LÓGICA PROPOSICIONAL. Capítulo 1 INTRODUCCIÓN

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1 Cpítul LÓGIC PROPOSICIONL INTRODUCCIÓN L lógi stui l frm rzmit. Es u isipli qu s utiliz pr trmir si u rgumt s váli, ti pliió ts ls mps l sr; l filsfí, pr trmir si u rzmit s váli, y qu u frs pu tr ifrts itrprtis; si mrg l lógi prmit sr l sigifi rrt. Ls mtmátis us l lógi, pr mstrr trms ifrir rsults qu pu sr plis ivstigis. E l mputió, pr rvisr prgrms y rr sus lgritms, s utiliz l isñ mputrs. Eist iruits itgrs qu rliz pris lógis ls its, gris sts s h srrll ls tlmuiis (tlfí móvil, itrt,...) u i. Es ulquir frs u rió qu prs S ris svrtivs qu s pu lifir m vrrs flss. S rprst ls ltrs miúsuls l ri: p ; q ; r ; s. Ejm pl: * Túp mru murió pit. * 9 < 0 * = S uis qu pu tmr ulquir ls vlrs vr.. Prpsiió Simpl: S prpsiis qu ti juis grmtils i vri gió. Ejm pl: * Ciut s múltipl iz.. Prpsiió Cmpust: rm pr s más prpsiis simpls uis pr tivs lógis pr l vri gió. Ejm pl: * 9 s u úmr prim y s impr. Símls qu lz s más prpsiis simpls pr frmr u prpsiió mpust. Ls trs lógis qu usrms s : ~ Ngió N p Cjuió p y q Disyuió p q Ciil Biiil Disyuió Elusiv Si p, ts q p si y sól si q "......" OBS: L gió s u tr mái, ft slmt u prpsiió. Ejm pl: Si : P() : 6 S umpl qu: P(9) : 9 P() : 6s vrr 6 s fls El vlr vr P() p l vlr, tmié, s l m fuió prpsiil. L vliz u prpsiió mpust p ls vlrs vr ls prpsiis simpls qu l mp y s trmi mit u tl vr.. Cjuió: Viul s prpsiis mit l tiv lógi "y". Tl Vr p q p q V V V V V

2 . Disyuió: Viul s prpsiis mit l tiv lógi "". Tl Vr p q p q V V V V. Disyuió Elusiv: Viul s prpsiis mit l tiv lógi: "...,..." V V V Tl Vr p q p q V V V V V V * Cu ls vlrs l prr priipl s ts vrrs s i qu l squm mlulr s. * S irá qu l squm mlulr s si ls vlrs l prr priipl s ts flss. * Si ls vlrs l prr priipl ti pr l ms u vr y u fls s i qu s. LEYES DE ÁLGEBR PROPOSICIONL S quivlis lógis qu s prmit ruir squms mlulrs mpljs y prsrls frm más sill. Ls mstris ihs lys s h struy l tl vr s.. Ciil: Viul s prpsiis mit l tiv lógi : "Si..., ts..." Tl Vr p q p q V V V V. Biiil: Viul s prpsiis mit l tiv lógi: "... si y sól si..." V V V Tl Vr p V V q V V 6. Ngió: ft u sl prpsiió. Es u prr mái qu mi l vlr vr u prpsiió: p V V q. Ly Impti: p p p p p p. Ly Cmuttiv: p q q p p q q p. Ly sitiv: (p q) r p (q r) (p q) r p (q r). Ly Distriutiv: p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r). Ly l Dl Ngió: ~ (~ p) p f. Lys Iti: Tl Vr p V V ; p p p ~ p p V p ; p V V g. Lys l Cmplmt: L ti fils u tl s: # fils = D s l ti prpsiis simpls. p ~ p V p ~ p h. Ly l Ciil: p q ~ p q

3 i. Ly l Biiil: p q (p q) (q p) p q (p q) (~ p ~ q) p q ~ (p q) j. Ly srió: p (p q) p p (p q) p p (~ p q) p q p (~ p q) p q U iruit mutr pu str slmt s sts stls : rr irt, sí m u prpsiió pu sr vrr fls, ts pms rprstr u prpsiió utiliz u iruit lógi:. Ciruit Sri: Ds itrruptrs ts sri rprst u juió. p q p q k. Lys "D Mrg": ~ (p q) ~ p ~ (p q) ~ p ~ q ~ q. Ciruit Prll: Ds itrruptrs ts prll rprst u isyuió. p p q q. Cutifi r Uivrsl: S l fuió prpsiil f () sr u jut, l utifir ("pr t") ii qu ts ls vlrs l jut h qu l fuió prpsiil s vrr. s l : "Pr t" f () LÓGIC BINRI L lógi iri trt vrils qu tm vlrs isrts y pris qu sum sigifi lógi, pr st prpósit s vit sigr ls vlrs y 0. PRINCIPLES COMPUERTS LÓGICS Ejm pl: S : f : () L prpsiió utifi s : N ; s fls. N * Cmpurt ND s trs. p q * Cmpurt OR s trs p q. Cutifir istil: S f () u fuió prpsiil sr u jut l utifir (ist lgú) ii qu pr lgú vlr l jut, l fuió prpsiil f () s vrr. p q * Cmpurt NOT p p q ~p s l : "Eist lgú" * Cmpurt NND s trs p q ~ ( p q) Ejm pl: S f () : 8, : Z Z / 8 s vrr:, l prpsiió: * Cmpurt NOR s trs p q ~ ( p q)

4 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. D ls siguits uis: * Qué ri urz. * 7 + > 0 * y Qué ltrtiv s rrt? ) VV ) VVV ) V ) V ) 06. Si : ( p ~ q) r ; s fls, trmir ls vlrs vr "p", "q" y "r". ) U s prpsiió. ) Ds s uis irts. ) Ds s prsis prpsiils. ) Ds s prpsiis. ) Ts s prpsiis. 0. Cuáts ls siguits prsis s prpsiis? * Dis mí... s murió! * El lr s l rgí trásit. * Bil ms qu stés trist. * Simpr qu stui, m sit fliz. * El lfí s u tá, y qu s u mmífr mri. ) ) ) ) ) 0. Ds ls siguits prsis: * El átm s v, pr ist. * Ls tigrs s pquirms, tmp ls utris. * Tm u isió rápi. * Hy 900 úmrs turls qu s rprst trs ifrs. * L Mtmáti s ii fáti. * Es impsil qu l ñ tg mss. Cuáts s prpsiis simpls? ) 0 ) ) ) ) 0. Hllr l vlr vr ls siguits prpsiis: ( ( ( 7 ) ) 0) (7 ( ( 0 ) ) ) VVV ) VVV ) VVVV ) VVV ) VVV 8) 0. Dtrmir l vlr vr u l siguits prpsiis: I. Si : + = 7, ts : + = 8 II. N s vr qu : + = si y sl si + = 0. III. Mri stá Espñ Lrs stá ri. ) VV ) V ) VVV ) VV ) 07. Simlizr: ~p q ~q Si l prpsiió qu s ti s fls. Cuáls s ls vlrs p y q rsptivmt? ) VV ) V ) V ) ) N s pu prisr 08. Si l prpsiió: ( p ~ q) (~ r s) s fls, uir l vlr vr : (~ p ~ q) ~ p ) V ) ) V. ) N s pu trmir. ) Es V si p s. 09. Si l prpsiió mpust: (p q) (r t) Es fls. Iir ls prpsiis qu s vrrs: ) p ; r ) p ; q ) r ; t ) q ; t ) p ; r ; t 0. Si "p" s u prpsiió fls, trmi l vlr vr l prsió: {(p q) [r (~q p)]} (r p q) ) Vrr. ) ls. ) Vrr fls. ) Vrr sól si q s vrr. ) ls sól si r s fls.. Si l prpsiió: (p q) (q r) s fls, hllr l vlr vr ls siguits fórmuls: I. ~ (p r) (p q) II. (p ~ q) (~ r q) III. [(p q) (q ~ r)] (p ~ r) ) VV ) VV ) VVV ) V ) VV

5 . Ls vlrs vr ls prpsiis "p", "q", "r" y "s" s rsptivmt V,, y V. Otr ls vlrs vr : I. [(p q) r] s II. r (s p) III. (p r) (r ~ s) ) V ) VV ) VVV ) VV ). Si l prpsiió: p (r s) Es fls, uáts ls siguits prpsiis s vrrs? I. (~ s t) ~ p II. III. r t p ~ r IV. (r p) (s t) ) Nigu ) U ) Ds ) Trs ) Cutr. Si l prpsiió mpust: ~ [(p ~ r) (r ~ q)] s fls. Hllr l vlr vr ls prpsiis r, p y q rsptivmt. ) VV ) VV ) VV ) V ) V. D l fls l prpsiió : ( p ~ q) (~ r s) s u qu l vlr vr ls squms: I. (~ p ~ q) (~ q) II. (~ r q) [(~ q r) s] III. (p q) [(p q) ~ q] S rsptivmt : ) VV ) ) VVV ) VV ) V 6. S ls prpsiis: 0 * p : R, () * q : y N / y 0 (y) * r : z R, z 9 (z )(z ) (z) Iiqu l vlr vr : p q, p r, r q ) V ) VV ) VV ) VVV ) 7. S : U = {,, }, l jut uivrsl. Hllr l vlr vr : I., y / y II., y / y III., y / y IV., y / y ) VV ) VV ) VVV ) VVVV ) VVV 8. Si : U = { ; ; ; ; } Cuál s l vlr vr ls siguits prpsiis? I. U: II. U : 8 6 III. U : - ) VVV ) V ) VV ) V ) 9. Hllr ls vlrs vr ls siguits prpsiis: I. ( R, ) ( R, ) II. ( R, ) ( Z, -) III. ( N, 0) ( Q, 0) IV. ( N, ) ( R, ) ) VV ) VVV ) VV ) V ) VVV 0. S : = {,, } Dtrmir l vlr vr ls siguits prsis: I., y / y II., y / y III. IV.,, y y,, z z / / y y z z ) VVV ) VVV ) VVV ) VVV ) VVVV. Sñlr l prsió quivlt l prpsiió: ) q p ) p q (p ) (p q) ~ p ) ~ p (p q) ) (q p) ~ p ~ p) (~ q ~ p)

6 . Iir l vlr vr : I. p (p q) II. (p q) (p q) III. ~ [(p q) p] ) VVV ) VV ) VV ) V ) VV. Iir l vlr vr : I. ~[(p q) p] II. (p q) p III. (p q) (p q) IV. p (p q) ) VV ) VVV ) VV ) VV ) VVV. Simplifir l siguit iruit: q q ~p ~q p ~p ) p q ) ~ p q ) p q ) ~ p q ) ~ p ~ q. Hllr l prpsiió quivlt l iruit lógi: p q ~p ~q ) p ) p ~ q ) p q ) ~ p q ) p ~ q 6. Simplifir l prpsiió qu rrsp l iruit: q q ~p ~q p ) p q ) ~ p q ) p q p q ) ~ p q ) ~ p ~ q 7. Simplifir su míim prsió: (p q) [(p ~ q) (p p q)] ) p ) q ) p q ) p q ) p q B 8. Simplifir: M [(~ p q) (~ q p)] ~ (p ) q ) p ) ~p ) ~q ) ~ p q 9. Simplifir: ~ [(~ p q) ~ p] [q ) p ~ q ) ~ p q ) ~ (p q) ) ~ (p q) ) p q 0. D l vri : ~ [(p ~ q) (~ r Duir l vlr vr : I. ~ (~ q ~ s) ~ p II. ~ (~ r s) (~ p ~ q) III. p ~[q ~(s r)] (p ~ s)] q) ~ q)] ) VV ) VV ) V ) V ). Iir l vlr vr : I. (~ p ~ q) (p q) s u triió. II. [(p q) (q r)] (p r) s u tutlgí. III. [p (p q)] (q r) s u tigi. ) VVV ) VV ) V ) VV ) VV. D ls siguits squms: * (q r) (~ p r) * [p (p q)] p * [(~ p q) ~ r] ~ [r ~ (p ~ q)] Iir l r uál s Tutlgí (T), Ctigi (S) Ctriió (C): ) T, C, S ) T, S, C ) C, T, S ) S, T, C ) S, C, T. D l siguit ui: ~ [{~ ([p q] p) ~ (q Sgú su tl vr, pms ir qu ih prpsiió s u: r)} ) Tutlgí. ) Ctriió. ) Ctigi. ) Ly lógi. ) Equivli lógi. q]

7 . Si: * ( Ruir : { ) [ {[(p * q) [ ( ~ ( )]} )] r]*(~ p * q)} ~ {q *(p ) ~p ) V ) ) p ) q. Si s fi: p q (p ~ q) Simplifir: ~[(p ~ q) ~ q] (q ~ p) ~ q)} ) p q ) p q ) ~ p q ) ~p ) ~q 6. S fi l prr : (+), pr l siguit tl: p V V Simplifir: (p + q) + p q V V ) ) p q ) ~ q q ) p q ) V 7. S fi ls prrs # y pr ls siguits tls: p V V q V V Simplifir: p # V q [(p#~ q) p p] V V V p V V (q q q V V ~ p) ) q p ) q p ) p q ) p q ) q ~ p 8. S fi ls prrs " " y " " pr ls siguits tls: p V V q V V p V q p V V V p q V V V q I. p ~ q ~ (p ~ q) II. ~(p q) (p q) III. ~ p q ~ (~ p q) ) Sól I ) Sól II ) I y II ) I y III ) Ts 9. Si: p q p ~ q p#~ q (p Simplifir: q) [(p q) ~ p p (p q q)#(p q)] ) ~ p q ) p ) ~q ) ~ p ~ q ) ~p 0. Si: p * q ~ p ~ q Eprsr ~p us úimt l prr (*) ) (p * p) * p ) (p * ~p) * p ) ~(p * q) ) p * q ) p * (q * q). L prpsiió quivlt más simpl l siguit iruit: Es: M p ~q q ~p p ~p q ~q ) p ) q ) r ) p ) ~q. El iruit lógi: ~p r r s t Es quivlt : p ~q s t ~q q r r s t s t r r t N B ~p ) p ) q ) ~p ) ~q ) p q Cuál uáls ls siguits prpsiis s vrrs?

8 . El iruit lógi más simpl quivlt l siguit iruit: p q p ~p ~q q ~p ~q ) p q B ) B q ) B s s ~p ~q ~r t t s p q r B Simplifir l siguit iruit: p q p q p p y q y y q y y q q y y y p q q q. Si: ) B t ) B t s B [(p q) (p q ~q ~p q r)] [(p El iruit simplifi ) ) ) ) ) ~p ~q ~r p ~q ~r q ~q p ~p p ~r. Si l prpsiió y p q ~r ~q r q ~p ~q r r q r ~q q t) (p B ~ t)] s: s quivlt l iruit: p q ~r ~s ~t p r q s t ) p q ) p q r s t ) r s ) s t ) p q r s t 6. Si qu l istlió llv ust S/. 0. Cuát s hrrrí si hms u istlió míim; pr quivlt : ~p r p ~r ~q p p ~p r ) 80 ) 00 ) 0 ) 60 ) Pr u prpsiió ulquir, "p" s fi: (p) Si: si p s Vrr 0 si p s ls ( m) m (p r) s ( ) 0 p (r p) Hll: (p r) (r s) (p q s) (~ p) ) ) ) ) ) 0

9 8. L siguit fuió: (p) ; Si p s 0 ; Si p s fls vrr Si : () (y) 0 D : (p y w Hllr: E [(s [~ (~ r ~ r) ~ s ~ w) ~ p) (s w) (~ p (t (w r)] ~ p))] ) 0 ) ) ) N s pu trmir ) Tutlgí 9. S ls prpsiis: p: Si N Z, ts: MCD (N ; N ) = q: El jut ví s sujut y lmt. r: MCD ( 07 ; 7) 7 s: MCM ( ; ) = MCD ( ; ) = más s ls prpsiis y: P (;y) Q (;y) () Clul: y ; si 0 ; si y s vrr s fls (P ) (p;q) (Q ) (q;r) (P ) (r;s) ) 0 ) ) ) ) 0. S l fuió: f :{p/p s prpsiió} pr f (p), si p s vrr 0, si p s fls {0, } fii Iir si s vr l siguit igul: f (p q) f(q) f (~ p) ) Vrr ) ls ) Dp q ) Es tritri ) Es u ui irt. Si m y s úmrs rls, más s fi: f () Hllr: m ; Si s prpsiió vrr ; Si s prpsiió fls m M m Si qu: f (q) f (r) Si: q : r : ) 0 0 ( ) 0 ) ). S r, s, t, p i, prpsiis tls qu ;... ; s r p (p q p i i impr. p t) t p (p m ) ) 7 q i i = ; ;... ;... t) p t s fls pr t i = ; p s vrr.... (p s fls pr i pr y s vrr pr i Hllr l vlr vr : {(p t) (q p ) } {~ (q t) q ) ) Vrr. ) ls. ) lt ts. ) N s pu trmir. ) Dp l vlr vr r. (p. S "S" u prpsiió qu rrsp l siguit tl: p V V q V V s V V t)} Y "r" l prpsiió más simplifi, quivlt : [(p q) ~ q] ~ q Cuál s l iruit más sill, quivlt l qu rsult tr prll ls iruits rrspits "~r" y "s"?

10 ) p ~q ) p q p ) q ) ~p q ) ~p ~q. El quivlt : p q 7. Disñ l iruit qu umpl l siguit tl: y z Utili mpurts lógis: yz ) ) p ) ~p ) q ) ~q ) p q ) yz. D l siguit iruit: p q ) yz s ) y z Si s s fls. Cuáls s ls vlrs vr p y q rsptivmt? ) 8. Eprsr l prió lógi ; sgú l tl: ) VV ) V ) V ) ) lt ts 6. Ls prfsrs ritméti l mi TRILCE h isñ u iruit itgr qu ri y m trs y m sli. p s y z q ) p ) q ) V ) ) p q ) y z yz ) ( + y)z ) + y + z ) y z y z ) yz

11 9. D l siguit tl: y z El iruit lógi prmit ttr l st vis, B, C tl mr qu l lámpr lrm l s s i u ls trs vis stá vris u sól l vió stá vri. Eprsr fuió ls trs, B y C: vió si vrís: 0 vió vrís: Lámpr pg: 0 Lámpr i: 0 0 B C Disñr l iruit: y z qu umpl ih tl utiliz ls mpurts: INVERSOR, ND, OR. B C Ciruit Lógi Lámpr lrm BSE ) y z ) (B C BC) ) = + BC ) = BC ) = (B + C) ) B C ) y z ) y z ) yz ) y EL VGO DE COZ

12 Clvs Clvs

13 Cpítul TEORÍ DE CONJUNTOS INTRODUCCIÓN Grg ri Ctr, l rr l trí juts, ió 8 Rusi. Vivió, stuió y sñó lmi murió 98. Pulió trjs sr fuis vril rl y ls sris urir, itruj pts pti u jut, juts quivlts, tip ril, úmr trsfiit; qu prtr pr l iii l stui ls prlms l ifiit y l trí juts. NOCIÓN DE CONJUNTO Cpt primitiv qu ti fiiió, pr qu s l i grupió jts ls uls llmrms lmts l jut. RELCIÓN DE PERTENENCI Si u jt s lmt l jut, s irá qu prt ( ) su jut, s trri s irá qu prt ( ) ih jut. RELCIONES ENTRE CONJUNTOS ( ) S i qu u jut stá ilui B; si ts ls lmts, stá l jut B. Es ir : B B Digrm lil B B * s sujut B * B iluy (B ) Ds juts s iguls si ti ls misms lmts. Es ir : B B B = {; 9; 6; } 6 0 PRINCIPLES CONJUNTOS qul qu ti lmts, tmié s l llm ul y s t { } CRDINL DE UN CONJUNTO Es l ti lmts u jut y s t : (), sí l jmpl trir () = DETERMINCIÓN DE UN CONJUNTO Es u s ii ls lmts l jut. = { * ; ; # ;... ; } Es u s ii lgu rtrísti prtiulr y mú sus lmts. = {f()/ umpl lgu iió} igurs gmétris pls rrs qu s utiliz pr rprstr ls juts, gráfimt. qul qu ti u sl lmt, tmié s l llm siglt. Cjut rfril qu s tm m s pr l stui trs juts tis él y s t pr U. Es l jut uys lmts s ts ls sujuts tr jut y s t pr P(). Ejmpl : = { ; 8} P() = { ;{} ; {8} ; { ; 8}} L ti sujuts u jut () s igul. = { ; ; 9} ; () = Ets hy 8 sujuts qu s : ; {} ; {} ; {9} ; { ; } ; { ; 9} ; { ; 9} y { ; ; 9}

14 " ts ls sujuts, pt s ls llm sujuts prpis" ( ) B { / B} CONJUNTOS NUMÉRICOS B U N = {0 ; ; ; ;...} Z = {... ; - ; - ; 0 ; ; ;...} Q m / m Z Z, 0 B tmié s t : \ B S qulls qu ti u rprstió iml ifiit priói y pu sr prss m l it trs. B { / ( ) ( B) ( B)} Es l ruió ls rils ls irrils. R Q I B U C i / R R, i - OPERCIONES CON CONJUNTOS ( C, ' ) ' {/ } ( ) B { / B} U B U El mplmt, s pu rlizr rspt ulquir jut, tl qu B y s t: ( ) B { / B} C B B S l mplmt rspt B. IMPORTNTE B U mus : Cu ti lmts B 8

15 ilui l tr. Cu u lls stá B [P() P(B)] [P()] [P() P(B)] O tmié: [P() P(B)] () [P(B)] (B) ( B) U U U ti lmts. Cu ti l mism (')' = ' U ' () = (B) ( B C) () (B) (C) ( B) Tmié llm prut rtsi. ( C) (B C) ( B C) B {(;)/ B} Pr r * ( B) * ( B) * (' B) B = { ; ; } B = {8 ; } * (' B) B B {(;8);(;) ;(;8) ;(;) ;(;8) ;(;)} G R ÁICO E S PE CIL PR CONJUNTOS DISJUNTOS LGUNS PROPIEDDES Y LEYES (B C) ( B) ( C) (B C) ( B) ( C) ( B)' ' B' ( B)' ' B' B ( B) ( B) B ( B) (B ) ( B) () (B) ( B) ( B) () (B) B B' ' B' B [P() P(B)] [P( B)] pliió: E u sló lss s srv 60 lums tr vrs y mujrs; ls siguits rtrístis: * lgus ti ñs. * 8 ti 6 ñs. * ti 7 ñs. * 0 pstul st ñ l Uivrsi. B C D V Ly: V : Cjut ls vrs. M : Cjut ls mujrs. P : Cjut ls qu pstul. : Cjut ls lums ñs. B : Cjut ls lums 6 ñs. C : Cjut ls lums 7 ñs. D : Cjut ls lums tr. NOT: Est tip igrms spils ri l mr "Digrms CRROLL" M P

16 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. D l jut: = {; ; {6}; 8} y ls prpsiis: * { } * {} * { 6} *{6} * 8 * * * { ; 8} Iiqu l úmr prpsiis vrrs: ) 7 ) 6 ) ) ) 0. Ds ls juts iguls: ; y B ; 9 Csir y trs. Iiqu l sum ls vlrs qu tm : + ) 6 ) ) 0 ) ) Si qu ti 8 sujuts ttl, qu l úmr lmts l itrsió y B s y qu B ti 6 sujuts. Dtrmir l úmr sujuts ) 0 ) ) 6 ) 08 ) 096 B. 09. D u grup 6 tlts, lz l, 6 lz jli y 0 lz is, lz ls trs; 0 lz jli y is, is y l, 7 lz l y jli. Cuáts lz jli i is? ) ) 6 ) 7 ) ) 0. L prió qu rprst l rgió smr s: B 0. Iiqu l sum ls lmts l jut: / Z ) ) ) ) 8 ) 6 0. Cuáts sujuts prpis ti l jut? C ; ;{} ; ; ;{} ;{} ) 7 ) 6 ) ) 7 ) 0. Si: () = ; (B) = y ( - B) = 8 Clul : ( B) (' B' ) ) 6 ) 7 ) ) 8 ) Cuáts sujuts ti l pti l jut, tl qu: = {; {}; }? ) ) 6 ) ) 8 ) 6 6 ) ( B)' ( B) ) [ ( B)] ( B) ) ( B) ) ( B)' ) ( ' B ' ) ( B ). Si ls juts y B s iguls, hllr s turls. { ; } B = { ; } ) 8 ) ) 9 ) ) 6. D l jut: P = { ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} y ls juts: M P / 0 N P / s impr Dtrmir : (M) + (N) ) ) ) ) ) 6 9 si y 07. D u grup 0 prss, 0 v l ttr, sól v l i, 8 v l i l ttr; pr ms sitis. Cuáts v ms sitis? ) 6 ) 7 ) 8 ) ). Jéssi tmó hls frs urt ts ls mñs ls mss vr (r, frr y mrz) l 00. Si tmó hls frs mñs y tmó hls urt 9 mñs. Cuáts mñs tmó hl ls s srs? ) 9 ) 0 ) ) )

17 . E u iu s trmió qu l 6% l plió l l rvist, 60% l l rvist B y l 8% l ó B pr ms. Cuáts prss hy l plió si 6000 prss l y B? ) 0000 ) ) 0000 ) ) E u pñ rill trj rtists. D ésts, 6 il, t y t y il. El úmr rtists qu t i il s: ) ) ) ) ) 6. Si: = { ; ; { ; } ; } B = {{ ; } ; { ; } ; } Hll ust : [( B) B] (B ) ) { ; } ) {{ ; }} ) ) {{ ; }} ) B 7. D l jut: = { ; {} ; { ; }} Cuál ls siguits prpsiis s vrr? 8. Si: ) ) { } ) ) ) {} / (m ), m N, Ets l jut srit pr tsió s: ) {7 ; ; ; 9} ) { ; ; ; } ) { ; 9 ; 6 ; } ) {9 ; ; ; 6} ) { ; ; 7 ; 9} 9. Crls lmrzr pll ps ( ms) su lmurz í l ms mrz. Si su lmurz urt 0 ís hu pll y urt ís hu ps, ts, l úmr ís qu lmrzó pll y ps s : ) 8 ) 6 ) ) ) 0. E u vió hy 00 prss, ls uls 0 fum y 0. Cuáts prss hy qu i fum i fum y, si qu hy 0 prss qu slmt fum? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 m. Si: = {,,, } y B {(m ) ; ; ; ( ) ; } D : m Z y < < 8 más y B s quiptts. Hllr l sum vlrs + m ) 6 ) ) 0 ) ). E u ust rliz 90 prss sr l prfri lr ls rvists y B, l rsult fu l siguit : l úmr prss qu ls gust y B s ls hmrs qu sól ls gust y l mit ls mujrs qu sól ls gust. El úmr hmrs qu sól ls gust B s l úmr mujrs qu sól ls gust B. Ls qu l s 0, ls qu l B s 70. Hll l úmr prss qu l i i B. ) 0 ) ) 6 ) 8 ) 0. Si, B y C s trs sujuts u jut uivrsl 98 lmts y más: [( B) C' ] 0, (C) = Hllr : [( B C)' ] ) ) ) ) 6 ) 7. El rsult u ust sr prfri jugs frut mz, frs y piñ s l siguit: 60% gust mz. 0% gust frs. 0% gust piñ. 0% gust mz y frs. 0% gust frs y piñ. 0% gust mz y piñ. % gust ls trs. Qu prtj ls prss usts gust lgu ls jugs fruts mis? ) % ) 0% ) 0% ) % ) 0%. Ds ls juts: B / / N Z 0 Cuáts lmts ti 0 00 B? ) 80 ) 00 ) ) 800 ) 760

18 6. Cuáts lmts ti l siguit jut? ( ; 7 ; 9 ; ;... ; 8) ) ) 0 ) ) 60 ) 7. S u jut s lmts y B u jut trs lmts, l úmr lmts P() P(B) s: ) ) ) 8 ) 6 ) 8. S, B y C sujuts u jut uivrsl U. D ls firmis: I. Si (B C) y C ts B II. Si B, ts B III. Si ( B = mplmt B) B y B C ; ts C. IV. Si B Ets C U B C ) Sól II s vrr. ) Sól I, II y IV s vrrs. ) Sól I s vrr. ) Sól I y II s vrrs. ) Ts s vrrs. 9. Dir uál ls siguits uis s fls: ) B B B ) B B C C ) B B ) B B ) B B 0. Dir uál ls siguits uis s fls:. Si: ), B B ), B B ) B B ) B B ) B Ets N/ R/ B s: 0 0 s prim. E u ul lums prtists hy : 6 lums qu prti ásqut lums qu prti fútl, lums qu prti tis, 6 lums qu prti ls trs prts, lums qu prti fútl y ásqut pr tis, lum qu prti ásqut y tis pr fútl, lums qu prti sl tis. Cuáts lums prti sól u prt? ) 7 ) ) ) ). D u grup hims, s s qu lums ti 7 ñs, 0 lums ti 6 ñs, 8 lums y lums ti 6 i 7 ñs. Cuáts lums ti 6 ó 7 ñs? ) 6 ) 6 ) 7 ) ). u mtrimi sistir 0 prss, l úmr hmrs s l l l úmr mujrs. D ls hmrs : us rlj pr si ti tr, y ti rlj. D ls mujrs : ls qu us miifl s tts m ls hmrs qu us tr i rlj y 8 ti miifl y rlj. Cuáts mujrs us miifl, pr rlj? ) 7 ) 6 ) 8 ) ) 9. Ls fihs ts prsls lls pr 7 stuits qu igrsr S Mrs, rrjr ls siguits rsults: * 0 stuits s Lim. * 9 s prprr mi. * 7 pstulr pr primr vz. * Lim s prprr mi. * 7 pstulr pr primr vz y s prprr mi. * 7 Lim pstulr pr primr vz. * 8 prviis qu s prprr mi pstulr pr primr vz. Hllr rsptivmt: I. Cuáts lums Lim qu s prprr mi pstulr pr primr vz? II. Cuáts lums prviis qu s prprr mi pstulr más u vz? ) y ) y 0 ) y 0 ) y 0 ) y ) ) { } ) {} ) {} ) {-}

19 6. Ds ls juts: B C ; / ; / ; ;; ; El rsult ( C) B s: ) ;; ; ) ;; ) ;; ) ; ;; ) { ; } 7. E u sul lums, 90 prti fútl, ásktl y 7 tió. Si 0 lums prti ls trs prts y 0 prti igu, uáts lums prti u prt y sól u? ) 0 ) ) 60 ) 70 ) 6 8. D u grup 00 sñrits: 0 s slmt flquits, slmt mrs, s slmt lts, más 8 ti pr l ms sts rtrístis. Cuáts sñrits l grup ti igu ls trs rtrístis? ) 0 ) ) ) Más 60 ) Ms 0 9. E u grup 00 stuits, 9 llv l urs Silgí y sigu l urs ilsfí. Si 7 lums sigu ilsfí i Silgí, uáts lums llv tmt u tls urss? ) 0 ) ) 8 ) ) 6 0. D 00 pstults qu s prstr ls uivrsis Ctóli Lim, 00 pstulr l Ctóli, igul úmr l U Lim, igrs l mit l ttl pstults; ls igrsts s prstr l uivrsi Rir Plm, sts, 90 s prstr Ctóli y 0 s prstr l U Lim. Cuáts pstults igrsr l Ctóli y l U Lim? ) 0 ) 0 ) 80 ) 70 ) 90. S ls juts isjuts ; B, C y D s s qu l jut ti lmts, l jut B ti 7 lmts, l jut C ti lmts y l jut D ti 8 lmts. Clulr l úmr lmts qu ti l itrsió ls juts si s l míim psil, más s s qu l uió ls juts s 00. y 0 ) 68 ) 79 ) 87 ) 9 ). Ds ls juts: = { ; 7 ; 8} B = { ; ; 6 ; 9} S fi: B / B y ls prpsiis: I. E B l lmt myr s 7. II. ( B) III. L sum ls lmts s 7. Cuáls s vrrs? ) Sól I ) Sól II ) Sól III ) Ts ) I y III. S ls juts: B N/0 N/! C N/0 000 Y ls prpsiis: I. C C II. C B III. B C C IV. B V. B C Iir uáts s rrts ) ) ) ) ). D ls juts: M N Hllr : M ) ) ) ; R / Q / Q / N Q / ) ) { ; ; } 0 0

20 . L igrmió rrt l siguit fórmul s: [( B) (' B)] [B ( B)] ) ) B B 0. D u grup músis qu t flut, qu tu s s qu l tv prt t sól flut, l sétim prt t sól qu, l ifri ls qu t sól flut y ls qu t sól qu s igul l ti músis qu t sól tu. Si más 80 t pr l ms ls istrumts mis. Cuáts t sól qu? ) B ) B ) ) ) ) 6 ) 7 ) B 6. U istituió utiv sit trtr prfsrs ísi y 0 prfsrs Mtmáti. D sts trts, s spr qu 0 rli fuis tt prfsr ísi m prfsr Mtmáti. Cuáts prfsrs rá trtr l istituió utiv? ) 0 ) 0 ) 6 ) 7 ) 7. E u urs llz, prtiipr sñrits, ls uls 9 r ll rui, 9 r mrs y tí js vrs. Tmié s srvó qu r mrs ll rui, 7 r mrs js vrs y 6 tí ll rui y js vrs. Tmié hí s hrms qu tí ls trs rtrístis. Cuáts prguts s sris rlizr pr r ihs hrms?. E u jut 0 prss; 6 stuir l uivrsi ; l uivrsi B y 6 l uivrsi C. Si sól prss stuir ls uivrsis, B y C. Cuáts stuir tmt u sts uivrsis, sir qu ts ls prss stuir l ms u ihs uivrsis? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. E u ust hh u urizió u grup ms s sr l us trs tips trgt (, B y C) s tuvir ls siguits ts. Dl ttl : Us sól l %; pr B l %; y C %; B y C %. L prfri ttl r l 8%, l C 6% y igu ls mrs mis, l %. S prgut :. Qué tt pr it prfir sól B? B. Qué prtj ms s prfir t- mt s tips trgt rspt ls qu prfir igu mr? ) 0 ) ) ) ) 8. Si u ómius vij 0 psjrs tr prus y trjrs, hy 9 s fmi trjr, 6 iñs trjrs, 8 trjrs s msuli, 0 iñs, iñs trjrs, 8 sñrs y 7 sñrs. Cuáts iñs prus hy l utús? ) y 66,66...% ) y 60% ) 8 y 6,66...% ) y 7,...% ) 6 y 6%. Ds ls juts y B : { R / } { R / B {y R / y } {} Ets l jut B ti: } ) ) ) ) ) 9. stuits iims, qu hl iglés, frés lmá s smtis u m vrifiió, l ul s trmió qu: * hl iglés y 0 slmt iglés. * hl frés y 8 slmt frés. * 9 hl lmá y slmt lmá. Cuáts hl lmá, pr iglés? ) U smirt isjut l trr urt. ) Ds smirts isjuts l urt urt. ) N ti igu smirt isjut. ) Cti s smirts isjuts, u l sgu urt y u l primr. ) Ds smirts isjuts, u l primr urt y tr l trr. ) 9 ) 0 ) ) )

21 ., B y C s trs juts tls qu stisf ls iis siguits:. stá ti B y B stá ti C.. Si s u lmt C ts tmié s u lmt. Dir uál ls siguits uis s vrr? ) B stá ti. ) C stá ti B. ) = B pr C s igul B. ) L itrsió B s l jut C. ) L ruió B ti lmts qu prt C.. S lz s s juts. Cuáts prs rs s pu frmr ls úmrs l r suprir? ) ) 6 ) 8 ) 6 ) 7 9. El írul ti ls ltrs,,,,, f. El írul B ti ls ltrs,, f, g, h. Ls ltrs l rtágul C qu stá s h, j, k y ls ltrs C qu stá B s, j, k. Cuáls s ls ltrs qu stá l figur smr? ) { ; ; f ; g ; h} ) { ;, ; f ; h} ) { ; ; g ; h ; k} ) { ; ; g ; f ; k} ) { ; ; ; f} 60. El jut smr, mstr l figur jut, rprst u prió tr ls juts: C B 6. S y B s juts tis u uivrs. Si : ( B) (B ) B Cuál ls siguits prpsiis s fls? ) B ) B B ) B ) B ' ) ( B)' B 7. Pr stuir l li u prut s sir fts:, B y C m ls más imprtts. S lizr 00 pruts l siguit rsult: pruts ti l ft. 7 pruts ti l ft B. pruts ti l ft C. pruts ti tmt u ft. 7 pruts ti tmt trs fts. Cuáts pruts ti tmt s fts? L = ur M = írul N = triágul ) (M L N) (L M) ) (M L N) (N M) ) (M L) (M N) ) (N M) (L M) (L M N) ) (L M) [M (L N)] (N M) ) ) ) ) 0 ) 7 8. Cuál sts prsis s irrt? ( C ii l mplmt, y B stá tis u mism jut uivrsl) ) ( C B) B ) ( C B) C ( C B ) ) ( B) C ( C B C ) ) ( B) ( B C ) ) ( B) C ( B C ) ( C B)

22 Clvs Clvs

23 Cpítul RZONES Y PROPORCIONES INTRODUCCIÓN E ustr vi iri, pr muh frui lgus firmis m: * Ls s Ju y Rs s 8 ñs y 6 ñs rsptivmt. * Tg vis : U 800 ml y l tr 60 ml. * El sul Vítr l ms ps fu S/. 00 y st ms srá S/. 800 Pms srvr qu ls s, ls vlúms y l ir pu sr mis ts, ls uls s ls llm mgitus slrs. RZÓN GEOMÉTRIC: S mpr s trrs, uys suprfiis s: 8m y sí tms: tt Csut 80m 8m Rzó Gmétri Vlr l rzó 80m y Os: Hy mgitus mils m l lgrí, l mmri; pr l tt pu prsrs umérimt, pr ll ls sirrms st tt. CNTIDD: Es l rsult l miió l st u mgitu slr. L ltur l ifii Tril rquip s mtrs. E lusió: S y s tis: Rzó ritméti - : tt : sut y k : vlrs ls rzs Gmétri k Mgitu : Lgitu Cti : mtrs S llm mgitu t qull qu pu sr mi utifi; más, pu fiirs l igul y l sum sus ivrss sts. RZÓN: Es l mprió qu ist tr s tis u mgitu, mit ls pris sustrió y ivisió. RZÓN RTIMÉTIC: Ds tls ti 0 litrs y litrs rsptivmt, l mprr sus vlúms. Rzó ritméti 0l - l = l PROPORCIÓN Es l igul s rzs u mism spi. PROPORCIÓN RITMÉTIC Ls s hrms s : ñs, 0 ñs, ñs y ñs; pms ir : ñs ñs = 9 ñs 0 ñs ñs = 9 ñs S pu stlr l siguit igul: Mis - = 0 - Etrms l ul s l llm prprió ritméti. tt Csut Vlr l rzó

24 PROPORCIÓN GEOMÉTRIC: II., S ti trrs uys suprfiis s m y 0m l mprrls s ti: 9m m m 0m S pu stlr l siguit igul: 9 m ; m ; III. SERIE DE RZONES GEOMÉTRICS EQUIVLENTES 9 0 l ul s l llm prprió gmétri D : "9 s, m s 0" (9)(0) = ()() S:... D : k ; k ;... ; S umpl ls siguits prpis: k k Etrms Mis NOT: "Cu ls mis s ifrts, l prprió s llm isrt, pr u ls mis s iguls s llm tiu" I. II k k PROPORCIÓN RITMÉTIC - = - - = - III. m m m... k m m m m... : urt ifril : mi ifril : trr ifril D "" s ii l úmr rzs. PROPORCIÓN GEOMÉTRIC : urt prpril : mi prpril : trr prpril PROPIEDDES DE PROPORCIONES S l siguit sri: I. II. k k k simplifi k k s umpl: S s umpl: III. k ( ( ) 9 ) I., k k

