PROBABILIDAD Y ESTADISTICA APLICADA Y TALLER

Transcripción

1 PROBABILIDAD Y ESTADISTICA APLICADA Y TALLER 2º. SEMESTRE INGENIERIAS CUADERNO DE TRABAJO PARA EL EXAMEN DEPARTAMENTAL DEPARTAMENTO DE FISICO-MATEMATICAS UIA M. en I. C. J Cristóbal Cárdenas Oviedo 0

2 Contenido INTRODUCCION...3 RECOMENDACIONES...5 EJEMPLOS RESUELTOS...6 Estadística Descriptiva...6 Frecuencia...7 Medidas de tendencia central...9 Medidas de dispersión...10 Probabilidad...11 Suma y producto...11 Condicional...12 Teorema de Bayes...15 Binomial...16 Poisson...17 Combinatoria...18 Distribución Normal...21 Estadística Inferencial...23 Valor esperado variable discreta...23 Valor esperado variable continua...24 Intervalo de confianza para media...25 Intervalo de confianza para proporción...27 Intervalo de confianza para desviación estándar...27 Intervalo de confianza para diferencia de medias...28 Intervalo de confianza para diferencia de proporciones...29 Prueba de hipótesis para la media

3 Prueba de hipótesis para proporción...32 Prueba de hipótesis diferencia de medias...33 Prueba de hipótesis diferencia de proporciones...34 Análisis de Regresión...35 Recta de regresión y coeficiente de correlación...37 Estadística No Paramétrica...38 Pruebas no paramétricas...39 EXAMEN PRACTICA...41 REFERENCIAS...51 TABLA DE ESPECIFICACIONES

4 INTRODUCCION Este cuaderno tiene como finalidad proporcionar un espacio para conocer el examen departamental y lo que se espera que resuelva. Encontrará ejemplos resueltos de los problemas del tipo de los que aparecen en el examen departamental. Los ejercicios se basan en la tabla de especificaciones o matriz de conducta y contenido, elaborada para el diseño del examen. Los problemas evalúan una parte esencial de los conceptos y técnicas básicas de la estadística y de ninguna manera evalúan todo el curso. El trabajo en la resolución de los ejercicios lo familiarizará con los temas que se evalúan en el examen departamental y con el grado de dificultad que debe dominar. El trabajo continuo le permitirá ganar confianza hasta que la naturaleza y lenguaje de las preguntas se le haga familiar. Podrá darse cuenta en qué puntos o áreas se encuentra más débil y en cuales más fuerte para así enfocar sus esfuerzos en los puntos más débiles, ahorrándole tiempo en la preparación de su examen. Recuerde que si algo no se vio en el curso no es pretexto para no resolverlo ya que cuenta con ésta guía y con las asesorías que se imparten en el Departamento de Físico Matemáticas. Durante el curso de Probabilidad y Estadística tendrá la oportunidad de conocer conceptos y técnicas de la estadística y de la probabilidad para llevar un control de procedimientos y/o procesos. En el examen departamental, se evalúa en forma general: 1. Estadística Descriptiva. Debe manejar los conceptos de: medidas de tendencia central (media, mediana, moda), de dispersión (varianza, 3

5 desviación estándar y rango), frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada. Debe de identificar un histograma y sus características. 2. Debe conocer técnicas de conteo y estar capacitado para encontrar probabilidades de variables aleatorias discretas como la Binomial, Poisson e Hipergeométrica y de variables aleatorias continuas como la normal, t de Student y ji - cuadrado (uso de tablas). Debe manejar las reglas de suma y producto para probabilidades y la probabilidad condicional, 3. Estadística Inferencial. Debe manejar los conceptos de: distribución muestral, valor esperado, intervalo de confianza y prueba de hipótesis y tomar decisiones con éstas técnicas en diferentes casos. 4. Debe conocer la ecuación de regresión lineal y los conceptos de coeficiente de correlación y de determinación. 5. Debe distinguir las pruebas en casos de Estadística No Paramétrica. El éxito en el examen dependerá de: Su competencia en la materia Entendimiento de la naturaleza del examen y de las condiciones en que lo presentará Actitud emocional o grado de confianza 4

