13. Ubicá en la recta el 1 y el -1/2 en la siguiente recta: 14. Ubicá los números 0,5 y 1 en la siguiente recta: 15. Ubicá el cero en la siguiente recta: 17

18 Bloque: Introducción al Álgebra. Unidad 3: El lenguaje simbólico. Uso de las expresiones algebraicas. Pasaje al lenguaje matemático. Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Resolución de problemas. Ecuaciones y problemas con racionales. La matemática tiene un lenguaje específico, denominado simbólico, por utilizar símbolos, que debemos ir conociendo, además de números y letras. El lenguaje que se utiliza cotidianamente lo denominamos lenguaje coloquial, así cuando en el lenguaje coloquial decimos: y en lenguaje simbólico escribimos: Cinco es menor que ocho 5 8 La suma de dos números es diez m + n = 10 El producto de dos números es mayor que cero a. b 0 Algunos símbolos matemáticos para tener en cuenta: es y es o se lee entonces o implica a b significa que a divide a b Actividades: 1. Expresá en lenguaje simbólico: a) La suma de dos números es menor que siete. b) El producto de tres números es negativo. c) La diferencia de dos números es positiva. d) El cociente de dos números es cuatro. e) La suma de un número y su consecutivo es el opuesto de cinco. f) El cuadrado de un número es menor que cincuenta. g) El cubo de un número es mayor que cuatro. h) La diferencia entre dos números es menor que su cociente. 2. Expresá en lenguaje simbólico y resolvé: a) La suma entre cuatro y menos siete. b) La diferencia entre nueve y trece. c) El módulo del opuesto de quince. d) El siguiente de menos cinco. e) El producto entre menos siete y cuatro. f) El anterior del opuesto de diecisiete. g) El cociente entre treinta y menos cinco. h) La diferencia entre nueve y menos tres. i) El cuadrado de menos cuatro. j) El cubo del opuesto de cinco. k) El cubo de la diferencia entre cinco y siete. l) El cuadrado de la suma entre siete y menos nueve. m) La suma de los cuadrados de dos y cinco. n) La diferencia de los cubos de tres y cuatro. 3. Uní las expresiones equivalentes: a) x.x x 4 b) x + x 1 c) x x 2x d) 2x x 0 e) x 2 + x 2 x x 2 f) x 2. x 2 2x 2 4. Expresá en lenguaje simbólico, teniendo en cuenta que cuando dice un número tiene que ser absolutamente cualquiera, que no conocemos pero no es uno en especial: 18

19 a) El siguiente de un número. b) La suma de un número y su anterior. c) Un número par cualquiera. d) Un número impar cualquiera. e) Un múltiplo de tres. f) La mitad de un número. g) El doble de un número. h) El consecutivo de un número. i) El cuadrado del consecutivo de un número. j) El anterior del cuadrado de un número. k) El cuádruple del siguiente de un número. l) La tercera parte del anterior de un número. m) El anterior de la tercera parte de un número. n) El siguiente del cuádruple de un número. 5. Decidí en cada caso si la afirmación es V o F. En los F corregí el segundo miembro (lo que está a la derecha del igual) para que sea V. a) x + x + x = x 3 b) 5x x = 4 c) 2x + 2x = 4x d) x : x = 0 e) x. (x + 1) = x f) 5x : 5x = 1 g) 5x = x. x. x. x. x h) 4x : 4 = x i) 2x. 3x = 6x j) x 3 + x 3 = x 6 6. Completá con el número que corresponda en cada caso: a) a.b = 20 a = -5 b =. b) a = 7 a < 0 a =. c) a b = 7 a = 2 b =. d) a : b = 1 a = -6 b =. e) a.b = 0 a = -5 b =. f) a 2 = 25 a < 0 a =. g) a + b = 12 a = 20 b =. h) a : b = 5 b = -8 a =. i) (a + b) 2 = 9 a = -7 b > 8 b =. j) a + b = 0 b = 8 a =. 7. Escribí todos los números enteros n que cumplen las siguientes condiciones: a) n > -5 n 0 b) -3 < n < 1 c) n 6 d) n 2 = 25 e) (n + 1) 2 = 9 f) n = 8 g) n 2 h) n = -20 < n < 10 i) 4 n < 7 j) n 2 < 10 Ecuaciones. Llamamos ecuación a una igualdad con alguna letra que se hace verdadera para algunos valores de la letra, o ninguno. El conjunto de valores que hace verdadera la expresión se denomina conjunto solución. En el caso en que la ecuación no tiene solución decimos que el conjunto solución es vacío y lo representamos con el símbolo. Así por ejemplo: 1) 3x + 5 = 17 es una ecuación que se hace verdadera cuando x = 4, decimos entonces que S = {4} 2) x + 4 = x es una ecuación sin solución, ya que ningún valor de x la verificará, decimos así que S = Expresiones del tipo x + x = 2x son verdaderas para cualquier valor que tome la x, en ese caso decimos que es una identidad. Actividades: 8. Uní cada ecuación con su conjunto solución: a) 2x x = 0 S = {-5} b) x x = 1 S = c) x + 1 = 4 S = {0} d) 3x = 2x + 7 S = {5} e) x : x = 2 S = {7} f) x + 5 = 0 S = {3} 19