25 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Ds úmrs stá l rlió, si s ñ 7 u y l tr s h iguls. Cuál s l ifri tr sts úmrs? ) ) 8 ) 0 ) 8 ) E u ruió, hy hmrs y mujrs, si l úmr mujrs l ttl prss m 7 s y l ifri tr mujrs y hmrs s. Cuál s l rzó mujrs hmrs si s rtir mujrs? ) ) ) ) ) 7 0. E u sló ls l úmr vrs, s l úmr mujrs m s. Si s sir l prfsr y u lum ms, l uv rlió srá, hllr uáts lums hy l sló. ) ) ) 0 ) 0 ) 0. Ds ómius ti 0 psjrs, si l ómius más psjrs s trsl ls lls l tr ómius, ms trí igul úmr psjrs. Cuáts psjrs ti ómius? ) 0 y 0 ) 90 y 0 ) 00 y 0 ) 70 y 0 ) 80 y 0 0. L qu r y gst u prfsr sum 600. L qu gst y l qu r stá rlió. E uát ti qu ismiuir l gst pr qu ih rlió s? ) 6 ) ) ) ) B y B C stá rlió, C s sit vs y sum ; B y C tms 00. Cuát s ( C)? ) 600 ) 00 ) 0 ) 0 ) u fist, sistir 0 prss tr hmrs y mujrs. Pr mujrs hy hmrs. Si s rtir 0 prjs, Cuál s l rzó tr l úmr mujrs y l úmr hmrs qu s qu l fist? ) ) 08. Si : 0 y 09. Si: 0. Si: Hllr: + + ) ) 7 0 ) ) 8 ) ) 8 ) 9 ) 6 m p 8 q 0 más : q mp = 06 Ets : p + q m Es igul : ) ) ) ) ) 8 más :. +. = 9 Clul: + ) 7 ) ) ) 8 ). S: Clulr: E P P E E R R U U 96 ) ) 6 ) 8 ) ) 6. Ls s Jvir; Césr y Migul s prprils ls úmrs ; y. Si tr 9 ñs sus s srá prprils 7 ; 9 y rsptivmt. Hllr l tul Césr. ) ñs ) 6 ñs ) 7 ñs ) 8 ñs ) 9 ñs. E u ruió sil, s srvó u trmi mmt qu l úmr vrs y l úmr mujrs st l rlió 7 8, mitrs ls qu il y il fur us tts m trs. Si hu s mmt mujrs qu il. Cuáts vrs st il? ) ) ) 9 ) 6 ) 60

26 . S ti u prprió ritméti tiu, l sum sus utr térmis s 60, hllr l vlr l rzó ritméti, si qu ls trms s tr sí m s. ) ) 6 ) 8 ) 0 ). S ti u prprió ritméti tiu, l sum sus utr térmis s 60. Hllr l vlr l rzó ritméti, si qu ls trms s tr sí m 7 s. ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 6. L ifri tr l myr y l mr térmi u prprió gmétri tiu s. Si l tr térmi s. Hllr l sum ls térmis trms. ) 9 ) 6 ) 8 ) 0 ) 7. L ifri tr l myr y l mr térmi u prprió gmétri tiu s 6, si l tr térmi s. Hllr l sum ls térmis trms. ) 80 ) 6 ) 8 ) 0 ) 8. Si s l urt ifril, y, más, 0 s l trr ifril y 60. Hllr l mi ritméti y. ) ) 67, ) ), ),. L rlió ls s prss s. Si h "" ñs, l rlió sus s r m s y tr "m" ñs srá m 8 s. Clulr qué rlió s utr: y m. ) ) ) ) 9 8 ) 7. Ds iris igul li y iámtr, ifir m lgitu. S i l mism timp y s srv qu u mmt trmi, l lgitu u s l uárupl l l tr y mi hr spués, s trmi l más pquñ. Si l myr ur hrs, su lgitu r: ) ) 8 ) ) 0 ) 8. S ti s ilirs y u ri litrs it pr miut. H miuts l tripl l vlum l primr r l l l sgu ms litrs. Cuál s l ifri tr ls vlúms si l sum lls st istt s 00 litrs? ) litrs ) litrs ) litrs ) litrs ) litrs. E u rrl, s srv qu pr gllis hy pts y pr gss hy pts. Si s umtr gllis l ti ésts srí igul l ti gss, lulr uáts pts hy l rrl. ) ) ) ) 6 ) 8 9. L sum ls utr térmis u prprió gmétri s 6; u ls trs últims térmis s ls l prt. El últim térmi s:. Si: k f más: ( )( Hllr: )( f) f 6 8 ) ) 8 ) 9 ) ) 0. Si qu: más: Hllr: "" 6 ) ) ) ) 0 ) 6 8 ) ) 6. Si: ) 6 ) 0 ) m Clul: p E y m p m m p p 6 ) ) ) ) 8 )

27 p q r s 7. Si s s qu: y h m (p + q + r + s) ( h + + m + ) = Si : Clulr l vlr uméri l prsió. I ph q s mr ) 8 ) 6 ) ) 80 ) 0 K más : El vlr K s : 6 ) ) ) 6 ) ) 9. U ilir ti gls it más qu tr. L rzó l úmr gls l u l tr s 7 8. Cuáts gls it hy u? ) 8 : ) : 7 ) : 0 ) : 6 ) 6 : 6 0. S: Si: Hllr "k" B y C z B y C z k B y C z ) ) ) ) ). Si: K 8 0 Ets, l sum ls mrs vlrs turls,, y K s: ) 0 ) ) 7 ) ) 7. L rzó u prprió gmétri s u tr psitiv, ls térmis trms s iguls y l sum ls térmis l prprió s 9. Hllr l mr térmi mi. ) 9 ) ) 7 ) ) 6. Hllr úmrs trs qu sum, tls qu l primr s l sgu m l sgu s l trr. Dr m rspust l prut ls trs úmrs trs. ) 00 ) 000 ) 00 ) 000 ) 00. Si: Hllr: E y ( ) ( ) = 6 ) ) ) 6 ) 8 ). El úmr vgs qu llv u tr s ls 7 l qu llv u tr B; l qu llv u tr C, ls tr D. Etr y B llv tts vgs m ls trs s. Si l úmr vgs tr pu psr 60, Cuál s l úmr vgs qu llv l tr C? ) 6 ) ) 9 ) ) 8 6. El úmr vgs qu llv u tr s ls 9 l qu llv u tr B; y, l qu llv u tr C, ls tr D. Etr y B llv tts vgs m ls trs s. Cuál s l úmr vgs tr, si qu pu psr? ) 0 ; ; 9 ; ) 8 ; ; 9 ; 0 ) ; ; 9 ; ) 0 ; ; ; 9 ) ; ; 0 ; 7. E u sri rzs gmétris quivlts s ti qu : l primr y trr tt s 8 y, y l sgu sut s 8. Si l prut ls térmis rstts s 8, hllr l sgu tt. ) 0 ) 8 ) ) 6 ) 8 8. L sum ls utr térmis u prprió gmétri tiu s l ifri sus trms m s. Cuál s l rzó gmétri l trm myr y l trm mr? ) ) ) ) )

28 9. U iñ mr suir u ust hr y mi. u ult, l s l mit ms ifiults suir y jr qu l iñ. Si l ult l tmó hr jr, mtiés stt l rlió timp sui y j, Cuál srá l sum timp j l iñ y sui l ult?. S ti u sri rzs tius quivlts, sut s l l su tt, más l sum sus trms s 60. Ii l myr térmi. ) 6 ) 6 ) 0 ) 8 ) 0 ) h ) h 7 ) h ) h ) h 6. Pp y Luhí s ustrs y tl l siguit vrsió: Pp: Pr prss ults qu ust, r vrs; y pr iñs, r mujrs ults. 0. E u prprió gmétri l sum ls trms s 9 y l sum ls us ls térmis ih prprió s 8. Hllr l sum l myr trm y l myr mi st prprió si l sum sus térmis s. ) ) 0 ) ) 0 ). Hllr l prut ls térmis u rzó gmétri qu umpl: si summs "" l tt y sut ih rzó s frm tr rzó uy vlr s l ríz ur l rzó iiil. ) ) ) ) ). L rzó úmrs trs qu lv l ur u sus térmis s ls ismiuy uis. Iiqu l ifri ls térmis ih rzó. ) ) 8 ) ) 9 ) 7. Ds móvils prt l mism istt. El primr l put y l sgu l put B y mrh l u hi l tr mvimit uifrm sr l rt B. Cu s utr M, l primr h rrri 0m más qu l sgu. C u lls, prsigu su mi. El primr tr miuts rrrr l prt MB y l sgu tr 9 miuts rrrr M. Hllr l isti B. ) 00 m ) 0 m ) 00 m ) 00 m ) 0 m. E u sri utr rzs gmétris ls ifris ls térmis rzó s 6, 9, y rsptivmt y l sum ls urs ls tts s 9. Hllr l sum ls s primrs suts si l stt prprili s mr qu u. ) 0 ) 0 ) ) 70 ) 66 Luhí: Pr y ust vrs ults pr mujrs ults; y mujrs ults pr iñs. Pp: uqu pr mtir, ustms igul úmr prss. más, mi ti mujrs s mi ti vrs m 87 s 88. Luhí: Y l rlió mi s. Pp: Oy!, t s ut qu y trvisté 90 mujrs ults ms qu tú. Sgú st hrl, lul: =ti iñs vrs. = ti vrs ults qu trvistó Luhí. = ti prss ults qu trvist Pp. Dé m rspust: " + " ) 0 ) ) ) 6 ) 0 7. Si: m p Dtrmir: m( p) (m p) p(m ) E m p ) ) ) ) ) 6 8. l rstr uis u ls térmis u rzó gmétri, s ti l l l ur ih rzó. Iiqu l rzó ritméti ls térmis l rzó gmétri iiil. ) 8 ) 9 ) 0 ) ) 9. E u prprió gmétri tiu uy prut sus térmis s 66; s umpl qu l mi ritméti ls tts s igul 6 9 l mi rmói ls suts. Hllr l ifri ls trms.

29 ) 8 ) ) ) ) 0 mis s ls ismiuy uis. Clul l myr ls térmis si ts s ls mrs psils. 0. E u prprió gmétri tiu ls térmis trms s urs prfts sutivs, s umpl qu l sum ls ifris ls térmis rzó stá mpri tr y. Clulr l sum ts ls vlrs qu pu tmr l mi prpril. ) 0 ) 60 ) 990 ) 98 ) 00. E u prprió, uy stt s myr qu l ui, l sum ls tts s y l ifri ls suts s 0. Clul l mr ls térmis sir qu ts ls térmis s trs. ) ) 8 ) ) 6 ) 7. Cutr ripits úis, uys rists s prprils ls utr primrs úmrs prims stá rs frm rit. Cti gu, tl mr qu ls lturs l qu ls flt llr s prprils ls primrs úmrs turls, st l primr hst l 0% su pi. Si vims l ti l urt ripit, ls trs srrí litrs ms l qu fltrí pr llrl si viárms l ti ls ést. Clul l ti l urt ripit. ) 76 l ) l ) 67 l ) 067 l ) l. El prut ls térmis u prprió tiu s 86. Si l ifri ls tts s l mit l ifri ls suts, trmir l ifri tr l sum ls trrs prprils y l mi prpril.. Si : ) ) 6 ) ) ) y + = ( + ), si l vlr l stt prprili igul ; y l sum ls utr térmis l prprió 60. Hllr l vlr l mi ritméti ls trms. ) 9 ) ) ) ) 0. E u prprió ritméti tiu, uys térmis s trs y myrs qu, s virt gmétri l mism tip u sus térmis ) ) ) 6 ) 8 ) 0 6. E u plíg rgulr "" vértis umrs l l "" hy trs prss ""; "B" y "C" prs l vérti. E u mmt, lls miz mir pr ls ls. "" mi l sti l umrió ls vértis (...), "B" y "C" l h sti trri, "" s ruz "B" pr primr vz u vérti y "C" s vértis más lt. S s qu "" mi l l rápi qu "B" y ést l l rápi qu "C". Cuáts vértis ti l plíg? ) 0 ) ) ) ) 8 7. Trs úmrs trs, uy sum s 87, s prprils ls ftrils ss úmrs sutivs. Hllr l myr ésts úmrs, si l stt prprili s tr. ) 06 ) 0 ) 768 ) 8 ) 6 8. E u sri tiu "p" rzs gmétris, l prut ls térmis ps ivisrs qu ps ríz p - ésim. Clulr l mi prpril ls trms, si ts ls térmis y l stt s trs y míims. 6 ) ) 0 ) 8 ) ) U iri ti l iámtr l iámtr tr. Ests iris, qu s igul li y igul lgitu s i l mism timp y l u hr ifir m. Trsurri mi hr más, l lgitu u s l tripl l lgitu l tr. Qué timp ur l iri más grus? ) 8h 0' ) 8h ' ) 8h ) 7h 0' ) 7h ' 60. S ti l siguit sri:!! S s más qu:!... 8 Clulr l myr tt:...! (0! )! )! ) 7!8 ) 0! )! )

30 Clvs Clvs

31 Cpítul PROMEDIOS INTRODUCCIÓN El prmi ritméti s u mi ti trl, qu ti imprti l s qu ls ts s jut itivmt pr tr u ttl. D hh, pu itrprtrs m u vlr qu prí sustituir u ls ts pr tr l mism sum ttl. El prmi gmétri pr su prt, s rlvt u ls ts s us multiplitivmt pr tr u rsult. Es sí qu pu itrprtrs m u vlr, qu pu sustituir t, pr pruir l mism prut ttl. El prmi rmói ti imprti u usms ls ts sum ls ríprs u ls ts y s pu itrprtr u vlr qu pu sustituir t pr pruir l mism sum ls ríprs. U vr ipit gó l Vr ps: Er S/. 800; rr S/. 00 y Mrz S/. 00. Cuál fu su prmi msul? El prmi msul vi sr l Mi ritméti (M..) ihs tis. M.. S/.800 S/.00 S/.00 S/.00. Prmi Gmétri Mi Gmétri (M.G.) M.G.... PROME DIO D u jut ts ifrts s frut lulr u vlr rprsttiv lls, qu st mpri tr l mr y l myr lls; ih ti s l llm: prmi vlr mi simplmt mi ls ts. S "" tis susió mót rit: E ls últims mss, l gir tul rgistró u ts iflió msul %, %, 0%, 0% y %. Eutr l ts iflió msul prmi urt s timp. ; ; ;... El prmi lls srá "p" si: ; El prmi ihs tss vi sr l mi gmétri (M. G.) ihs tss. p MG % % 0% MG = 0% 0% % PROMEDIOS MÁS UTILIZDOS. Prmi rmói Mi rmói (M.H.). Prm i ritm éti Mi ritm éti ( M..) M..... M.H....

32 U m s gst S/. 0, ms, urt mss sutivs, l mpr it. El primr ms mpró S/. 0 l gló, l sgu ms l mpró S/. 6 l gló y l trr ms l mpró S/. l gló; ig ts uál fu l st prmi msul? PROMEDIO PONDERDO (P. P.) Es u s prtiulr l prmi ritméti, u más tis s rpit s más vs. l fil l smstr émi, u lum l Uivrsi srv su rér ts: Cst Prmi Ets l st prmi s: S/.0 S/.0 S/.0 S/.0 S/.0 S/.6 S/.0 S/.0 S/. Cst Ttl # gls S/.90 8 S/. Curs Mtmáti I Quími I ísii Emí Nº réits 6 Nt Pms srvr qu l st prmi s l mi rmói S/.0, S/.6 y S/. s ir: Dtrmi su prmi. M.H. 0 6 El úmr réits ii ls vs qu s rpit t. Ets l prmi pr s: PR DOS CNTIDDES y P.P 6 6,6 M.. M.G. Dts: Pss: p ; ; p ; ; p ;... ; ;... ; p M.H. El Prmi Pr (P.P.) s: PROPIEDDES p p P. P. = p p... p... p. Pr "" tis s umpl: M.. M.G. M.H. NOT: Cu s mi qué tip prmi s h tm y sól s ig prmi..., sirrms l Prmi ritméti.. Pr s tis y s umpl: M.. (,) M.H. (,) M.G. (,). El rrr qu s mt l tmr l mi ritméti (M..), m mi gmétri (M.G.) pr s úmrs s: M.. M.G. ( (M.. ) M.G.)

33 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Cuál s l vlr mi tr 0,0 y 0,0? ) 0,09 ) 0, ) 0, ) 0, ) 0,8 0. D u grup 6 prss, igu lls s mr ñs. Si l prmi ritméti ls s s 8 ñs. Cuál s l máim qu pu tr u lls? ) ) ) ) ) 0. Hllr l vlr vr u ls siguits prpsiis I. El prmi ritméti ; ; 6 y 0 s. II. Si l prmi gmétri úmrs turls sutivs, y ifrts tr sí s ; ts l rzó ritméti tr l myr y mr úmr s 8. III. Si l MG y MH s úmrs s 0 y 90, ts l M s 0. ) VV ) VVV ) VV ) V ) V 0. Si l prmi trs úmrs sutivs s impr, ts l primr úmr sr: ) Múltipl. ) Impr. ) Pr. ) Prim slut. ) Cur prft. 0. L mi ritméti 00 úmrs s,. Si u lls s multipli pr,, l mi ritméti srá: ) 88,8 ) 70 ) 78, ), ) Pr úmrs y tls qu : = 9, s umpl qu: MG (;) = k. MH (;) Clulr l vlr "k" ), ), ), ),... ), El prmi 0 úmrs s 0. Si grgms úmrs, uy prmi s 0, Cuál s l prmi fil? ) ) 0 ) 0 ) 0 ) Si lug r u m u ul 60 lums, s s qu l prmi ts lls s 6 y l prmi ts l rst s. Hllr l prmi ts ls 60 lums. ) ) ) ) ) Cuál s l hrr prmi iri rrs, si l h rzó 0 sls pr prs y l rst sls u? ( sls) ) ) 0 ) ) ) 0 0. E u sló lss 0 lums, l t prmi Mtmáti s ; l mism urs l t prmi pr tr ul 0 lums s. Cuál srá l t prmi, si s jut ls 0 lums? ), ), ) ) ),. Iiqu uáls s vrrs flss : I. El prmi - 0; ; -8; y - s r. II. Sól s umpl pr tis : MG M MH III. Si s umpl qu pr tis qu su M=, y su MH = 6,; ts, su MG=. ) VV ) V ) VV ) V ) VVV. U trilr llvr u mrrí u iu "" tr iu "B", pr l ul l trilr utiliz 0 llts pr rrrr ls 780 Km qu spr ihs ius. El trilr utiliz tmié sus llts rpust, l ul llt rrr prmi 600 Km. Cuáts llts rpust ti? ) 8 ) 0 ) ) ) 6. El prmi ritméti úmrs s 600; si s rtir ls úmrs 0; 0 y tr; l prmi umt 7,9. Clulr l tr úmr. ) 8 ) ) 7 ) ) 7

34 . U utmóvil ur l isti tr ls ius y B 70 Km pr hr. Lug, rtr 0 Km pr hr. Cuál s l vli mi su rrri? ) lt l t l isti tr y B. ) Km pr hr. ) 0 Km pr hr. ) Km pr hr. ) 0 Km pr hr.. L iu Vill Ri 00 ss, ti u prmi hitts pr s y l iu Bllvist, 00 ss, ti u prmi hitt pr s. Cuál s l prmi hitts pr s pr ms ius? ) ) ) ) ) 6. L tul éli s l l l Pr. H ñs, l ifri sus s r l prmi sus s tuls ismiui ñs. Hllr l, ñs, éli. ) 0 ) ) ) 6 ) 0 7. D 00 lums u lgi, uy sttur prmi s,67 m; 0 s mujrs. Si l sttur prmi mi ritméti ls mujrs s,60, lulr l sttur prmi ls vrs ih grup. ),70 m ).6 m ),7 m ),69 m ),68 m 8. Ju h mpr,00 urs.,000 vl sls u y ls rstts vl sls u. El pri prmi, sls, pr urs s: ),0 ),70 ),0 ),0 ),60 9. Si l prmi 0 úmrs tr ls 0 (iut) primrs trs psitivs s 7,. El prmi ls 0 trs psitivs rstts s: ) 0 ) ) ) ) 0. El prmi s úmrs s. Si s upli l primr úmr y s quitupli l sgu úmr, l uv prmi s 9. Ls úmrs rigils stá l rzó: ) : ) : ) : ) : ) :. El prmi gmétri úmrs s y l 6 prmi gmétri lls s. Cuál srá l prmi gmétri ls trs? ) ) 6 ) ) ) 6. L mi ritméti y s 66, si s umpl 90. Hllr l mi gmétri "" y "" ) ) ) 6 ) 7 ) 9. El prmi úmrs s. Si l prmi s lls s, Cuál s l prmi ls trs trs? ) ) ( ) ) ) ( ) ). El prmi 0 úmrs s 8 si 8 y 6 s ls úmrs. Elimi sts úmrs l prmi ls rstts s: ) 6, ) 8 ) 7, ) 8 ) 7,. E u fii trj prss uy prmi s s 6 ñs. Si l úmr hmrs s 8 y su prmi s 8 ñs. Cuál s l prmi l ls mujrs? ) 7 ) 6 ) ) ) 6. Si l mi gmétri s úmrs s y su mi rmói, hll ls úmrs. Dr l sum ifrs l myr. ) ) 0 ) ) ) 6 7. U stuit TRILCE sl rrr ts ls ís u iruit frm ur ls siguits vlis; m/s; 6 m/s; 0 m/s y V m/s. Si l vli prmi s 8. Hll: V 7 ) ) 0 ) ) 8 )

35 8. Si l mi ritméti ls "" primrs úmrs turls (,,,..., ) s. Cuál s l mi ritméti : (+, +, +,... +)?. El prmi rmói ls s 8 hrms s 0. Nigu lls s mr 8 ñs. Cuál s l máim qu prí tr u lls? ) + ) ) ) - ) 9. L MG trs úmrs trs s 8. Si l M s lls s,. Hllr l M ls trs úmrs. ), ), ),6 ), ), 0. Si l mi ritméti y l mi gmétri s úmrs trs psitivs y s trs sutivs, ts l vlr slut s: ) ) ) ) ). L mi ritméti imprs ifrs s y trs 0 imprs, tmié ifrs, s. Hllr l mi ritméti ls imprs ifrs sirs. ) 7 ) 8 ) 9 ) 6 ). L mi ritméti ls térmis u prprió gmétri tiu s l rzó ritméti sus trms m. Clulr l sum ls rzs gmétris qu s pu tr ls trms ih prprió. ) 6, ) ), ),7 ),7. Trs úmrs trs, y, ti u mi ritméti y u mi gmétri 0. más, s s qu l prut = 0. L mi rmói sts úmrs s: y ) 0 ñs ) 0 ñs ) 60 ñs ) 90 ñs ) 0 ñs. L M 9 úmrs sutivs s y l M trs úmrs imprs sutivs s 8. Si l M l mr y myr sts úmrs s l frm :, Hllr: + + ) 0 ) ) ) 6 ) 0 6. E u pist irulr, u utmóvil s splz vlis : ; 6; ; 0;... ; 80 Km/h. L vli prmi l utmóvil s: 8 ) ) 9 ) ) ) 0 7. l lulr l M.. ts ls úmrs s ifrs PESI, s mt u rrr s uis pr sirr ls úmrs M y N (ms imprs). Cuáts prjs M y N ist? ) ) ) 6 ) 7 ) 8 8. Dtrmir l prmi rmói ls úmrs l siguit susió: 0; 88; ; 8;... ; 80; 068 ) ) 0 ) 0 ) ) 9. Si pr s úmrs y ( > ) qu s trs psitivs: MG 6 M Dtrmir l mi rmói. ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ) ) ) 0 ) ) 60 ) S y s úmrs trs prs, si l prut l M su MH s igul utr vs su MG, ts l mr vlr qu tm u ihs úmrs s: ) ) ) 6 ) 8 ) 0

36 . U ut vij l siguit mr: rrr 00 Km 0 Km/h; lug, 00 Km 0 Km/h y filmt, 00 Km 60 Km/h. Cuál s l vli mi t su rrri? 6. B uis. Ls prmis ritméti y gmétri y B s úmrs imprs sutivs. Clul B. ) ) 6 ) 7 ) 9 ) E l Dpt. Mtmátis l UNI, trj mtmátis, igirs máis igirs ivils. "L sum ls s ts lls s 880 y l prmi s 6 ñs". Ls s prmis ls mtmátis, máis y ivils s rsptivmt : 0, y 9 ñs. Si mtmáti tuvir ñs más; mái, 6 ñs más y ivil, ñs más, ts l prmi umtrí ñs. Hllr l úmr mtmátis, qu trj l Dpt. Mtmátis. ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ). Cuáts prs úmrs trs ifrts umpl qu l prut su mi ritméti, mi gmétri y l mi rmói s 007? ) ) ) ) 6 ) 7. L mi rmói u grup úmrs sutivs s. u sts úmrs s ls multipli pr su siguit sutiv y uvmt s lul su prmi rmói y s ti 8. Hll l mi rmói ls sutivs u ls úmrs l primr grup. ) ) 6 ) 6 ) 68 ) 7. Clul l mi ritméti ls siguits tis: ; ;; ;... ; ) ) 9 ) ) 8 ) 8 7. S ti 00 úmrs, l prmi ritméti 0 lls s p y l prmi ritméti ls trs 60 úmrs s q. Si l mi gmétri y l mi rmói p y q s 0 y rsptivmt. 0 Cuál s l myr vlr qu pu tmr l prmi ritméti ls 00 úmrs? ) ) 6 ) 8 ) ) 7 8. Clulr l prmi gmétri : ; 6 ; 7 ; 08 ; 0 ;... ("" térmis) (Csir : K = K!) )! ) )! ) ) ( )!!! 9. L M.H. u grup úmrs sutivs s "", u sts úmrs s l multipli pr su siguit sutiv y uvmt s lul M.H. y s ti "". Hllr l M.H. ls sutivs u ls úmrs l grup mi. ) ) ) ) ) ) ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) ( ) 0. Si qu úmrs ifrts umpl l siguit iió: M MG Hllr l ifri ls úmrs. ) 0 ) 0 ) ) 0 )

37 . Clulr l myr prmi :. ;.. ;.. ;. ;.. ;... ; (+) ; (+)(+) ) ) ) ) ) ( )( ( ) ( ( ( ( )( ) ) )( )( 8 )( )( )( ( )( ) ) ) ). Hllr l prmi ts ls umrls piús ifrs uys ss s mrs qu 0. ) 7, ) 0 ) ) 0 ) 00. Etr ls trs psitivs qu s mrs qu J. Cuál s l myr? J ) 8 ) 7 ) 9 ) ). U lz, ml strui, psr tr ls rzs lg siguls, s utr quiliri u s hll srg. S ps u urp l pltill rh y rrj u ps "" grms y u s ps l mism urp l pltill izquir us u ps "" grms. Clulr l vrr ps l urp. M.. = Mi ritméti. M. G. = Mi Gmétri. M. H. = Mi rmói. ) M ( y ) ) MH ( y ) ) MG ( y ) ) MG ( y ) ) MH ( y ). Ls mis ritméti, gmétri y rmói s trs psitivs umpl qu: M MG 6 Clulr l ifri tr ls úmrs. ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 6. U hrmig rrr ls "" ls u plíg, u sl vz l, vlis,,, 6, 0,,... y 7 tímtrs pr miut, rsptivmt. Si lulms l vli prmi, sir qu s u plíg rgulr, l rsult srá "p" m/mi. E mi, si sirms qu l l rrr l mism timp, l rsult srá "q" m/mi. Si: + p + q = M( ; ) MH ( ; ) Clul l sum ls vlrs " + ", si s trs psitivs. ) 8 ) 906 ) 60 ) 8 ) S, y trs psitivs. Si ls mis gmétris, y s irtmt prprils ls úmrs, y rsptivmt. Etrr l vlr l stt prprili qu h qu ls úmrs, y s ls mrs psils. ) ) 0 ) 0 ) 60 ) Hllr l mi rmói l siguit sri: ; ; ; 8;... ; ("" térmis) Dr m rspust l sum l umrr y mir l frió rsultt. ) ) ) ( ) ) ( ) ) ( ) 9. Pr úmrs s umpl: Hllr: ) ) M G MG M 8 M ) ) M MG MG MG ) 60. L mi rmói úmrs s: [0; ; ; ] su mi gmétri s igul u lls qu s múltipl. l sirr u urt úmr l mi rmói s [; ]. Hllr l mi gmétri ls úmrs. ) ) ) ) ) 6

38 Clvs Clvs

39 Cpítul REGL DE MEZCL Y LECIÓN INTRODUCCIÓN Sí U. qu l tmósfr s u mzl gss qu r u jt lst (m l Tirr) u ést ut u mp grvittri sufiit pr impir qu sp. L tmósfr trrstr stá stitui priiplmt pr Nitróg (78%) y Oíg (%). El % rstt l frm l rgó (0,9%), l Diói Cr (0,0%), istits prpris vpr gu, y trzs Hiróg, Oz, Mt, Mói Cr, Hli, Nó, Kriptó y Xó. Tmié ist trs tips mzl, l qu rliz ls mrits l fili tr utilis, l frm lulr l pri mú lls srá mtiv stui l prst pítul. Es l ruió grgió más igrits sustis tr ls uls hy itrió quími. Pri Uitri: Es l st ui mi l igrit. Pri Mi: Es l pri st u ui mi mzl. S ti ivii l st ttl ls igrits tr l ti ttl uis mi mzl. P m Cst Ttl Cti Ttl S pu srvr qu l pri mi s l prmi pr ls pris uitris. E grl, pr "" igrits: Pris : P P P P Cti : C C C C P m C P C P C C C P... C P C... C REGL DEL SP S utiliz pr trmir l prprió l qu mzlrs ls igrits pr tr u trmi pri mi. E qué rlió s mzlr fé S/. 0 l kg. fé S/. 0 l kg. pr tr fé S/.? Ctis Pris Difris C C 0-0 S mzl tips rrz, sgú l siguit rlió : rrz tip : 9 Kg S/. rrz tip B : Kg. S/., rrz tip C : 6 Kg. S/., Clul l pri mi l mzl. S umpl: C 0 C C 0 C S mzlr l rlió 7. 7 El pri mi s l pri st u Kg. mzl, qu s ti ivii l st ttl ls igrits tr l ti mzl ti. P m 9 S/. S/., S/., S/.,

40 PROPIED D Cu ls pris ls igrits s ifrts s umpl qu: Pri Mr Pri < < Mi Pri Myr S ti u lió stitui pr 0 g. plt y 0 g. zi. Cuál s l ly l lió? Cm l pri mi s l pri st; l qu s g lgus igrits, s pir ls trs. Gi prt = Péri prt 0 g. Zi 0 g. Plt Ps Ttl : 0 g. LIG DE UN LECIÓN: Ly Ly Ps Plt Ps Ttl 0 0 0,800 MEZCL LCOHÓLIC Si s quir r l rlió l mtl riri y ps ttl s utiliz l siguit prsió: Es u mzl lhl y gu. * Es l tt pr it lhl pur prst l mzl. S ti utiliz l siguit prsió : Gr Vl. lhl Vl. Ttl 00% S umpl: Lig Ly Ps mtl riri Ps Ttl Ly + Lig = Tmié s pu prsr grs. LECIÓN Es l mzl mtls mit l fuiió: METL INO: S mtls m l r; plt y plti. METL ORDINRIO: S ls mtls priss, m l r, zi, t. LEY DE UN LECIÓN: Es l rlió qu ist tr l ps l mtl pris fi y l ps ttl l lió. Ii qué frió l mzl s mtl fi. NÚMERO DE KILTES DE UN LECIÓN Es mú us l úmr kilts pr iir qué prt l lió s r pur. Pr lgrr st, s sir qu l r pur s kilts s umpl: Tmié: Nº kilts Nº kilts Ps mtl fi Ps Ttl Ly Ly Ps mtl fi Ps ttl l lió

41 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. S mzl litrs pis S/. 8 l litr 0 litrs S/. 7, y 8 litrs S/.. óm s rá vr pr gr l 0% l st? ) S/. 6,90 ) S/.7,00 ) S/. 7,7 ) S/. 7,0 ) S/. 7,7 0. S h mzl 00 litrs vi sls l litr 0 litrs vi pri myr, tiés u mzl u pri mi 6,0 sls l litr. Cuál s l st, sls pr litr l mi vi myr pri? ) S/. ) S/. 6 ) S/. 6,0 ) S/. 8 ) S/.0 0. S mzl s tips rrz S/.,60 y S/.,0 l Kg.; si l pri mi s S/.,0 l Kg. Hllr uáts kils rrz s ti ttl si qu l ifri ps tr ls tis rrz s 0 kils. ) 00 ) 80 ) 0 ) 60 ) S mzl 0 Kg u igrit S/.,0 l Kg 60 Kg. u sgu igrit S/.,0 l Kg. y 0 Kg. u trr igrit S/.,90, l Kg. óm s rá vr kilgrm l mzl pr gr kilgrm l 0% l mism? ) S/.,60 ) S/.,9 ) S/.,0 ) S/.,8 ) S/., 0. Cuál s l purz u mzl lhóli qu ti litrs lhl pur y 8 litrs gu? ) 6º ) 9º ) 70º ) 7º ) 80º 06. S quir tr 00 litrs lhl 7%, mzl 0 litrs lhl 80% ti lhl pur y gu. Qué ti lhl s us? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) U mrit h mpr 0 litrs gurit S/., l litr. Qué ti gu hrá ñir pr vr l litr S/.,7 y gr l 0%? ) litr gu. ) litr gu. ) litrs gu. ) ) litrs gu. litr gu. 08. U mzl vi y gu, quivlt 000 litrs, ti 90% vi. Qué ti gu hrá qu ñirl l mzl pr qu l 7% s vi? ) 0 ) 00 ) 00 ) 0 ) S ti ligts plt y r : u ly 0,600; tr 0,90 y tr 0,80. S quir tr tr ligt ly 0,70 tm grms l y qu ps 70 grms. Qué ti s sitrá l trr ligt? ) gr ) 0 gr ) 7 gr ) gr ) gr 0. S ti 6 grms r kilts. Cuát grms r pur s l grgr pr qu s virt u lió r 0 kilts? ) gr ) 0 gr ) 70 gr ) 7 gr ) 60 gr. Si s fu 0 grms r 0 grms u lió, l ly l lió umt 0,0. Cuál s l ly l lió primitiv? ) 0,900 ) 0,80 ) 0,800 ) 0,70 ) 0,90. S h fui u ligt plt 00 gr. y 0,8 ly tr 000 gr. 0,90 ly Cuál s l ly l lió ti? ) 0,980 ) 0,89 ) 0,77 ) 0,80 ) 0,90. U ill grms ps stá hh r 7 kilts. Cuáts grms r pur s rá grgr, l fuirl, pr tr r kilts? ), ) ) ) ) 0

42 . S h grg 0 grms r pur u lió r 8 kilts qu ps 0 grms. Qué ly r s trá prs kilts? ) kilts ) kilts ) kilts ) 9 kilts ) 0,6 kilts. U mrit mpró Kg. té u ls y 6 Kg. tr pr sls; l l sgu ls stó 8 sls más qu l l primr. Mzló t l ti y vió l kilgrm l mzl u gi,60 sls. qué pri vió l kilgrm? ) S/. 00 ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/ E u mur mit sillrí, mmpstrí y lrill h tr 0, 0 y 80m sts trs lss fári, qu s pgr 90, 00 y 660 sls, rsptivmt, l mtr úi. Cuál s l pri l mtr st mur? ) S/. 9 ) S/. 60 ) S/. 6 ) S/. 600 ) S/ Ds lss ifrts vi s h mzl ls pósits y B. E l pósit, l mzl stá prprió, rsptivmt y l pósit B, l prprió l mzl s. Qué ti vi trrs pósit pr frmr u mzl qu tg 7 litrs vi l primr ls y litrs l tr ls? ) y 6 ) y ) 0 y 9 ) y ) 8 y 0 8. U r 60 grms s 8 kilts, s quir vrl g %. Cuál sr l pri vt?, si l grm r pur stá S/. y l grm l mtl riri utiliz ust S/ ) S/. 70 ) S/. 09 ) S/. 99 ) S/. 6 ) S/. 9. S mzl 70 litrs lhl 9º 0 litrs 69º. l mzl s l tr litrs y s l rmplz pr lhl gr si, rsult u mzl qu ti 6,7 litrs gu. Hllr l gr si. ) 60º ) 6º ) 68º ) 70º ) 7º 0. S h mzl 0 litrs lhl 96º purz, litrs lhl 60º purz y 8 litrs tr lhl. Cuál s l purz st últim lhl, si ls 0 litrs l mzl ti 80% purz? ) 9º ) 8º ) 8º ) 78º ) 7º. S ti ligts r. El primr ti 00 g. r pur y 00 g. r, l sgu ti 0g. r pur y irt ti r. Hllr ih ti si qu si sr tmr irt ti u lls pr frmr 0g. u lió r 8 kilts, l sgu ligt s tmr grms. ) 0 g ) 0 g ) 0 g ) g ) 0 g. U jyr ti ligts: l r, ti 70 gr. r y 0 gr. r; l. ti 00 gr. r y 0 gr. r. Cuáts grms u s fuir pr frir u mll r 0,8 u ps grms? ) 8 gr. l r. ) 0 gr. l r. ) 6 gr. l. ) 8 gr. l. ) gr. l r.. U jyr ti rrs plt ly 0,80; 0,780 y 0,60. u ls s primrs l rlió y l ligt rsultt y l trr ti u uv lió 0,690. Qué ps l primr hy l ligt fil, si ést ps,7 Kg.? ) 00 gr. ) 0 gr. ) 00 gr. ) 00 gr. ) 0, Kg.. U mtlurgist fu u r plt ly 0,9 tr r r Kg ti u lió ly 0,90 l ul s frir ms 0 grms ps. Cuáts ms trá? ) 00 ) 70 ) 0 ) 00 ) 70. Qué ps stñ pur s fuir u lió 0 prts stñ y 70 prts r, pr tr u stñ y r qu ps,8 grms? ), gr ),6 gr ),8 gr ), gr ) g