6 RECOMENDACIONES Lea con cuidado cada problema para que lo ubique en el tema que le corresponde e identifique la pregunta que hace el problema. Vuelva leer el problema para identificar las cantidades y relacionarlas con las ecuaciones pertinentes para resolverlo. En caso de ser necesario, haga dibujos o esquemas problema. para aclarar el Aprenda a leer el formulario y el significado de las letras que aparecen en las fórmulas. Resuelva, primero, los problemas que crea le son más fáciles. Relacione correctamente los datos y las incógnitas con las letras que aparecen en las ecuaciones. Verifique sus cálculos. Resuelva el examen de práctica del cuaderno. Trate de resolver sus asuntos pendientes antes de entrar al examen y hacer todas las llamadas por teléfono que tenga que hacer. No coma mucho antes del examen y acuda al baño si es necesario. Lleve consigo lápiz y calculadora (No graficadora o programable). Al estudiar en el cuaderno, recuerde que si algo no le queda claro: o Consulte las referencias o Consulte a su profesor o o Consulte las asesorías que se imparten en el Departamento de FÍSICO-MATEMATICAS. 5

7 EJEMPLOS RESUELTOS Estadística descriptiva Frecuencia Relativa y Relativa Acumulada Los datos o mediciones en un experimento: primero se organizan de tal manera que podamos observar la frecuencia con que se repite cada uno de los posibles resultados del experimento; segundo, observamos si tienden a agruparse alrededor de algún valor y tercero, que tanto se dispersan alrededor del valor central La frecuencia absoluta o frecuencia es simplemente el número de veces que se repite el valor de cada dato. Si dividimos el número de veces que se repite el valor de un dato entre el número total de datos se tiene la frecuencia relativa, (relativa al total de datos). La frecuencia relativa siempre será un número entre cero y uno y se relaciona con el concepto de probabilidad. Distinguimos dos casos para representar la frecuencia: valores discretos o datos enteros y valores o datos continuos. En cualquier caso el concepto de frecuencia absoluta y relativa es el mismo. Valores discretos. En la siguiente tabla se muestran los resultados de un estudio de calidad de un servicio: 6

8 Frecuencia Absoluta Frecuencia Relativa Porcentaje Muy Bueno 24 24/92 = Bueno 38 38/92 = Regular Malo Muy Malo TOTAL Observe que la frecuencia relativa se obtiene dividiendo el valor de la frecuencia absoluta para cada categoría entre el total de mediciones, en este caso entre 92. El porcentaje es, simplemente, la frecuencia relativa multiplicada por 100 La frecuencia relativa acumulada se refiere a la suma de frecuencias relativas en diferentes intervalos de los resultados posibles. En general se habla de al menos (cota inferior), cuando mucho (cota superior) o entre, suma de frecuencias entre dos valores. Frecuencia (Tema 1.8): Ejemplo1: De acuerdo a la tabla anterior: a) La frecuencia relativa de al menos bueno es la suma de las frecuencias relativas de muy bueno y bueno, =

9 b) La frecuencia relativa de cuando mucho regular es la suma de las frecuencias relativas de muy malo, malo y regular, = Valores continuos La tabla representa la variación en la temperatura de un horno industrial Temperatura en un horno ( C) Frecuencia relativa De acuerdo a la tabla anterior: c) El porcentaje de valores de al menos C, es: Observe que la tabla reporta la frecuencia relativa y al menos es el límite inferior, por lo que se deben sumar las frecuencias relativas del cuarto y quinto intervalo = Como se pide porcentaje, multiplicamos por 100 y la respuesta es 28 % d) La frecuencia relativa acumulada de cuando mucho 550 C, es: Cuando mucho, es cota superior por lo que se suman las frecuencias relativas del primero y segundo intervalo =