20 9. Hallá el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: a) 2x 7 = 5x 2 b) 3 + 4x = 4x 5 c) -3x + 6 = x 10 d) 5x 2x + 1 = x 11 e) x + 3x 2 = 3x 2 f) x + 8 = 2x 8 + 3x g) 6x + 7 2x = -x 8 h) -9 7x = 6 2x 10 i) -4x + 3 7x = -9 8x j) 3x 4 = x x 10. Planteá una ecuación, resolvela y respondé: a) La suma de un número entero y su consecutivo es treinta y cinco, Cuál es el número? b) El doble de un número es igual a la tercera parte de setenta y dos, Cuál es el número? c) La suma de un número entero y su anterior es cuarenta y siete, Cuál es el número? d) La tercera parte de un número es igual al cuadrado del opuesto de tres, Cuál es el número? e) La suma de un número entero y su siguiente es treinta y seis, Cuál es el número? 11. Hallá el conjunto solución, aplicando la propiedad distributiva: a) 5.(x + 3) = 2x 3 b) x 10 = 5.(x 2) c) 7.(x 2) = 3.(x + 2) d) 2.(2x 1) = 7.(x + 1) e) 2.(x + 5) 3x = x + 18 f) 3x + 5.(1 + 2x) = 5x -11 g) 4.(x + 7) 6 = 9.(x 2) h) 3.(2x + 3) 4.(x 5) = 1 i) 7 3.(2 x) = 10.(x 2) 12. Planteá una ecuación, resolvela y contestá: a) El doble del anterior de un número es noventa y seis, Cuál es el número? b) El anterior del cuádruplo de un número es setenta y cinco, Cuál es el número? c) El triple del siguiente de un número es cincuenta y uno, Cuál es el número? d) El doble del siguiente de un número es igual al triple de su anterior, De qué número se trata? e) La suma del triple de un número y el triple de su consecutivo es ochenta y uno, Cuál es el número? f) Si el lado de un cuadrado se aumenta en 5 cm, su perímetro es 48 cm, Cuál es la longitud del lado original? g) El quíntuple de la edad que tenía Macarena hace 4 años es 65 años, Qué edad tiene Macarena hoy? h) La suma entre un ángulo y el doble de su complemento es 110, Cuánto mide el ángulo? 20