43 6. U litr u mzl frm pr 7% lhl y % gu, ps 960 grms. Si qu l litr gu ps Kg. s pi l ps l litr u mzl ti 8% lhl y % gu. ) 8, gr ) 76, gr ) 97, gr ) 79, gr ) 87,6 gr 7. S ti s pósits, u 0 litrs lhl. S itrmi 0 litrs, u l gr umt y l tr ismiuy. Cuáls s ls grs l iii, si ls uvs grs stá l rlió 6 9? ) 6º y 60º ) 6º y 70º ) 6º y 76º ) 60º y 80º ) 60º y 70º 8. U mrit mzl "" litrs vi S/. l litr "" litrs vi S/. 8 l litr y ti vi S/.. Si ivirt ls vlúms iiils vi, hllr l pri vt litr l uv mzl si quir gr l 0%. ) S/. 0, ) S/. 9,6 ) S/. 8,8 ) S/.,6 ) S/. 9, 9. S mzl s tips fé l rlió s y s v g l 0%. Lug, s h u uv mzl, pr l rlió s y s v g l % rsult qu ms pris vt s iguls. Hllr u ls pris uitris, si qu s u úmr tr y l tr s S/.. ) S/. 8 ) S/. 0 ) S/. 9 ) S/. ) S/. 0. U pr ti lss hri, u S/., l Kg y l tr S/.,0 l Kg Mzl sts hris, srv qu ls urs sus tis stá l mism rlió qu sus pris uitris. 00 Kg l hri ti pru 7, Kg "ww". Clulr l st ih hri pr pruir 8 Kg "ww" ) S/. 87 ) S/. 80 ) S/. 770 ) S/. 90 ) S/ U mrit ti vi 6 sls l litr. L grg u irt ti gu y ti u mzl 60 litrs qu l v sls. Si st vt g l 0% l st, iir qué prtj l ttl l mzl s gu. ) 0% ) 0% ) % ) 0% ) 7%. U mrit quir mzlr trs tips vi S/.,0; S/.,00 y S/.,60 l litr, rsptivmt. Cuát hrá qu utilizr l primr tip si s s tr u mzl 0 litrs qu pu vr S/.,7 l litr g ll l 0% y más, si ls vlúms ls s primrs tips stá l rlió? ) 60 L ) 7 L ) 90 L ) L ) L. S mzl tips zúr y B uys tis stá l rlió, y l pri Kg. s pu mprr Kg. B. Si l pri mi s,8. Clulr l pri mi l mzlr iguls tis tip zúr. ) S/., ) S/.,0 ) S/., ) S/.,0 ) S/.,80. S ti s ripits 0 y "m" litrs lis ifrts. S tr litrs u y l qu s s u s hh l tr y vivrs, qu, ts, hr ms ripits igul li. Cuál s l vlr "m"? ) ) 0 ) 60 ) 6 ) 7. S rliz l siguit mzl : Kg u susti sls l Kg más Kg u susti 6 sls l Kg más Kg u susti 9 sls l Kg y sí susivmt. Cuáts Kg srá sris mzlr pr tr u mzl uy pri s 9 sls? ) ) 6 ) 9 ) ) 0 6. Pr u ls grifs u ñ sl l gu l tmprtur 6º y pr l tr 6º. Qué ti gu slir pr grif pr tr 88 litrs 6º tmprtur? ) 8 y 60 litrs ) 0 y 78 litrs ) 8 y 70 litrs ) 00 y 88 litrs ) 0 y 8 litrs 7. S h mzl kilgrms fé S/. 7,0 l kilgrm irt ti fé S/. 8,90 l kilgrm, y s h vi l kilgrm l mzl S/. 9,0. Díg qué ti l sgu ls s h tm, si qu s h ti u fii l % sr l pri st. ) 8 Kg ) 80 Kg ) 7 Kg ) 90 Kg ) 8 Kg

44 8. C u gér s lis istits, uys pris s y 8 sls l kilgrm, s h ti u mzl 0 Kg. y s h vi u umt l pri mi l kilgrm, 0, sls, l qu sup u gi %. Cuáts kilgrms u ls s lis h tr l mzl? ) 0 Kg ) 70 Kg ) 0 Kg ) 0 Kg ) 90 Kg 9. S ti 00 tímtrs úis gu sl uy ps s 0 grms. Cuáts tímtrs úis gu pur hrá qu grgr pr tr u mzl qu ps 0 grms pr 00 tímtrs úis? ) 00 ) 0 ) 00 ) 0 ) E u rri 8 litrs qu 7 litrs vi. S h ii gu tl m qu u tll 7 ll 0,8 litrs ést mzl ti vi 0 pur. Cuál s l ti gu ii? ) 60 ) 6 ) 6 ) 6 ) 70. S ti ligts plt y r; l primr ti u ps plt igul 7 l ps fi qu ti l sgu y su ly s 70 milésim. Clulr l ly l sgu ligt si qu l fuiió ms tr lió 66, grms ps y 60 milésims ly. ) 0,7 ) 0,6 ) 0,67 ) 0,8 ) 0,. S ti s lis : l r. ti 80% plt, 0% r y 0% i; l. ti 60% plt, % r y % i. S ls fu l prprió y l lió rsultt s fu plt pur tl prprió l ly rsult 0,7. Qué prtj r ti st lió? ) 7,8% ),% ) % ),% ) 6,%. S ti trs ligts plt uys lys s: 0,7 ; 0,80 y 0,8. Si s fu l primr l sgu, s ti u lió ly 0,78 y si s fu l primr l trr s ti m ly l lió tmié 0,78. Cuál s l ps l trr ligt si l sum ls pss ls trs ligts s, Kg.? ) 80 gr ) 0 gr ) 60 gr ) 60 gr ) 0 gr. S ti s kilts y 8 kilts. S fu pr fir 6 srtijs 8 grms u. Dtrmi l úmr kilts srtij, si l ti r l primr y l ti r l sgu stá l rlió 7. ) 6 K ) 0 K ) 9 K ) 7 K ) K. S ti u ripit "" lhl 80% purz y tr ripit "B" lhl 60% purz. Si mzlms l mit "" l quit "B", tms 60 litrs lhl 7% purz. Si mzlárms t "" y t "B", Cuál srí l prtj purz l mzl rsultt? ) 70% ) 7,% ) 7% ) 67,% ) 70,9% 6. 0 litrs u mzl lhóli l 0%, s l grg "" litrs gu pr ruir su purz su trr prt; lug, s quir vr l mzl ti g l, %, pr litr (l st litr lhl pur s S/. 90). Clulr "" y l pri vt litr. ) 60 y S/. 6 ) 80 y S/. ) 70 y S/. ) 80 y S/. ) 60 y S/. 7. S ti u ripit ll lhl pur. S tr l trr prt y s rmplz gu; lug, s tr l urt prt y s rmplz gu. Cuáts litrs l uv mzl s tmr, tl qu l mzlrls litrs gu y litrs lhl pur s tg lhl º? ) L ) 0 L ) 0 L ) 0 L ) 80 L

45 8. U tr mpró 0 Kg. fé 6 sls l Kg. y l mzl 90 Kg. u li suprir qu l hí st 8 sls l Kg. El fé, pr ft l tust prió l 6 prt su ps. Dig qué ti fé tst trgrá pr 89 sls si qu quir gr l 0% l imprt l mpr. ) 00Kg ) 80 Kg ) 00 Kg ) 0 Kg ) 90 Kg 9. S ti s lss pps lis y B, y ésts s mzl l prprió tiés u ps ttl 800 Kg. El pri st l li s S/. 0 l Kg. y l l li B s S/. l Kg. uát s vr u kilgrm l mzl pr gr l % l pri vt y pgr u impust l % l pri vt? ) ) 0,8 ),0 ), ) 0. Ds lss vi stá mzls ripits. E l primr, l rzó : ; l sgu, l rzó : y l trr, l rzó :. Si s s l mism vlum ts ls ripits pr frmr u mzl qu tg 9 litrs l primr li. Cuáts litrs s tr ripit? ) ) ) 6 ) 8 ) 60. S h mzl L litrs lhl % purz (L + ) litrs lhl 8 % purz y (L ) litrs tr lhl. Lug l mzl, ls L mzl ti % 6 purz, ts l purz l trr lhl s (L > ) ) ) ) L(7 8(L L(7 8(L (L 0) ) 0) ) )(7 8L 0) ) ) (7L 8(L (7L 8(L 0) ) 0) ). S h mzl s vis. HI S/. 0,0 l litr 78 HI S/. 0, l litr. Si s s tr u mzl S/. 0,0 l litr, l ti gu qu s rí grgr l mzl srí: ) 600 ) 00 ) 00 ) 00 ) 00. E u ripit hy 0lts. vi, 0L. lhl y 0L gu. S rtir 6L l mzl y s rmplz lhl. ilmt s tr 0L l mzl rsultt y s rmplz gu. Hll ls tis fils vi, lhl y gu ( s r). ) ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; ; ) ; ;. S ti rrs r. E l primr l 80% l ps ttl s r y l sgu l 7% su ps s r, si ést l uárupl l trir, si s mzl. D qué purz rsult ih mzl? ) 0,8 ) 0,6 ) 0,76 ) 0,8 ) 0,8. U mrit ti tips rrz, uys pris pr kilgrm s:,0;,00 y,00 sls, rsptivmt, ls s primrs stá l rlió. El mrit s vr, mzl l rrz qu ti; pr pr rrr quiv ls sts l sgu y trr tip rrz, pr l ul l pri mi umtó 0,0 sls. qué pri vió Kg. si g u 0% l vt? ) S/.,0 ) S/.,0 ) S/.,6 ) S/.,7 ) S/.,00 6. S mzl lis vis tis qu s I.P úmrs trs qu stá prgrsió gmétri rit. El trr vi rprst l mzl. Cuál s su pri, si l primr y l sgu vl l l y l tripl l trr y l pri mi rsultó S/. 8 l litr? ) S/. 0 ) S/. ) S/. ) S/. 6 ) S/. 8

46 7. S h mzl trs sustis, uys pris s prprils ; y, utiliz l sgu susti u 0% más qu l primr y l trr u 0% más qu l sgu. Si l pri mi pr kilgrm l mzl s myr S/. 7 qu l ifri ls pris ls primrs sustis, lulr si g pir, si qu l vr fij u pri umt su st 60% y l vt h suts susivs %. ) Pir S/. 6,0 ) G S/.,0 ) Pir S/.,0 ) G S/.,0 ) Pir S/.,0 8. U prs mzl rrz S/.,0 y S/.,0 l kilgrm. Si vir l kilgrm S/.,00, grí S/. 0,00 más ttl, qu si l vir S/.,90. qué pri fijr l pri u kilgrm tl qu l hr u sut l 0% l pri fij, ú s g l % su st?. Si más qu s ti 0 kilgrms más l sgu rrz qu l primr. 9. U rril ti L vi pr L gu. S mpiz iir l rril simultámt vi rzó 6 litrs pr miut y gu rzó litrs pr miut, hst qu l mzl tg 0% vi y s srv qu, st timp, l ti líqui qu h tr l rril s ifrir litrs l qu hí iiilmt. Cuál s l ti fil l mzl l rril? ) 8 ) 96 ) 08 ) ) S fu "m" kg r 8 kg r K y s ti u lió ly ( )K, si s fu ls 8 kg r K "m" kg r K, s ti u lió uy ly s ( )K. Si mzlms s tips rrz l prprió m y l mzl s v u gi l 0%; spués s mzl rlió m y s v l 0% fii. Clulr l rlió ls pris sts s tips rrz, ls pris vt ms ss s iguls. ) S/.,88 ) S/.,0 ) S/,80 ) S/., ) S/.,0 ) 9 ) 7 ) 9 ) 7 ) 8

47 Clvs Clvs

48 Cpítul 6 MGNITUDES PROPORCIONLES INTRODUCCIÓN Eist istits mgitus, lgus ls uls s pu tr, trs s pu mir. Cu prgutms Cuáts? psms l ti jts u jut isrt y u prgutms Cuát? psms mir, s ir, l jt s u jut tiu. E st pítul, stuirms ls s mrs más mus rlir ls vlrs mgitus. Ls puts s utr sr u rt qu ps pr l rig. L pit l rt s igul l stt prprili. Est vlr s pu lulr m l tgt l águl gu qu frm l rt l j. E grl: MGNITUD Prpi l mtri u fóm físi quími suptil vriió, s ir pu umtr ismiuir. D.P. B Vlr Vlr B stt MGNITUDES DIRECTMENTE EN TE PROPORCIONLES Supg qu s mgitus stá rlis m qu l uplir l vlr u lls, l vlr l tr tmié s upli; l triplir l primr, l sgu tmié qu multipli pr trs, t. Simpr qu su st, ims qu ist tr ms mgitus, u rlió prprió irt. Pr jmpl, si tms l ti ps qu s pu mprr irt ti sls: SOLES #PNES sl sls sls sls 8 ps 6 ps ps ps más, s umpl qu l it ls vlrs rrspits ls mgitus s stt # ps (stt) sls Si grfims ls vlrs rrspits ls mgitus l pl. (# ps) DP B B s l s irtmt prpril B S pu firmr qu l vlr u ls mgitus p lilmt l tr: Vlr Cstt (pit l rt) f () = K Vlr B Es imprtt srvr qu, l plir u ml mtmáti pr lizr u situió rt, ms tr ut ls límits l vliz l ml. E prtiulr, u firmms qu u mgitu s prpril tr mgitu B, ms jr lr (plíit táitmt) qu st s tr irts límits vriió pr y. Pr jmpl l i "Ly Hk" i qu l frmió sufri pr u urp lásti (pr jmpl, u rsrt) s irtmt prpril l (Itsi l) furz mpl. frmió = K (furz) 6 8 Tg = 8 (S/.) L vliz st uió m ml mtmáti pr rprstr l fóm stá sujt rstriis l furz pu sr muy pquñ prqu ts ú si psitiv, srí sufiit pr frmr l rsrt; st s tríms frmió = 0 u furz > 0, lug vlrí l ml = K., tmp s pu tmr

49 muy gr prqu l rsrt s struirí y p ts s su frmió srí prpril. V(Km/H) MGNITUDES INVERSMENTE PROPORCIONLES Supgms qu u prs rliz u vij pr utmóvil u isti 80km. tr u iu y tr. S V l vli stt l ut y t l timp trsurri l vij El ár rtágul qu s gr u put l urv s igul l stt prprili. 6 t(h) V(Km/H) t(h) 6 Ls puts s utr sr u rm hipérl quilátr. E grl: IP B (Vlr ) (Vlr B) = stt S pu srvr qu l uplir l vli, l timp s ivi tr, y l triplir l vli, l timp s ru su trr prt. más s umpl qu l prut ls vlrs rrspits ls mgitus s stt. V t stt L gráfi ls vlrs rrspits ls mgitus l pl s: Est rlió s pu prsr: PROPIEDDES () f() K Vlr Cstt Vlr B I. Si: IP B DP B II. Si: DP B B DP C DP C DP B B IP C IP C IP B B DP C IP C IP B B IP C DP C III. Si: DP B IP B DP m IP B m B IV. Si: DP B (Cu C s stt) y IP C (Cu B s stt) S umpl: C B stt

50 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Si: DP B, hllr (X + Y) l gráfi. 0 Y 8 X 0 ) ) 8 ) 0 ) ) 6 0. El úmr s ivrsmt prpril l ríz ur l úmr. Si: u = 9. 7 Cuál s l vlr, si? ) 0 ) 00 ) 00 ) 60 ) L prsió u ló gs s IP su vlum; s ir mr vlum myr prsió. U ló 0 litrs sprt u prsió,8 tm. Qué prsió sprtrá u ló 60 litrs? ) 9, tm ) 6, tm ), tm ) 8, tm ) 6 tm 0. Cuáts grms psrá u imt qu vl $,; si u 6 g. vl $ 7, más s s qu l vlr l imt s prpril l u su ps? ) 9, g. ),66 g. ),00 g. ) 9,0 g. ),00 g. 0. Sgú l Ly Bul, l prsió s ivrsmt prpril l vlum qu ti trmi ti gs. qué prsió stá smti u gs si l umtr st prsió tmósfrs, l vlum vrí 0%? ) 6 ) ) ) ) B 06. Si IP B y DP C, u =, B=, C=. Hllr "C" u = 6, B = 9 ) ), ) ) 6, ) Si DP B é IP C, u C, y B s iguls. Cuál s l vlr B u = y C =? ) 8 ) 6 ) ) ) S s qu s DP B IP C. más u s ts B=6 y C=B. Hllr u B s y C s l l B. ) 7 ) ) ) ) Si D.P. B y C I.P. D. vrigur óm vrí "" u "B" umt su trr prt "C" ismiuy sus y "D" umt l prt su vlr. ) ) 7 0. Si: "" D.P. "B" I.P. ) 9 ) 7 C Hllr "C", u = 6 y B = 0. ) 9 y u: =8; B = 9; C=. ) ) ) ) 8 ). S ti mgitus, B y C tls qu s DP C IP B. Hllr u ts B = y C =. B C si qu = 0 ) ) 8 ) ) 6 )

51 . P vrí ivrsmt prpril l ésim pti Q. P vrí u Q vrí Hllr "" ) ) ) ) ) 7. El ps u is s D.P. l ur su ri y su spsr, iss ti sus spsrs l rzó 8 9 y l ps l sgu s l mit l ps l primr. Cuál s l rzó sus ris? 8 8 ) ) ) 9. L frmió prui pr u rsrt l plirs u furz s D.P. ih furz. Si u rsrt 0 m. lgitu s l pli u furz N, su uv lgitu s 6 m. Cuál srá l uv lgitu l rsrt si s l pli u furz N? ) 8 m ) 8 m ) 0 m ) 6, m ) m.. Cuál s l ps u imt qu vl 000 sls, si u 6 kilts ust 9800 y l pri s prpril l ur su ps? (Tóms kilt igul 0, g) ) 6 grms ) 6, grms ), grms ) grms ) 6, grms. U ru 80 its gr tr ru B 0 its. ij l j B hy tr ru C its qu gr u ru D 0 its. Si 0 vults pr miut. Cuáts vults rá l ru D? ) 70 ) 7 ) 60 ) 90 ) Ds mgitus s ivrsmt prprils u trr. Cóm s tr sí sts mgitus? ) Iguls. ) Ríprs. ) Ivrsmt prprils. ) Dirtmt prprils. ) N s pu firmr rlió lgu. ) ) 8. S f: u fuió prprili tl qu: f() + f(6) = 0, ts l vlr prut: f f() f(7) s: ) ) ) 76 ) 67 ) S f u fuió prprili tl qu: f() + f(7) = 0. Ets l vlr l prut f f () f (7) s: ) 7 ) 70 ) 70 ) 76 ) Hllr: + y + z 0 0 z/ z 60 y ) 80 ) 9 ) 00 ) 0 ) 8. Si vrí prprilmt B y B vrí prprilmt C ; más u = 6 ; B = ; C = 8, lulr u C = 9. ) 8 ) 9 ) 0 ) )

52 . Si: = Ets: k k Hllr : + k 7 ) ) ) ) ) 0. Si:, B, C y D s mgitus prprils, más: D.P. B (C; D s stts) I.P. C (B; D s stts) D DP (B; C s stts) Si u: = ; B = 9 ; C = ; D =. Cuál s l vlr C, u = 99 ; B = y D = 6? ) 0 ) 70 ) 700 ) 900 ) 7000 ) V s irtmt prpril "" ) V s ivrsmt prpril "" ) V s irtmt prpril "" ) V s ivrsmt prpril "" ) V s irtmt prpril "h" 7. Ds ls mgitus, B y C si D.P. B (u "C" prm stt); I.P. C (u "B" prm stt). Si u trmi mmt l vlr B s upli y l vlr C umt su l, l vlr vrí uis. Cuál r l vlr iiil? ) 0 ) ) ) ) 0 8. Ls mgitus, B y C gur ls siguits rlis: * C C: stt: B * C B : stt: 8 0, 7 0, 6 0,. S ti s mgitus y B tls qu DP Si u = 80, B = 6. Hllr u: B 60 B. C 0,, ) 0 ) 8 ) 6 ) 6 ) 9. U mgitu s DP B y C IP D. Qué vriió primt u B s upli, C umt su l y D s ru su mit? ) umt 0 vs su vlr. ) umt vs su vlr. ) S ru ) S upli. ) umt vs su vlr. 6. S V l vlum u prllpíp rtgulr h "", lrg "", ltur "h", ls uls s vrils, h s ipit l vlr ; s ivrsmt prpril l vlr. Si u =, B = 9 y C = 6. Hllr u B = y C =. ) 6 ) ) 8 ) ) L vli l si l ir s prpril l ríz ur l tmprtur slut. Si l vli l si 6ºC s 0 m/s, Cuál srá l vli 7ºC? ) 80 m/s ) 00 m/s ) 0 m/s ) 0m/s ) 00 m/s 0. Ds iss irulrs hhs l mism mtril ti sus ris qu stá rlió, mitrs sus spsrs stá rlió 8. Si juts ps 6 Kg, hllr l ps l is ms ps. ) Kg ) 8 Kg ) Kg ) 0 Kg ) Kg

53 . Ds tis y B s ivrsmt prprils stt prprili igul K. Cuát vl K si l stt prprili tr l sum y ifri y B vl 6? ) 6 ) 7 ) 7 ) lt ts ). Si vrí frm DP B y C; C vrí irtmt prpril. Cu B = y =, ts = 60. Hllr u B = 8 y = ) 000 ) 800 ) 00 ) 00 ) 00. S s qu u urp qu lirmt rrr u isti prpril l ur l timp. U pir rrr 9,8 m. u sgu utr éims. Dtrmir l prfui u pz, si s s qu l sltr l pir ést llg l f s sgus. ) 0 m. ) m. ) 0 m. ) m. ) 0 m.. S mgitus ; B y C. Pr = t: Pr B = t: B C C Si = ; u C = 0 y B = Hllr u C = y B = 0 Dr l ifri ifrs. 0 ) 0 ) ) ) ). E u jyrí, s s qu l pri ulquir imt s prpril l ur su ps y qu l stt prprili s l mism pr ts ls imts. U imt qu ust ólrs s rmp s prts, ls uls l ps u lls s l l l tr. Si ls s prts s vis, ts pms firmr qu: 9 ) S prió 0000 ólrs. ) S gó ólrs. ) S prió ólrs. ) S gó ólrs. ) N s gó i s prió. 6. Si DP B (u C s stt) IP C (u B s stt). E u trmi mmt vl 70. Si prtir s mmt B umt 80% y C ismiuy 6%, Qué vlr tmrí? ) 00 ) 0 ) 60 ) 78 ) Pr mgitus, B, C y D s : DP B; ) B IP C; C DP D. Ets: DP D ) ) DP D ) IP D DP ) DP D 8. S f ( ) u fuió prprili irt y g y s u fuió prprili ivrs. Si : f(00) = 00 y g() =. Clulr: ( + ) f( Si: ) 700 y g 6 ) ) 0 ) 0 ) ) 7 9. E u ifii, l vlum gu qu s llv u irt pis s IP T, "T" s l timp qu mr llgr l gu l pis "". Si u s llv 80 litrs l sgu pis l mr s miuts. Qué timp mrrá llgr litrs l tv pis? ) mi ) mi ) 8 mi ) 6 mi ) mi 0. Si ls rus M, C, y B; M y C ti u j mú, C y gr; y N ti u j mú. Si l ru M 7 rvluis pr sgu y s srv qu l ru N gir rvluis pr sgu. Dtrmir l úmr its l ru C si ést ti 0 its ms qu l ru. ) 0 ) 0 ) 0 ) ) D

54 . l mir l ri u pist irulr s mt u rrr qu s DP su vrr vlr y l rrr l lulr su ár s DP l ríz ur su vrr vlr. Dtrmir l rrr lulr l ár u l rrr mir l ri s 9m, si u l rrr lulr l ár s 0,7m l rrr mir su ri s m. ) 0,8m ) ),m ) ),m 6,7m,m. L urió u vij pr frrrril s irtmt prpril l isti ivrsmt prpril l vli. su vz l vli s IP l úmr vgs l tr. Si u tr 0 vgs rrr 0 km. hr. Cuáts kms. pu rrrr u tr 0 vgs 0 mi? ) 0 km. ) km. ) 8 km. ) 0 km. ) 6 km.. Iir l vlr vr ls siguits prpsiis: I. Pr s mgitus ivrsmt prprils, su gráfi s u rm u hipérl quilátr, si ls mgitus s tius, puts u rm u hipérl quilátr si u ls mgitus s isrt. II. Pr s mgitus irtmt prprils, su gráfi s u rt si ls mgitus s tius, puts qu prt u rt si u ls mgitus s isrt. III. E l gráfi mstr pr ls mgitus: úmr rrs y úmrs ís, l ár l rgió smr s l r. # rrs Dtrmir si S ti u máim u míim y l vlr st. ) S míim 6 ; pr 6 ) S míim ; pr 6 ) S míim ; pr 8 ) S míim 6 ; pr 8 ) lt ts.. El pri u ristl s DP l ur su ps. U imt s mpró S/. 00, ps igul 0 8W, s frió "" prts; tls qu sus pss s tr sí m : W 0. ; W 9. ; W 8. ; ; W ( ) pri S/. 0 Hllr l vlr "" ) 6 ) ) 0 ) 8 ) 9 6. Hllr: y K K l siguit gráfi: Cstt prprili : K m Cstt prprili : K Si l ár l rgió smr s 8,u. más: m ; = 0 Csir: L =,099 ; L =,0 ) 00 ) 00 ) 00 ) 00 ) 0 #ís ) VV ) VV ) V ) ) VVV. Dmirms "S" l sum s tis m tl qu u lls s irtmt prpril y l tr ivrsmt prpril, ts, u, S = 0, pr, S =. 7. El úmr prrs qu ti u ómius su rrri s irtmt prpril l spi rrri y l vli s prpril l úmr psjrs qu trsprt. Si u rrri qu mpl u vli km/h y s ti prrs h trsprt 60 psjrs, trmir uáts prrs s ti tr rrri, u vli 6 km/h; hi trsprt 08 psjrs. ) 0 ) ) ) 0 )

55 8. D l siguit rlió prprili : * C C : stt: 0,06,6 6 8,6 B 0, 0,6, * C B : stt:. S s qu l trj hh pr u hmr hr s prpril su pg pr hr IP l ríz ur l úmr hrs qu trj pr í. Sms qu pu trmir u trj 8 ís, u trj 9 hrs iris rzó 0 sls l hr. Cuáts ís mplrá pr hr l mism trj, u trj 6 hrs iris rzó 60 sls l hr? C 6,6 0,07 0 0, ) 8 8 ís ) 9 ís ) 0 ís ) 9 ís ) Si u =, C = ; B =. Clulr u C 6 8B ) 0, ) 0 ) 0, ) 0 ) 0, 9. S ti 6 rus ts, y s s qu sus úmrs its s prpril,,,, y 6 rsptivmt. L primr gr l sgu y fij l j ést v mt l trr qu gr l urt uy j v mt l quit ru, qu su vz gr l st ru. Si l st ru 0 RPM. E uát timp l primr ru rá 8000 vults? ) mi ) mi ) 8 mi ) 0 mi ) 9 mi 0. El timp qu mpl u ómius hr su rrri vrí frm DP l úmr stis qu rliz. U ómius l lí "" mr 8h hr su rrri, rliz 8 stis. C uáts psjrs prtió tr ómius l mism lí, si tr 0 miuts rlizr su rrri, si l primr stió jr prss, l sgu stió jr prss, l trr stió jr prss y sí susivmt hst llgr l últim stió? más, s s qu llgó mpltmt ví. ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0. Dl siguit ur:. S y B s mgitus, Z. más l ár l rgió smr s Clulr: I.P. B 6 6 k k B 6 D.P. B ) 8 ) 80 ) 7 ) 9 ) 6. Dtrmi ls rlis prprili tr ls mgitus U, S y M sgú l ur. U S M Dr m rspust y y ) 9 ) 9 ) 79 ) 9 ) 9. Dl siguit ur: B C y w 0 z y Hllr: + y + z + w ) 6 ) 6 ) 666 ) 66 ) 66 Hllr: + y ) 8 ) 8 ) 8 ) 7 ) 6

56 6. Si : f ( ) f () f () ;, Q. más: f () Hlr l vlr vr u ls siguits prpsiis: I. f 7 7 II. f (7) f () 80 III. f (00) 800 ) VVV ) VV ) V ) V ) V 7. Pr vlrs B 9, ls mgitus y B umpl qu DP B ; pr vlrs 9 B 6 I.P. B ; pr vlrs B 6 s umpl qu : Lg + LgB s stt. Si s s qu u = 6, B = y u B m, pq, pq s u ur prft y "q" s míim. Dr: m + ) ) ) ) ) 8. Si s umpl qu l mgitu s DP l mgitu B, y l mgitu B s DP l sum ls mgitus C ; C ; C ;... ; C. Si u C ; C ; C ;... ; C. = 0 Hllr Si : C ; C ; C 6 ;... ; C 9. Si f () hll: Si: s u fuió prprili ivrs, f () f (0) f (0) f (60) f () D : s ur prft, qu s rprst ifrs s. más: ++ ti l míim ti ivisrs. ) ) ) 6 ) 8 ) Sgú l ly Hk (Rrt Hk Lrs 678), l lrgmit qu sufr u rr prismáti s prpril su lgitu, l furz qu s l pli, ivrsmt prpril su sió y rigiz. Si u rr r 00 m. lrg y 0mm sió s l pli 00 Kg, sufr u lrgmit mm. Hllr qué lrgmit sió 800 kg. plis u rr lumii 7 m. lrg, 6mm sió si qu l rigiz l lumii s l mit qu l l r. ) mm ) mm ) mm ), mm ) 0, mm ) ) 7 ) ) ) 088

57 Clvs Clvs

58 Cpítul 7 REPRTO PROPORCIONL INTRODUCCIÓN * El 9 Jui fur ps Pr, Ju y Pl. Csiguir 8, 9 y 0 pss, rsptivmt, qu mprtir prts iguls Jsús, l ul muy s, trgó 7 ps pr qu s rprt tr lls. Cuáts ps l rrsp Pr? (N s prsur, l rspust s 8) E grl rprtir N DP ls íis ; ;... ; S umpl qu ls prts tis: P ; P ; P ;... ; P s DP ls íis. Cstt P P P P... K * Cu s ti u iruit rsistiv sri m: R R B L tsió tr ls puts y B s rprt irtmt Cm: N P Prts K K N K P...P prpril ls vlrs ls rsistis mi si s ti u iruit prll. R. E y R K I N (... )K R R K ( N... ) B L rrit I s rprt ivrsmt prpril ls vlrs ls rsistis R y R. sí m st jmpl, l rprt prpril ti su pliió l Emí, Igirí, Mii, griultur, t. L stt rprt s igul l rlió l ti rprtir y l sum ls íis. Rprtir S/. 00 DP ls s hrms qu s : 6, 7 y ñs. CONCEPTO: Csist rprtir u ti frm prpril irts úmrs mis íis rprt. PRTES D.P. : 6 00 B : 7 C : 6K+7K+K=00 CLSES DE REPRTO:. Rprt Prpril Simpl: Es qul rprt qu s rliz frm prpril u sl grup íis, st rprt pu sr s tips:. Rprt Simpl Dirt: l ftur st tip rprt, s ti prts qu s irtmt prprils ls íis. L stt: K (6 7 ) Lug: = 6(00) = 600 B = 7(00) = 700 C = (00) = 00

59 NOT: Si ls íis rprt s multipli pr u stt, s ti ls misms prts, s l rprt vrí. K N... Si rprtims 00 DP, y l stt s 00 0 ts ls prts s : ( ) (0) = 0 ; (0) = 60 y (0) = 00 Rprtir 600 prts IP ; y 7 0 Multipliqums pr ts ls íis y hgms uv l rprt. L stt srí hr : 00 ( 6 0) 0 (s l mit l stt trir) Clulms ls prts : (0) = 0 ; 6(0) = 60 ; 0(0) = 00 S pu srvr qu ls prts h vri. B. Rprt Simpl Ivrs: l ftur st tip rprt, s ti prts qu s ivrsmt prprils ls íis. E grl rprtir N IP ls íis ; ;... ; PRTES IP DP : 600 B : 7 7 C : 0 0 K+7K+0K=600 K Lug: = (00) = 00 B = 7(00) = 00 C = 0(00) = S umpl qu ls prts tis: P ; P ; P ;... ; P s IP ls íis. P.. P P K P... Cstt. Rprt Prpril Cmpust: Est tip rprt s rliz prpril-mt vris grups íis. Ls rprts prprils mpusts pu sr: D IR E CTOS: Si l rprt s rliz prts irtmt prprils ls íis. Cm : N N K Prts K K N K P K P K P P K INVE RS OS: Si l rprt s rliz prts ivrsmt prprils ls íis. MIXTOS: Si l rprt s rliz prts irtmt prprils lgus íis ivrsmt prprils trs. Pr ftur u rprt mpust s sigu ls siguits pss: º S virt ls rlis IP DP ivirti ls íis (si ls huir) K º S multipli ls íis rrspits grup. º S ftú l rprt prpril simpl irt rsultt.

60 REGL DE COMPÑÍ Ls grs mprss y gis s stituy, grl, l iiitiv y l ir u sl prs. El pitl y l téi qu pu prtr u prs trmi rsult trmis ss isufiits. Pr st rzó, s h sri l ruió ls pitls y téis vris prss pr hr ftil l pltió u gr gi. U grupió prss qu prt pitls y téis l fili ts mi s l qu s llm u mpñí si mrtil. Ls fiis péris l mpñí s h rprtir tr sus sis. El stui sts prlms rprts s l qu s m, qu s stuirá st tm. Es u s prtiulr l rprt prpril, sist rprtir ls gis péris qu s pru u si mrtil mpñí, tr ls sis l mism frm DP ls pitls y ls timps qu ls misms prm l gi.. Ds prfsrs ritméti: Jvir y Césr sri u lir pr l ul trj istits hrris. Si l primr trj 9 hrs iris l pryt y l sgu 6 hrs más. Cuál srá l fii qu ti l sgu si ttl priir 900 sls? Ntms qu l fii u lls s prpril l timp. G 9 G G 7, G 9 G G , Es ir Jvir ri S/. 7,0 y Césr ri S/. 6,0. Trs migs s si pr mprr u mió prt pitls 6000; 000 y 0000 ólrs. Si pr ms lquilr l mió pri 700 ólrs. Cuát l rrsp u? Cm l timp s l mism pr ts, ts s rprt l gi DP ls pitls prts. Ets: G G 000 G 0000 G G G G G G

61 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. S h rprti irt ti tr prss prts prprils ls úmrs ; y. Si qu l trr prs h rii S/. 600 más qu l primr. Cuát ir s istriuyó? ) 600 ) 000 ) 00 ) 00 ) U prfsr rittiv quir rprtir S/. 00 tr sus lums, prprilmt l úmr hrms qu u ti. Hllr uát t u, si l primr ti hrms, l sgu y l trr. Dr l ifri tr l myr y l mr prt. ) 00 ) ) 0 ) 0 ) 7 0. U tutr "Tril" quir rprtir S/. 7 tr trs lums, pr ftur l rprt trá ut l ti prlms rsults l últim tr miiliri. El primr rslvió prlm; l sgu y l trr. Cuát l rrsp l trr? ) 6 ) ) 9 ) 8, ) 6 0. Diviir S/. 780 trs prts m qu l primr s l sgu m s y l primr s l trr m 7 s. L sgu s: ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/. 80 ) S/ Rprtir S/. 000 tr prss m qu l prt l primr s l sgu m s y l sgu l trr m s 7. Dr l myr prt. ) S/. 00 ) S/. 00 ) S/. 000 ) S/ ) S/ Rprtir 70 uvs sls prts qu s ivrsmt prprils ; y. Dr m rspust l ifri tr l myr y l mr ls prts qu qu ivii 70. ) 00 ) 0 ) 70 ) 0 ) l rprtir N DP ; 8; 6 IP ; 6 y 0, l ifri tr l sgu y l trr prt s 76. Hllr: N ) 6 ) 6 ) ) 8 ) Trs prss frm u si, 800 ólrs pitl. El primr prt ls 8 ; l sgu ls 8 l rst. Ets l trr prtó: ) 00 ) 60 ) 600 ) 700 ) Dsmpr l úmr utr sums uys urs s prprils, 7, 8 y 7. ) 6,, y 0. ) 6,, y 0. ) 6,, y 0. ) 6,, y 06. ) 60,, y S rprt 78 frm irtmt prpril s tis; m qu, lls stá l rlió 9. Hllr l sum ls ifrs l ti mr. ) 8 ) ) ) ) 9. Diviir 0 sls trs prts tl mr qu l primr s l sgu m s, y l sgu s l trr m s. Iiqu l ti sls /u. ) 0 ; 8 ; 00 ) 0 ; 7 ; 00 ) 0 ; 7 ; 90 ) ; 8 ; 9 ) ; 80 ; 90. Cutr sis rú ólrs ls uls l primr p 00000; l sgu ls l qu pus l primr, l trr ls l qu pus l sgu y l urt l rstt. Eplt u iustri urt ñs. Si hy qu rprtir u gi ólrs. Cuát l t l urt? ) ) ) ) )

62 . Mri iii u gi $600; 6 mss spués s si r qui prt $80 l si. Si spués 8 mss sis, s rprt u gi $0. Cuát l rrsp Mri? ) $90 ) $70 ) $600 ) $90 ) $70. Rprtir tr, B y C m qu l prt s l l prt B y l C sum ls prts y B. Ets, l prut ls prts, B y C s: ) 08 ) 980 ) 686 ) 86 ) 8. l iviir 6000 trs prts qu s ivrsmt prprils ls úmrs 6, y ( st r), s ti trs úmrs, y. Ets: s: ) ) ) 9 0 ) ) Ds sis ruir u pitl 0000 sls pr hr u gi. El primr jó su pitl urt mss y l tr, urt mss. S pi trr l sum ls ifrs l ifri ls pitls prts, si qu ls gis fur iguls. ) ) 0 ) 7 ) ) 7. E u jug ltrí, prtiip migs, B, C y D; ls uls rlizr ls prts siguits : prtó l l qu C; B prtó u tri D pr l mit C. Gr l prmi y s rprtir mr prpril sus prts. Cuát riió, si D riió S/. 60? ) S/. 800 ) S/. 90 ) S/. 000 ) S/. 00 ) S/ S rprt u ti ir tr hrms, frm DP sus s, qu s úmrs sutivs. Si l qu ri l mr s l 7% l qu ri l myr y l ifri tr l qu ri l. y t. hrm s S/ Hllr l ti ir rprti. ) S/ ) S/ ) S/ ) S/ ) S/ Ls s hrms s tis trs y sutivs. S rprt u sum ir, prprilmt, sus s; tl mr qu l mr ri ls l myr. Cuát ri l myr, si l sgu ri S/. 0? ) S/. 00 ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/ Trs prss frm u si prt u lls igul pitl. El primr lls l impus urt u ñ, l sgu urt 8 mss y l trr urt u smstr. l fil s ti u fii S/. 90. Cuát gó l qu prtó su pitl urt myr timp? ) S/. 900 ) S/. 600 ) S/. 70 ) S/. 70 ) S/ l rprtirs irt ti trs prts qu s DP N ; N N N N N y IP ; ; rsptivmt y s srv qu l primr prt l últim 6. Hllr l sum ifrs l ti rprtir. ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). S rprt irt ti ir tr prss, rii l primr ls sgu y l trr 8 l qu riió l 7 ms l qu riir ls s primrs prss, si st sum igul l mit l ttl, ismiui S/. 0. Hllr ih ti. ) 000 ) 00 ) 600 ) 00 ) 00. l rprtir u úmr frm irtmt prpril trs úmrs prims tr sí, s ti ls prts siguits: 70 ; 080 y 800; ts l sum ls trs úmrs prims tr sí s: ) 8 ) ) 9 ) 0 )

63 . U hmr i rprtir u hri frm prpril l r qu ir sus hijs. L hri ttl s S/ ; iilmt j S/ pr l myr, tl m qu l primr y l últim hij ri igul hri. Cuál s l myr úmr hijs qu ti st prsj? ) ) ) ) 6 ) 7. rrs, B y C trj irt r. El prpitri l r trg quilmt u grtifiió ólrs pr rprtirl tr ls qu trj. E l qui qu trj y B, rrsp ls l grtifiió y B l rst. E l qui qu trj B y C, l primr r ls y l sgu l rst. Dtrmir l ti qu riir B l qui qu trj ls trs. ) 6 ólrs ) ólrs ) ólrs ) 6 ólrs ) ólrs 6. Ds griultrs y B ti rsptivmt 9 y htárs trr qu s smrr. Cu y hí smr 7 prpi, trt u pó, y prtir ts ls griultrs y l pó trj prts iguls. Cuát prtr griultr pr pgr l pó, si ttl pgrl 0 sls? ) 0 ; 0 ) 0 ; 0 ) 0 ; 0 ) 90 : 0 ) ; 7. Trs hrms, y, z í rprtirs u hri M ólrs prprilmt sus s qu s : l hrm, ( ) l hrm y, ( 6) l hrm z. Cm l rprt s rlizó u ñ spués, u lls quó prjui J ólrs. Iir l hri M y l hrm fii. ) ( ) ( ) J, y ) ( ) ( ) J, z ) ( ) ( ) J, ) ( ) ( 6) J, y ) ( ) ( ) J, z 8. Ds mpsis ps m y Bm trrs ultiv, rsptivmt; si B =. Cu l primr l flt y l sgu pr trmir lrr sus trrs, ur trtr u pó pr 60 y trmir l rst l trj tr ls trs prts iguls. l fil, l mpsi l trr u qu pgr, y, l trri, rlm u pg l mpsi l trr B. Cuát s l pg qu rlm? ) 0 ) 80 ) 0 ) 80 ) 0 9. Cutr hrms ri u hri qu l rprt tis iguls sus s; pr, lug, pis l mr (sfvri) : "si y tuvir l mit y mis hrms l trr, urt y st prt l qu s h t, ts ts tríms tis iguls ilus srrí S/. 88". Hllr l l myr ls hrms. ) 60 ) 6 ) 0 ) 8 ) 0. U hmr mur j, su sps mrz, u tstmt 0000 sls qu s rprtirá l siguit frm : l mr y l ritur si vró. l mr y l ritur si iñ. 7 7 Pr, su qu l sñr luz u vró y u iñ. Ets, l qu ls t l iñ y l vró, s r s : ) 000 ; 6000 sls. ) 0000 ; sls. ) 000 ; 000 sls. ) 8000 ; 6000 sls. ) 000 ; 8000 sls.. U prs h prs tis ir qu s prprils :, y y ú l qu 6000 sls. Si l mr ti qu trgó s S/ Cuát ir tí? ) S/ ) S/ ) S/ ) S/. 900 ) S/. 800

64 . Ds iivius mpr u gi pr ñ. El primr mpiz $00 y 7 mss spués ñ $00. El sgu mpiz $600 y mss spués ñ $00. Cuát rrsp, l sgu, u fii $80? ) $ 00 ) $ 980 ) $600 ) $ 0 ) $ 880. U ritméti, l mrir, jó su sps mrz u hri S/. 790, iiál l siguit frm : ll riirá ls 6 l qu l tqu l iñ si r vró, pr si í iñ riirá ls 9 7 l qu ést l trí. Si l sps l ritméti, l r luz, tuv quitillizs: iñs y iñs. Cuát l rrspió l hri iñ? ) 90 ) 90 ) 780 ) 870 ) 96. S rprt N frm DP ls úmrs ; y y lug s rprt N frm DP ls sutivs ihs úmrs l ul u ls prts vrí 80. Clul l sgu prt. ) 60 ) 60 ) 60 ) 960 ) 880. P i rprtir rmls tr sus hijs y sris, tál hij m y sri m. Etr sus hijs, rprtió 8 rmls más qu tr sus sris, quis rrspió 6 rmls u. Si ttl rprtió 6 rmls. Cuáts hijs ti P? ) 9 ) 8 ) 7 ) 0 ) 6. U mriu jó S/ s sris, trs sris y prims. virti qu l prt prim sr ls l sri y l sri, l u sri. Cuát l t u ls hrrs? (Dr m rspust l prt u sri) ) S/ ) S/ ) S/ ) S/ ) S/ S rprt l úmr 800 prts prprils ts ls úmrs prs s Cuát l t l qu s prpril 7? ) S/. 0 ) S/. 00 ) S/. 6 ) S/. 0 ) S/ El ptz u hi ti m ps :, B y C. Smlmt rprt S/. 76 tr ls qu trj. E l sm qu trj y B, ri más qu B; y l sm qu trj B y C, B ri ms qu C. Cuát ri B l sm qu trj ls trs? ) S/. 88 ) S/. 6 ) S/. ) S/. 60 ) S/ l rprtir u úmr N prts prprils ls rís urs ls úmrs 7; ; 08 ivrsmt prpril ls urs ls úmrs 6; y rsptivmt, s ti qu l primr prt s u frió l sum l sgu y trr prt. Hll ih frió : ) ) ) ) ) 0. S rprt u ti "N" frm ivrsmt prpril ls úmrs : ; 6; ; 0;... ; 80 y s srv qu l myr prt fu 80. Hllr: "N". ) 0 ) ) ) ). U pr ts mrir rprt su frtu tr sus trs hijs, prprilmt ls úmrs, y 0; lug, mi isió y l rprt, prprilmt,, 0 y 8. Si u ls hijs ti hr S/. 00 más qu l miz. uát si l hri? ) S/ ) S/ ) S/ ) S/. 000 ) S/. 0000

65 . Trs prss s sir pr stlr u gi, l primr pus mrrís y l sgu ( ) 0 sls. Otuvir u gi : ( ) 0 sls, ls uls l primr rií ( )( ) 0 sls y l trr ( sls. ) 0 Si l ti qu riir l primr y l trr stá l rlió. Hllr l ti ttl qu pusir ls trs prss. ) S/ ) S/ ) S/ ) S/ ) S/ E l purt u iglsi s utr hitulmt s migs sr: u pr, ts ls ís y, ltr, u ig y u j. U prs rittiv m su hij sls y l i : "Si utrs l pr y l ig, rás ést ls l ir y l mujr; pr si st hí l j, l rás más qu l ir y ls l mujr". Pr suli, qul í stá ls trs migs l purt l iglsi. Cuát rá u, rsptivmt, sgú l mt su prgitr? ) 6,, ), 6, ),, 6 ) 6,, ), 6,. Diviir l úmr 0 trs sums, uys urs s irtmt prprils ls rís úis ; 7 y 09 ivrsmt 7 prprils, y Cuál srá l mr ls prts? rsptivmt. ) 80 ) 00 ) 70 ) 0 ) 00. U prs ispus qu s rprtir S/ tr sus trs hijs, B y C frm ivrs sus s., qu tí 0 ñs riió S/ , pr ruió ll y l rprtió tr ls trs s irtmt prpril sus s y sts S/ B l tó S/ más qu C. Hllr l ifri tr ls s B y C. ) ñs ) ñs ) ñs ) 8 ñs ) 9 ñs 6. Ds hrms s rprt u hri l siguit mr, l quit prt DP y, ls l rst IP y, l rst DP y 7. Si u ls hrms l tó S/ más qu l tr, hllr l mt l hri. ) S/. 700 ) S/. 700 ) S/. 000 ) S/. 00 ) S/ l rprtir 8 frm irtmt prpril úmrs imprs sutivs, u lls s. Hllr uát l huir rrspi ih prt si l rprt s huir hh frm ivrsmt prpril ihs úmrs. ), ),9 ) 6,7 ) 76, ),9 8. Trs hrms, B y C isp S/. 00, S/. 0 y S/. 0, rsptivmt; mitrs qu su urt hrm D hí gst su ir. Ls hrms ; B y C ur ruir sus prts y rprtir l ttl tr ls utr prts iguls. El pr, l r ih ió grs, ls trg ls hrms, B y C S/. 60 pr qu s rprt tr ls. Cuát l tó C? ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/ U pr fmili i rprtir 60 tr sus hijs, B, C y D. l hij, qu ti 8 ñs, l tó 680, pr ruió ll y l rprtió tr ls trs trs tmié prprilmt sus s y, pr st rzó, B l tó S/. 760 iils y C l tó S/. 0 iils l qu y hí rii. Cuál s l C? ) ) ) 6 ) 0 ) 9 0. S rprt "N" frm DP, y IP, y 7; lug s rprt DP, y 7 IP, y, l ul l myr ifri tr ls prts l primr rprt, s myr uis qu l myr ifri tr ls prts l sgu rprt. Hllr: "N" ) 87 ) 78 ) 87 ) 78 ) 87

66 . S ivi 0000 prts qu s irtmt prprils úmrs trs y sutivs. Si l ifri tr l myr y l mr ls prts qu qu ivii 0000 s 8000, hllr l sum ls úmrs sutivs. ) 000 ) 600 ) 800 ) 90 ) 00. Trs hrms rprtirs u irt ti DP sus s. Gst S/. 60 y s rprt l rst l mr ih, rrspi l primr S/. 800, l sgu S/. 600 y l trr S/ Cuát huir rii u lls si gstr ls S/. 60? ) S/. 980 ) S/. 800 ) S/. 780 ) S/. 000 ) S/. 00. S rprt irt sum DP ls úmrs: 7 ; ; ;... ; 0. L qu l rrsp l qu ri l trigésim primr ti s ivi prts iguls y s ti tis trs. Dtrmir l urgésim quit ti rii si ést s l mr psil tr. ) ) 9 ) 6 ) 7 ) 8. Cutr migs:, B, C y D h trmi lmrzr u rsturt. "Cm ls ij", pli D, "Y tg i u tv; pr rprtiré sts mzs tr usts, prprilmt l qu hy prt mi lmurz". L ut fu 60 sls, y ls prts, B y C l pg l ut fur ; 0 y sls, rsptivmt. Ets ls tis mzs qu ls rrsp, B y C rsptivmt s: 6. l rprtir (0. 99! ) DP ls úmrs:! ;! ;! ;... ; 98!99 L sgu prt s: ) 7 ) 8 ) 6 ) ) 7. U prs ispus qu s rprtir $ 000 tr sus trs sris frm irtmt prpril sus s. u lls, qu tí ñs, l tó $ 000; pr ruió ll y ls rprtió tr ls trs s, tmié prpril-mt sus s. Pr l qu u lls l rrspió $ 000 iils. Dtrmir l l mr ls sris. ) ñs ) 0 ñs ) 8 ñs ) 6 ñs ) ñs 8. S rprt: N E prts DP : ; y ; IP :, y rsptivmt. Si l mr ls prts s (,), trmirl umérimt si qu s l sgu. ) ), ), ), ), 9. El pr trs hrms :, 6 y X ñs (X > 6), qurí rprtir l hri frm irtmt prpril ls s. Pr, l rprtiió s hiz frm ivrsmt prpril. Prgut l sgu; sr ést uv rprt, ést rspió: "M igul". E qué prt l hri s prjuió l myr? ) 9 ) ) 8 ) 0 ; ; 8 ) ; ; 7 ) ; ; 6 ) ; ; ) ; ; 0 ) ). l rprtir S/. 70 irtmt prpril ls úmrs : ; y ivrsmt prpril ls úmrs : ; y ( > > ). Si "" y "" úmrs trs s srv qu ls tis tis s trs. Hllr: ( ) ) ) ) ) ) 60. Luis, Césr y Jsé frm u si. El pitl Luis s l pitl Césr m s y l pitl Césr s l pitl Jsé m s. ls mss iii l gi, Luis tuv qu vijr y s rtiró l gi; mss spués, Césr tmié s rtiró l gi y mss spués Jsé liquió l gi rprti ls utilis. Si Luis huis prmi l gi u ms más, hrí rii S/. 6 más. Cuál fu l utili ttl ti l gi? ) S/. 6 ) S/. 6 ) S/. 9 ) S/. 8 ) S/. 600

67 Clvs Clvs

68 Cpítul 8 REGL DE TRES INTRODUCCIÓN U ls pliis prprili más tigu s l Rgl Trs qu rsult l mprr s más mgitus. Cu utr tis frm u prprió y u lls s si, l prió qu ti pr jt trmir st iógit fuió ls tis is llv l mr Rgl Trs Simpl. REGL DE TRES SIMPLE Cu ls mgitus mprs s ivrsmt prpri-ls : r. mgitu. mgitu Si s mgitus ivrsmt prprils s umpl :. =. Es u s mpr s mgitus prprils. Pu sr irts ivrss. Cu ls mgitus mprs s irtmt prprils. r. mgitu. mgitu Si s mgitus irtmt prprils s umpl : Sstrs ís 0 0 Es u RSI 0 = 0() = 6 Ets hy qu umtr 6 = sstrs REGL DE TRES COMPUEST Es u s mpr más s mgitus s ir l ms mgitus (6 vlrs rrspits) Miuts 7 # litrs 60 = 7(60) = 000l Es u RSD I. Trslr l ifrmió l hj álul. II. S ui l mgitu l iógit, l ul s mpr /u ls trs mgitus (rá sirr qu ls trs mgitus qu itrvi prm stts) III. E s qu l mprió trmi qu ls mgitus s DP, mi l psiió ls vlrs, sriiéls m u frió. IV. E s qu l mprió trmi qu ls mgitus s IP, mtg l psiió rigil ls vlrs ( frió).

69 V. L iógit s trmi l siguit m: I.P. B C D hrs sum 0 tls ró 0 ís; hrs más sumirá ís u ti ró igul : S umpl : DP C DP C D B C D 0 ps simr u trr 00m suprfii 6 ís 6h/; ts, l úmr ís qu sit 0 ps lmt rápis pr smrr u trr 800m suprfii trj h/ s: D S umpl: DP Hrs TN ís = 60 TN DP Lug: Ps 0() 0() 60 IP m ()() DP ()(8) hrs 6(6) () = 8 ís

70 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. S s qu "h" hmrs ti vívrs pr "" ís. Si sts vívrs lzr pr "" ís. Cuáts hmrs rtirrs? ) h ) h ) h ) h ) h 0. Ágl s l l rápi qu Bit y l trr prt qu Crls. Si Ágl h u r ís, E uáts ís hrá l r ls juts? ) 0 ) ) ) 0 ) 0. 6 rrs pu hr u r 8 ís, E uáts ís hrá l r si ls rrs umt su rimit u 60%? ) 8 ) 9 ) 0 ) ) 0. U sstr psó hr u tr u sm; pr tró ís más pr trjr hrs ms í. Cuáts hrs trjó irimt? ) ) 7 ) 8 ) ) 0. D hmrs s mprmt trmir u r 8 ís. Lug trjr ís juts, s rtir hmrs. C uáts ís rtrs trmi l r? ) ís ) ís ) ís ) í ) ís 06. U urr t u ur mtrs lgitu tr ís mr t l pst qu stá su l. Cirt í, su uñ l mrr u ur más gr y s mr 0 ís mr l pst qu stá su l. Hllr l lgitu l uv ur. ) m. ) m. ) 6m. ) m. ) 8m. 07. Pr shr u mp ur 8m. l s sit ís. Cuáts ís s sit pr shr tr mp ur 7m. l? ) 8 ) 0 ) ) 7 ) Si 80 litrs gu mr ist lirs sl, Cuát gu pur s umtr ss 80 litrs pr qu 0 litrs l mzl ist 6 lir sl? ) 0 ) ) 0 ) 60 ) U frmr prpri u pit u tlt miuts. Cuáts tlts sitrá pr 9 hrs tur si miistrr u l iii y l térmi l mism? ) ) 0 ) ) ) 0. U vt ur s limpi h. 0mi. Si l mism prs limpi tr vt ur uy s s % mr qu l vt trir, Qué timp mr? ) 80 mi ) 9 mi ) h 0mi ) h 0mi ) h 0mi. Si "" rrs rliz u r ís. E uáts ís rrs rlizrá l mism r? ) ( ) ) ) + 8 ) 8 8 ) 8. U sstr ti u tl 86 m. lgitu qu s rtr pzs u mtr u. Si pr hr rt s mr 6 sgus, l timp qu mrrá rtr l ttli l tl s: ( miuts). ) 8, ) 8,6 ) 8, ) 8,7 ) 8,. Mul s l tripl rápi qu Ju y juts rliz u r ís. Si l r l hiir slmt Mul, Cuáts ís mrrí? ) 0 ) 6 ) 8 ) ) 8. U lñil h strui u pr ís. Si huir trj hrs ms, hrí mpl 6 ís más pr hr l mism pr. Cuáts hrs h trj pr í? ) 6 h ) 7 h ) 9 h ) 0 h ) 8 h

71 . U rlj s trs 0 miuts í. E uáts ís vlvrá mrr l hr rrt? ) 6 ) 7 ) 0 ) ) 6. Si 0 kils it mpust mstil hy kils it sy y l rst it pur ps; Cuáts kils it sy s rá grgr sts 0 kils pr qu pr kils l mzl s tg 8 kil it pur ps? ) 0 ) 0 ) 80 ) 0 ) E u furt hy 00 hmrs prvists vívrs pr 6 mss. Cuáts hrá qu spir, pr qu ls vívrs ur s mss más, hmr l mism rió? ) 60 ) 7 ) 0 ) 0 ) 0 8. u sfr rlj s l ivi 00 prts iguls, prt s mirá "uv miut". C "uv hr", stá stitui pr 00 "uvs miuts". Qué hr iirá l uv rlj, u l tigu iiqu ls hrs, 8 miuts? ) h 80mi ) h mi ) h 7mi ) h 7mi ) h 80mi 9. U grup 6 lums rsulv hrs u tr sistt 0 prlms igul ifiult. L siguit tr sist rslvr prlms uy ifiult s l l qu l ls trirs. Si s prst s itgrts l grup, ts ls rstts lums trmirá l tr : ) h ) 6 h ) 7, h ) 8 h ) 0 h 0. Ls máquis " M " y " M " ti l mism ut pruió sml, pr 0 hrs y hrs rsptivmt. Si " M " trj 8 hrs y s mlgr i hr " M " l rst l ut. Cuáts hrs iils trjr " M "?. Si 0 rrs pu hr u trj ís, Cuáts rrs, qu tg u rimit igul l mit, s sitrá pr hr u trj 7 vs myr u timp 6 l trir? ) 60 ) 00 ) 900 ) 80 ) 960. El mt u frtlz ti 00 hmrs y vívrs pr u ms, u ri l r spir u irt úmr sls pr qu ls vívrs ur mss sl rió. Cuáts sls srá s j pr l mt? ) 000 ) 00 ) 000 ) 000 ) 00. U urill 0 rrs pu hr u r ís, Cuáts ís srá sris pr tr urill 0 rrs, l fiii qu ls trirs, pr hr l mism r? ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0. U rsrvri ilíri 8m. ri y m. ltur, st 7 prss urt 0 ís. Cuál rá sr l ri l ripit 6m. ltur qu strí 0 prss urt mss? ) 8 ) ) 6 ) 8 ). U mógrf sri págis 6 lís y plrs lí, ís. Cuáts págis sriirá 6 ís, si pági s 0 lís y lí ti plrs? ) 6 ) ) ) ) 6. is sit ís pr sumir gls krs. Cuáts gls sumí u i ís? ) 0 ) ) ) ) ) h ) h ) 6 h ) 8 h ) 0 h

72 7. Si u turí m. ri rrj 60 litrs pr miut. Qué timp s mplrá pr llr u pósit 9m tr turí 6 m. ri? ) 00 mi ) 60 mi ) 00 mi ) 98 mi ) Más 00 mi 8. U fári isp máquis 70% rimit y pru 00 vss 6 jrs 8 hrs. C l fi ruir prsl, s mi ls máquis pr trs 9 l 90% rimit qu pru 700 vss jrs "" hrs. Hllr "" ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 9. E ís, 8 rrs h hh ls prts u r. S rtir 6 rrs. Cuáts ís mrrá ls rrs rstts pr trmir l r? ) 6 ís ) ís ) 8 ís ) ís ) ís 0. E Piur, pr prlms ls huys, u pul "" 6000 hitts h qu isl y sól ti vívrs pr ís trs ris iris pr hitt. Si l pul "" srr tr pul "B" 000 hitts y si vívrs. Cuáts ís urrá ls vívrs pr ls s puls juts si hitt tm s ris iris? Csirr qu llgrá u "yu" l pitl 0 ís spués qu y B iiir l mprtimit vívrs: ) Ls vívrs s trmir ts llgr l yu. ) Ls vívrs urrá 0 ís. ) Ls vívrs urrá hst í spués llgr l yu. ) Ls vívrs urrá hst ís spués llgr l yu. ) lt ts pr pr hr l álul.. U rlj s lt miut y mi hrs. Dspués 6 ís hrs 0 miuts. Cuát s ltó l rlj? ) h 0mi 0s ) h 0mi ) h 0mi 0s ) h 0mi ) h 0mi 0s. Qui rrs h hh l mit u trj vit ís. E s mmt l trj rrs. Cuáts ís trrá trmir l trj ls rrs qu qu? ) ) 6 ) 8 ) 0 ). Si N s l úmr rrs qu pu hr u r N ís trj N hrs iris. Cuál s l úmr N rrs si l uplirs h l mism r 7 hrs? ) ) ) 6 ) 8 ) 60. U rlj mr l hr ls 0 hrs u irt í. Si s s qu s lt miuts hrs, Cuát timp trsurrirá pr qu, uvmt, mrqu l hr t? ) 90 ís ) 8 sms ) 9 ís ) 6 ís ) 6 hrs. 80 rrs, trj 8 hrs iris, struy 80m u r ís. Cuáts ís s rquir pr qu 0 rrs, trj 0 hrs iris, hg 960m l mism r? ) ís ) 0 ís ) 8 ís ) 6 ís ) 0 ís 6. U súpr ptó frm prllpíp ps 60 grms. El ps grms u miiptó igul frm; pr sus imsis ruis l trr prt s: ) 0 ) 0 ) 60 ) 70 ) U rlj mr l hr rrt u í ls 6 p.m. Supi qu hrs s lt miuts. Cuát timp psrá pr qu mrqu pr primr vz l hr rrt uvmt? ) 0 ís ) ís ) 7 ís ) 0 ís ) 0 ís 8. U fusil utmáti pu isprr 7 ls pr sgu. Cuáts ls isprrá u miut? ) 0 ) 0 ) 0 ) 6 ) 80

73 9. U rr pu hr u pl rt hrs miuts. Cuát timp s mr l mism rr pr hr tr pl uys imsis s vs myr, u quit más y u st ls trirs? 0 hmrs, 0% rimit ms qu ls trirs, hg u r qu s l ifiult qu l trir y 0 pis lt, si mr ís trj 6 hrs iris? ) 0mi 0s ) h mi ) h mi ) h 0mi ) h mi 0. U rlj s trs 8 miuts hrs. Si st mr l hr rrt 7.m. l my. Qué hr mrrá l p.m. l 7 my? ) h 8mi ) h 8mi ) h 0mi ) h mi ) h 8mi. U r í trmirs 0 ís mpl 0 rrs, trj 8 hrs iris. Dspués ís trj, s piió qu l r qus trmi 6 ís ts qul plz y sí s hiz. Cuáts rrs s umtr ti prst qu s umtó tmié s hrs l trj iri? ) ) ) ) 0 ) 0. Durt l struió ls trrs S Brj, u urill 0 hmrs trjó urt 0 ís 6 hrs iris pr lvtr u ifii m. ltur, m. lrg y 0m. h. l trmir st ifii, l urill hmrs ms, psó struir tr 0m. lt, m. lrg y 0m. h trj 7h pr í y l l ifiult. Cuáts ís sitr pr luirl? ) ) 0 ) ) 60 ) 7. Cu s istló gu u plió, rrspió hitt 60 litrs gu pr í. hr qu l plió h umt 0 hitts, rrsp u lls 8 litrs gu pr í. Hllr l plió tul. ) 000 ) 00 ) 00 ) 900 ) 800. S s qu 0 rpitrs 6 ís pu hr 90 mss 0 sills. Hllr, si qu 0 ésts rpitrs ís h hh 0 mss y "" sills. ) 0 ) ) 8 ) 6 ) 0. Si 9 hmrs h u r m. h pr 6 pis lt 8 ís trj 0 hrs iris. E uát rá vrir l h l r pr qu ) Dismiuy m. ) Dismiuy 0m. ) Dismiuy m. ) umt 0m. ) umt m. 6. U grup hmrs trj 8 ís pu hr l 0% u r, tr sgu grup 0 hmrs trj 6 ís, pu hr l 0% l mism r. Si hmrs l, ps l r. grup, trmir qué prtj l r hrí ís sts 8 hmrs juts. ) 0% ) % ) % ) % ) % 7. rrs trj 0 hrs iris h mpl ís pr hr u zj 00 mtrs lrg, mtrs h y, mtrs prfui. Cuáts ís mplrá rrs trj 8 hrs iris l rir tr zj 00 mtrs lrg, mtrs h y mtr prfui? ) ís más ) ís más ) 6 ís más ) ís más ), ís más 8. hmrs y 8 muhhs pu hr u r ís, mitrs qu u hmr y muhhs h l mism r ís. U sl muhh, qué timp hrí l mism r? ) 90 ís ) 0 ís ) 80 ís ) 0 ís ) 60 ís 9. D sturrs pu hr u tji ís trj hrs iris. Dspués ís s rtir sturrs y 6 ís spués st s trt sturrs iils, pr trmir timp. Hllr l vlr. ) ) ) ) ) 6 0. U rr mr 8 hrs pr struir u u mpt m. rist. Dspués 08 hrs trj, Qué prt u u m. rist hrá strui? ) ) 8 ) ) )

74 . Si 0 rrs, trj 8 hrs iris, struy 0m. u r 0 ís, ls ís qu usr rrs trj 6 hrs iris y hi 0 m. l mism r s: ) ís ), ís ) ís ) ís ) ís. Pr rlizr u r, s ut s urills. L primr ti irt ti rrs y pu jutr l r ís; l sgu ut u úmr rrs, ifrt l trir y pu luir l r ís. Si s mpl l primr y trmir l r? l sgu, E uát timp ) ) 0 ) ) 8 ) 8. U urill rrs, trj hrs iris, h mpl 6 ís pr rir u zj 0 m. lrg, m. h y 0,6m. prfui. Cuáts ís más mplrá tr urill rrs, trj hrs iris, pr hr tr zj 00m. lrg,,m. h y m. prfui? ) ) ) 9 ) ). S ti s pósits líquis l mism turlz; pr pris ifrts. El primr ti "" litrs y l sgu "B" litrs. S s u l mism ti y s h l primr l qu s s l sgu y ríprmt. Qué ti h ps u pósit l tr, si l ti ls s h rsult l mism li? Os: MH( ; B) M( ; B) B B B MG( ; B) ) MH ( ; B) ) MH ( ; B) ) M ( ; B) ) MG ( ; B) ) M ( ; B) + MH ( ; B) B. Si 8 gllis p 8 s huvs 8 ís y gllis m kg míz ís, Cuát srá l st l limt sri pr qu 0 gllis pg 0 s huvs, si l kilgrm míz ust 8 sls? ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/. ) S/. 00 ) S/ U r s iii u grup rrs. C í qu ps, ls rrs ismiuy su rimit u % l rimit qu tí l primr í. r l r u su rimit r 0% l rigil. Cuáts ís ms hrí mpl si huir j l rimit u ls rrs? ), ís ),7 ís ),7 ís ) ís ), ís 7. S trtr rrs pr qu trmi u r ís trj 8 hrs iris. Lug 6 ís, s ró qu l r qu trmi ís ts l plz stli, Cuáts rrs más s tuvir qu trtr si qu s irmtó h l trj iri? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) ps s mrr ís 7h/ trj smrr u trr m lrg pr m h. Cuáts ís 8 hrs iris trj s mrrá smrr tr trr 0m lrg pr m h ps lmt háils? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 9. U grup "" rrs s mprmt trmir u r irt timp. Lug lgus ís prliz ls lrs pr ís, l ls uls s rirpr rrs más, ls uls pyr pr ís y s siguió trmir l trj l plz fij. Clulr: "" ) ) 7 ) 9 ) ) 60. Cutr rrs y s yuts pu y rlizr u r 0 ís trj 8 hrs pr í. Si l 8 ís, s irmt l úmr rrs y l úmr yuts y s i ruir hr l jr iri. Cuáts ís ts ulmirá ih r, si l rimit rr s l tripl l yut? ) 8 ) 6 ) ) ) 6

75 Clvs Clvs

76 Cpítul 9 TNTOPOR CUNTO INTRODUCCIÓN "E l iugurió u tr mril, s fr u rtíul $ 00, s suts susivs l 0 pr 70 y l pr. Prí U. irs qué pri l pu mprr?" U ls pliis más utilizs l prprili s l prtj, qu ti su rig l tt pr it. Es muy frut suhr sts prsis: * B l Prvir fr sus lits u ts hrrs l % (Vitii pr it) ul. * L iflió umul ls últims h mss llg l 0% (Vit pr it). * L ts mrtli, iñs mrs ñ, lz l 0% (Diz pr it). Pr... Qué sigifi ls plrs "pr it"? Sigifi u irt prt it u ti ulquir. sí l pr it sigifi 00 y pu sr sls 00 sls, kils 00 kils, prss 00 prss y s pu sriir. 00 Cu l prt friri u ttl s prs tésims, s i qu s u prtj l ttl. L plr prtj s mpl pr rfrirs l mét l álul pr its. TNTO POR CUNTO El pr 8 u ti, sigifi iviir ih ti 8 prts iguls y tmr lls. Ejm pl: El pr prts iguls 0 l iviims 8 prts iguls, tm lls s: Es ir, l pr B N s: B N Cu B = 00 s l pr 00 N y s t pr % N y s sri: El 0% 7 s: Tt pr it N Prtj Tt pr it prs frió: * * * 0%... %... 0% * 00% U úmr ril tt pr it: *... 00% 7% 6 * % 0% *... 00% 00% Osrvió : Es muy frut plir Rgl Trs Simpl pr prlms tt pr it. D qué úmr; 9 s l % más? El úmr rprst l 00%, ts l % más, srá : 00% + % = %

77 Es ir: 9 9(00%) % % 00% 80 Rpt III. (%N) = ()%N Ejm pl: (% 0) = 0% 0 = SUNTOS COMERCILES. S mpr u rtíul P C ; pr lug vrl P V ts: I. Si P V II. Si P V P C hy gi y s umpl: P V P C P V P C G G G : Gi ó Utili P hy péri y s umpl: C P V P V P C P C P P P : Péri. Grlmt, l rlizr u gi, qu s v r u utili, si gsts (mvili, lquilr, viátis, t.), ts s umpl: G BRUT rut G NET t gsts. l pri fij pr l vt u rtíul s l llm Pri List l ul si simpr s l h u rj y pr siguit s umpl: P L R P V Imprtt: Grlmt, ls umts s rliz sr l pri st; mitrs qu ls suts s h sr l pri list. OPERCIONES RECUENTES I. %N + %N = ( + )%N Ejm pl: %(60) + %(60) = 0%(60) = II. %N - %N = ( )%N Ejm pl: 7%(0) - 7%(0) s: %(0) = 0, UMENTOS SUCESIVOS pliió: Ds umts susivs l 0% y 0%. qué umt úi quivl? Rs luió : Cti iiil : N; l umtms l 0%, tms: 00%N + 0%N = 0%N l ul l umtms l 0%, pr tr l (00% + 0%) l 0%N. Es ir, l fil tg: 0 (0%N) 8%N 00 umt úi. 8%N 00%N = 8%N Mét Práti: umt: +0% ; +0% 0 Nuv ti: 0% 8% 00 umt úi: 8% - 00% = 8% DESCUENTOS SUCESIVOS pliió: Ds suts susivs l 0% y %. qué sut úi quivl? Rs luió : Cti iiil : N, l stms l 0%, qu 00%N - 0%N = 70%N Vlvms str l % pr l 70%N ts tms: 88 (70%)N 00 6,6%N Dsut úi = 00%N - 6,6%N = 8,%N Mét Práti: Dsuts : Qu : - 0% ; - % 70%. 88% 70 88% 6,6% 00 Dsut úi: 00% 6,6% = 8,%

78 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. El ( )% ( + 6) s El vlr s:. ) 6 ) 9 ) ) ) 7 0. El 0% l 0% s l 0% y. Qué prtj + 7y s + y? ) % ).% ) 0% ) 0% ).% 0. El t l ir sr l ir B quivl l 0% l ir C y l s B sr l C quivl l 0% l ir. Si ti S/..000, Cuát ti B? ) 00 ) 80 ) 700 ) 00 ) s l % C y B s l 0% C, Qué prt B s? ) 8 ) 8 ) ) 8 ) 8 0. U prpitri isp qu s ñs l lquilr su s umt u 0% l mt rrspit l pri imit trir. Si l miz l quit ñ riir 600 sls, Cuát fu l lquilr iiil? ) S/. 800 ) S/. 00 ) S/. 0 ) S/. 000 ) S/ Si s l 0% l sum C y D; más, C rprst l 0% l sum y D. Clulr : C ) : ) 6 : ) 6 : 7 ) : ) : E u j hy "" ls ls uls % s ls y l 7% s rjs. Si s upli ls ls, Cuál s l prtj ls rjs rspt l ttl? ) % ) 0% ) 0% ) 60% ) % 08. El 0% qué úmr s l 0% l 0% 800. ) 0.8 ) 800 ) 0.08 ) 80 ) 09. E u iustri, s h fri 000 pruts; l 60% lls h si fris pr l máqui y l rst pr l máqui B. Si s s qu l % l fri pr s ftuss y l % pr B, Cuáts ftuss hy ls 000 pruts? ) 0 ) 90 ) ) 6 ) 0 0. Qué tt pr it s 0.? ) % ).% ) 0% ) % ) 0.%. U ls ti ls rjs, grs y ls. El 0% s rjs, l % s grs y hy 6 ls ls. El úmr ls qu ti l ls s: ) 70 ) 6 ) 80 ) 7 ) 90. Si l sul lrt fus umt 0%, l lzrí pr mprr 0 mists, uáts mists prí mprr si l umt fus %? ) ) ) ) 0 ). E u sló ls 70% s hmrs. Si flt l % ls mujrs y sól sist 8 mujrs, Cuál s l ttl lums l sló? ) 90 ) 7 ) 80 ) 0 ) 0. El grt vts irt mpñí ru su prmi pruió N%. Si l prmi fil fu T, ts l prmi rigil fu: TN ) 00 ) ) 00T (00 N) 00N T (00 N) ) T ) T (00. El 0% ( + y) s igul l 0% ( - y). Qué tt pr it rprst ( + y) rspt (y - )? N) ) 0% ) 0% ) 00% ) 00% ) 0%

79 6. El st l m r y ls imizis sum l 0% l vlr u r. Si ls imizis rprst l 60% l imprt l m r. Qué tt pr it l vlr l r imprt slmt l m r? ) 0% ) % ) % ) 0% ),% 7. Cuál s l % ls 7 9? ) ) 0, ) 0,0 ) 0,00 ) 0, El trit pr it l urt prt l tripl l mit mi prpi é u istituió éfi. Si mi prpi fu 80,000 sls. Cuál s l mt l ió? ) 00 ) 8000 ) 7000 ) 9000 ) E qué prtj ttl umtó l sul u trjr si fu m sigu: l 0% su sul umtó 0%, tr 0% su sul umtó 0% y l rst l sul umtó l 0%? ) 80% ) 70% ) 60% ) 6% ) % 0. l hllr l 0% l % l 9% u úmr, s hlló pr quivió l % l 9% l 7% l mism úmr, l ti sí ti s l 9% l vlr qu s ió tr, más 9,0. Hllr l úmr. ) ) 0 ) ) 0 0 ) 0. U sstr v s miss 60 sls u. E u mis, g % su st y l tr pir l % su st. Gó prió l vt? Cuát? ) Gó S/. ) Gó S/. 8 ) Prió S/. 8 ) Prió S/. ) N gó i prió. Qué prtj l vt s h g u s v $0.000 l qu h st $96.000? ) % ) % ) % ) 0% ) 8%. Hr trs suts susivs l %, 0% y 0% quivl hr u : ) 8.% ) 6% ) 7% ) 8% ) 0%. El pri u rtíul s rj l 0%. Pr vlvrl l pri rigil, l uv pri s umtr : 00 ) % 9 ) 9% ) % ) 0% ) %. U rtíul s v S/. 90 gás l 0% l st; pr ft l iflió l st h umt 0%. Pr sguir g l mism prtj l rtíul vrs : ) S/. 6 ) S/. 9 ) S/. 9 ) S/. 9 ) S/ Si gstr l 0% l ir qu tg, y gr l 8% l qu m qu, prrí S/. 6. Cuát tg? ) S/. 00 ) S/. 000 ) S/. 00 ) S/. 60 ) S/ E u Uivrsi prtiulr, l prtmt Srvii Sil, i rjr ls psis sñz ls stuits mrs rurss ómis u 0% y umtr u 0% l rst. Si l mt ttl ls psis qu ismiui u 0% st plíti. Qué prtj l psió ttl rprst l psió pg pr ls stuits mrs rurss ómis? ) 0% ) 8% ) 79% ) 80% ) 8% 8. U mrit mpr l t u rtíul u sut l 0% l pri list. Qué prtj l pri fij list rprst l pri vt l mrit si él gr l 0% l pri mpr? ) 9% ) 8% ) 80% ) 96% ) 9% 9. El igrs prmi l str rr u mprs s sls msuls. E l ms urs hy u irmt hrs l 0% l hr trir más u ifiió grl sls, pr s rt u sut l % l hr tuliz, pr fs rstruió. El prmi tul s:

80 ) ) ) ) ) l iii 98, u plió ti hitts, l sum gu pr prs y pr hr s 0 litrs. L plió r u ritm 0% ul. Dtrmir l l l s ur u rsrvri m ltur pz stisfr l m iri l plió l iii 989. ) 7 ) 8 ) ) ) 6. U vr h u sut 0% u mrí sr l pri vt l púli u lit; ést s r l grt y sigu u sut 0% sr l ftur pr l vr. S irig l j y pg 60 sls. Cuál s l pri vt l púli? ) 0 ) 000 ) 00 ) 00 ) El pri u rtíul s sls u fári. U mrit quir tls rtíuls pr ls qu l h l 0% sut. Lug ls v ti pr lls 80 sls. Qué prtj l pri vt rtíul stá g? ) % ) % ) 0% ),% ) %. U rtíul ti u pri st S/. 00,00. Cuál srá l pri qu sñlr pr qu l vrl u sut l 0% s tg u utili l % sr l pri vt? ) S/. 00 ) S/. 600 ) S/ ) S/. 800 ) S/ Chrly mpró u lulr y pr vrl rrgó l pri qu l stó u 0%. l mmt vrl su mig Ptty, l hiz u rj l 0% rsult prjui S/.. Dtrmir uál fu su pri vt. ) 0 ) 6 ) 60 ) 6 ) 6. Pr v u tlvisr g l 0% l pri vt. D st gi trg l 0% Jvir pr su lrió l gi y ls rstts utilizó l 0% pr pgr l trsprt l tlvisr hst l miili su uv uñ, ti m gi t sls. Cuát l stó Pr ih tlvisr? ) 600 ) 700 ) 800 ) 900 ) E u iustri tñi tl s srv qu l tñir u piz tl ést s g l 0% su h y l 0% su lrg. Clulr l st u tl qu spués tñi ti m. Si l mtr ur tl si tñir s S/.. ) S/. 800 ) S/. 00 ) S/. 00 ) S/ ) S/ El pri u rtíul sufr umts susivs 0% y lug 0%. Qué prtj umtr hr pr qu l prtj ttl umt s 69%? ) % ) 0% ) 8 % ) 0,% ) 9 % 8. E u ti, s hi vigrrs. U mprr ti u u sut l 0%, lug l v u gi l %. El uv mprr l vulv vr g l 0% l l qu l stó, si filmt fu vi u péri 0% l st fil. E qué tt pr it vrí l st iiil? ) 9,6% ) 9,6% ) 9% ) 9,% ) 8,% 9. S v u rlj g l 60% l pri vt. Si l huir vi g l 60% l pri st huir pri S/..0. Cuát l stó l rlj ih mrit? ) S/ ) S/..00 ) S/..00 ) S/ ) S/ U mrit ivirtió u irt ti u gi y gó l 0%. El ttl l ivirtió tr gi y prió 0% y pr últim ivirtió l qu l qu tr gi y gó l 8%. El rsult sts gis h si u gi S/ Cuál fu l ti ivrti l primr gi? ) S/ ) S/ ) S/ ) S/ ) S/. 70