21 Bloque: Geometría y magnitudes Unidad 4. Revisión elementos primitivos: punto, recta, plano. Semirrecta. Segmento. Semiplano. Congruencia. Revisión ángulos: elementos, nomenclatura. Relación entre pares de ángulos: complementarios, suplementarios, consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice. Ángulos entre paralelas. Lugares geométricos: circunferencia, mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo. Figuras: triángulos y cuadriláteros. Elementos del triángulo: medianas, alturas, mediatrices y bisectrices. Puntos notables del triángulo. Criterios de congruencia de triángulos. Triángulos rectángulos. Relaciones entre ángulos y lados de un triángulo. Teorema de Pitágoras. Cálculo de distancias. Resolución de problemas. Perímetro y área de figuras. Revisión unidades de: longitud, superficie, volumen, capacidad, peso y ángulos. Definiciones y convenciones: Repasemos qué cosas sabemos de geometría. Hay elementos imposibles de definir, ya que todo intento de definición termina recurriendo a la misma noción que quiere definir, por ejemplo diríamos que una recta es un conjunto de puntos alineados, pero, el concepto de alineación tiene que ver con pertenecer a la misma recta. Por lo que aceptaremos por conocidos (sin necesidad de definirlos) tres conceptos básicos: punto, recta y plano. Si consideramos un punto particular P, sobre una recta r quedarán determinados dos sectores sobre la recta, desde P hacia un lado, y desde P hacia el otro. Decimos que esas son semirrectas. Si además marcamos un segundo punto Q, quedan determinados sobre la recta un segmento, el PQ y dos semirrectas. Análogamente, si consideramos una recta contenida en un plano, quedarán determinados dos sectores en el plano, con borde en esa recta, llamados semiplanos. La igualdad de figuras geométricas se denomina congruencia y se comprueba por superposición. Decimos que dos figuras son congruentes cuando pueden ser superpuestas exactamente, sin sobrar ni faltar nada. Ángulos Dadas dos semirrectas con igual origen determinan dos ángulos, uno cóncavo y otro convexo. A las semirrectas se las denomina lados del ángulo, en este caso los lados son las semirrectas OA y OB. Al punto O, (origen de las dos semirrectas) se lo denomina vértice. Para nombrar un ángulo se pueden utilizar distintas formas: Ángulo AOB (nombrando el vértice en el medio) Ángulo O (escribiendo sólo el vértice) O utilizando letras griegas ( Si dos rectas se cortan formando cuatro ángulos iguales decimos que esos ángulos son rectos. Ángulos que miden el doble de un recto se llaman llanos. Ángulos menores que el recto se llaman agudos y a los mayores que el recto, pero menores que el llano se los denomina obtusos. Los ángulos se miden en grados sexagesimales ( ), cada grado se compone por 60 minutos ( ) y cada minuto por 60 segundos ( ). El ángulo recto mide 90. Cuando los dos lados coinciden, la amplitud del ángulo es 0 y se lo llama ángulo nulo. Repasemos ahora las formas de clasificar pares de ángulos, según su posición y según su medida. Según la medida; cuando dos ángulos suman un recto, es decir que suman 90 decimos que son complementarios. Mientras que, si suman un llano, es decir 180, se les llama suplementarios. Según la posición, decimos que dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando tienen en mismo vértice y los lados son semirrectas opuestas. Mientras que si tienen el vértice y todo un lado en común se llaman consecutivos. Un caso muy particular es el de los ángulos adyacentes que combinan ser consecutivos y suplementarios, es decir que tienen un lado en común y suman

22 Ángulos entre paralelas. Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal determinan 8 ángulos, y, a menos que sean los 8 rectos ( cuándo ocurrirá eso?), serán 4 agudos y 4 obtusos. En la figura las rectas a y b son paralelas y están cortadas por la recta t. Como podemos observar encontramos 4 pares de ángulos opuestos por el vértice: y y y y por último y Por supuesto que serán congruentes entre sí. Decimos que las parejas: y y y y y son correspondientes entre paralelas. Y son congruentes entre sí. Se llaman alternos a aquellos que están uno de cada lado de la transversal, así son alternos internos entre paralelas: y y y Y alternos externos entre paralelas: y y y Los pares de ángulos alternos entre paralelas también son congruentes entre sí. Mientras que a las parejas: y y y se las llama conjugados internos entre paralelas. Y a: y y y se los llama conjugados externos entre paralelas. Los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios entre sí. Actividades: 1. Colocá Verdadero o Falso, según corresponda en cada caso: a) Un ángulo llano es igual al doble de un recto. b) La suma de dos ángulos obtusos es un ángulo convexo. c) El complemento de un ángulo nulo es un ángulo recto. d) La mitad de un ángulo obtuso es un ángulo agudo. e) La diferencia entre un ángulo llano y uno agudo, es un ángulo obtuso. f) El doble de un ángulo agudo es mayor que un recto. g) El suplemento de un ángulo obtuso es un ángulo agudo. h) La mitad de un ángulo cóncavo es un ángulo obtuso. 2. Planteá una ecuación, resolvé y calculá la amplitud de cada ángulo marcado. Justificá tu planteo. a) b) c) d) e) f) g) h) i) 22