81 . Si u ls ls u u s umt 0% l prtj umt l ár l u s: ) ) 00 ) 0 ) 0 ). S ti u frs lió fitr qu ti 9 zs, l 80% lhl. Cuáts zs gu hy qu grgr pr tr u lió l 0% lhl? ) 9 zs ) 0 zs ) zs ) 6 zs ) 7 zs. U r i rtirrs u tg u 90% triufs su rrr. Si h 00 vs, ti 8 triufs. Cuál s l úmr míim pls iils sris pr qu l r s pu rtirr? ) ) ) 0 ) 7 ) 0. U prs piió l vr u ti pñuls s y pñuls rrits. El pri ls pñuls s s l l ls pñuls rrits. El vr fuió l pi y sphó pñuls s y pñuls rrits. Est fusió i lugr qu l vlr l mpr umtr 0%. El úmr pñuls rrits l pi rigil fu: ) ) ) 6 ) 8 ). S mzl s lss fé prprió y l mzl s v u % fii. Dspués, s mzl prprió y s v l mzl 0% fii. El pri vt s igul ms ss. Hllr l rlió ls pris ls lss fé. ) ) 0 7 ) 0 ) 9 ) 8 6. U lir s v rrgásl l r pr 00 l pri st; pr u stuit l l mprrl l rjr l p pr 00. Si l vr gó i prió. Cuát rjr l stuit? 7. U myrist v u prut g l 0% l pri fári. U istriuir rprt sts pruts ls tis mri g u misió l % l pri l pr myr. L ti rmt l rtíul hi u sut l 0% l pri mpr. E qué prtj s lv l pri fári l prut? ) 0,8 ), ), ) ),8 8. E u ti s hi ls vstis l pri "mr" y u vis " l trjt más más rjms l trr prt". El st ls vstis s ls l pri vt trjt, ts l rzó tr l pri st y l pri "mr" s : ) ) ) ) ) 9. Vris iustrils s si pr l pltió u ptt. El primr, qu s l prpitri l ptt, su pltió l iió priir l 0% l fii. El sgu prt ls fs sris. El trr p 000 uis mtris ms; pr rlizrá fuis grt mit u rmurió suplmtri l 0% ls fiis. El urt igrs 000 uis mtris ms qu l trr, y sí susivmt hst l últim. Si ls prtis huir si iguls l más lv, l ttl l pitl ispil umtrí su vlr. Cuát prtó l urt si? ) 0000 ) 0000 ) 000 ) 8000 ) Dtrmir uáts prss h tr u i, ttl, si qu mi fuió h tr "" prss pg % ms l pri l tr l qu l ruió s h pri l %. ) ) 00r (00 r) (00 r) r ) ) r (00 0,0 r r) ) (r 00) 00r ) ) ( ) ) ) ) ( )

82 . Ls u mrrí s v g l 0%; ls 9 u péri l 0%. Qué tt pr it grs l rst pr qu l fil hy u gi l,8% l ttl? ) % ) 0% ) % ) 8% ) 0%. E u ómius vij 70 prss ls uls sól l 70% stá sts; ls mujrs l 80% s utr sts y úimt l 0% ls vrs. Hllr l ifri tr l úmr mujrs y vrs qu vij l ómius. ) ) ) 0 ) 60 ) 8. El rér r ls mpts tir s l 80% sr sus tirs. Cirt vz u mpti sr 80 tirs, él y h ispr 60 tirs rr 0. Qué prtj ls qu flt tirr, rtr m míim pr suprr su rér? ) 0% ) 7% ) 00% ) 80% ) 70%. E u lgi il s mtriulr 700 stuits, si l 87% ls mujrs y l % ls vrs s rtir, l % ls qu qu srí mujrs. Cuáts vrs s h rtir? ) 9 ) 7 ) 68 ) 07 ). l rg B vr u jt y B l rg su vz C, qui lgr l vt sls. C trg B u ti, quás u prtj (misió) l vlr l vt. su vz B rti u prtj (misió) l qu l trgó C. Cuát l rrspió C y B? ést últim l trgó S/ y l prtj l misió C fu l l qu l B? ) C l rrspió S/. 000 y B S/ ) C l rrspió S/. 900 y B S/ ) C l rrspió S/. 00 y B S/ ) C l rrspió S/. 00 y B S/ ) C l rrspió S/. 800 y B S/. 00. mism ti ir sls, E qué prtj rá ismiuir l úmr rtíuls qu rá imprtr? ) 0% ) % ) 0% ) 0% ) 0% 7. Si s quir qu l vlum u ilir umt u %. E qué tt pr it rá umtr l ri su s, si qu su ltur h ismiui u 0%? ) 0% ) % ) 0% ) 0% ) 8% 8. li ivirt t l ir qu ti u gi g l %. Lug pstó t u jug pri l 0% y filmt l ti qu l qu ivirt tr gi g l 0%, ti, l fil, S/. 00. Si mpr rtíuls iguls l ir qu gó y ls vió S/. u g l 0%. Clulr: ) ) ) 0 ) ) 9. S mpró u irt úmr jts S/. 0 /u. l mi ms, s triró l 0% y lug s vió l 0% ls us qu qur, l fi l ms s trir l 0% ls qu hí y lug s vió l mit ls us qu qur. Si hst s mmt s h rupr l mit l ivrsió iiil. Cuál srá l pri vt jt u srt, si s quir gr l 0,% l ivrsió iiil? ) S/. 60 ) S/. 0 ) S/. 80 ) S/. 00 ) S/ U mrit mpr u rtíul u sut l 0% l pri list, s fij l pri pr su vt tl mr qu pu r suts susivs l mism prtj qu l ti su mpr, y ú sí tr u gi l % l pri vt. Qué prtj l pri fij s l pri list? ) % ) 7% ) 7% ) 0% ) 60% 6. U mrit imprt u irt ti rtíuls U.S.. Si l pri l rtíul U.S.. h umt % y l pri ólr s h irmt 60%, pr sguir imprt l

83 Clvs Clvs

84 Cpítul 0 REGL DE INTERÉS INTRODUCCIÓN E ls s, l itrés l pitl s sum l pósit irt timp. Si l iió s h más frui, l pitl r más pris, pr l qu l itrés s vz myr. Tmms u sill jmpl, purmt tóri. mitms qu s psit 00 sls u l 00% ul. Si s umul l itrés l pósit, l l ñ sumrá 00 sls. Vms hr qué urr si l prtj s v sum l pitl iiil mi ñ. l filizr l primr smstr llgrá 0% S/. 00 = S/. 0. l filizr sgu smstr 0% S/. 0 = S/.. Si l iió s rliz mss ñ, fi ñ s trá ( %) S/. 00 sls qu s S/.,0 sls primmt. Si s umul l itrés ñ 0 fi ñ s trá ( 0%) 0 S/. 00 sls qu s S/. 9,0 sls primmt. Si hms más fruts ls plzs umulió l itrés l pitl psit ñ ; Crrá ifiimt l pitl? ñ, t. TS DE INTERÉS (r%) Eprs l tt pr it l pitl qu s pg pr l utilizió ést urt u timp. * U ts % msul sigifi qu s g l % l pitl pr ms. * U ts % imstrl sigifi qu s g l % l pitl pr s mss. Osrvió: TIEMPO (t) Itrvl urt l ul s prst utiliz l pitl. * ñ < > mss. * ms mril < > 0 ís * ñ mril < > 60 ís * ñ mú < > 6 ís * ñ isist < > 66 ís CONCEPTOS ELEMENTLES CPITL (C) Dsig u jut is u ti ir ls qu s pu tr igrss l futur. MONTO (M) Es l sum l pitl y l itrés gr. INTERÉS (I) Es l gi qu pru l pitl urt u irt timp l iió qu i uis ir pruz u irt ti ul. Si u pitl 000 sls, gr u itrés 00 sls, l mt s: 000 sls + 00 sls = 00 sls * Si s psit $000 u y, spués irt timp y s rtir ttl $00, sigifi qu s h g u itrés $00.

85 CLSES DE INTERÉS INTERÉS SIMPLE E st s, l pitl s stt urt t l timp, l itrés s prpril l timp y l ts. Césr prstó 000 sls irll urt ñs u ts % ul. Clul l itrés gr. Rs luió : Cm l ts s % ul, pr ñ qu ps s g l % S/. 000 = S/. 80, ts ñs s g vs S/. 80 = S/. 00 Osrvió: Césr prstó 0000 sls irll urt ñs u ts 0% ul pitlizl ulmt. Clul l itrés gr. Cm l ts s 0% ul, pr ñ qu ps s g l 0% l pitl umul l mzr l ñ. E ñs s h rliz umts susivs l 0%. r. ñ : 0% S/ = S/ ñ : 0% S/ = S/ r. ñ : 0% S/ = S/. 690 t. ñ : 0% S/. 690 = S/. 89 l filizr l t. ñ, l mt s S/. 89; qu tmié s pu lulr : 0% 0% 0% 0% S/.0000 = S/.89 I = C. r%. t Ets l itrés ls ñs s : S/. 89 S/ = S/. 9 Cu l ts y l timp stá ls misms uis timp. INTERÉS COMPUESTO E st s l itrés gr ps frmr prt l pitl irt timp mi pri pitlizió, s qu l pitl umt irt timp. INTERÉS CONTINUO: El itrés tiu s ti u l pitlizió s istt, s ir, fri l ts y l timp u úmr prts ifiitmt gr. El mt qu s ti u pitl C, urt u timp t u ts r% (r% y t ls misms uis timp, s, si r% s ul, t ñs, t.) M r%t C. D : =,

86 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Qué itrés pruirá u pitl S/ prst l % ul ñs y 9 mss? ) S/. 900 ) S/. 099 ) S/. 68 ) S/. 98 ) S/ Dtrmir l itrés gr l psitr S/. 600 l % trimstrl urt 7 mss. ) S/. 0 ) S/. ) S/. 60 ) S/. 0 ) S/ Qué itrés pruirá u pitl 00, prst l 7% utrimstrl 7 ñs y mss? ) 60 ) 8099 ) 68 ) 8090 ) El itrés u pitl impust l % imstrl s l 7% ih pitl. Hllr l timp. ) ñs ) ñs ) ñs ) ñs ) 6 ñs 0. Pr u ir qu rií préstm l % msul 6 (itrés simpl) y qu vlví ls 00 ís tuv qu pgr itrés S/. 00. Cuál fu l sum prst? ) S/ ) S/. 000 ) S/ ) S/ ) S/ E uát s virt u pitl 600 l lrs u qu pg % trimstrl u pri ñs y 6 mss? ) 600 ) 6000 ) 900 ) 9000 ) qué tt pr it hrá st prst u pitl $ 6000 pr hrs vrti $ mss? ) 0% ) % ) % ) 6% ) 0% 08. U pitl stuv impust l 9% itrés ul y spués ñs s tuv u mt S/ Cuál s l vlr l pitl? ) S/. 68 ) S/. 000 ) S/. 87 ) S/. 960 ) S/ L trr prt u pitl s l l 9% ul itrés simpl. El tt pr it l ul lrs l rst pr tr u fii ttl % ul ih pitl s: ),8% ) % ),% ) % ) % 0. U pitl impust urt mss pru u itrés igul l 6% l mt. Clulr l réit l qu h st l. ) % ) % ) 0% ) % ) %. Si u pitl, s l sum ls itrss pruis 6 mss, s ti u ti qu s l pitl prst m 6 s 0. qué ts fu l? ) 9% ) 0% ) % ) % ) 8%. qué prtj sr l u pitl pr qu, ñs mss, pruz u itrés quivlt ls l mt? ) 0% ) 0% ) % ) % ) 0%. S imp S/ s, u prt l 8% y l tr l 6% tiés ulmt S/. 60 gi. Hllr l sgu prt. ) 000 ) 000 ) 8000 ) 6000 ) Ds pitls ifrts s psit l, l pitl myr l % y l tr l 6%; lug ñs, ls mts s iguls. Dtrmi l pitl myr, si S/. 00 l tr pitl. ) S/. 600 ) S/. 000 ) S/. 800 ) S/. 900 ) S/. 00. El pitl Pir g 6%, l lis 8% itrss uls. L ifri pitls s S/. 000, pr spués u ñ ri l mism itrés. Ls pitls sum: ) S/. 000 ) S/ ) S/ ) S/ ) S/. 000

87 6. Trs migs ivirt u si $ ; $ y $ l fil l ñ, tuvir u utili l 9,6%. Cuál fu l utili l si mr prt? ) $ 8,000 ) $ 0,000 ) $ 9,000 ) $ 0,000 ) $ 80, Durt uát timp stuv psit u pitl l % itrés simpl ul, si ls itrss prui lz l 60% l vlr l pitl. ) 0 ñs ) ñs ) ñs ) 8 ñs ) 0 ñs 8. U pr j u hri sus s hijs, l primr ri l tripl l sgu. ms imp sus prts l % ti l trmis timps itrss qu rprst l % y 9% l hri. Hll l prut ls timps. ) ) ) ) ) 6 9. L ifri tr ls pitls s prss s S/. 6000; l primr imp su ir l % y l sgu l %; si ls itrss pruis pr sus pitls s ls misms. Hllr l pitl mr. ) S/ ) S/ ) S/. 000 ) S/ ) S/ Cu u pitl s prst urt ñs l mt qu s trí srí S/. 000, pr si s prstr pr ñs srí S/. 00. Hllr l vlr l ts itrés. ) 0% ) % ) 0% ) % ) 0%. U pitl l l % ul urt mss, pru 00 sls ms qu si s lr l % msul urt l mism timp. Cuál s l vlr l pitl? ) S/. 00 ) S/. 00 ) S/. 000 ) S/ ) S/ U pitl h si l itrés simpl l siguit frm : l % l 0% ul, l 0% l rst l 0% smstrl y l rst l 0% trimstrl. l qué timp l pitl s hrá quitupli? ) 7 ñs mss. ) 6 ñs mss 0 ís. ) 7 ñs mss. ) 6 ñs mss. ) 6 ñs 8 mss.. qué ts ul s impr u pitl S/. 00 pr qu u timp ñs s pu mprr u rfrigrr S/. 00 qu su pri ñ su 0% si umulrs? ) 0% ) 0% ) 0% ) 0% ) 60%. Trs pitls impusts sprmt l,% smstrl, l % imstrl y l % trimstrl urt u mism timp gr l mism itrés. Hllr l myr ls pitls si qu l mr ls mts pruis u ñ s S/ ) S/ ) S/ ) S/ ) S/ ) S/ S ti pitls qu sum S/ l lrs l mr l 0% y l myr l 60% spués ñ 9 mss l itrés myr s igul l mt prui pr l mr. Dtrmir l ifri pitls. ) S/. 700 ) S/ ) S/ ) S/. 700 ) S/ l impr u pitl urt ñs s tuv u mt suprir S/. 0 l qu s tuv ñs y mi. qué ts ul itrés fu l ih pitl, si ést s S/. 9000? ) % ) 0% ) % ) % ) 7,% 7. U fr pgr u ts r%, u hrrist psit C uvs sls urt t mss y s ut qu ls itrss gs rprst l % l mt ti. Dtrmi r. ) ) ) 00 t(00 ) 600 t(00 ) 600 t(00 ) ) ) 00 t(000 ) 00 t(00 )

88 8. Ds psitts hrrr l iguls tis ir. El primr rtiró su pósit l mss y riió S/. 000; l sgu l rtirr su pósit ls 9 mss riió S/ L ti qu psitr iiilmt u s: ) S/. 00 ) S/. 00 ) S/. 000 ) S/. 00 ) S/ Erst ti u ti sls ivrti l % y S/. más qu s ti l 7%. Si l itrés ul sts s ivrsis s S/.,, Cuát ti ivrti u ts itrés 7%? ) S/. 0 ) S/. ) S/. ) S/. ) S/ Ls 7 u pitl s imp l 0% y l rst l 0%. Lug 9 mss l mt s S/ Cuál fu l pitl? ) S/. 00 ) S/. 600 ) S/. 700 ) S/. 800 ) S/. 00. Ls u pitl h si impusts l 7,% trimstrl, l % ul y l rst l % msul. Si l itrés ti s 80 sls uls ts, l pitl sls s: ) 000 ) 8000 ) 000 ) 6000 ) E u qu pg % ul, u hrrist psit S/ l fil ñ, l hrrist rtir S/ Dtr ñs spués rtirr l sum rrspit l rst srá: ) S/. 6 ) S/ ) S/ ) S/. 800 ) S/. 0.. S imp $ 800 l 9% urt ñ y mi. Qué pitl srí sri umtr pr qu u ñ y 8 mss, l 6% l itrés s upliqu? ) $ 760 ) $ 70 ) $ 800 ) $ 80 ) $ 860. S ivirt u pitl S/ irt itrés pitlizl smstrlmt urt u ñ. Si l sum ti s S/ qué itrés ul s psitó ih pitl? ) % ) % ) 6% ) 7% ) 8%. El mt u pitl qu stá urt irt timp l % s 80. Si s timp huir st j u ts l 7% ul, l mt srí 0, hllr ih pitl. ) 00 ) 00 ) 00 ) 00 ) U pitl S/. 000 s psit l 0% urt ñs. Cuál s l ifri mts l usr itrés simpl y mpust pitlizió ul? ) S/. 8 ) S/. 9 ) S/. 0 ) S/. ) S/. 7. U pitl impust l 0% iul pitlizl ñ pru ñs u itrés 6 sls. Clul l mi pitl. ) S/. 000 ) S/.0 ) S/. 70 ) S/. 00 ) S/ Clulr l itrés ti l psitr u pitl S/. 000, urt u ñ u ts 0%, si l itrés s tiu. ) S/.,0 ) S/. 00 ) S/. 00 ) S/.,0 ) S/ Clulr l vlr u ivrsió S/. 000 mpust tiumt u ts itrés l 8% ul, spués 0 ñs. ) S/., ) S/.,6 ) S/., ) S/. 0 ) S/ Hllr l mt qu s ti l lr u pitl 000 l % trimstrl urt ñs, si s pli pitlizió tiu. 8 ) ) ) 000 ) ) 000

89 . Ls pitls trs prss sum S/ impusts rsptivmt %, % y % itrés ul. El primr ró u itrés ul S/. 9 más qu l sgu y l trr ró u itrés ul S/. 0 más qu l primr. El vlr prim l pitl l primr prs sls s : ) 00 ) 68 ) 60 ) 978 ) 800. El mt prui pr l m% u pitl urt mss y l % imstrl, rsult sr igul l itrés prui pr l 7,7% l rst l pitl, impust urt mss l % smstrl. Hllr "m" ) 8 ) 0 ) 0 ) ). Jsé v su ut y l ir l prst pr ñ 9 mss l %, ls itrss pruis l rprt tr sus hijs u lls l i ls, l tr ls 7 y l rstt S/. 6. E uát vió l ut? ) S/. 0 ) S/. 780 ) S/. 0 ) S/. 70 ) S/. 0. Tg S/., l impg l 8%. Durt 8 mss, rtir ih mt y vulv impr pr mss u ts % más qu l trir ti u itrés qu rprst ls itrss l primr impsiió. Hllr : ), ), ), ) 0,8 ),. "" l prst "B", "B" l prst "C", "C" l prst "", pitls qu s prprils ls úmrs ; y rsptivmt. "" prstó u ts l 0% ul y "B" prstó l %. qué ts prstó "C" "", si spués u irt timp l u u sprió? ) 7,60% ) 9,% ) 0,% ),% ),% 6. U sñr sliit u préstm S/. 000 u istituió fiir. C ms mrtizr S/. 00 l pitl prst, pg u itrés l iii ms l % sr l pitl mrtiz. Dtrmi l itrés ttl. ) S/. 0 ) S/. 0 ) S/. ) S/. 0 ) S/. 7. U pr j u hri sus s hijs; l primr ri ( )()() 00 y l sgu 00 sls rsptivmt; ms imp sus prts l % ti, l u timp, l primr u itrés qu rprst l % l hri, pstrirmt l sgu ti u itrés qu rprst l 9% l hri. Hllr l prut ls s timps impsiió. ) ) ) ) 6 ) 8 8. Clulr l ts ul itrés mpust quivlt l itrés prui pr u pitl prst l % ul urt ñs pitlizió tiu. ),6 ) 6,6% ) 7,% ) 8,% ) 9% 9. U pitl s h ivii trs prts, B y C irtmt prpril ls úmrs 9, 0 y rsptivmt. E qué rlió trí qu str ls tss sts trs pitls, pr qu u ñ l itrés B s l l l y l itrés l tripl l C?. ) 9 ; ; 0 ) 8 ; 0 ; ) ; ; 7 ) ; 99 ; ) 66 ; 7 ; 0 0. U pitl S/ stuv impust urt u irt úmr ñs, mss y ís; pr ls ñs s pgó l %, pr l mss 0% y pr ls ís l %. Clulr l itrés prui pr ih pitl, si qu si s huir ti impust t l timp l 8% hrí prui S/. 7 más qu si s huir ti impust t l timp l 6%. ) S/ ) S/ ) S/ ) S/. 70 ) S/ "XV" imp su pitl l 80% ul pitlizl trimstrlmt. S srv qu l itrés ls últims pris s S/. 80. Clul l míim pitl (si s pr) y l timp qu impus su pitl. ) S/. 60 y ñ 9 mss. ) S/. 906 y ñs. ) S/ y ñ 9 mss. ) S/. 780 y ñs. ) S/. 600 y ñ 6 mss.

90 . U prs s prst irt pitl u ts l 0% utrimstrl (sr l sl ur utrimstr). Si l l r. utrimstr, mrtizó ls su u y 8 mss spués pgó S/. lirás sí su u. Cuát r l pitl prst? ) 00 ) 00 ) 000 ) 00 ) 00. "YILDIRY" ivi su pitl prts prprils ; ; ; 7 ;... impiéls pr spr urt ; ; 9 ; 7... mss, ts lls l % utrimstrl, tiés u rt ttl S/.. Clul l pitl "YILDIRY" ) 00 ) 00 ) 7600 ) 900 ) Cuát j gr si l u pitl S/ l % msul urt ñ mss, vz lrl l % msul urt l mism timp; pr pitlizl frm tiu? 9 (Csir 0, 68 ) S/. 00 ) S/. 00 ) S/. 00 ) S/. 000 ) S/. 66. U grup migs l sus pitls l "XV" qu s ; ; 8 ; 96 ; 600 ;... sls y uys timps prmi s ; 8 ; 0 ; ; 80 ;... quis rsptivmt; si l ts s 8% smstrl. l fil l mt fu S/ , lulr l sum ifrs l itrés qu gr l pitl qu stuv impust myr timp. ) 7 ) 6 ) ) ) 6. "XV" ivi su pitl vris prts qu s ; 9 ; ; 9 ; 8 ;... sls y uys timps prmi irt ti fiir s ; ; ; ; ;... mss rsptivmt. Si l sumr ls itrss tis rsult S/ Clulr l ifri tr l myr y mr ifr l ti qu "XV" ivi su pitl. (L ts itrés fu % quil) ) 7. "XV" psit urt u ñ irt ti ir u qu pg 8% ul pitlizl smstrlmt, l mt ti s psit tr ñ más pr tr qu pg 0% ul pitlizl smstrlmt. Si l fil l sgu ñ, l mt rii fu S/ Hllr l sum ifrs l pitl iiil. ) 7 ) 7 ) ) 7 ) 8. U imiliri u ivrsió S/ mpró lts trr 00m u, ivi l trr mpr lts 0m u, v 7 lls u gi l % y l qu ri l l u qu l pg u itrés l r% ul. Hllr r%, si l u ñ riió u mt igul l,% su ivrsió iiil. ) 0% ) % ) 0% ) 8% ) % 9. Jvir Crrz pi prst Césr Lu irt sum y ést ; pr l fi gr l 0% su pitl l i : "M pgrás 00 sls l fil l primr ñ, y prtir l siguit ñ m pgrás 0% más qu l ñ trir, qu sl tu ut l ñs" Jvir pt y psit u prt l ir u l 0% itrés simpl y lug ñs grí u itrés igul l ti qu s gr Césr. Cuál s s prt? ) S/. 987,6 ) S/. 7 ) S/. 7, ) S/. 68 ) S/. 8, 60. U mrit s prstó S/. 90, l % quil urt s mss, l ul mpró s tips fé S/. y S/. 9 tis prprils y. óm s vió kg mzl ihs fés, si l vt rigió gsts pr S/. 0 y l mrit tuv l ls s mss u gi t S/. 68 spués lr su u?. ) S/. 9, ) S/. 9,8 ) S/. 0,0 ) S/. 0 ) S/. ) ) ) ) ) 6

91 Clvs Clvs

92 Cpítul ESTDÍSTIC

93 INTRODUCCIÓN El stui l Estísti s rátr iispsl pr ulquir prfsil i qu s u hrrmit qu l srá gr utili pr l tm isis sr suts ivrss, ti pliió ts ls mps l sr y prfsis. Es muy ifíil stlr u rlgí t ls rígs l stísti. Pr sr qu ls ts más tigus qu s s ls ss his rs pr l mprr T ts l ñ 00.C. l lrg l E Mi y hst priipis l sigl XVII, l Estísti r purmt sriptiv, Bruilli (6-70) y sr t Lpl (79-87) srrllr pts mtmá-tis fumtls pr l trí stísti. El primr frmuló l fms ly ls grs úmrs y l sgu pus vii ls vtjs qu prí prtr l álul prilis l stui ls fóms turls uss mpljs. ESTDÍSTIC DESCRIPTIV Es u rm l Mtmáti pli qu s prpri ls méts pr rlizr u stui u grup ts ut su rpilió, lsifiió, prstió y sripió pr pr tmr isis hr lusis. ETPS : Ejrii : Cit lgus jmpls ls uls s vit tmr u mustr vz t plió i l ifiult qu prst su stui. POBLCIÓN TIPOS DE VRIBLES MUESTR Vril Culittiv : S qulls qu ii u uli : Ejmpls : L vril ulittiv s pu sr slmt msuli fmi. L vril ulittiv tur pu sr mñ, tr h. S tmié vrils ulittivs : l prfsió tus prs, l lr tus js, l uivrsi l qu piss stuir, t. Osrvió : st tip vrils, s ls pu sigr vlrs uméris ur l mr utilizr ls ts. Pr jmpl, si stms vlu prsl pr trjr u mi l vril s s l pu sigr 0 si s fmi y si s msuli, ii qu s prfir prsl msuli pr ih trj. Rpilió Clsifiió Prstió Dsripió Vril Cutittiv : S qulls qu pu tmr vlrs uméris : CONCEPTOS PREVIOS : Plió : Es l jut uivrsl rfril pr rlizr l stui stísti, uys lmts ps l rtrísti qu s v stuir. Mustr : Es u sujut l plió, ls mustrs s rliz u s ifíil mpli stuir t l plió, tmié s rliz l fili tr rsults mr timp y mr st, pr ll s iispsl lgir u mustr u, qu rprst l plió, ur l rtrísti qu s stui. Ejmpl : E, úmr hijs, timp srvii, l fiit itltul, ts, vi mi, rg ltrói, hmtrit, t. * Tm vlrs qu stá rrspi iuív ls úmrs turls. Ejmpl : L ti hijs, ti igrsts l UNI, l úmr mpls u fári, l ti glóuls rjs u gt sgr, t. * Tm ts ls vlrs lgú itrvl. Cjut lums l lgi TRILCE Cjut lums t suri Plió Mustr Ejmpl : Tmprtur u gs, lgitu u pr, sttur u stuit, t.

94 ETPS DEL ESTUDIO ESTDÍSTICO : I. RECOPILCIÓN : Est s rliz mit usts y ustiris. Cu s stui t l plió, s mi s y u s rliz sr u sujut l mism, s mi mustr. II. CLSIICCIÓN : Cu l ti ts s gr, vi lsifirls y pr simplifir su stui. Est lsifiió rlizrs ti ut l fili l stui y muhs ss prá l ritri l prfsil qu h ih álisis. tiuió, s prst ls s u grup 0 prss. ; ; ; 6 ; 0 ; ; ; ; 6 ; 6 ; 6 ; 8; ; ; ; ; ; 7 ; 9 ; Tmñ l mustr () : Es l ti ttl ts. = 0 l () : Itrvl rr uys límits s l mr y myr ls ts. = [ ; ] Rg rrri (R) : Es l lgitu l l, s lul rst l mr t l myr t. R = = 0 Itrvl ls ( I ) : Es u itrvl qu s ti i l iviir l l, pr frmr grups mr tmñ. Pr jmpl, ivims l l l mism tmñ. ; 7 ; ;7 7 ; ; 7 7 ; Númr itrvls ls (K): Es l ti itrvls ls qu s ivi l l, st p l pliió qu ti l stui ls ts. Pr jmpl, si s s r l ti lums prs y sprs l lgi TRILCE strá frmr s itrvls ls. Osrvió : Eist lgus rgls qu s pu tmr m rfri pr trmir l úmr itrvls ls. Rgl Sturgs : K = +, Lg() Rgl Jul : K Ejmpl : Pr = 0 pliqums l rgl Sturgs : K = +, Lg(0) =,87 Qu s pu primr : K 6 EJERCICIO : Disut ls ls vtjs y svtjs grupr ls ts itrvls ls. h ls ( w ) : Es l lgitu l itrvl i ls. Si ts ls hs ls s iguls, s i qu l h ls s stt y s pu lulr l siguit mr : w = R K Tl istriuió fruis [ [ 7 [ [7 [ [7 III. PRESENTCIÓN : S pu prstr ls ts tls fruis gráfis. Prstió Tulr : I i Mr ls ( ) : Es u vlr qu rprst ls i ts l itrvl ls, s lul m l smisum ls límits ifrir y suprir l itrvl ls y stá ui l put mi l mism. i L if L sup rui slut simpl ( f i ) : Es l ti ts u srvis l i - ésim itrvl ls. S umpl qu : k f i i rui slut umul ( ) : Es l sum i ts ls fruis sluts simpls s l primr itrvl hst l i - ésim itrvl. S umpl : k i f i 6 i f j j

95 rui rltiv simpl ( h ): Ii qué prt i l ttl ts s utr l i - ésim itrvl. S lul m l it l frui slut y l ttl ts. Pr tr l tt pr it st multiplir st vlr pr 00. S umpl qu : h i f i k h i i rui rltiv umul ( H ) : Ii qué i prt l ttl ts s utr s l primr itrvl ls hst l i - ésim itrvl. S lul m l it l frui slut umul y l úmr ttl ts. Pr tr l tt pr it st multiplir st vlr pr 00. S umpl qu : H i i H i i h j j H k Ejmpl : L tl ls ts l jmpl trir, s : Itrvl ; 7 7 ; ; 7 7 ; ; 7 7 ; i f i i h i H i, 0,0 0,0 9,, 9,, 9, ,0 0,0 0,0 0,0 0, 0, 0, 0,6 0,8,00 Prstió Gráfi Ls gráfis s muy utilizs pr ls priists pr prstr ts l tlvisió y prióis, s utili pr ls méis, igirs, miistrrs, mists, psiólgs, prfsrs, t. y qu prmit srvr l mprtmit u mustr rspt lgu rtrísti, u sl vistz. lgus ls gráfis más uss s : Digrm rrs, histgrms, pirámis plió, plígs fruis, igrm strs, pitgrms. Digrm rrs E st tip gráfi, sr ls vlrs ls vrils s lvt rrs strhs lgitus prprils ls fruis rrspits. S utiliz pr rprstr vrils utittivs isrts. Pr jmpl : El siguit igrm rrs gráfi l ti prlms prpusts pr st pítul pr ls prfsrs ritméti Césr Lu Cti prlms Jvir Crrz Cti prlms Erst Chmrr Jvir Silv Digrm strs : E u igrm st tip, ls 60º u írul s rprt prprilmt ls fruis ls istits vlrs l vril. Rsult muy us u hy ps vlrs, i u l rátr qu s stui s ulittiv Cti prlms 0 Césr Lu Jvir Crrz Erst Chmrr Jvir Silv H ist grms : Ls histgrms s utiliz pr rprstr tls fruis ts grups itrvls. Si ls itrv-ls s ts iguls, u lls s l s u rtágul uy ltur s prpr-il l frui rrspit. Plíg fruis : Si s u ls puts mis l s suprir ls rtáguls, s ti l plíg fruis. 0 7 f i Plíg fruis Itrvls

96 Osrvió : El ár l suprfii limit pr l plíg fruis y l j hriztl s igul l sum ls árs ls rtáguls qu frm l histgrm. Digrm Esl : (Histgrm fruis um ul s) Si s rprst ls fruis umuls u tl ts grups, s ti l histgrm fruis umuls. Ojiv : S ti l uir ls trms suprirs ls rrs u histgrm fruis sluts umuls. i Ojiv Itrvls IV. DESCRIPCIÓN : L sripió ls ts s rlizrá mit ls mis ti trl. Mi : Pr ts grups : Es l mi ritméti ls ts. Pr ts grups : k f i i i k i h i i Mi : Pr ts grups : L mi s quél t qu up l psiió trl, u ls ts stá rs y si l ti ts s pr l mi s l prmi ls s ts trls. Ejmpls : L mi ls ts : ; ; ; ; ; 6 ; 8, 9 ; 0 ; ; s 6 L mi pr ls ts : ; ; ; 0 ; 00 ; s l mi ritméti y 0 qu s ls s térmis trls, s ir l mi s 6. Pr ts grups : D : M M L if L if w w m f m H m h m L : Límit ifrir l ls mi. if w : h ls : rui slut umul l ls m trir l ls mi. f m : rui slut simpl l ls mi. M : Pr ts grups : Es l vlr qu pr más frui. Si s s ls úmrs qu s rpit l mism frui, l jut ti s ms y s mi iml. Otrs juts ti m. Ejmpl : L m pr ls ts : ; ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 0 ; s 6 Pr ts grups : D : M L if L : Límit ifrir l ls ml. if w : h ls f m f m f m f m f m w : frui slut simpl l ls ml. f : frui slut simpl l ls pstrir m l ls ml. f : frui slut simpl l ls trir m l ls ml.

97 EJERCICIOS PROPUESTOS S liz ls ts 0 lums l urs ritméti rgiés ls siguits ts :,, 8,,, 7, 0,, 6, 7,, 0, 6, 9, 9, 0,,, ) 9 ) 97 ) 98 ) 00 ) El siguit pitgrm mustr ls prfris 880 stuits sr ls urss Mtmáti (, X, G, T) y iis ( y Q). Clul : (+ + ) 0. Cuáts stuits prr l urs sgú ls ts rigils? ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 0.Clulr l m pr ls ts si grupr: ) ) 0 ) ) 6 ) 0. Clulr l mi pr ts si grupr : ) 0, ) 0, ) 9, ) 9,8 ),7 T X % 60º º G º % 0º Q ) 0 ) 6 ) 0 ) 0 ) 98 % 0. Clulr l mi pr ls ts si grupr : ) 9, ) 9,8 ) 9 ) 0 ) 0, 0. D l siguit tl istriuió fruis, lulr : f f [0 [0 [0 [0,,,, Clss [0, f i 0 h i 0, 0, ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 06 i H i 0,8 06. D l siguit istriuió frui. Hllr : f f I i [0, 0 [0, 0 [0, 0 [0 [0,, 0 60 f i 0 i h i 0, 0, H i 0,8 08. Si s ti l siguit istriuió fruis sr ls stturs ( mtrs) u grup 0 jóvs. Itrvl Cls, ;,60 ;,6 ;,70 ;,7 ;,60,6,70,7,80 f i H i 0,96 Dtrmir qué prtj jóvs ps u sttur mr,70m. Si s s qu : h h y h ) % ) % ) 8% ) 0% ) % h 09. El prfsr Lu ti 6 hijs, ls uls s trillizs y mllizs. Si l lulr l mi, mi y m sts s rsultr 0 ; y rsptivmt. Hll l ifri tr l máim y míim. ) 0 ) 6 ) 8 ) 7 ) 9

98 0. D l siguit istriuió fruis ls ts. lums s pi mpltr l tlr u h ls stt igul y [, 6 f I i f i i i f i 0 Si l míim t prtri s 0. Qué tt pr it ls lums sprr? ) 7% ) 7% ) 76% ) 78% ) 80%. Cmpltr l siguit tl istriuió fruis sr l ti prss tis pr ls mpls u urt í iir qué tt pr it l ttl mpls ti 0 prss. Cti f prss tis i [, 8 [ [ [,, 0, 6 8 ) 70% ) 7% ) 7% ) 7% ) 7% h i f H i 0,0 0,0. L siguit tl s mustr ls itrvls ls y l frui rltiv u tl istriuió fruis l úmr ptls qu pru ls mpls u fári. Clulr qu tt pr it prss pru 8 ptls. I i, 7 7, 9 9,, h i k k+0,0 0,08 k ) 69 ) 7 ) 7 ) 7 ) ENUNCIDO (Pr jriis l 6 l 66) S lsifió l ivrsió u grup mpñís mirs u tl fruis. S s qu l máim ivrsió s 6 mills sls, qu l mplitu ls itrvls s 8 mills sls, qu ls fruis sluts rrspits ls itrvls s : ; 6 ; ; 9 ; 8 ; ;. Qué prtj mpñís ivirt mills m míim? ) 8 % ) 78 % ) 8 % ) 6 % ) 6 %. Hllr l ivrsió más frut. ) 8, ) 0 ) 8, ) 0, ) 8. Hllr l ivrsió prmi sls : ) 0, ), ), ) 0, ), 6. Hllr l mi ls ts lsifis ( mills) ls mpñís. ) 0, ) 0,9 ), ) 8, ), 7. Iir l vlr vr ls siguits prpsiis : I. L m sól s lul pr ts isrts. II. El ár l histgrm s igul l ár l plíg fruis. III. L jiv s u urv trz prtir l histgrm frui slut. ) V ) ) V ) V ) VV 8. S ti l siguit tl fruis implt : [ 0 Nts h i H i, [, 8 [ 8, [, 6 [6, 0 Hll l t prmi. ) Myr qu 0 ) 9,8 ) Mr qu 7 ) 8,7 ) 7,8 0,8 0, 0, 0,9

99 9. E l siguit tl, s mustr l ti ir qu gst smlmt ls lums l lgi TRILCE. Hll l mi. Nº sls Nº lums [ 0, 0 [0, 0 [0, 60 [60, 80 [80, El siguit gráfi mustr ls prfris u grup N lums sr ls urss: Mtmáti (M); Estísti (E), ísi () y Diuj (D). Dtrmir uáts prfir Mtmáti si ls qu prfir Estísti s 00 prss. E M 6º º 7º D ),6 ), ), ) 0, ) 8,6 0. D l siguit tl fruis, lul qué prtj prss ti pr l ms 0 ñs, si qu hy tts prss pr l ms ñs y ms 0 ñs m prss pr l ms 0 ñs, pr ms 0 ñs. I i [, [,0 [0, [,0 [0,0 [0, i f i K K K i K K ),% ) 66,6% ) 77,7% ) 88,8% ),% H i. "S ti u istriuió fruis i itrvls ls uys fruis rltivs s : k rsptivmt". ; k ; k k ; ; k Dtrmir ls vlrs k qu hg irt l ui trir. ) k R ) k R ) k R / 0 ; ) k R / ; ) k R / ; 0 ; ) 0 ) 0 ) 80 ) 0 ) 0. D l siguit istriuió fruis: 00 ; 80 ; Nts ; ; 0 0 ; ;000 f i Dtrmir l ifri tr l mi y l mi mustrl. ), ), ) ) 8, ) 0,. Si l siguit ur istriuió s simétri y ti u h ls mú. [ [ Clul l m. I i f i i h i [ 0, [ [,6, ) 0 ) ) 6 ) 9 ) 0,, ] 60 0,. El siguit ur mustr l jiv ls fruis rltivs umuls ls ts u m igrs l U.N.M.S.M. Dtrmir qué tt pr it lums tuvir u t tr 9 y.