23 3. Sabiendo que a // b, y los datos indicados en cada caso, planteá una ecuación y calculá el valor de y Justificá en cada caso tu planteo. a) b) c) d) 4. Si mide el triple de lo que mide y sabemos que a // b, cuál es la amplitud de? Lugares geométricos. Definición: Se llama Lugar Geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad. Ya conocemos varios objetos geométricos definidos como lugares geométricos, por ejemplo: la circunferencia y la esfera. Les propongo ahora dibujar un segmento AB y marcar en la hoja varios puntos que estén a igual distancia de A y de B. Qué quedará dibujado cuando marques todos los puntos que cumplen esa condición?. Si ahora, en lugar de un segmento tenemos un ángulo, marcaremos varios puntos que estén a igual distancia de los lados del ángulo. Qué figura quedará dibujada cuando los marquemos todos? Formalicemos las definiciones: Llamaremos mediatriz de un segmento al conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento. Resulta ser una recta perpendicular al segmento, en su punto medio. Llamaremos bisectriz de un ángulo al conjunto de puntos que equidistan de los lados del ángulo. Resulta ser una semirrecta con origen en el vértice del ángulo, que lo divide en dos ángulos congruentes. Actividades: 5. Repasemos las construcciones de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo. Triángulos. Actividades: 6. Para recordar la clasificación de los triángulos según sus lados y según sus ángulos, dibujá los triángulos que se indican en el cuadro: 23

24 Según sus lados 2 E.S. MATEMÁTICA Prof. Claudia Mazzini Según sus ángulos Acutángulo Rectángulo Obtusángulo Equilátero Escaleno Isósceles 7. Sabiendo que dos de los ángulos interiores de un triángulo son respectivamente de y de , cuánto mide el tercero? 8. Datos: = A = Calculá los ángulos: B y C 9. ABC triángulo rectángulo Datos: CO bisectriz α = Calculá los ángulos: A, C, B y COA m // AC Datos = ABC triángulo rectángulo 11. Datos Calculá los ángulos: A,B y C ABC triángulo isósceles ángulo A = ángulo B = AO bisectriz de A Calculá los ángulos: A, B y C 24

25 12. Sabiendo que en un triángulo isósceles los ángulos congruentes son de 36 20, calculá el restante. 13. Hallá el valor de los ángulos congruentes en un triángulo isósceles, sabiendo que el tercero es de A = x + 30 Datos: B = 2x 40 C= x + 70 Calculá: A, B y C 15. N = 3x Datos T = 4x - 5 = 6x + 10 Calculá : N,T,Q y 16. Datos: C = ángulo ABP = Calculá: A y B 17. Hallá x, A, B y C 18. AB = BC; AC = BC; Hallá DBC 19. Hallá A + B - C 20. Sabiendo que + = 245º; hallá C 21. Hallá x 22. Sabiendo que <CAB = 28º; hallá C 23. Sabiendo que BM bisectriz; = 2x + 15 = x + 20 C = 10x + 35 A = 6x + 15 Hallá A, B y C 24. Sabiendo que C = 8x 5 = 10x + 15 B = 3/2.x + 25 Hallá A, B y C 25. Hallá x 25

26 26. El verano pasado tres primos enterraron una caja con tesoros personales a igual distancia de cada uno de los tres únicos ombúes de la quinta del abuelo. Hoy quieren hallar la caja. Intentá hallar el lugar donde fue enterrada la caja. 27. Un centro comercial se encuentra a la misma distancia de las tres autopistas principales de una ciudad. Determiná la ubicación del centro comercial en el siguiente plano: Elementos y puntos notables de un triángulo. En todo triángulo reconocemos ciertos elementos, por ejemplo los vértices, que son puntos; los lados, que son segmentos, los ángulos internos y externos. Sobre los lados, como segmentos que son podemos trazar sus mediatrices, por lo cual todo triángulo tendrá 3 mediatrices. Y en cada ángulo interno se puede trazar su bisectriz, por lo cual todo triángulo tendrá 3 bisectrices, correspondientes a cada uno de sus ángulos internos. Existen otros dos elementos que aunque no aparezcan dibujados en el triángulo son muy importantes. Se llama mediana de un triángulo al segmento que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto; y por supuesto podemos trazar 3 medianas en todo triángulo. 26

27 Se llama altura de un triángulo al segmento perpendicular al lado considerado base, que llega hasta el vértice opuesto. Así considerando sucesivamente los tres lados como bases podremos trazar 3 alturas en cualquier triángulo. Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. Las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro, porque es el centro de la circunferencia circunscripta al triángulo. Las tres bisectrices de los ángulo de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro, porque es el centro de la circunferencia inscripta al triángulo. La circunferencia que contiene a los vértices del triángulo se llama circunscripta (es la más chica, dentro de la cual podemos dibujar ese triángulo). La circunferencia interior al triángulo que toca a sus lados en un punto se llama inscripta (es la más grande que podemos hacer dentro del triángulo). Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, mientras que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Se puede verificar que siempre el cuadrado de la medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos. Esta relación es el denominado teorema de Pitágoras. A 2 = B 2 + C 2 Existen muchas demostraciones de este teorema, una comprobación geométrica es la siguiente: 27

28 Como se puede ver se parte de dos cuadrado iguales, en ambos casos se le resta el área de los 4 triángulos rectángulos idénticos. En el primer caso el área blanca es el cuadrado hecho con la medida de la hipotenusa. En el segundo quedan dos cuadrados blancos, con las medidas de los catetos. Actividades: 28. Utilizando Geogebra dibujá un triángulo ABC y sobre él trazá: a) las alturas y determiná el Ortocentro. b) las medianas y determiná el Baricentro. c) las mediatrices de los lados y determiná el Circuncentro. Trazá la circunferencia circunscripta. d) las bisectrices de los ángulos y determiná el Incentro. Trazá la circunferencia inscripta. 29. Dibujá en tu carpeta un triángulo escaleno acutángulo PQR. Llamá M, N y O a los puntos medios de sus lados PQ, QR y PR respectivamente. Trazá la mediana correspondiente a cada lado. Llamá B al punto de intersección de las tres medianas. Medí con el compás el segmento MB y verificá cuántas veces está contenido en el segmento BR. Realizá lo mismo con NB y BP; y luego con OB y BQ. Qué fracción de la longitud total de cada mediana es la distancia de B a cada vértice? 30. Si tres números naturales pueden ser las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, se dice que forman una terna pitagórica. Se llama terna a un conjunto de tres números. Un ejemplo de esto es la terna formada por los números 3, 4 y 5; ya que = 5 2 Averiguá cuáles de las siguientes ternas son pitagóricas: a) 13, 12 y 5 b) 10, 4 y 6 c) 12, 6 y 9 d) 60, 36 y Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos son de 40 cm y 9 cm, respectivamente? Redondeá el resultado a los centésimos, en todos los problemas en que el resultado no sea exacto. 32. Cuánto medirá la diagonal de un rectángulo de 6 cm de base y 4 cm de altura? 33. Las diagonales de un rombo miden 12 m y 16 m, respectivamente. Calculá el perímetro del rombo. 34. Cuánto medirá la altura de un triángulo equilátero de lado 10 cm? 35. Cuál será el perímetro de un triángulo isósceles de base 6 cm y altura 10 cm? 36. El perímetro de un triángulo isósceles es 28,8 cm y la base mide 10,8 cm. a) Cuánto mide cada uno de los lados iguales? b) Cuánto mide la altura correspondiente a esa base? c) Calculá el área del triángulo. 37. Calculá el valor de x en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos: a) b) c) d) 38. Realizá una figura de análisis y resolvé: a) Cuál es la altura de un rectángulo cuya base mide 18 cm y su diagonal 30 cm? b) Cuánto mide la diagonal de un rectángulo cuya base mide 21 cm y su perímetro 98 cm? 28

29 c) Calculá el área de un triángulo isósceles de 24 cm de base y 64 cm de perímetro. d) Calculá el perímetro de un triángulo isósceles de 12 cm de base y 48 cm 2 de área. Revisión: 1. Sabiendo que BM altura; MBC = 2x + 15 A = 5x 25 C = 3x + 25 Hallá A, B y C 2. Sabiendo que BM bisectriz; = x = 6x + 10 A = B 25 Hallá A, B y C 3. Sabiendo que: C = x 5 B = ½.x + 50 = 2x + 15 Hallá A, B, C y 4. Aplicando el teorema de Pitágoras determiná si un triángulo cuyos lados miden 7 cm, 10 cm y 13 cm es acutángulo, rectángulo u obtusángulo. 5.Construí un ángulo de 60º sin utilizar el transportador. Identificá qué propiedades permiten la construcción propuesta. 6. Qué ángulo formarán las bisectrices de dos ángulos adyacentes? Realizá la figura. 7. Es posible dibujar un triángulo equilátero sabiendo que la distancia del baricentro a la base es igual a 2 cm? Si se puede construilo, y si no justificá tu respuesta. 29