100 H i % E [0 [ 8 [8 [ 6 [6 0 [ Nts ),% ),% ),0% ),7% ),7% 6. Cmplt l siguit ur istriuió fruis, si ti h ls mú. i X i f i h i H i 0 ;I 0 0,0 ; 0 ; 0,90 ; Ttl 0 Clul l vlr l Mi más l sum ( ) ) 0,0 ) 0,0 ) 0,60 ) 0,0 ) 06,0 7. E u pru ptitu émi s vluó stuits y ls ts tis s lsifir u tl istriuió fruis m s mustr tiuió : ) ) 0 ) 0 ) 6 ) 9. Cmpltr l siguit ur istriuió fruis ls ts 6 lums u m Mtmáti I. Nts (I ) i [ [ 6 [ 9, 6, 9, [, [, 8 Ttls Clulr : ( + + ) f i m Q h i q 0, p 0, 0, ) ), ) 7, ), ) 6, H i 0. D l siguit istriuió fruis: Itrvl Igrs msul 800 ; ; ; ; 700 f i /K /K 9/K /K H i K i Mr ls rui rltiv K 0 K 00 K K 0 K 00 Clulr : uáts prss g tr S/. 80 y S/. 80 msuls, más trmir l vlr? Qué prtj stuits tuv u t mr qu 60 puts myr igul qu 80 puts? ) 70% ) % ) 0% ) % ) 0% 8. E l siguit tl fruis, s rgistr l úmr prss pr rg. Cuáts prss s myrs ñs? ) ; ) 60 ; ) 7 ; ) 0 ; ) ; 0. Us ls ts l tl, qu rprst ls vlis rgistrs pr 0 uts qu psr pr u mism put trl vli. I i 0,6 6,,8 8,7 7,90 90,06 fi 7 Dvi luló l mi rmói y tuv: (pr.) ) ) ) 7 ) 9 )

101 . Dl siguit ur :. D l siguit histgrm fruis sluts: Cls [ 0, 0 [ 0, 0 [ 0, 0 [ 0, 60 f i 8 i h i 0,0 H i 0, f i Clul l ifri tr l mi y l m. ) ), ), ), ),6. L siguit tl s mustr l istriuió suls u mprs. Hllr, si s s qu l sul prmi ls trjrs l mprs s S/. 80. Sul 00 ; ; ; 900 ) 0 ) 0, ) 0, ) 0, ) 0,6 rui Rltiv 0,. L tl mustr l istriuió l igrs fmilir rrspit 80 fmilis. i f i h i frui slut umul. frui slut simpl. frui rltiv simpl tt pr u. Itrvl Igrs [ 60 [ 70 [ 80 [ 90 [ 00, 70, 80, 90, 00, 0 f i i 8 60 h i 0, 0,07 Dtrmir l úmr fmilis qu g ms 00 uvs sls. ) 66 ) 76 ) 70 ) 0 ) Clulr l úmr ts qu s utr tr 7 y y sumr l úmr ts qu s utr tr 60 y 60. ) 88 ) 8 ) 8 ) 68 ) S rlizó u ust ls prfris u grup prss sr is gsss, y, z y s tuv l siguit igrm: z D :, y rprst úmrs prss y stá rlis l mr siguit : y 0 0 Si qu : K s tr y, y ls mrs trs psitivs (K > 0). Iiqu qué tt pr it l ttl, ti l i gss myr prfri. ) 0% ) 60% ) 0% ) % ) 6% 7. E u sló l mi "TRILCE", s ti ls siguits ts l ps u grup lums : Ps míim : kg Ps máim : 7 kg H 0,9 ; f 6 ; = 0 ; h h y h h Clulr l mi. Dr m rspust l sum l mi y l úmr lums uy ps s mr qu 6. I i K

102 ) 8 ) 6 ) ) 96 ) Ls siguits ts rprst l sul msul ólrs 8 trjrs l mi "TRILCE" : 00 ; 0 ; ; 80 ; 0 ; 0 ; 8 ; 0 ; 0 ; 00 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 9 ; ; 00 ; 0. Si pr "ists Ptris" trjr ri u umt l % ls suls más u ifiió $ y l vz st umt stá ft pr u impust l,8%. Cuál s l uv fiit vriili? ) 0,007 ) 0, ) 0,00 ) 0,07 ) 0,7 9. Rstruir l siguit istriuió simétri y trmir l mi y l mi mustrl. I i [ 0, [, [, 6 [ 6, 8 [8, 0 ) ; ) ; ) ;, ) ;, ), ; f i i Hi 7 0, 0, 0. E l siguit ur mustr l frui ls s u mustr gt jv. Clul l tmñ l mustr sí m l frui rltiv l itrvl úmr. [ 0, [, 8 [ 8, [, 6 [6, 0 rui slut 0 0 rui Rltiv 0, ) 00 ; 0,0 ) 00 ; 0,0 ) 00 ; 0,0 ) 0 ; 0, ) 80 ; 0,0 rui Rltiv umul 0,8. El gráfi mstr ii l vriió prtul ñ l pri l ólr (tip mi). Si l filizr l ñ 00, l ólr s tizrá S/.,6. Dtrmi l tizió l filizr l ñ 999. % 0% % % % % 6% ), ),9 ),9 ),0 ),0 ñ. Dtrmi l vriz ls siguits ts : i 7 9 f i ) ) ), ),68 ),609. S ti l siguit ur stísti rfrt ls s prss. I i ; ; ; ; f i ; 6 6 ; 7 Si s srv qu ts ls fruis sluts s úmrs prs. Clulr uáts prss ti tr 0 y 60 ñs. ) Es u úmr piú. ) Es u ti ur prft. ) Es myr qu 0. ) Hy rspusts rrts. ) Hy rspusts rrts.. D l siguit jiv, lul l mi y l m. i I i

103 ) 9,7 ;, ) 9,7 ; 0 ) ;, ) ; 0, ) 8 ; 0 7. Sgú l gráfi siguit : (%). E u lu prtiv, s ti ls s ls hihs istriuis sgú l siguit histgrm fruis r Es D y r s s úmrs, uy sum, ifri y l prut, stá l mism rlió qu ls úmrs 0 ; ; 89 rsptivmt. más : r 0 Clul l prmi ls hihs, si qu l istriuió s rliz itrvls igul h ls. ) ) 7 ) 9 ) ) 6. Si l m l vril ltri s u úmr impr, hllr l M.. y = i Ttl ) ) ) 6 ) 7 ) 6, f i y Prmi ls ts E l ul s mustr ls ts l urs MTEMÁTIC I u grup stuits uivrsitris, qué prtj pró si l prmi prtri s myr qu 0? ) 7% ) 0% ) % ) % ) % 8. D l siguit histgrm, h ls stt. f i 0 Sñl l sum l m y l mi. ) 7 ) 8 ) 9,7 ) 0 ) 0,7 9. D u istriuió simétri h ls stt, s ti l siguit plíg frui. S s qu 6 7 y l ttl ts s. Sñl l ifri tr ls fruis l ls mi y l ls ml. ) 7 ) 8 ) 9 ) ) 6 I i I i

104 0. El ár l rgió smr s igul l sum ts ls árs ls rtáguls ms u. Hllr l mr vlr qu pu tmr l mi, si más : f f f i f f f f 8 y f ), ) 7,08 ) 6,8 ) 7, ) 7,0. Sgú l siguit histgrm : f i ) 700 ) 6000 ) 800 ) 800 ) Pr stimr l ps prmi ls lums l Clgi Tril, "XV" ligió u mustr ltri 00 lums; ls pss tis s lsifir itrvls h mú, lug YILDIRY l yuó trmir l jiv uy gráfi s rprst sgú l fuió: Dtrmir : ) v ) f i() ) H h v... ; ; 0 ; 7 ; ; I I I I I m 0 m 7m p (m+) I i Dé m rspust l sum ifrs l myr rsult ti : ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 ) S umpl : Tmié l ár j l plíg frui s Hll l mi. ) ), ) ) ) 6.. E l siguit histgrm h ls mú, s mustr ls rsults u ust. S pi stimr l ti prss qu hy l itrvl ; f, si l plió s 9000 prss. Nº prss. S lró l siguit histgrm l ifrmió qu s tuv ls s u grup prss. f i (-) (v)v () (+) (-)0 (v+) i Clul l vriz y l mi. Dr l sum, (pr.) 7 ),8 ) 9,6 ), ),7 ), f Sul. E u mprs, s rlizó u s ls trjrs sr sus ñs srvii, rsult tr y ñs. YILDIRY, u lum Tril, s ut qu l hr l histgrm ls rrs ps tis trjrs qu frm u prgrsió ritméti uy rzó s, u ls rrs ps u ár 60u y l ti itrvls s míim, más l

105 h ls s stt y ps ivisrs. Dtrmir l m y l mi. Dé m rspust l sum lls, si s s qu : k f i s míim. i (k : úmr itrvls) ), ),60 ), ) 7,0 ), 6. "XV" h lr u tl fruis ls siguits rtrístis: * l : [ ; 0] * h ls : w = v + * Númr ts : Lg C(N) N 00 v * (v ) ; 60 ; * f f 7 8, ; más l istriuió s simétri. Clulr l sviió stár y l m, si qu: N k y N (N) k k ),7 y ),08 y ),08 y ),8 y ) 8 y 7. D l siguit jut ts : 0 ; ; 70 ; 0 ; 6 ; 0 ; 7 ; 0 ; 9; 7 ; 9 ; 89 ; 7 ; 7 ; 8 ; 98 ; 0 ; 0 ; 6; 6. Si s r 7 itrvls ls iguls, s pi:. L sum l rg y l h ls. B. El prtj ts qu hy tr 0 y 90. ) 80 ; 70% ) 70 ; 0% ) 70 ; 60 % ) 80 ; 0% ) 90 ; 0% 8. S ti l siguit ur stísti, l ul ls fruis sluts frm u prgrsió ritméti. U lum istrí lr l mism tl, pr l hrl mt l rrr umtr t uis, si l lrr ih tl srv qu ti: I i 0; 0 0 ; 0 f i 0 ; 0 0; 0 0, 0; 60 ] Y gr srprs, srv qu u vz más ls fruis s utr prgrsió ritméti. Dtrmir l sum ls s mis ritmétis. ) 79 ) 76 ) 8 ) 8 ) U mpñí ti 00 trjrs tr mrs, trts y prtits. Pr ls mrs, l sul máim s S/ y l míim S/. 000 msuls. El % s prtits qu ri prpis mrs S/. 800 y l 6% ls trjrs s trts qu pri hrs myrs igul qu S/. 800 pr mrs S/. 000; 0 trjrs mrs pri hrs mrs qu S/. 00 y l 80% l ttl trjrs ti hrs ifrirs S/ Clulr: i) Qué prtj trjrs g s S/. 00 hst S/. 7000? ii) Qué ti trjrs g suls mrs S/. 00? h i ) 8% ; % ) 9% ; % ) 0%, 0% ) 9%, 0% ) 8%, % 60. E u ur istriuió itrvls igul h ls, s s qu :, 8, f, h h 0, Si ttl hy 0 ts, lulr su mi ritméti. ) 8 ) ) ) 0 ) I i f i h i 0; 0 0 ; 0 0 ; 0 0; 0 0; 60 ] 0 0,

106 Clvs Clvs

107 Cpítul NUMERCIÓN INTRODUCCIÓN S pu ir qu l Mtmáti tmó frm ii l tigu Msptmi, ls sumris rr l sritur uifrm (,00.C.) L ivilizió Bili srrll l tigu Cl ró l sistm sgsiml, uqu í l r utiliz símls = y = 0. Hst qu muh timp spués prir ls sistms umrió qu utiliz ls s (iml, quiri, uiml, vigsiml, t). Pr pms ir qu rié l sigl V.C. s frgur ls rígs ustr sistm umrió (iml). El priipi psiió; sió ls uv ifrs y l r pr l r l mtmáti ii Brhmgupt. Es ir, ls hiús rr ls ifrs 0,,,,..., 9; pr fur ls árs ls qu ifuir sts símls pr Eurp. NUMERCIÓN Prt l ritméti qu s rg l frm rrt prsr y rprstr ls úmrs. NÚMERO Es u t mtmáti qu s prmit utifir ls jts qu s r. NUMERL Es l rprstió simóli l úmr. Mys : = ; = ; = 0 Rms : I ; V ; X ; L ; C ; D ; M Hiús - Árs : 0 ; ; ; ; ; ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 PRINCIPIOS. DEL ORDEN : T ifr u umrl, ti r, pr vió, s umr rh izquir. Pr jmpl : 8 r. r (uis). r (s) r. r (ts) t. r (millrs) Tmié pms trr l lugr qu up u ifr y s tm izquir rh. 8 t. lugr r. lugr. lugr r. lugr. DE L BSE : T Sistm psiil umrió ti u s, qu s u úmr turl myr qu l ui, l ul ii l ti uis sris pr psr u r l r imit suprir. E frm sill, l s s ii l frm m ms grupr.. DE SUS CIRS : Ls ifrs s úmrs turls qu simpr s mrs qu l s. E s "" ls ifrs prt l jut : {0 ; ; ; ;... ; ( - )} V : Vlr slut ; ; V ; ; ; ;... t V R : Vlr Rltiv SISTEM DE NUMERCIÓN Cjut rgls y priipis vils pr rprstr u úmr. 8 V = V = V = V = 8 VR = 8 uis VR = s VR = ts VR = millrs

108 lgus Sistms Psiils Numrió CMBIO DE BSE Biri 0, Trri 0,, Cutrri 0,,, Quiri 0,,,, 6 Sri 0,,,,, 7 Hptri 0,,,,,, 6 8 Otri 0,,,,,, 6, 7 9 Nri 0,,,,,, 6, 7, 8 0 Diml 0,,,,,, 6, 7, 8, 9. D s s 0 (6) "El mét, sist smpr pliómimt l úmr" (6) 6 6 ( 6) 6 8 ( 6) 88 Rpt 6 REPRESENTCIÓN LITERL DE UN NÚMERO Otr mét : (Ruffii) * Numrl ifrs s 0 {0 ; ; ;... ; 99} * Numrl ifrs s Rpt () {00 ;0 ;0 ;...; } () () () () NUMERL CPICÚ : qul uys ifrs quiistts ls trms l umrl s iguls. ; ; ; ; DESCOMPOSICIÓN POLINÓMIC Csist prsr u úmr m l sum sus vlrs rltivs. D s 0 s "El mét sist iviir susivmt tr 7, ls rsius qu v qu, ii ls ifrs l r rsptiv" (7) V R () V R () V R () V R (6) (7) N s "" umrl "k" ifrs l k k k 0() N k k k k... k 0 POR BLOQUES : Csist smpr u umrl tm vitmt ls ifrs,, t.. D s s m Eprsr 6 (8) s 9 "El mét, sist prsr primr s 0 y lug ih rsult s 9". Lug 70 s () () () () () () () (8) 0 (9) " myr umrl prt, mr s" 8 9 Límit u umrl N () "k" ifrs k N () k

109 0 6 (6) PROPIEDDES. Numrl k ifrs máims 0 6 Pr qué s pu plir l mét Ruffii pr rlizr l mi s irt? Ejrii s : * Eprsr * Eprsr (000) s (00) s 0. ( )( )...( k ifrs (8) ) () k CSOS ESPECILES DE CMBIO DE BSE : k I. D s s : S tm l umrl l s "" y s spr rh izquir grups "k" ifrs. Esgui, grup s pli smpsiió pliómi... = k k() + = = (8) = k+ k-+k k vs () Rsluió : Bs s s 8 () Lug : ( ) 0 ( ) 0 () k 000 () Ets : 000 Rpt () (8) Ejrii : * Cvrtir 00 s 9 () Eprsr CMBIO DE BSE DIRECTO l s 00. (000) II. D s k s : S tm u ls ifrs k l s y s virt s, trt tr grups "k" ifrs, si lgú grup ti "k" ifrs s mplt rs l izquir. * = 76 (8) s (000) (00) Bs 8 s C u ls ifrs l s 8, s virt s. 7 () 0 00 () ()

110 Lug : Ejrii : Cvrtir 0 76 (8) 00 () ( )8 s (6) () () DESCOMPOSICIÓN POLINÓMIC PR NÚMEROS POSITIVOS MENORES QUE L UNID D 0,... (k) * 0, () * 0,7 7 (8) k k k... k Esj u úmr ulquir l tl; pr jmpl l, Dó s utr?... l primr, l trr y urt lum, ts sir sól l primr fil s umpl : = ts hgms tr jmpl l úmr, s utr l sgu, trr y quit lum ts : = Epliqu m s frm st tl utiliz

111 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Si ls umrls stá rrtmt srits. Dr : ( +. ) ; ; ; () () () (9) ) 7 ) 6 ) 6 ) 8 ) 6 0. Si ls siguits úmrs s ifrts r: Dtrmir : 0 () ; () ; () 09. Dr "" : () ) 0 ) ) ) ) 0. Clulr : ( + ) : () 6 7 ) ) ) ) 0 ) ) 6 ) ) ) ) 7 0. Si : () Hllr : () (8) ) 67 ) 6 ) 9 ) 6 ) 0. Cvrtir l myr úmr ifrs l sistm sri l sistm ri. ) ) 88 (9) ) 688 ) (9) 00 (9) ) 66 (9) 66 (9) 0. Cóm s sri l sistm quiri l mr úmr ifrs l sistm hptri? ) ) () ) 0 ) () ) () () () 06. Eprsr l mr úmr ifrs ifrts l sistm quiri l sistm trri. Dr l sum sus ifrs. ) ) ) ) ) 07. El myr úmr trs ifrs qu stá s "" s sri l sistm hptri m. Hllr l vlr "". ) ) 6 ) 7 ) 8 ) E qué sistm umrió, l úmr 76 ( s 0) s sri 8? Iiqu l s. ) ) 9 ) ) ). Si : 6 ( ) Hllr : 7 () ) 6 ) 7 ) 9 ) 8 ). Si. ( ) () Dtrmir l vlr "" ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 ) 0. Hllr : Si : 0 () 70 (8) ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). Hllr l sum ls ss ls uls ls úmrs y s iguls. ) 8 ) ) 7 ) 6 ) 0. Eprsr s Dr m rspust u ls ifrs tis. ) ) ) 6 ) 8 ) 9 6. Eprsr s Dr l sum sus ifrs ( s 0). ) 000 ) 00 ) 00 ) ) Impsil

112 7. Si u úmr s sri s 0 m y s 6 m, ts : + + s igul : ) 6 ) ) ) ) 8.,, y, s umrls tls qu ltrs ifrts s ifrs ifrts y igu s r. Si :, l vlr : + + s : ) 9 ) 8 ) 7 ) ) 0 9. Si s umpl qu, l vlr + s : ( 6) ) 7 ) ) ) ) 6 ) ) 7 (9) ) 78 ) (9) 60 ) (9) 768 (9) 68 (9). Si u úmr tr 6 ifrs qu mpiz u (), s l trsl st u l rh l últim ifr, s ti tr úmr qu s l tripl l primr. El úmr iiil s : ) 867 ) 87 ) 97 ) 97 ) 7. El myr úmr ifrs s "" s llv l s " + ". Cuál srá l ifr rrspit ls uis r, l úmr srit l s " + "? ) ) ) ) ) 0. l rspr u ust, u gr sri l fih l siguit : Nº trs : Nº vs : T zs : 00 L s l sistm umrió qu utiliz l gr s : 6. Si, s sluis l uió : ()()() (8) Ets + s igul : ) ) ) ) ) 6 06 ( ) ) 8 ) 9 ) ) 6 ) 7. "" s l jut ls úmrs ifrs s 7; "B" s l jut ls úmrs ifrs s. El úmr lmts qu ti l itrsió "" y "B" s : ) ) ) ) ) Myr qu 7. Si : ()()() 06 8 () Hllr : (m + ) : m ( ) ( ) 8 ) ) ) 6 ) 7 )m ( ). Cuáts ifrs ti l úmr : l sr prs s 0? 00 ifrs (8) ) 87 ) 88 ) 89 ) 90 ) 9. U grjr v huvs js uis. Dl pruió usm sti gruss, s y 8 huvs. Cuál sst úmr si l h u pi qu trgr js 9 uis? 8. Si : 00 () Hllr : (8) ) 9 ) 8 ) 7 ) ) 0 9. Hllr : + + Si : 6 () (8) ) ) ) 6 ) 7 ) 8

113 0. Si s umpl qu : (7) Clulr : ( ) (9) ) 7 ) 8 ) 0 ) ) y s úmrs trs ifrs y s u úmr s ifrs, ts lls srits l sistm s +. Si : 0 Cuál s l úmr 0 ) 0 ) ) 9 ) 0 ) srit l sistm iml?. Si l umrl : ( )( )( )( )...( )( ) (8) Es vrti l s 7, s srv qu l sum sus ifrs s u ti pr. Hllr : "" ) ) ) 6 ) 7 ) 8. Si l úmr = (srit s ) s virt l sistm umrió s ; tms u úmr uy trr ifr, lí rh izquir, s 6. Ets l vlr s : ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. Si s s qu :. Si : N ( )8( ) 9 pqm Clul l ifr l mr r l prsr N l sistm tri. ) ) 0 ) ) ) 7 ( )( )( ) 6 9 mmmm0 Clulr : m ) 0 ) ) ) ). Si : ( )( ) ; < 0 < (6) () Hllr : ( ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 7. L u ul s u úmr s ifrs y l su hij ti ls misms ígits, pr r ivrti. Ls s s its ii u ls ifrs l l ul. S s, más, qu l l hij s l l it myr m s u. Hllr l sum ls ifrs l l sps l hij, si qu ih s l mit l l ul. ) 7 ) 8 ) ) 0 ) 8. Cirt ti ir qu flutú tr S/. 0 y S/. 0 s rprti tr 6 prss, tl mr qu ls tis qu lls ri s ts ifrts, myrs iguls 0 y mrs qu 00. Si ls tis riis pr u ls prss, s pu prsr us ls ifrs, y 0 ( y ifrts r). Hllr : + ) ) ) ) ) 9. Mrr "V" "" sgú l pust s Vrr ls : * El mr sistm umrió s l uri. * Hy ifiits sistms umrió. * E l sistm umrió s "" hy ( ) úmrs "" ifrs. * L ifr vigésim r u úmr s l trilló. ) VVV ) VV ) VV ) V ) V 0. S isp u lz pltills y l siguit lió pss : g ; g ; g ; 6 g ;... Cuáts pss m míim s usr pr psr 07 grms rrz si hy sól pss vlr? ) 9 ) 6 ) ) )

114 . Cuáts úmrs trs ti m prut ifrs 0? ) 0 ) ) 0 ) 6 ). Hllr l sum ls ifrs l sum ts ls úmrs trs "" uy prut ifrs s : 0? ) ) ) 6 ) ). Etrr ts ls úmrs turls, tls qu l prut sus ifrs l sistm iml s igul 0. Dr l sum sus ifrs. 8. S ti : ( ) () D "" s impr. (8) Dtrmir uáts sistms umrió l umrl, s prs ifrs. ) ) ) ) ) 6 9. Si : () ( k) Hllr "" míim, si "k" l mr úmr uys s ifrs mr r s ifrs sigifitivs. Dr m rspust l sum ifrs. ) ) ) ) ) 7 ) ) ) ) ) 6 0. Si : 0( ) () 0 ( ). U umrl srit l sistm iri ti ifrs. Cuáts ifrs pu tr l sistm ri? y : () Hllr : () E ) 0 ) ) 8 ) 6 ) ) 0 ) ) ) ) 9. Si s virt l s, uáts ifrs ti s s? ) 0 ) ) ) 6 ) 7 6. Clul l vlr : ( ). Si : yz = (7) 6 () (0) "w" vs (k6) Si qu : ( )( ) ( )( ) D "" s máim. Hllr : " + y + z + w + k + " y r m rspust l sum sus ifrs. ) 0 ) 00 ) 600 ) ) 7 ) 0 ) ) ) ) 9 7. Si s umpl qu : (k )( 6) (k ) Dtrmir l sum ts ls úmrs ifrs qu s pu frmr ; y. ) 68 ) 896 ) 86 ) 9 ) 86. Si : mpq00 = ()()()0(y-) 0 "m" umrls z

115 más : yy8 ( )( )( ) Hllr : z ) 6 ) 0 ) ) ). Si : () 7 más : (+) = PPPP + R (+) vs (+) ( ) Cuáts ifrs ti l úmr u s rprst l sistm iml? ) 70 ) ) ) 76 ) 77. Hllr ( ) si : () ) ) ) ) 0 ) 0. Si s s qu : Clulr : 8 66 ( s pr) ) 7 ) 76 ) 8 ) 90 ) 9... () ifrs 6. Si qu l jut ti "" lmts y ttl ti sujuts, :,,, s ifrs prs. Dr l ifr myr r l vrtir l umrl l s "". ) ) ) ) 6 ) 8 7. Si s umpl qu : 7 más,,, s ifrts tr sí. Hllr : ) 0 ) ) ) ) 8. Cuáts ifrs ti...h 000 ifrs l sr prs l sistm umrió iml? ) 60 ) 609 ) 60 ) 60 ) Ml prpust 9. Cuál s l mr úmr tr "", tl qu rstál u ui su primr ifr l izquir "", y umtál u ui s tg l prut ( + ) pr l úmr "" spués suprimir l ifr?. Dr m rspust l ifr r r. ) ) ) 6 ) ) Hllr l sistm umrió s 6 ts ls úmrs i ifrs, tls qu ts sus ptis pt tr trmi ls misms i ifrs. Dr l sum ifrs u ls úmrs qu umpl l trir. ) ) 7 ) ) )

116 Clvs Clvs

117 Cpítul CONTEODENÚMEROS INTRODUCCIÓN Ctr sigifi stlr u rlió tr s lis jts tl m qu jt u lió s l hg rrspr u tr lió. Pr jmpl, u u lum ut ls ís l sm qu sist lss su lgi h rrspr í u su m, stliés sí u pliió, s ir í l rrsp u. Cjut ís Cjut s susió, s l llm susió gmétri prgrsió gmétri. El térmi lugr "" srá : 9 SUCESIÓN RITMÉTIC DE PRIMER ORDEN O LI- NEL (Prgrsió ritméti) S llm sí qull susió l ifri tr s térmis sutivs s simpr l mism; s ir térmi s ti grg u ti stt l térmi qu l pr, ih ti s l llm rzó l prgrsió ritméti.. 8 ; 7 ; 6 ;... ; SUCESIÓN S llm susió t pliió l jut úmrs trs psitivs l jut ls úmrs rls R. Sus lmts s rprst : ; ; ;... ; s ii l primr, sgu, l trr y sí susivmt. Si pr l últim térmi s i térmi ésim y l susió s fiit, si pr s ifiit. NÚMEROS EN SUCESIÓN NUMÉRIC. Prgrsió ritm éti 8 ; 0 ; ; ; Es u susió uméri térmis l primr s 8 y ls siguits s ti umt l trir; st susió s l llm susió ritméti prgrsió ritméti. El térmi lugr "" srá :. Prgrsió Gmétri 6 9 ; ; ; ;... Es u susió uméri térmi s ti multipli pr l térmi trir; st. 9 ; 90 ; 86 ;... ; ; ; ;... ; r r I. R ZÓN ( r) : Es l ifri s térmis sutivs l prgrsió ritméti. r k k II. TÉRMINO ENÉSIMO ( ) : L siguit fórmul s utiliz pr hllr u térmi ulquir l prgrsió. "" s l lugr qu up l térmi qu s quir lulr. ( )r

118 III. NÚMERO DE TÉRMINOS () D : r : térmi lugr : primr térmi : vlr l rzó r Dl l 9 hy 9 págis, l 0 l 99 hy 90 págis, 00 l 8 hy 9 págis ts ttl hy : ifrs Pr u lir "p" págis l úmr ifrs tips imprt utiliz s : pliió : E l siguit susió ritméti, lul l rzó, su ti térmis y ls térmis lugr y 7. * r = 0 - = 7 S : ; 0 ; 7 ;... ; 06 * * (7) 77 * 7 6(7) 7 CONTEO DE CIRS Csist lulr l úmr ifrs u susió uméri. 7 ; 0 ; ;... ; Nº ifrs (p )k... k ifrs k : úmr ifrs "p" E l jmpl trir p = 8 y k = ts l Nº ifrs s : (8 + ). - = 66 Rpt. NÚMEROS CONDICIONDOS S qulls qu prst lgus rtrístis tr sus ifrs. Priipi l Multipliió : Si u vt urr "" mrs ifrts y tr vt urr "m" mrs ifrts, ts ms vts pu urrir ( m) frms ifrts. Ejmpl pliió : Cuáts úmrs prs ifrs mpiz 8 ó? * Dl 7 l 97 hy 97 7 úmrs s ifrs tms : = ifrs. * Dl 00 l hy 00 = 9 úmrs trs ifrs tms 9 = 7 ifrs. Ets ttl hy + 7 = 9 ifrs PGINCIÓN Vlrs qu tm ifr Pr ( = Pr) = 00 úmrs l imprimir u lir, priói, t. tigumt s utiliz l tipgrfí pr ltr síml u tip imprt. EJERCICIO : Cuáts úmrs "k" ifrs ist s? Dig U. l ti tips imprt qu s utiliz pr umrr ls págis u lir 8 págis. Cm l primr ifr tm ( ) vlrs y ls rstts (k ) ifrs tm "" vlrs hy k ( )... ( ) úmrs (k )

119 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. E u prgrsió ritméti, l sum l éim y uéim térmi s 0, más l st térmi s r. Hllr l vigésim térmi. 08. Cuáts trs qu s prs mit umrls utr ifrs l frm : ( )( )( ) s 0 ist? ) 8 ) 6 ) 0 ) ) 6 0. L siguit susió úmrs st 8 térmis ás ls utr térmis trls :... ; ; 9 ; 6 ; 6 ;... Dtrmir l primr térmi. ) 88 ) 9 ) 0 ) 8 ) 7 0. Si l ifri ls térmis lugrs 6 y 0 u prgrsió s 7 y qu l térmi lugr 0 s. Ets, l térmi lugr 00 l prgrsió s : ) 78 ) 78 ) 7 ) 76 ) E l prgrsió ritméti, l éim primr térmi s 6. S : ( + ) ; ( - ) ; ( + ) ;... Dr : ( + ) ) ) 6 ) 0 ) ) 8 0. Cuáts ifrs s mpl l sriir l siguit prgrsió ritméti? 0 ; 6 ; ;... ; 98 ) 606 ) 8 ) 60 ) 79 ) Cuáts ifrs s utiliz l umrr l sui? 77 0 ; 0 ; 0 ;... ; 0 ) ) 890 ) ) 7 ) Cuáts úmrs ifrs l sistm iml us lgu ifr su sritur? ) úmrs ) úmrs ) úmrs ) 68 úmrs ) 6 úmrs ) 8 ) 0 ) ) 8 ) 09. Si ls trs primrs térmis l prgrsió gmétri rzó igul s : ; ; 8 ( ) El urt térmi srá : ) 96 ) 76 ) ) 7 ) 6 0. Trs úmrs stá prgrsió ritméti uy rzó s. Cuál s l vlr l sgu térmi, si s qu; l ismiuir l primr uis, ismiuir l sgu y uplir l trr, ls úmrs rsultts stá prgrsió gmétri? ) 8 ó ) 6 ó ) ó 6 ) ó 8 ) 6 ó. L sum ls s primrs térmis u prgrsió ritméti s l sluió psitiv l uió : 6 0 y l t. térmi s. Hllr l rzó l prgrsió. ) ), ) ) ). S ti u prgrsió ritméti l ul s. térmis sutivs s : y y l primr térmi s y l últim s 90. Hllr uáts térmis hy ih prgrsió. ) 96 ) 97 ) 98 ) 99 ) 00 ; ; ; s úmrs turls prgrsió ritméti. Si : 6 y 880. Clulr : N ) 8 ) ) 6 ) 8 ) 9

120 . D l susió ritméti: 60 ; ; 6 ;... El primr térmi gtiv, s : ) 0 ) ) ) ). Ls s prss stá prgrsió ritméti rit, uy sum s 6. Si l sum sus urs s 9; l l myr, s : ) 7 ) 6 ) ) ) 7 6. L sum l urt y l tv térmi u prgrsió ritméti s 0, l térmi s l l l 6 térmi; l prgrsió ritméti s : ) ; ; ;... ) ; 6 ; 7 ;... ) 0 ; ; ;... ) 0 ; ; 6 ;... ) ; ; 6 ; D ls trs primrs térmis u prgrsió ritméti, l térmi itrmi s y l prut ls misms s. Ets l térmi l éim primr lugr s : ) 76 ) 77 ) 87 ) 97 ) U prs mpiz umrr págis s l úmr 000 y s ti l úmr qu rprst l ti ígits utilizs. Dr l sum ls urs ls ifrs l últim úmr srit. ) ) 7 ) ) ) 9 9. S llm piú l úmr vris ifrs qu s l igul izquir rh rh izquir. Cuáts úmrs piú hy tr 00 y 000? ) 00 ) 0 ) 90 ) 00 ) D l siguit susió. ; ; ; ; ; 8 ; ; ;... El úmr qu sigu s : ) ) ) ) ). Cuáts úmrs ifrs ist qu tg pr l ms u ifr pr y pr l ms u ifr impr? ) ) 67 ) ) ) 8. Cuáts térmis trs ifrs ( s ) ti l siguit prgrsió ritméti? 0 ; ; ;... ) 0 ) ) ) ) ; 0. E uáts sistms umrió l úmr s sri ifrs? ) 0 ) ) 0 ) ) 0. Si ls úmrs l l 000, s mr i u sl úmr qu tg l ifr l ifr 7. Cuáts úmrs s mr? ) 06 ) 0 ) ) ). Cuáts térmis m máim ti l siguit prgrsió? ; ; ;... ; Si más s s qu : + + = ) 09 ) 0 ) ) 00 ) S ti l siguit prgrsió ritméti: ; ; térmis Iir l vlr ) ) 6 ) 7 ) 9 ) ;... ; Si l primr térmi u prgrsió ritméti trs sutivs s k ; l sum ls k+ primrs térmis ih prgrsió pu sr prs m : ) ( k ) ) (k ) ) k (k ) ) (k ) k ) k k k 8. D l prgrsió ritméti, l sistm umrió qu s ii : 0 () ; () ; 0 () ;... L sum ls 8 primrs térmis, s : ) ) ) 00 () ) 00 () 000 () ) 000 () 000

121 9. El tv térmi l susió : ) ) ) ) ; Ds ls susis : ; ; 9 ; 6 ; 7 ;... ; 0 ) ; ; ; ;... L ifri ls térmis ) ) ( ) ( ) ) ). Si : ( ) ( ) ) y ;... s : 8 7 ( ésims s: ) ; = ; ;... y si S... ; = ; ;... Ets : S S s igul : 0 ) ) 0 ) 0 ) ). Cuáts úmrs l frm ( ist? ) 6 ) 7 ) ) 8 ) 6)( )( ) (). Cuáts úmrs ifrs myrs qu 000, s pu frmr ls ifrs? {0 ; ; ; ; ; 7 ; 8 ; 9} ) 07 ) 07 ) 096 ) 68 ) 69. Cuáts úmrs piús ifrs ist l sistm tl, tl qu l sum sus ifrs s impr? ) ) 96 ) 6 ) 80 ). Cuáts úmrs piús ifrs ti sól ifrs iguls? ) 7 ) 76 ) 8 ) 8 ) 6 6. Eutr l s l sistm umrió, l qu ls úmrs 79, 698 y 907 stá prgrsió ritméti. ) ) ) ) ) 7. Ds ls susis : y B 6 ; 8 ; 0 ; ; ; B ; 7 ; 9 ; ; ; Hllr : B Dr m rspust l umrr l frió rsultt. ) ) ) ) ) 0 8. E l siguit prgrsió ritméti, l ti térmis qu hy s 87 hst 0 qu hy s hst 80. ;... ; 80 ; 87 ;... ; 0 Hllr : ) 0 ) ) 7 ) 9 ) 6 s l tripl ls 9. E uáts sistms umrió 00 s sri trs ifrs? ) ) ) ) ) 6 0. L siguit prgrsió ritméti st 08 térmis, ás ls utr térmis trls.... ; ; 9 ; 6 ; 6 ;... Hllr l sgu térmi l prgrsió. ) 8 ) 78 ) 7 ) 9 ) 99. Hllr "" si qu l s ist 680 umrls "" ifrs, tls qu ts sus ifrs s prs. ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9. Cuáts térmis ti l siguit susió? ; 6 ; ; 60 ;... ; 0 ) ) 6 ) 6 ) ) 8. L siguit susió : ; ; ;... ti térmis l ifri tr l últim y primr térmi s 6. Hllr : + ) ) ) 0 ) 9 ) 8

122 . Cuáts úmrs ifrs l s s sri tmié ifrs ls ss 0 y?. Cuáts umrls trs ifrs ti sól s ifrs imprs? ) 8 ) 8 ) 87 ) 900 ) 86. Cuáts térmis ti l siguit sui? 0 ; ; ; 8 ; 6 ; ;... ; 0 ) ) ) 6 ) ) 6. El úmr trs ígits myrs 000 y qu trmi 7 s : ) 90 ) 60 ) 9 ) 9 ) 6 7. El úmr págis u lir stá mpri tr 00 y 00. Cuál s st úmr págis, si ttl s h mpl 88 tips imprt pr umrrl? ) ) ) 0 ) ) 8. Cuál s l ifr qu up l lugr 7 l sritur l siguit prgrsió ritméti? 60 ; 68 ; 76 ;... ) ) 8 ) 6 ) ) 9. D u tt 600 págis, s rrr ts ls hjs qu ti lgu pági trmi 8. Cuáts ifrs s mti l umrió ls págis qu qu? ) 8 ) 69 ) 8 ) ) 0. S h umr 0 págis, u lir si utilizr ls úmrs qu ti sus ifrs iguls. Cuáts ígits s huir mpl si s ut ls úmrs luis? ) 89 ) 9 ) 689 ) 9 ) 6. l umrr ls últims 00 págis u lir s h mpl 8 ifrs. Cuáts págis ti l lir? ) 90 ) 80 ) 0 ) 0 ) 60. Cuáts úmrs ifrs ti pr l ms ifrs iguls? ) ) 68 ) 6 ) 6 ) 80 ) 00 ) 7 ) 9 ) 0 ). E qué sistm umrió hy 8 úmrs l frm : ( )( )? () ) 8 ) ) 7 ) ). Cuál s l térmi más r 000 l siguit sri? 8 ; ; 9 ; ; 0 ; ;... ) 00 ) 998 ) 00 ) 996 ) E l prgrsió ritméti qu ti térmis hllr ( + + ) () ; ( ) ; () ;... ; ( () () ) 0 ) ) ) ) 6 ) () 7. Cuáts págis ti u lir si umrr 0 págis trls; s h utiliz ifrs? Cuál s l últim pági? ) 0 ) ) 00 ) 9 ) 9 8. D u lir s rrr 0 págis trls, srvás qu l umrió ls págis rrs s usr 8 tips imprt. Cuáts tips s us ls hjs qu qu? ) 9 ) ) ) 9 ) Si :, y s ifrs l sistm iml, Cuáts úmrs l frm : ( ) ( ) ( )( ) ist? ) ) ) 90 ) 7 ) Cuáts úmrs ist l siguit frm? (m )( m)( 6)(6 ) 0 ) 0 ) 89 ) 70 ) 0 ) p p

123 Clvs Clvs

124 INTRODUCCIÓN Cpítul Dfiims iió y multiliió ls úmrs trs gtivs tl mr qu ls prpis u m prió iri s más misils. U vz stlis, ls llmrms lys, prqu s guí l qu pms y pms hr ritméti, vrms m sts lys s prmit hrrr trj ls áluls, m s yu trr y tr primits rvis, sí m r sti muhs ls ss qu ts prims máimt. DICIÓN L iió Z, qu utiliz l prr +, s l prió mit l ul s sig s úmrs trs y mis térmis sums u úi úmr tr s, llm sum y. CUTRO OPERCIONES EN EL CONJUNTODELOS NÚMEROS ENTEROS sitiv : L sum trs más úmrs trs vrí l grupr ls sums s s. Elmt utr (iti itiv) : El úi lmt l jut úmrs trs qu sum tr úmr tr m rsult l mism úmr s 0. Opust ivrs itiv : Pr úmr tr, ist u úi úmr tr tl qu : + ( ) = 0 Sums Ntls : i) ii) iii) ( ) ( )( 6 ( ) ) (, ) iv) v)... (... ) ( ( ) )( ) S = + vi)... OPERCION : iió OPERDOR : + Ejrii s : + = s sums sum * Dmustr u ls fórmuls trirs. * S qu lim, mustr qu s pu tr sum ls siguits úmrs. 0! ;! ;! ;! ;! ;! ; 6! ;... XIOMS PR L DICIÓN Clusur : L sum s úmrs trs s tmié u úmr tr. Cmuttiv : l mir l r ls sums, l sum s ltr. Sum térmis u prgrsió ritméti S

125 SUSTRCCIÓN L sustrió Z, qu utiliz l prr, s l prió ivrs l iió mit l ul s sig s úmrs trs M y S mis miu y sustr rsptivmt u úi tr D mi ifri. OPERCIÓN : Sustrió OPERDOR : Ejmpl : C () 00 () () MULTIPLICCIÓN () L multipliió Z, qu utiliz l prr, s l prió mit l ul s sig s úmrs trs y mis ftrs u úi úmr tr p, llm prut y. M S = D Difri Miu Sustr Multipli = p Prut Multiplir PROPIEDD : L sum ls trs térmis u sustrió s igul l l l miu. (, ) M + S + D = M p = PROPIEDD : Si > y más : () () XIOMS PR L MULTIPLICCIÓN Clusur : El prut s úmrs trs s tmié u úmr tr. Cmuttiv : l mir l r ls ftrs l prut s ltr. yz () S umpl qu : + z = y = = + Prí mstrr st prpi? COMPLEMENTO RITMÉTICO S N u umrl k ifrs l s B sitiv : El prut trs más úmrs trs vrí l grupr ls ftrs s s. Elmt utr iti : El úi lmt l jut úmrs trs qu multipli tr úmr tr m rsult l mism úmr s. Clió multiplitiv : S,, Z. Si : 0 Ejmpl : Tmié : CN =Bk (B) N(B) C( ) Distriutiv : Pr, y Z, s umpl : ( + ) = + DIVISIÓN ENTER Ds s úmrs turls y ( 0), s fi ivisió (Oprió ivrs l multipliió) tr C N (B) (B) "k" rs N (B) y s t si ist u tl qu :. hr si s tr, istir u r < tl qu r

126 I. Divisió tr t : D 0 q D = q Divi Divisr PROPIEDDES. El rsiu u ivisió tr s simpr mr qu l ivisr. II. Divisió tr it : i) Pr ft : D r q Cit pr ft Cm sui : Rsiu máim = ivisr Rsiu míim = ii) D = q + r Pr s. L sum l rsiu pr ft y l rsiu pr s u ivisió tr s igul l ivisr. r + r = D r q+ Cit pr s D = (q + ) r. Ls its pr ft y pr s u ivisió s s úmrs sutivs.

127 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. irt úmr pr, s l sum ls s úmrs prs qu l pr y ls s úmrs imprs qu l sigu, tiés ttl 968 uis. El prut ls ígits l úmr pr rfri s: ) 6 ) 6 ) 0 ) 0 ) 6 0. Si l sum úmrs trs sutivs s hll tr 00 y 6, l úmr trl s : ) ) L sum ls térmis u rst s 68 y si rstms l ifri l sustr s 788. Hllr l sum ls ifrs l ifri. ) Myr qu ) Impr ) Prim ) Múltipl ) Mr qu 9 0. Si : T... ( ), hllr l vlr : R (T 0 (T T ) 9 (T 8 T ) (T T ) 7 T ) (T 6 ) 7 ) ) ) ) 9 T ) 0. L isti tr y B s 0km, u rl y u glg prt l vz, l rl u vli m/mi y l glg u vli 0m/mi. El glg llg l put B y rgrs us l rl, lug rgrs l put B y vulv us l rl y sí susivmt, hst qu ms llg B. Cuál s l spi ttl rrri pr l glg? ) 0 km ) 00 km ) 00 km ) 00 km ) 0 km 0. Si s u úmr tr psitiv, l vlr l sum: s : ifrs ) ) ) ) 7 ) L ifri s úmrs ifrs u s 89. Si s ivirt l r ls ifrs l sustr, l ifri s hr 6. Hllr l miu si ls ifrs l miu y l sustr sum. ) 87 ) 89 ) 97 ) 97 ) Hllr u umrl ifrs sigifitivs qu umt 70 u s ivirt l r sus s primrs ifrs, y qu ismiuy y u s ivirt ls ifrs uis y ts. ) 89 ) 76 ) 8 ) 78 ) Hllr : + Si qu : C() C() 67 ) 8 ) 9 ) 0 ) ) 7 0. Si l C u úmr ifrs s igul l C l tripl su ifr uis. Clulr l sum sus ifrs ) ) ) ) ) ) 6 ) 7 ) 8. Si s úmrs trs s ls ismiuy y umt 6 uis rsptivmt, l prut lls umt 0 uis. Cuál s l ifri ls úmrs? ) 0 ) 0 ) 0 ) )

128 . Si l prut 8, s ñ 8 uis l primr ftr. Pr qu l prut vrí, l tr ftr hy qu : ) Rstrl ) Sumrl 8 ) Rstrl 8 ) Diviirl tr 8 ) Sumrl. Si l lrg u prllpíp s tripli, l h s upli y l ltur s urupli, l vlum rigil s multiplirí pr : 9. l iviir u úmr tr, l rsiu s. Cuál srá l rsiu si s l ivi tr? ) ) ) ) ) 0 0. l iviir u úmr tr l rsiu s y l iviirl tr 8 s 6. Si ls its s ifri 9, qué rst rá l iviir l úmr pr 7? ) 6 ) ) ) ) ) ) ) 0 ) 6 ) 6. El prut "P" y "Q "s igul "C". Si s grg "Z" uis "P", Cuát s l rstr "Q" pr qu l prut vrí? ) ZQ (Z P) ) Z ) (P (P Z) Z) 6. L ifri úmrs s 8; su it s 7, y l rsiu l más gr psil. Etrr l sum ls úmrs. ) 88 ) 99 ) 9 ) 890 ) L sum ls térmis u ivisió s, si s multipli pr l ivi y l ivisr y s vulv rslvr l prió, l sum ls térmis srí 07. Hllr l it. ) ) ) ) ) 7. U prs ivi l ti ir qu ti su lsill tr 00, rsult u úmr tr m. Si m ms 0 sls u mig, ú l qu 60 sls. Cuát tí l lsill? ) 000 ) 60 ) 00 ) 0 ) 00 ). Ds prss ti $ 76 y $ 960 s p jugr QZ QZ (Z P) ) ls rts $ 8 l prti. l fil, l primr qu h (P Z) g ts ls prtis ti l quitupl l qu ti l sgu, Cuáts prtis s h jug?. l multiplir s úmrs u ls uls s myr qu l tr 0 uis, u pstult mtió u rrr ismiuy l ifr ls s l prut. l iviir l prut ti pr l mr ) 0 ) ) ) 7 ) ls ftrs (pr mprr l rsult) tuv l it 9 y l rst. Hllr l prut rrt.. S frm ts ls úmrs trs ifrs ifrts qu pu sr srits ls ifrs, y ifrts tr sí. D ls úmrs frms s sum trs lls, tás qu s ii l ifr myr ) ) 9 ) r. S sum ls úmrs rstts y l ifri ) 7 ) tr ms sums s 8. Hll : + +, si u ls ifrs s l smisum ls trs s. ) 6 ) 9 ) ) ) 8. Clul l sum ts ls úmrs l frm ( )m m. Dr l sum ifrs. ) ) 6 ) 8 ) 0 ) 9. Clulr l sum ts ls úmrs l frm : 8. El it u ivisió tr s y l rst s 9. Hllr l ivi si s mr qu 00. Dr m rspust l úmr sluis psils. ) ) ) ) ) ( ) Eprsr l rsult l s 9 y r m rspust l sum sus ifrs. ) ) ) ) 6 ) 8 (7)

129 6. Si : C (), uál s l sum ts ls. Si : vlrs? ) 796 ) 88 ) 89 ) 888 ) 96 Clulr l sum ifrs : ) 9 ) ) ) 0 ) ( ) 7. l frmr ts ls umrls psils ifrs ifrts s 7 ls ifrs ; y ; y sumrls, s mtió l rrr hr l sum s 9; rsult (9). ) ) 0 ) ) 8 ) 6. L ti ifrs ls úmrs, B y C s úmrs sutivs. Si l prut B C ti pr l ms ifrs, ts l ti máim ifrs qu pu tr ih prut s : ) 0 ) ) ) ) 8. L sum ls ifrs l ifri s. () () Cuál s l vlr "" si qu : > y <? ) ) ) ) ) 9. Cuáts úmrs ifrs ist, tl qu l mplmt ritméti s igul l prut sus ifrs? ) ) ) ) 99 ) Si qu ts ls ltrs ti vlrs istits y ifrts r. más s umpl qu : TRECE OCHO Hllr l sum ts ls sluis : "T + R + E + C + O + H + I + N" y r m rspust l sum sus ifrs. ) ) 6 ) 7 ) 8 ) CINCO. Si lugr multiplir u úmr N pr s multipli pr, st prut más N uis s l l l prut rigil. Hllr : ( + ) ) 8 ) 9 ) 0 ) ). El úmr ifrs qu pu tr l l 9; l B vrí l 7 l y l C vrí l l 0. El máim úmr ifrs qu pu tr ) 6 ) 8 ) 60 ) 6 ) 8 B C s :. El úmr ifrs s l l B y l uárupl C. Si D ti ifrs, uáts ifrs pu tr : D R? B C ) ) 8 ) ) ) 6. Etrr u úmr tr tl qu l iviirl tr 8 j m rst pr ft l upl l it pr s y m rst pr s, l tripl l it pr ft. ) 6 ) 6 ) 0 ) 6 ) 7. l iviir u úmr ifrs tr tr s ifrs, s ti it y rsiu. S ls tm l mplmt ritméti y s ls vulv iviir, st vz s ti 7 it y 9 rsiu. Hllr l sum ls ifrs l ivi y l ivisr. ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 8. E u ivisió tr l it pr ft s 9, ls rsius pr ft y pr s s iguls y l sum l ivi y ivisr s 0. Hllr l ivi. ) 90 ) 0 ) 80 ) 70 ) 60

130 9. S ivi 86 tr 0. S ti 8 it y m rsiu 67. Dr ( - ) ) 6 ) ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) 0. El ivi u ivisió trmi 0 y l it s 6. Si l rsiu s máim, Cuál s l sum ls ifrs l ivisr si ti ifrs? ) ( )( ) ) ) 8 ) 0 ) ) 9. Hllr l sum ts ls úmrs ifrs uy sum ifrs s 07. Dé m rspust l sum ls ifrs l rsult. ) 69 ) 8 ) 9 ) 97 ) 96. S : 00 Clul : ( ) Dr l sum sus ifrs. ) 7 ) 6 ) ) 8 ) 9. Hllr l mi rmói ls siguits úmrs. 8 ; 70 ; 0 ; 08 ;... ("" térmis) Si qu l sum sts s 0. ) 6 ) 06 ) 60 ) 00 ) 0. E u prgrsió ritméti, ls lmts ls lugrs j, k y (j + k) s tls, qu l sum ls primrs s igul l últim ms. Si l sum ls primrs s, hllr l rzó l prgrsió. ) ) ) (j k ) ( ) (j k ) ( ) (j k ) ) ) ( ) (j k ) ( (j ) k). Clulr l sum ts ls úmrs trs trs ifrs l s "" qu us su ifr máim. 6. Si : D ifr s u vlr pr. Dtrmi l vlr : +, si ltrs istits tm vlrs ifrts. ) ) 8 ) 6 ) 0 ) 7. Si qu : Si : sm () m9 ; = C rmst () 6p () Clul : = m + + r + s + t + p + + ) ) 7 ) 6 ) 8 ) 9 8. Cuál s l máim vlr qu pu tmr "S" l sistm iml? S () () 7 () 9 (6) Dr m rspust l sum ifrs l rsult. ) ) ) 8 ) ) 6 9. E u susió úmrs trs sutivs y psitivs, l sum ls urs ls primrs s igul l sum ls urs ls últims, ts l sgu térmi l susió s : ) 8 ) 9 ) 0 ) ) 0. Dtrmir l sum l rzó y l úmr térmis l siguit prgrsió ritméti : ; ; B ;... ; C ; D ; f (k) térmis Si qu : + B + C + D = 966 más l sum térmis s 990 y f = ) 6 ) 6 ) 67 ) 69 ) 7...

131 . Si : Y l prut pr ti m sum ifrs, más,,, s ifrs sigifitivs ( < ) Hllr : + ) ) ) ) ) 0. Hllr ts ls úmrs ifrs tls qu multiplis pr su mplmt ritméti, l prut trmi 8. Dr m rspust l sum ifrs l sum ls úmrs ifrs. ) ) 6 ) 7 ) 8 ). Us ls ígits ; ; ;, ; 6 ; 7 ; 8 y 9 (u vz u) frm s úmrs tls qu su prut s l myr psil. Cuál s l sum ls ifrs st prut? ) 6 ) 0 ) ) 9 ). S N u úmr trs ifrs tl qu l C(N) ti ifrs, si más : C(N) N 7 Clulr : + + ) ) ) ) 8 ) 0. l iviir l úmr 77 tr y s ti u it s ifrs iguls y más, z7 rsiu. Hllr ( + y+ z + w) si "w" u ls ifrs l it y l ivi l myr psil. ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 6. l iviir u úmr ifrs tr l C su C s tuv u rsiu pr s igul, y u rsiu pr ft myr qu 0. Hllr l sum ls ifrs l úmr. ) ) 6 ) ) 7 ) 8 7. S ls úmrs, y r trs. l iviir ( + ) tr, s ti m it r y m rst r. Si > r y s prim mr 0. Ets s igul : ) ) ) ) ) 7 8. Hllr l vlr ( + ) si l iviir tr rsult m it y m rsiu. ) 9 ) 0 ) ) ) 9. Ti ut qu = + y qu l iviir tr ls rsius susivs s y. Hllr l sum ls psils its. ) ) 7 ) 9 ) 7 ) l rlizr l ivisió tr s úmrs trs, s srv qu ls rsius pr ft y pr s s mr y rm rsptivmt; uy ifri s. Dtrmi l mr vlr psil l ivi, si l it pr s s igul l C l it pr ft umt u. ) 670 ) ) 9 ) 7 ) 67

132 Clvs Clvs

133 Cpítul TEORÍ DEL DIVISIBILIDD INTRODUCCIÓN L ivisiili uméri pu rlizrs ls turls, trs, rils..., s pr ll qu prst istits grs ifiult y qu muhs pts rrsp u ritméti Suprir, llm Trí Númrs, l ul s prí ir surg s Eulis (lgritm pr MCD); rmt, Eulr, Lgr, Guss, qu su prt (Disusis ritmétis) triuy l riquimit ih trí; llg lug trs mtmátis m Dirihlt, Krkr, Rim, Dki, tr trs qu sigu prt y mustr l imprti qu hr ti ih trí. Nstrs s limitrms trjr l jut uméri ls trs. Sms qu l sum, ifri y prut s úmrs trs s simpr tr, s ir, ls pris iió, Sustrió y Multipliió s rrs Z. Pr l it s trs pu sr tr, s h sri hlr úmrs ivisils y ivisils. NÚMEROS DIVISIBLES: Ds úmrs trs y s ivisils si: 0 : tr Pr ivisió tr > 0, ts ivisió s ti: E l ul irms qu "" trms: Tmié s utiliz ls tis: = m Z (móul); l s múltipl "" y l Si s ivisil tr, s pu ir qu "" ivi "" st s t: Tmié irms 9 s ivisil tr prqu prqu 9 7. = K Etr 0 ; ; ;... ; ;... NÚMEROS NO DIVISIBLES: y s ivisils si l ivisió pr s it. 7 7 = 7 + = 7 PRINCIPIOS DE L DIVISIBILIDD: I. OPERCIONES CON MÚLTIPLOS II. Si : N.. K 6. (k 7 K K +r Z ( k Z ) (k Z ) r N ; r r r N ;... ; MCM(,,..., w) N ) K +r K w ts: III. S B ; si y ti ivisrs mus, pt l ui (prims tr sí) ts: B ECUCIÓN DIOÁNTIC LINEL : Es u uió lgrái uys vrils s trs: By =C

134 Rslvr N 87 + y = 90 Cuáts úmrs turls s pu tr m 8 + y, y s s úmrs trs gtivs? Rpt: ó 0 RESTOS POTENCILES: S ls ivrss rsius qu s ti l iviir ls ifrts ptis u mism s tr u irt úmr llm móul Clul ls rsts ptils l s 0, rspt l móul 7. f f r N r f + + f 6 Osrvms qu: 0 7 y qu ttl hy 6 rsius ifrts: { ; ; ; ; } ih ti s l llm gussi. gussi 0 7 Cuál s l rst iviir Cuál s l rst iviir 7 0 tr 7? 07 6 tr 8? (0) (0) (0) (0) = = 99 COMPLEMENTOS DIVISIBILIDD IS EN OTR BSE: () k ; pr rsts ptils: 0 Bs :... Móul k : r r r r... Ets s umpl: tr? Cuál s l rst iviir TRILCE r r r r k CRITERIOS DE L DIVISIBILIDD: S irts rgls prátis qu plis ls ifrs u umrl prmit trmir su ivisiili rspt u irt úmr. DIVISIBILIDD POR ( + ) EN BSE : + + () (+) = (+) PRINCIPLES CRITERIOS: 8 8 DIVISIBILIDD POR ( ) EN BSE : () ( ) = ( ) 9 9

135 PROPIEDD: EJEMPLO: 7 y s gruts rspt l móul prqu: NOTCIÓN S vrifi : 7 ; (m) (m m) m CONGRUENCI: Ds úmrs y s gruts rspt l móul m si l iviir y tr m l rst s l mism.

136 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. El úmr trs ivisils pr y pr 7 qu hy tr 00 y 0 s: ) 8 ) 9 ) ) 6 ) 7 0. Cuáts úmrs ifrs, qu s imprs y múltipls ist l sistm iml? ) 90 ) 80 ) 00 ) 0 ) Si l ur u úmr s ígits s l rst l ur l úmr frm pr ls s ígits r ivrti, l rsult s ivisil pr: ) 7. ) El prut ls ígits. ) L sum ls urs ls ígits. ) L ifri ls ígits. ). 0. U úmr 6 ifrs s stitui rpiti tr úmr ifrs. Ets pms firmr qu ih úmr 6 ifrs s simpr ivisil tr ls úmrs: ) 7, 9, 7 ),, 7 ), 7, 9 ) 7,, 7 ) 7,, 0. E u st hy tr 0 y 60 huvs. Si ls ut tmáls trs trs m sr s; pr si ls ut tmáls i i m sr. Cuáts huvs hy l st? 08. L sum ts ls úmrs prs mrs qu 00 y múltipls s: ) 000 ) 00 ) 90 ) 988 ) Cuál s l rst iviir tr 8? ) ) ) ) ) 6 0. Cuál s l sum ls ifrs qu sustituir l y l úmr 0 pr qu s ivisil pr 7? ) ) ) ) ) 6. U úmr trs ifrs s ivisil pr 8, si s ivirt l r sus ifrs s ivisil pr ; más si s suprim l ifr uis, ls ifrs rstts frm u múltipl 7. L sum ls ifrs ih úmr s: ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). S ti irt úmr N, l ul s s qu l iviirl tr,,, 6 y 9 j rsiu. Pr l iviirl tr 7 j rsiu 0. Hllr l sum ifrs l mr úmr qu umpl tl iió. ) ) 9 ) 7 ) 6 ) E u fuió i, tr ults, jóvs y iñs sum 8 prss. Ls ls jóvs s mujrs. L ti ults s igul l séptim prt l ti jóvs. Sms qu l ti iñs s mr qu l ults y qu l trr prt ls jóvs llgr tr. Etrr l ti iñs. ) 8 ) ) ) ) u vt prtiv sistir l más 00 prss. Si s srv qu l quit prt ls sñrs m hl, ls sñrs rprst l tv prt ls sñrs y ls iñs rprst l trr prt ls sñrs. Hll uáts iñs sistir. ) ) 0 ) ) 0 ) 0 ) 0 ) ) ) ). u úmr ígits sus últims ifrs s iguls s l h rst tr, qu s tuv l ivrtir l r ls ifrs l primr. Si l ifri s múltipl 7, hllr l ifri. ) 777 ) ) ) 66 ) 699. L ifr ls uis l úmr 0 s: ) ) ) ) ). Dtrmir l sum ts ls úmrs i ifrs l frm 7 m qu s ivisils pr y 9. ) 8 ) 86 ) 8 ) 8 ) 8

137 6. Si: s u úmr tr, ts ( ) simpr s ivisil pr: ) ) 8 ) y ) ) 7. E l sistm s 7 l ifr ls uis ( 9) s: ) ) ) ) ) 6 8. u úmr trs ifrs múltipl 6, s l grg u y s virt múltipl 7 y si s l grg u ui más, s virt múltipl 8. Hllr l sum sus ifrs. ) ) 0 ) 6 ) 6 ) 7 9. U mpñí viió mpr vits pr 6, mills uvs sls. Ls vits qu mpr s l tip u pri, mills, l tip B u pri, mills y l tip C,8 mills. Cuáts vits mpró tip? ) ; ; 0 ) ; 7 ; ) ; 6 ; ) 7 ; ; ) 8 ; ; 0. S virt l sistm umrió s 7 l 09 úmr. Cuál srá su ifr uis ih s?. Cuáts úmrs ifrs, qu s ivisils tr, m rsiu l sr iviis tr 7? ) 7 ) 8 ) 9 ) 0 ). Cuáts úmrs l frm 7? ) ) ) ) ) Más (8) s múltipls. Cuáts úmrs l frm s ivisils tr 8? ) ) 6 ) 8 ) 9 ) 7 6. L sum ls úmrs turls l l N rigi u. Si N ti ifrs, uál s l sum ifrs l mr vlr qu pu tmr ih sum? ) 0 ) ) ) 8 ) 7. Hllr l rst iviir ) ) ) ) ) 6 6 tr. 8. El úmr piss u ifii stá mpri tr 00 y 0. ih úmr, l flt u ui pr sr múltipl ; l flt 6 uis pr sr múltipl 8 y l sr pr sr múltipl 0. Cuál s l úmr piss? ) ) ) ) 6 ) 8 ) ) ) ) 07 ). Si : N = k, Clulr l mr vlr qu pu tr "N", si y k. Dr m rspust l sum ifrs "N". ) 6 ) 9 ) 0 ) ) 8 k 7 9. l iviir! tr, s ti 7 rsiu y l iviir 6! tr rsiu. Hllr l rsiu iviir 9! tr. ) 7 ) 8 ) ) 7 ) Hllr l rst iviir tr.. Dir uál ls uis s fls: ) p s pr p s múltipl. ) Nigu. ) p trmi r i p s múltipl. ) p y q prs p + q s pr. ) p s impr p s múltipl. ) ) ) ) ) 8. Si l umrl... ti 90 ifrs y s ivisil pr 9, hllr l myr vlr "". ) 7 ) 6 ) 9 ) ) 8

138 . U úmr ps 6 ifrs, l primr izquir rh s 8 y ls rstts s 6, Cuál srá l ifr ls uis l úmr quivlt él, s 7? ) 6 ) ) ) ). Si : N Tl qu : ; y Hllr l sum ifrs N. ) 0 ) ) ) 6 ) 8. Etrr l myr úmr ifrs qu l sr ivii tr 8; y 6 j s l máim rsiu psil. ) 867 ) 9876 ) 97 ) 997 ) Rspt uáts móuls, mrs qu 00, s igruts 0 y? ) 97 ) 9 ) 96 ) 90 ) 9 6. U lum rur qu s l úmr tlfói su mig. Tmié s ur qu s múltipl 7 y y ti rs. Dtrmi l sum ls ígits ih úmr tlfói. ) 9 ) 8 ) 7 ) 6 ) mm 7. Si: 89 Iiqu l sum ts ls vlrs qu tm mm ) 980 ) 960 ) 00 ) 060 ) Cuál s l mr úmr trs ifrs qu s igul 7 vs l sum sus ifrs? Dr m rspust l ifr ls s. ) ) ) ) 6 ) 8 9. Pr úmr turl "", fiims: U 6 8 6( ) 8 Ets l rsiu iviir U tr 6 s: Sugri: Csirr l prsió: U U ) ) ) 0 ) ) 0. Si qu N y más. Clulr l rsiu iviir E tr, si : E ) 0 ) ) ) ).... Pr qué vlrs, l prsió (múltipl )? ) ) ) ) ). D u jut úmrs trs psitivs srimt istits, s rliz ls siguits 0 pris: S srt l primr y s sum ls 9 rstts, s srt l sgu y s sum ls 9 rstts, y s sigu sí hst srtr l últim y sumr ls uv rstts, st mr s ti sól uv rsults istits, qu s: 86; 87; 88; 89; 90; 9; 9; 9; 96. Hllr ls iz úmrs iiils. Dr u sts. ) 0 ) ) ) 8 ) mpq. Si l úmr s prs s, Cuál s l sum sus últims ifrs? ) 6 ) ) 8 ) ) m. S s: pm Cuáts vlrs tm pm? ) 8 ) 90 ) 6 ) 99 ) 7. Si ls úmrs y p s múltipls, ts l prsió siguit: 8 p 8p p... p s: ) ) ) ) ) mm 6. Si: mm Cuáts vlrs pu sumir mm qu s múltipls pr 9? ) ) ) 6 ) ) 7 s

139 7. Hllr l myr úmr ifrs, tl qu s umpl qu 9 7 Y r m rspust l sum sus ifrs. ) ) ) ) ) 6 8. U úmr M 8 s ivi tr N 6 y s ti u it trs ifrs C 6 y u rst R =. Cuáts vlrs psils pu tmr l it? ) 0 ) ) ) ) 9. U irt úmr s u pti y 68. Hllr l sum ifrs ls vlrs qu pu tmr l ifr ls s l pt. ) 0 ) ) 0 ) ) 0 y y 0. Si: y ; y6 0 y, hllr l máim vlr : + y ) ) ) ) 7 ). Clul l rst N tr 7 : X más, s s qu s ivisil pr 7. ) ) ) ) 6 ) Si: yzw(7) Hllr: + y + z + w ) 7 ) 6 ) ) ). Si: s ivisil pr 7. Clulr l rsiu l iviir. UNI98 (...) tr 8 ifrs ) 0 ) 8 ) 7 ) 9 ) 7. Cuál s l jut ts ls úmrs tls qu l prsió f() s ivisil tr 7? ) { Z / } ) { Z / 7} ) ) { Z / 0} ) {,,,,, 6, 7,..., 6, 7}. S s qu l umrl mpq, tmié qm mqpp s múltipl "k", "k" s l ti úmrs ifrs qu s 8, tls qu l sumrls s virt. Dr m rspust l sum ls vlrs qu tm "". ) 7 ) ) 0 ) ) 6 6. D ls úmrs ifrs qu s múltipls 9, uáts hy qu ti ts sus ifrs sigifitivs y istits tr sí? ) 6 ) 08 ) 6 ) ) 8 7. Hllr l umrl ifrs qu s igul vs l prut sus ifrs. Dr l sum sus ifrs. ) 8 ) 7 ) 6 ) ) 9 8. Cuáts úmrs trs ifrs mu ist, tl qu l ñir u ui l prut frm pr sus s grups ifrs sutivs m y u, s tg l úmr ivrti, s ir: u um? ) 6 ) ) ) ) 9. Hllr l sum ts ls úmrs gtivs qu s pu tr l prsió : E = 6 +, y s úmrs trs gtivs. ) 70 ) 80 ) 60 ) 0 ) Hllr l sum ifrs l rsiu qu s ti l iviir (78!) tr 8. ) ) ) 6 ) 0 ) 7 y

140 Clvs Clvs

141 Cpítul 6 NÚMEROS PRIMOS INTRODUCCIÓN g prfsió, mtmáti fii, ió l iu Bumt-Lmg l 7 gst l 60. Pirr rmt hiz imprtts prts l mtmáti, m pr jmpl Gmtrí líti. El álul prilis, l álul ifiitsiml y l ritméti. Sus ivstigis s, fumtlmt, i l itrmi ts qu mtuv mtmátis l ép, tls m Blis Psl (6-66); Ré Dsrts (96-60); M. Mrs tr trs. C str u rt irigi Pirr Crvi (600-68) l qu p sumrimt l qu l - sir imprtt, m pr jmpl l mét l "ss ifiit". E 679, su hij myr Clmt-Smul rpiló y pulió sus rs y rts su pr. E l pi Bht l lir Dift, l prt l mism s plt l prlm hllr urs qu s sums s urs, rmt sriió. Simólimt, s prpsiió, hy llm EL ÚLTIMO TEOREM DE ERMT stl qu si "" s u úmr turl myr qu s, ist úmrs turls, y, z qu stisf l uió : y z Pirr rmt fllió l iu Cstrs l r 66. CL SIICCIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS l sirr ls trs psitivs, srvms qu l ui s l úi úmr qu ti u sl ivisr, ls más úmrs ti s más ivisrs; sgú st rms ls siguits fiiis:. NÚMERO PRIMO: Es qul úmr tr psitiv qu ps sól s ivisrs: l ui y l mism úmr. Ejm pl: s u úmr prim i qu ti sól s ivisrs: y. S úmrs prims: ; ; ; 7; ; ;.... NÚMERO COMPUESTO: Es qul úmr tr psitiv qu ti más s ivisrs. Ejm pl: 6 s u úmr mpust i qu ti más s ivisrs :,, y 6. Qu trui sñl:. NÚMERO SIMPLE: Es qul úmr tr psitiv qu ti más s ivisrs.. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ (PESI): S qulls qu ti m úi ivisr mú l ui. ihs úmrs, tmié s ls llm prims rltivs prims.. DIVISOR PROPIO: S ts ls ivisrs N, mrs qu N. Ejmpl: Ls ivisrs prpis s:,,, y 6.

142 PROPIEDDES * L susió úmrs prims s ifiit. * El úi úmr prim pr s. * Si N s u úmr prim myr qu, ts N s 6 * Vris úmrs sutivs s PESI. * Si u úmr prim slut stá ti u úmr mpust, ms s PESI. Ejriis:. Dmustr qu l susió úmrs prims s ifiit.. Dmustr qu l úi úmr prim pr s s.. Dmustr qu si N s u úmr prim myr qu, ts N s 6 ó 6. L sum s úmrs prims s 99, lul l myr.. vrigü qué s u úmr prft, u úmr ut, úmr ftus y úmrs migs. Trm umtl l ritméti: T úmr tr psitiv s pu smpr m l prut ptis sus ftrs prims, st smpsiió s úi y s m smpsiió ói. Ejmpl : Dsmpr óimt l úmr: Ejrii: Dmustr qu l smpsiió ói u úmr s úi. ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO ) Tl Divisrs: Ejmpl: Cfi l tl ivisrs 0. 0 * Cti Divisrs u Númr: m p S N l smpsiió ói N; pms lulr l ti ivisrs N si si hr l tl ivisrs, utiliz l siguit fórmul : CD(N) = (m + ) ( + ) (p + ) Ejm pl: Clul l ti ivisrs 0. 0 CD(0) ( Os. Tmié s umpl: )( )( ) 6 CD(N)=CD(prims)+CD(mpusts)+ * Sum ls Divisrs u Númr: SD(N) m p Ejm pl: Clul l sum ls ivisrs 0. SD(0) 0 * Prut ls Divisrs u Númr: PD(N) CD(N) N 60 Ejm pl: Clul l prut ls ivisrs 0 m CD(0) = 6. PD(0) Divisrs * Sum ls ivrss ls ivisrs N: SID(N) SD(N) N Ls ivisrs 0 s :,,,,, 6, 8, 0,,, 0,, 0, 0, 60, 0. 0 ti 6 ivisrs.

143 Ejm pl: Clul l sum ls ivrss ls ivisrs 0. SID(0) SD(0) TEOREMS DICIONLES TEOREM DE WILSON: Si p s u úmr prim. (p )! = p INDICDOR DE UN NÚMERO O UNCIÓN EULER Ejm pl: (N) ( )! L ti úmrs mrs iguls qu N y PESI N s pu lulr utiliz l prsió : m p ( ) ( ) ( ) (N) qu tmié s pu sriir : (N) m p Ejm pl: Cuáts úmrs mrs iguls qu s prims rltivs? úmrs Est ti s pu lulr us l fuió Eulr. Cm: tmié: Ejriis: () (),, 7, ( ) ( ) TEOREM DE EULER: Si y s PESI: Ejm pl: S = y = 8 S umpl: () (8) TEOREM DE ERMT: Si y p s PESI y p s u úmr prim. 8 8 p = p + Ejmpl: S = y p = s umpl: Ejriis:. Dmustr l Trm rmt.. Dmustr l Trm Wils.. Dmustr qu: si p s prim p p p p (...) p... D:,,,... s úmrs trs psitivs.. Cuáts fris prpis irrutils mir 0 ist? Rpt:. Dmustr u fórmul pr sumr ts ls úmrs mrs iguls qu N qu s prims rltivs N.. Hllr l sum ts ls fris prpis irrutils uy mir s 600. Rpt: 80

144 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Cuáts ivisrs ti 60? ) 6 ) ) 0 ) 0 ) Dig U., Cuáts ls siguits úmrs s prims sluts s 7? ; ; 6 ; (7) (7) (7) (7) 0. L sum ls ftrs prims 96 s: ) ) 9 ) ) 8 ) 0. Cuáts ivisrs imprs ti 98000? ) 0 ) ) 6 ) 8 ) 0. Cuáts ivisrs 0 s múltipls 6? ) ) 8 ) ) ) 6 0. Cuáts ivisrs ti l úmr ivisrs l ur 86000? ) ) 0 ) 8 ) 6 ) ) 0 ) ) ) ) 0. El úmr ivisrs prims qu ti 6008 s: ) 6 ) ) ) ) 7. Hllr l sum ls ivisrs 680 qu s prims. ) 7 ) 0 ) 89 ) 90 ) 8. Hllr l vlr pr qu l úmr ivisrs N 0 s l l l úmr ivisrs M 8. ) ) 6 ) 7 ) 8 ) Cuáts ivisrs prims ti l úmr, si s u úmr prim myr qu 7? ) ) ) ) 6 ) 7. Clul "" si: K 8, ti ivisrs mpusts. ) ) ) ) ) 07. Si : 8 6 ti 77 ivisrs, hllr l vlr ".". ) 8 ) 6 ) 0 ) ) 08. Eutr u úmr si qu s l frm k 6 y más ti 8 ivisrs más qu l úmr 0. Dr l vlr k. ) 6 ) 8 ) 0 ) 9 ). Clulr l ti ivisrs!, qu s imprs myrs qu 0. ) 6 ) ) ) ). Hllr l mr múltipl 6, si qu ti ivisrs ms qu 800. Dr m rspust l sum sus ifrs. ) ) 8 ) 9 ) ) 0 6. Si N ti ivisrs y s ifrs, ts l sum sus ifrs s: ) ) ) ) 6 ) 8

145 7. Cuál s l mr úmr pr l qu s multiplir 68 pr tr 0 ivisrs? ) ) 7 ) 8 ) 6 ) 8. Cuáts ivisrs trá l úmr N, si: N B : B ) ) ( ) ) 8 ) ( ) ) ( ) 9. Si: (8) ; B 0(7) y l sum l ti ls ivisrs y B s. Hllr: ( ) ) 9 ) 6 ) 6 ) ) 6 0. Hllr l sum ls ifrs u úmr tr N, si qu mit sól ivisrs prims, qu l úmr sus ivisrs simpls y mpusts s 6 y l sum lls s 8. ) 9 ) ) 7 ) ) 6. Ls ivisrs prims u tr psitiv s y, l úmr ivisrs su ríz ur s y l úmr ivisrs su ur s 7. Cuáts tls ist? ) ) ) ) ) 0. El úmr s múltipl 69 y l s myr psil, uáts ivisrs ti? ) 0 ) ) 6 ) 0 ). Cuáts úmrs trs ist qu s prims rltivs 0 mrs qu ) 000 ) 000 ) 6000 ) 000 ) ? k k. El úmr N, ti 76 ivisrs qu s ivisils tr, Cuáts sus ivisrs s us prfts? ) 6 ) 7 ) 8 ) ). Cuáts triáguls isósls ti pr ár 096 m, si ls vlrs l s y ltur mis m, rspt l l sigul, úmrs trs? ) ) 0 ) 8 ) 6 ) 0 6. Si :, ti ivisrs múltipls, pr múltipls. Dtrmi l sum ls ivisrs prs ih úmr. ) 670 ) 970 ) 8680 ) 090 ) Si y B s úmrs qu mit ls misms ivisrs prims, si qu ti ivisrs y B ti 9 ivisrs. Cuáts ivisrs trá l MCD ) 0 ) 0 ) 00 ) ) 9 y B? 8. Luí s ut qu ls s sus prims hrms s úmrs prims qu s ifri ñs. más, si l prut ihs s l grg l ui, ti u úmr qu ti 8 ivisrs prpis y ivisrs simpls. Clulr l sum ts ls vlrs qu tm ihs s. S s qu ls prims hrms Luí ti ms ñs. ) 78 ) 9 ) ) 76 ) Clulr l sum ls urs ls ivisrs. ) 0 ) 808 ) 909 ) 000 ) 0 0. Si l úmr ivisrs 0 s 0, hllr l máim vlr " + ". ) 8 ) 9 ) ) 7 )

146 . Ds ls prpsiis: I. Si u jut úmrs hy pr l ms s úmrs prims, ts s u jut prims rltivs. II. rm u jut prims rltivs ls úmrs: ; ; ; y ( + ) III. El úmr N : (...) s prim si ; ; ;... s úmrs prims. Ls rsptivs vlrs vr s: ) VVV ) VV ) VV ) V ) 7. Cuáts úmrs ifrs s prims rltivs 6? ) 00 ) 0 ) 00 ) 600 ) 0 8. Dtrmir l vlr "" si: ivisrs qu s. ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 7 ti 8 m. Si l úmr: N stá sm-pust óimt y ti ivisrs, lulr uáts vlrs pu ptr m. ) ) ) ) ) 6. El úmr N, ti ivisrs más qu l úmr M. Hllr l ifri ls úmrs, iir l sum ifrs l rsult. ) ) 9 ) ) ) 7. Iir "V" "". I. s prim, Z,. II. El ivisr mr, istit l ui, u tr myr qu l ui, s u úmr prim. III. S "" l mr ivisr u úmr mpust N, ts N. ) ) VV ) V ) V ) VVV. Lur s sr uáts úmrs qu tg l más i ifrs ist, tl qu umpl qu l sum sus ifrs s 8 y tg ivisrs. 9. l prsr 888 s "" su últim ifr fu 9, Cuáts vlrs tm ""? ) 6 ) 8 ) ) 8 ) 0. U úmr ti ivisrs prims y ivisrs mpusts. Si l sum ts sus ivisrs s 0, trmir l mi rmói ts sus ivisrs. ), ),6 ), ),8 ),0. S p, q y r trs, y ifrs rsptivmt, qu s prims sluts y stá prgrsió ritméti rzó t, si r l mr prim slut ifrs. Cuáts ivisrs ti t? ) 8 ) 0 ) ) ) 6. E l ñ 6, l élr mtmáti Trtgli firm qu ls sums: ++; +++8; ;... s ltrmt úmrs prims y mpusts. Cuál s l primr úmr st sri qu ur sr prim? Iiqu l sum ls ifrs. ) ) ) 6 ) 7 ) 8 ) ) 9 ) 7 ) ) 6. Cuáts ls ivisrs l úmr s urs prfts? ) 7 ) 6 ) ) 8 ) 8 6. Ls s ls prfsrs Crrz, Lu y Pizrr s, y ñs, rsptivmt. Dihs s ti, 8 y 6 ivisrs; y s prims; más ti tts ivisrs mus y. Iiqu, uáts ñs l llv l prfsr Crrz l prfsr Pizrr? ) ) 8 ) ) 6 )

147 . Si y B s úmrs qu mit ls misms ivisrs prims, si qu ti ivisrs y B ti 9 ivisrs. Clulr uáts ivisrs mpusts trá (Csirr qu y B s míims) ) ) ) 9 ) ) 0 B.. Si qu s 8 y más qu k ps ivisrs qu trmi u r. Hllr l vlr "k" ) ) ) ) ) 6. Iir: ( + ) si qu l úmr N ti 0 ivisrs, y s ifrs sigifitivs sutivs. ) ) ) 6 ) 7 ) 7. Hllr ls últims ifrs l prsr sistm sri. ) ) 6 ) ) 6 ) l y 8. S :. Si ps 8 ivisrs múltipls y 9 ivisrs múltipls. Clul: (y y) ) ) 6 ) 0 ) ) Si l úmr tr: N l sr ivii tr 6 j m rsiu. Dtrmir l mr vlr qu tm ; iir su ti ivisrs prpis. ) ) ) 7 ) 0 ) 0. Hllr uáts rs trmi (!) srit l sistm umrió s 6. ) (6) ) (6) ) (6) ) (6) ) 6 (6) 7. Si l úmr 7 ti ivisrs prims 0, hllr l vlr "" ) ) ) ) ). vrigur uáts rs trmi 00! ) ) ) 00 ) 00 ) Dtrmir l umrl l frm: N B C (D, B y C s ftrs prims). Si qu l sum ivisrs s vs su ti ivisrs. más l iviir B tr s ti C it y rst máim, mi l iviir C tr 8 s tuv B it y rst míim. Dr m rspust l sum ifrs l umrl pi. ) ) ) ) 6 ) 9. Si m 0!!!, uáts rs trmi l myr! u s prs s 6? ) ) 0 ) ) ). Ds ls úmrs turls "m" y "", s umpl qu () "m" y "" s prims rltivs, ts m. Si ( ) l fuió Eulr l iir l úmr "". pli l rlió trir, hllr últims ifrs l srrll 96 prs s 7. ) ) 9 ) ) )

148 6. El máim úmr térmis u prgrsió ritméti rzó 0 uys térmis s ts úmrs prims s : ) 9 ) 0 ) ) ) 7. Si : mmmmm () más : N m p (Dsmpsiió ói) D: N ps 60 ivisrs uy sum ifrs s ivisil pr 9 y 80 ivisrs uy últim ifr s r. Clulr " + " ) 9 ) 0 ) ) ) 8. Si l umrl uáts rs trmi?. ( 999!) s sri s, 9. Clr "V" si s vrr "" si s fls sgú rrsp : I. Si mp s úmr prim, ts mp mp. II. Si N más N s l mr úmr prim ifrs, ts CD ( ). III. Etr 6 y 760 ist 0 úmrs PESI 7. ) VV ) V ) VVV ) V ) VV 60. Sms qu l úmr, uy smpsiió ói s ( < ) y sól ti ivisrs mus. Dtrmir l úmr vlrs "". ) ) ) ) ) ) 86 ) 80 ) 800 ) 80 ) 86

149 Clvs Clvs

150 Cpítul 7 MÁXIMOCOMÚN DIVISOR Y MÍNIMOCOMÚN MÚLTIPLO INTRODUCCIÓN l sirr l jut ls trs psitivs, u ls prts l Trí Númrs,, s l álul l M.C.D. y l M.C.M. vris úmrs. S s qu y ts ustr r, Eulis prt ( su r Elmts) l lgritm l ivisió qu s l tió l M.C.D. Est lgritm ti su pliió ls fris tius. NOCIONES PRELIMINRES I. DIVISOR COMÚN: S llm ivisr mú u jut úmrs trs, qul úmr tr psitiv qu s utr ti ts lls u ti tr y t vs. Ls ivisrs ; 8 y 0 s: D() = {; ; ; ; 6; } D(8) = {; ; ; 6 ; 9; 8} D(0) = {; ; ; ; 6; 0; ; 0} Cm U. srvrá ls ivisrs mus s: ; ; y 6 Ets llmrms Máim Cmú Divisr l myr ls ivisrs mus. E sui l M.C.D. (; 8; 0) = 6 * MCD : El Máim Cmú Divisr s más úmrs trs (pr l ms u istit r) umpl s iis. i) Es u ivisr mú psitiv. ii) Es l myr psil Ejmpls: M.C.D ( 8 ; ) = M.C.D ( 8 ;) = M.C.D (8 ; ) = M.C.D ( 8 ; ) = Os: * MCD(0 ; 0) ist * MCD ( ; 0) =, 0 Trm: Si y s trs, ms r, ts l MCD y s l mr tr psitiv qu pu sr prs m u fuió lil hmgé y. MCD ( ; ) = + y D :, y trs. IMPORTNTE: S y B s trs si l M.C.D (;B) = Ets: B II. MÚLTIPLO COMÚN: Es qul tr qu ti tr u úmr tr y t vs. Ls múltipls psitivs 6 y 9 s: 6 6; ; 8; ; 0; 6; ; 8; 7; 6; ;...

151 Ls múltipls mus 6 y 9 s: { 8; 6; ;...} Ets s llm Míim Cmú Múltipl l mr ls múltipls mus psitivs. E sui l M.C.M (6 ; 9) = 8 NOT: * Ls ivisrs l M.C.D. vris úmrs, s ls ivisrs mus sts úmrs. * Ls múltipls mus vris úmrs, s ls múltipls l M.C.M. qulls úmrs. EJERCICIOS DE PLICCIÓN. Clul ( + + ) si l M.C.D. 7 y s 99.. Cuáts úmrs ifrs s ivisils tr 8 y tr simultámt? MÉTODOS PR CLCULR EL M.C.D. Y M.C.M.. Pr smpsiió simultá S l ls úmrs u l rh l tr y lug s trz u lí vrtil, mz trr ls ftrs prims mus, u ls úmrs tg ftrs mus, s, s P.E.S.I. l prut ihs ftrs mus srá l M.C.D. Pr l M.C.M. s sigu try ls ftrs mus hst qu qu l ui y l prut ls ftrs prims mus y mus srá l M.C.M. Clul l M.C.D. y M.C.M. ls úmrs 0; 76 y 00.. Pr smpsiió ói: El M.C.D. vris úmrs vi sr l prut ls ftrs prims mus lvs su mr pt; mitrs qu l M.C.M. vi sr l prut ls ftrs prims mus y mus lvs su myr pt. r q q q q q Cits B r r r r M.C.D r r 0 Rsius Clul l M.C.D. : ) 0 y 0 ) 779 y 9 PROPIEDDES DEL M.C.D Y M.C.M. Si vris úmrs s P.E.S.I. l M.C.D. lls s igul l ui.. Si vris úmrs ls multiplims iviims pr u mism úmr tr, l M.C.D. y l M.C.M. lls qurá multiplis iviis pr ih tr.. Si vris úmrs ls iviims tr su M.C.D. ls its tis srá P.E.S.I.. El prut úmrs srá simpr igul l prut l M.C.D. y l M.C.M. qulls úmrs.. Si u jut trs s rmplz s más lls pr su M.C.D. su M.C.M. ts l M.C.D. l M.C.M. l jut ihs trs s ltr. 6. Si u úmr s múltipl trs, srá múltipl l M.C.M. qulls úmrs. 7. Si l M.C.D.(, ) = y l M.C.M.(, ) = m ts l MCD (, ) y l MCM (, ) m p q 8. S ls úmrs N y M. MCD(p; q) Ets l MCD (N;M) Clul l M.C.D. y M.C.M. : B 8. Si M.C.D. ( ; 7B) =. Clulr l M.C.D. ( ; B). Pr ivisis susivs (lgritm Eulis) E t ivisió it l M.C.D. l ivi y l ivisr s umérimt igul l M.C.D. l ivisr y l rsiu qu rigi st ivisió: r B q M.C.D. (, B) = M.C.D. (B, r) Ds s trs y B > B. Si l M.C.M. úmrs PESI s 0; utr ls psils prjs úmrs qu umpl tl iió.. Clul l M.C.D. 80() y 80(). Eutr l sum ts ls úmrs ifrs mrs qu 600, tl qu s ( ) ; ( 7 6) y l vz.

152 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. L rzó tr l Máim Cmú Divisr 0 y y l Míim Cmú Múltipl, 8 y s: ) 7 ) ) ) 6 ) 8 7 ) 96 ) 8 ) 96 ) 6 ) Clulr l M.C.D. 7 y pr l lgritm Eulis, r m rspust l sum ls its tis. 0. Clulr l M.C.D. ) ) 0 ) 0 8 ) 80 y ) El úmr ivisrs mus ls úmrs: 7609 y 88 s: ) 0 ) ) ) 7 ) 8 0. S h ivii trs rrs r, 8 y 6 m trzs igul lgitu, si ést l myr psil. Cuáts trzs s h ti? ) 6 ) ) 8 ) 9 ) 8 0. S h ivii rrs firr 6 m, m, 8 m y 6 m prts igul lgitu. Si ést l myr psil, uáts trzs s h ti? ) ) ) 7 ) 0 ) 06. S trt frmr u u lrills uys imsis s 0 m, m y 6 m, Cuáts lrills s sris pr frmr l u más pquñ psil? ) 80 ) 0 ) 00 ) 60 ) S ti u trr trigulr uys ls s 00 m; 0 m y 60 m. S l sts l prímtr mtrs. Cuáts sts s l? ) 0 ) ) ) ) L sum s úmrs prs s 8. Si ls its susivs tis l hllr su M.C.D. fur, 6,, y ; hllr l ifri ihs úmrs. ) 8 ) 98 ) 96 ) 9 ) 6 0. El M.C.D. úmrs s 8 y ls its ls ivisis susivs pr tr ih M.C.D. s,,, y 7. Hllr ls úmrs. ) 6 y 8 ) 8 y 8 ) 96 y 76 ) 0 y 78 ) y 7. l lulr l M.C.D. y B mit l lgritm Eulis, s tuv m primrs rsius 90 y 6; si l sum ls its susivs fu 6. Dr l sum ts ls vlrs qu tm l myr ihs úmrs. ) 860 ) 90 ) 90 ) 660 ) 90. E l prs hllr l Máim Cmú Divisr s úmrs psitivs mit l lgritm Eulis, s ti m primr y trr rsius 8 y 6, rsptivmt. Si l sgu it s, ts l sum ls ifrs l mr ls úmrs s: ) 9 ) 8 ) ) ) 6. Clulr + +, si qu ls its tis l hllr l M.C.D. ( ) y ( ) pr l lgritm Eulis fur, y. ) 0 ) ) ) )

153 . l lulr l M.C.D. úmrs trs mit l lgritm Eulis, l sgu ivisió s rlizó pr s y ls its susivs fur ; ; ; y, rsptivmt. Hllr l sum ihs úmrs, si s l mr psil, si más qu l sum ls ivisrs l ifri ls primrs rsius s 80. ) 000 ) 6 ) 60 ) 0 ) 70. E u rrl hy irt úmr gllis qu ps 68 i j. Si ls gllis s m grups,, ó simpr sr ; pr si s m grups 7, sr. Cuáts gllis hy l rrl si s ñ 6 más? ) 6 ) 6 ) 6 ) 67 ) U úmr l iviirl pr 0 u rsiu 9, u s ivi pr 9 u rsiu 8, u s ivi pr 8 u rsiu 7,..., t. y u s ivi pr u rsiu, l úmr s: ) 9 ) 9 ) 9 ) 9 ) 9 0. S N l myr úmr ifrs qu l iviirl pr, 6, 9, y s ti rsts iguls. Lug, l sum ls ifrs N s: ) 7 ) 8 ) 0 ) ). L sum l M.C.D. y l M.C.M. s úmrs s 9 y l it l M.C.M. tr l M.C.D. s. Hllr l sum ls úmrs. ) ) ) 8 ) 8 ).L sum s úmrs trs s 6, l it tr sus M.C.M. y M.C.D. s 08, lug l ifri s : ) 0 ) 8 ) 77 ) 6 ) 8. Cuáts prs úmrs umpl qu su M.C.D. s 6 y qu su prut s 60? ) 8 ) 7 ) 9 ) 6 ) 7. y B s s úmrs ivisils pr 7 tls qu l iviirls tr,,, ó 6 s ti simpr rsiu. Si s l mr úmr y B l myr úmr mr qu 000, ts l vlr + B s: ) 8 ) ) 78 ) 0 ) Si N s l mr umrl psil tl qu l prsrl s 7 trmi y l prsrl s trmi, lulr l sum ifrs N prs s 6 si qu trmi. ) ) ) ) ) 6 9. Trs vis, B y C prt u s ls 8 hrs. Si rgrs hr y urt; B, hr y C, 0 miuts, s rtrrá pr primr vz l s ls: ) 7h 0' ) 8h 0' ) h 0' ) 7h 0' ) 6h 0'. Jvir l i T, l M.C.M. ustrs s s l l mi y l M.C.D. ustrs s s l trr prt mi. Si y í ñs ts qu tú, uál s mi? ) ) 7 ) 6 ) 60 ). El M.C.M. s úmrs s 60. Si su prut s 780, uál s su M.C.D.? ) ) ) 6 ) 0 ) 9 6. Hllr l ifri úmrs trs si qu su M.C.D. s 8 y qu su sum s 88. ) 96 ) 9 ) 0 ) 88 ) 7. S y B s úmrs trs uy M.C.D. s y l ifri sus urs s Hllr: B ) 6 ) 0 ) 6 ) ) 60

154 8. Hllr l sum úmrs, si qu ms ti ifrs y ftrs prims, y qu más l ifri tr su M.C.M. y su M.C.D. s. ) 99 ) 0 ) ) ) 6 9. Clulr l sum ls ifrs l sum y B; si: B 00 y l M.C.M.( ; B) = 97. ) ) ) 9 ) 0 ) 0. El M.C.M. ls úmrs y s 88, si 000, l vlr ( + ) s: ) 66 ) ) 9 ) 8 ) 8. El M.C.D. (k + ), (k + 7) y (k + ) s 6k -, ts l M.C.M. (k + 8) y (k + ) s: ) 6 ) 0 ) 0 ) ) 8. Ds úmrs, B y C. S s qu l M.C.D.(;B)=0 y M.C.D.(B;C)=98. Cuál s l M.C.D., B y C? ) ) 6 ) ) ) 0. El prut s úmrs trs psitivs s 60. L sum ls its tis l iviir u lls pr su Máim Cmú Divisr s 7, y l prut sts its s 0. Ets, l vlr slut l ifri sts úmrs s: ) ) ) 8 ) 8 ). S M l M.C.M. y. M Si : 0 Clulr: M. M ; ) 0 ) 670 ) 770 ) 7700 ) 770 y l M.C.D 7 y 7 s 80.. l smpr sus ftrs ls úmrs y B s prs m: ; B Si qu su M.C.M y su M.C.D s 67 y, rsptivmt. Hllr: + B. ) 70 ) 80 ) 6 ) 68 ) S y B s úmrs qu gur u rlió Si l M.C.D. s 9, trmi l ifri ihs úmrs. ) 8 ) 9 ) 0 ) ) 7. El M.C.D. ls úmrs y s ( ). Lug l vlr () s: ) 0 ) ) ) ) 8. S N u úmr tr psitiv tl qu M.C.D. N ; N ; N 7 Ets l sum ls ifrs N s: ) 9 ) 0 ) ) ) 9. Hllr K si qu: M.C.D. (0K ; 00K ; 0K) = 00 ) 6 ) ) 0 ) 0 ) Hllr l myr ftr mú ls úmrs: 0 (6 ) ; (6 ) y (6 ) ) ) ) ) ). Hllr l myr úmr ifrs tl qu l sr prs ls sistms umrió ss ; y 7 sus últims ifrs fur: 0; y 6 rsptivmt. E qué ifr trmi si s prs s? ) ) 8 ) ) 6 ) 9

155 . S: M.C.M.[ ; ] 6 ifrs 7 0 ifrs 7 Hllr l últim ifr. ) ) ) 6 ) 0 ) 8. Cuáts ivisrs ti N, si qu l mr múltipl mú N, N+, N s 6? ) ) ) 6 ) 8 ). Si: = M.C.M. (70! ; 7! ; 7! ;... ; 90!) B M.C.D.(86! ; 87! ; 88! ;...) úmrs Clul uáts ifrs r trmi ) 80 ) 8 ) 86 ) 8 ) 87 B s 6.. Clulr l M.C.D. ( ) y ( ), si qu: 0 M.C.D. (, ) =. + = M. C. D. ( ; ) 9. Si: M.C.D. (B ; C) = Hllr: + B + C. ) 87 ) 6 ) 70 ) ) 0 M.C.D. ( ; 7B) = 0 M.C.D. (7 ; B) = 0 Clulr: + B. Si qu y B s ls míims psils. ) 0 ) 60 ) 80 ) 6 ) Si: M.C.D. ; 8 (6) (9) Hllr: M.C.D.( ) ;( má ) ) ) ) ) ) mí ) 6 ) ) ) 0 ) 6. Etrr l sum ifrs l mr vlr "N", si qu l M.C.D. y N s 9. más s s qu: N 90 ) 7 ) 0 ) ) 9 ) 7. Si: ; B ifrs (8) 8. Si: ifrs (8) Hllr l últim ifr l M.C.M. ( ; B) srit s 7. ) ) ) ) 7 ) 6. S tm l zr u úmr turl tr y 00. Cuál s l prili tr l vlr más prl l M.C.D. ( ; )? ) 0, ) 0,67 ) 0,7 ) 0, ) 0,. E qué ifr trmi l M.C.M. l vrtirl l s. ) ) ) 6 ) 0 )!!! y 0. Si: M.C.D. 8 ; yy8 ; 9, Cuáts ivisrs ti, tl qu s múltipls +? ) ) ) ) 6 ) 7 M.C.M. ( ; B ; C) = 0 M.C.D. ( ; B) = y

156 . Si: B 6 0 ( ) sums 6 sums más: M.C.M. ( ; B) = 7 Clulr l úmr ivisrs mus qu ti 9 y 80. ) 8 ) 8 ) 0 ) ). Clulr l M.C.M. : ( )( )( ) y ( )( ) Si qu s prims tr sí. S s más qu l sum ls its susivs qu s tuv l lulr l M.C.D. ms úmrs s. ) 90 ) ) 60 ) 90 ) 6 6. Si qu: 7. El úmr ti ivisrs y l úmr B ti 0 ivisrs. Si l Máim Cmú Divisr y B s 8, ts + B s: ) 6 ) 78 ) 76 ) 79 ) L ifri tr l M.C.M. y M.C.D úmrs s 897, y ls ifris tr l myr y l itrmi, y l myr y l mr s 6 y 6, rsptivmt. Dtrmi l myr ls úmrs. ) ) ) 7 ) 79 ) 9 9. El M.C.M. úmrs s múltipl y ti 8 ivisrs, más multipli pr 0 s mr qu 96. Si l M.C.D. ls úmrs ti 9 ivisrs. Dr l ifri ls úmrs. ) 6 ) 60 ) 6 ) 96 ) El M.C.M. u piú ifrs y l úmr N s igul l M.C.M. ih piú y 7N. Dr l sum ts ls vlrs qu pu tmr ih piú. M.C.D.!; ( )! + B + C + D = B C D ) 0 ) ) 9700 ) 000 ) 60 Hllr l M.C.M ( ; B ; C ; D). ) ) ) ) ) 6

157 Clvs Clvs

158 Cpítul 8 RCCIONES INTRODUCCIÓN Y hms vist ivisió t pr úmrs trs, l iió sri pr qu l ivi s múltipl l ivisr. Pr l s istir ivisis m: ( ) ( ), ls mtmátis trtr sluirls r u uv ls úmrs, llms úmrs friris. Nustr sritur iml s sui irt l utilizió ls fris imls (mir pti 0) uy fsr fu ris Vit (0-60), uqu fu Simó Stvi qui 8 plió t tll y mr muy lmtl l utilizió ls fris imls. E 66, u r l sés Jh Npir, ls úmrs imls pr tl m l sriims hy, put iml pr sprr l prt tr l iml, uqu lgus píss l m s sustituy pr l put. NÚMERO RCIONL Es qul úmr qu pu prsrs m: * Z Z. El jut ls úmrs rils s t l ltr Q. Ejmpls: Q / Z * Z * ; Z ; ;, ; ; Ejrii: Dmustr qu Z s ril. NÚMERO RCCIONRIO Es qul úmr ril qu s tr. Ejmpls: ; ; ; ;... 7 {0} RCCIÓN U frió s u úmr friri térmis psitivs. Ejmpls: 7 ; ; ;

159 CLSIICCIÓN DE LS RCCIONES S l frió f (B 0) B Rur y B Z I. Pr l mprió sus térmis: ) Prpi: B s prpi < B Su vlr s mr qu l ui Ejmpls: 7 ; 000 ; 97 ) Imprpi: s imprpi > B B Su vlr s myr qu l ui. Ejmpls: Osrvió: 8 ; ; 7 U frió imprpi pu vrtirs úmr B mit ftu l ivisió tr: r Ejm pl: B q Prqu : 7 T úmr mit q r B L úmr mit s : q r B s 7 7 q r s pu prsr m : B q r B II. Pr su mir: q ) Diml: Cu l mir s u pti 0. Ejmpls: 00 r B 8 ; ; ) Oriri: Cu l mir s u pti 0. III. Pr grups fris: ) Hmgés: Cu ts ls fris u grup ti l mism mir. Ejm pl: 9 Ls fris ; ; s hmgés ) Htrgés: Cu ts ls fris u grup ti l mism mir. Ejmpls: 7 ; ; 8 6 IV. Pr ls ivisrs mus sus térmis: ) Rutils: PESI. Ejmpls: ) Irrutil: Ejmpls: s rutil B 0 80 ; ; 7 0 s irrutil B 7 6 ; ; RCCIONES EQUIVLENTES y B s y B s PESI. S qulls fris qu ti l mism vlr; pr jmpl: < > Simplifiió u frió S f B Bu, primr lulms l M.C.D. y B ts: f I M.C.D.(, B) B M.C.D.(, B) q PESI Ejmpls: ; ; 7 6

160 S f p q pk f K Z qk mpliió u frió irrutil, l frió quivlt s ti: Ejrii: Otr ls fris quivlts uys térmis s mrs qu 000. PROPIEDDES 9, 7. Si ms térmis u frió prpi s l grg u mism ti psitiv, l frió rsultt s myr qu l rigil.. Si ms térmis u frió imprpi s l grg u mism ti psitiv, l frió rsultt s mr qu l rigil.. S f y f ts: i) f f ii) f f,, y Z. Si l sum s fris irrutils rsult u úmr tr, ts sus mirs s iguls. U prsió l frm:... RCCIONES CONTINUS s mi frió tiu. RCCIÓN CONTINU SIMPLE: Es qull frió tiu l frm:... L ul rprstrms m: Ejm pl: ; ; ;... s rprst [ ; ; ; ]. M.C.D. y M.C.M. pr fris S,, fris irrutils. f I. II. M.C.D. M.C.M. M.C.D.(,, ) M.C.M.(,, f) M.C.M.(,, ) M.C.D.(,, f) 7 Ejmpl : Eutr l M.C.D. y l M.C.M.,, 8 0 NÚMEROS DECIMLES Númrs imls s l prsió frm lil u frió, qu s ti ivii l umrr tr l mir u frió irrutil. sí, tms: * 0, 8 * 7 6, CLSES * 0, DE NÚMEROS DECIMLES Ls úmrs imls s lsifi grs grups: úmrs imls limits ts, ilimits its. Númr Diml D. Et D. It Priói Pur Priói Mit ) Diml Et Si l úmr ti u ti limit ifrs imls. Ejmpls: ) 0,8 ),7 ) 0, Orig: U frió irrutil rá rig u iml t u l mir sté frm pr sól ftrs, ftrs ms. Os.: El úmr ifrs imls u iml t strá pr l myr pt ó qu tg l mi-r l frió irrutil.

161 Ejmpls: D ls fris trirs tms qu s fris irrutils y más gr: 0 0,90 l mi r l ti (s uvs), ts ti s ifrs. "99" l pri 7 7 * 0, 8 ( ifrs imls) *, 7 ( ifrs imls) * 0, ( ifrs imls) 0 Cvrsió iml t frió: rió Grtriz L frió grtriz u iml t srá igul l úmr frm pr ls ifrs imls, ivii tr l ui, sgui tts rs m ifrs imls tg l úmr iml. Ejm pl: 0, 0000 ) Diml It S úmrs imls its qulls qu ti u ti ifrs imls ilimit.. D. I. Priói Pur: S i qu s Priói Pur u l prt iml st u ifr u grup ifrs qu s rptirá ifiimt ( sts ifrs qu s rpit s ls mi pri) y s ls ii u r im. Orig: U frió irrutil rigirá u iml Priói Pur u l mir s ifrt u múltipl y/ múltipl. Ejmpls * 0, , 6 0 * 0, , 90 *, , 96 7 El úmr ifrs l pri stá pr l ti ifrs l mr úmr frm pr ifrs 9 qu tg tmt l mir l frió grtriz. Ejmpls: 0,6 l mi ifr l pri ). r l ti "9" (u uv, ts ti u D s mp siió Có i l s úm rs ifrs 9 Pr u fáil mj l álul l úmr ifrs u iml priói pur, s rml rrr l siguit tl: Cvrsió D.I. Priói Pur frió: rió Grtriz L frió grtriz u D.I. Priói Pur stá pr l úmr frm pr ls ifrs l pri, ivii tr tts uvs m ifrs tg l pri. S: 0, ts : 0, = D. I. Pri Mit: U prsió iml s priói mit u spués l m i- ml l pri s iii spués u ifr grups ifrs. l grup iiil trir l pri s l llm prt priói. Ejmpls: * 0,8... = 0,8 *, =,90 Orig: U frió irrutil rá rig u iml it priói mit u l smpr l mir sus ftrs prims s utr ptis y/ y más, lgú tr ftr srimt ifrt: Ejmpls: * 0, , * 0, ,

162 L ti ifrs prióis l iml it priói mit stá pr l rgl pr l úmr ifrs imls u iml t, y l úmr ifrs l pri stá pr l rgl l úmr ifrs u D.I. Priói Pur. Ejmpls: ,689 El mir, l pt l ftr qu s "" gr ifrs prióis y l ftr 7 stá ti pr 999 (trs "9") pr l qu gr ifrs prióis. Cvrsió u D.I. Priói Mit frió: rió Grtriz L frió grtriz u D.I.P. Mit strá pr l úmr frm pr l prt priói, sgui l prt priói, ms l prt priói, t tr l úmr frm pr tts uvs m ifrs tg l pri, sgui tts rs m ifrs tg l prt priói. Ejm pl: 0,9... 0, Ds uvs Ds rs

163 EJERCICIOS PROPUESTOS 0. Si gsté ls l qu gsté, ts l qu gsté rprst: 06. U plt rt l ltur s l ul s lz. Si prt 8 ltur, ts l isti ttl rrri hst trs s: ) ) ) ) ) mi ir. mi ir. mi ir. mi ir. mi ir. ) ) 8 ) 6 ) 7 ) D u pisi s s 0 litrs, si hí y qu. Cuáts litrs s sitrá pr trmir llr l pisi? 0. U iñ ti 00 sls hrrs. C l urt prt mpr u jugut; l trr prt l rst mpr lpirs, y l mit qu l qu mpr frut. Ls hrrs iiils s h rui : ) S/. 0 ) S/. ) S/. ) S/. 0 ) S/. 0. l prgutársl u pstult qué prt l m h tst, ést rsp: h tst ls l qu tsté. Qué prt l m h tst? ) 0 ) 0 ) 00 ) 0 ) Ju y Césr ti u u irt úmr sls. Si Césr 8 sls Ju, trá ms igul ti; si pr l trri, Ju 7 su ir Césr, l úmr sls ést qu umt 9. Cuáts sls ti u? ) 0 y 0 ) 8 y 60 ) 0 y 8 ) 6 y 6 ) y 6 ) 9 ) 9 ) ) ) U pstult firm qu ls S/. 0 prpi qu l i su mr gstó ls prts l qu 0. Si ls ls lums u sló ls 7 ls ñs y lums s myrs. Cuáts lums ti l sló? ) ) ) El prlm ti sluió ) ) 6 gstó. Cuát l qurí si gst l urt prt l qu qu? ) 0 ) ) 60 ) 80 ) D u ilir ll gu, s tr l quit prt. Qué frió l rst s sr pr qu qu sl 0 6 su pi iiil? 0. Qué prt 9 s l mit l tripl 6? ) ) 0 ) 0 ) 9 ) 9 ) 6 ) 0 ) 6 ) )

164 . D u tl ll vi pur s utiliz l trr prt. Lug s l ll gu. Más tr s v l quit prt y s l vulv llr gu. ilmt, s v l mit. Qué ti vi pur qu ú l tl? ) P ) ) ) ) P ) ). U pstr su primr jug pir u tri ) P su ir, vulv pstr y pir ls 7 l rst. Qué frió l ir qu tí rigilmt l h qu? 6. L sum l umrr y l mir l frió quivlt : ) ) ) 8 ) ) 7 s: 0, ) ) ) 7 ) 6 ) 8, Si "" vrí tr y 0 y "" vrí tr y, ts vrí tr: 0 ) y ), y 0 ) 0,8 y 8 ) y 8 ) y 8. Eftur y simplifir: 7. Cuál s l umrr l frió quivlt tl qu l sum sus s térmis s 80? ) 90 ) 0 ) 60 ) 80 ) L sum u úmr y s vs su ivrs s 8,. D qué úmr s trt? E,... 0,8... ) ) ) ) 0,7 ) 8 ) ) ) ) 8 ) 7 9. U frió s ivi pr su ivrs y pr rsult: 89. L sum ls térmis l frió srá: 9. l srrllr l prut: ) 0 ) ) 0 ) ) 0 P S ti: ) ) P P Si y s s fris irrutils tls qu su sum s u úmr tr, ts pms firmr qu: ) = ) = ) = ) = ) =

165 . Dr ( + ) : 0, + 0, =, ) ) ) ) ) 6. l sriir l frió 98 l frm, si,, trs tls qu, 89. Ets l sum ls umrrs s: ) 0 ) ) ) ). Si l iz milésim prt s y, ts l éim prt y s: ) 0 ) 0 ) 0 ) ) 0 7. S ti s úmrs sutivs uy sum s igul l urt prt l primr, más ls i tris l sgu. El sutiv l sum ls s úmrs s: ) 8 ) 7 ) 9 ) 0 ) 8. Simplifir: 0, 0, 90 ) 0,8 ) 9 0 ) 7 ) 0,98 0,... 0,... 9 ) 0 0,7 0,87 9. Si "" y "" s úmrs turls, hllr l sum ts ls vlrs psils "" m qu: 9, Hllr fris qu tg pr umrr l ui, pr mirs s úmrs turls sutivs, tls qu tr lls s utr l frió. 9 ) 0 ) 6 ; ) 7 ; ; ) ) ; ; 6 ) 7 ) ) 0 ) ) 0. Ruir l prsió: P, 0,,9, ) 0, ), ) 0, ), ) 0, 0,. l rprtir l frió iml 0,... s prts prprils y ; u ls prts s :. Etrr l úmr ril tr y uy isti l primr s l l l isti l sgu. ) ) ) 6 ) 9 ) 9 ) 0 ) 8 ) ) 6 ) 9 6. S,,, s úmrs prims tr sí. Ets l sum ls ifrs, más ls ifrs, s:. Si s térmis u frió riri rui su más simpl prsió s l sum l uárupl l mir y l rsult s l rst l frió, rsult l mism frió. Cuál s l frió rigil? ) ) 6 ) 7 ) 8 ) 9 ) 7 ) 9 ) ) )

166 . Csir ls fris riris quivlts,06. Hllr l mir l frió mrs térmis tl qu l sum ls misms s u múltipl mpri tr 0 y 600. ) 8 ) ) 7 ) ) Cuál srá l últim ifr l prí ) 9 ) 6 ) 7 ) ) 0. Hllr l últim ifr l srrll iml : 9?. Cuál s l mr úmr ril myr qu tl f qu l sumr vs l mir l umrr y vs l umrr l mir, s ti m uv úmr? ) ) ) ) 8 ) 6 ) 6 0 ) 7 ) 8 ) 9 8 ) 6 9. Si u úmr ril, mr qu, s l umt B u ui, l umrr qu umt 6 uis. Si l umrr y l mir ifir u ui. Clulr l úmr B.. Cuáts ifrs ti l pri f 7? 707 ) ) 7 6 ) 6 ) 6 ) ) ) ) ) 6 7 ) 6. Cuáts ifrs l pri ) ) 60 ) ) 86 ) 686 f? 7 7. Dtrmi l ti ifrs prióis f !! ) 0 ) ) ) ). Hll l sum térmis l pri l frió 8 tiu ) ) ) ) ) 6. E u triágul BC, rt B, s s qu BC ;; ; B ;;. Hllr l hiptus.. 8. S ti l siguit frió: ) ; ; 6 ) ; ; f 6 00(... ( ) ) ) ;; 6 ) ; ; 6 ) ; ; 6 E qué ifr trmi su srrll? ) ) ) ) ). S rprt u ti ir tr irt úmr prss. L primr ri S/. 00 y l rst, l sgu S/. 00 y l rst y l trr S/. 00 y

167 l rst, y sí susivmt. D st mr, ts lls h rii l mism sum y s h rprti l ti ítgr. Hllr l úmr prss. ) ) 9 ) ) ). U mrit tí u trmi sum ir. El primr ñ gstó 00 pss y umtó l qu qu u tri st rst. l ñ siguit vlvió gstr 00 pss y umtó l ti rstt u tri ll. El trr ñ gstó uv 00 pss y grgó l trr prt l qu qu. Si l pitl rsultt s l l l iiil, Cuál fu l pitl iiil? ) 80 ) 00 ) 00 ) 80 ) Si : Z (Z {; ; ; ;... ; }) Clulr l vlr : E ) ) (+) ) ) ) + ( 7. l lizr u frió l mir s mr u ui qu l ur l umrr. Si l umrr y mir: ) S l rst uis, l frió sigu psitiv, pr mr qu 0. ) S l grg uis, l vlr l frió srá myr qu. Hllr l vlr l umrr. ) ) ) ) ) ) 8. Vris iustrils s si pr l pltió 9. u ptt, l primr su pltió l iió priir l 0% l fii. El sgu prt ls fs sris. El trr p 000 uis mtris ms, pr rlizrá fuis grt mit u rmurió suplmt-ri l 0% ls fiis. El urt igrs 000 uis mtris ms qu l trr, y sí susivmt hst l últim. Si ls prtis huir si iguls l más lv, l ttl l pitl ispil umtrí su vlr. Cuát prtó l urt si? ) 0000 ) 000 ) 000 ) 8000 ) 000 ( 0,) y ( 0,) 6, srits s y 6 rsptivmt, rprst l úmr ril p irrutil. 0 q Clulr: p + q ) 9 ) ) ) ) 0. Ds ls úmrs: 0, 6 y 0, 6 8 Hllr l trr ifr iml qu rsult l sumrls. ) ) 6 ) ) ) 7 (. Si: (0,..)(0,()()()..)= ( )( )( ). ) Hllr l sum ls térmis l frió grtriz qu rig l frió iml priói pur: 0,(+) (+) (+) (+)... ) 0 ) ) ) 6 )

168 . S,,,, Z ; más: 0 8 Clulr l sum l ti ifrs prióis y prióis qu rigi l frió: () ) ) 7 ) 9 ) 0 ) 6. U frió irrutil ti l siguit prpi l sumr uis su umrr y 9 uis su mir, l frió mi vlr. L sum sus térmis s: ) ) 7 ) ) ) 7. Pr uáts vlrs N mrs qu 00, l siguit frió: N 8N s ruil? N ) ) ) ) ) 0. Clulr l sum ls ifiits térmis s: ) 8 ) ) ) 6 7. El vlr l sumtri: (k )(k k ) ) ( ( ) ) ). Si: 0, f s: ) ( ) ) ( ) y 7 7 ) ) Hllr:. Si : f 9 0, f Si Z tl qu 7 s u úmr tr. Clulr l sum ts ls psils vlrs "". ) ) 6 ) 9 ) ) 8 9. Si: 0, Dtrmir l ti ifrs prióis l frió: f ( )( )( ( )( )! ( ) ) 7 ) 9 ) ) ) )! 60. Clul l siguit sum: E Y trr l ifr r. ) 0 ) ) ) ) N s pu trmir. l prsr "E" s ) ) ) 7 ) 9 )

169 Clvs Clvs

170 RITMÉTIC Í N D I C E

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