10 Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central son: Moda, valor de los datos que se repite más veces, puede haber más de uno o ninguno; Mediana, valor de los datos que se encuentra a la mitad una vez que se han ordenado los datos o el promedio de los dos valores que se encuentran a la mitad; Media, promedio de los datos En el formulario se encuentra para la media de un conjunto de datos:. Donde, es el valor de cada dato y n es el número de datos Ejemplo 2 (Tema 2.1): Sean los siguientes datos: 22, 21, 26, 24, 22, 25, 26, 23, 27, 29. Determine la moda, mediana y media. a) Tiene dos modas, el número 22 y el 26 b) Mediana. Ordenamos los datos: 21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 26, 27, 29. Los valores de los datos que se encuentran a la mitad son el 24 y el 25, la mediana es ( )/2 = 24.5 c) La media o promedio es: 9

11 Medidas de Dispersión Las medidas de dispersión son: Varianza, promedio de las desviaciones respecto del valor central; Desviación estándar, raíz cuadrada de la varianza, tiene la ventaja de tener las mismas unidades de la variable; La desviación estándar de una muestra se calcula como: Rango. Diferencia entre los valores extremos de los datos Ejemplo 3 (Tema 3.2): Determine la varianza, la desviación estándar y el rango para los datos anteriores. a) Varianza: b) Desviación estándar: 10

12 c) Rango, diferencia entre los valores extremos. El rango para los datos anteriores es: = 8 Nota. Se recomienda aprender a usar su calculadora en el cálculo del promedio y de la varianza o desviación estándar. En particular el cálculo de la varianza (o de la desviación estándar) puede ser bastante laborioso y consumirle un tiempo valioso para resolver el examen. Probabilidad Regla de suma: Regla del producto (eventos independientes): Ejemplo 4 (Tema 4.3): En un lugar se encuentran 30 personas 18 mujeres y 12 hombres. 2 mujeres son mayores de 40 años y 3 hombres son mayores de 40 años. Si se escoge una persona al azar, la probabilidad de que sea hombre o que sea mayor de 40 años es: Sean las probabilidades de los eventos hombre (H), mayor de 40 (G) y de ambos (H y G): P(H) = 12/30 = 0.4; P(G) = 5/30 = ; P(H y G) = 3/30 = 0.1 La probabilidad de uno u otro es: 11

13 Probabilidad Condicional Para resolver un problema de este tipo: Primero traduzca la pregunta a la fórmula de probabilidad condicional La probabilidad condicional es: Se lee como la probabilidad de A dado que ocurrió B. Segundo, a partir de la tabla de datos, calcule solo las probabilidades de interés, esto es, la probabilidad de la intersección y la probabilidad del evento B Ejemplo 5 (Tema 4.5): En una agencia de autos, las ventas de un mes, reportaron los siguientes datos. Rojos Blancos Medianos 14 8 Grandes Encuentre las siguientes probabilidades. a) Comprar un auto mediano y blanco b) Dado que se compró un auto blanco que sea grande c) Dado que el auto es mediano que sea Rojo 12

14 Para encontrar las tres probabilidades que se piden, conviene hacer una tabla de probabilidades. Nota. En el examen, no tiene que hacer toda la tabla, sólo tiene que calcular las probabilidades que se requieran Rojos Blancos Total Medianos Grandes Total Dividimos cada celda entre el total y se obtiene la probabilidad correspondiente a cada evento. Rojos Blancos Total Medianos Grandes Total El cruce de cada fila y columna nos da la probabilidad de que ocurra uno y otro evento. Por ejemplo, la probabilidad de que sean medianos y rojos es: 13

15 Al final de cada columna se tienen las probabilidades de que sean rojos o que sean blancos. Por ejemplo, probabilidad de que sean blancos = Al final de cada fila se tienen las probabilidades de que sean medianos o grandes. Por ejemplo, probabilidad de grandes, Con estos resultados se puede calcular probabilidad condicional. Se debe de hacer la traducción del lenguaje oral al de probabilidades, esto es, escribir la probabilidad condicional en forma de ecuación: a) b) c) Nota. Si la pregunta fuera la 3, solo hace falta calcular la probabilidad de la intersección y la del evento que ocurrió primero, no hace falta hacer toda la tabla Teorema de Bayes. P(H/A) P(A) P(B) P(C) P(H/B) P(H/C) 14

16 En el diagrama se tienen las probabilidades de 3 resultados posibles en un primer evento y después las probabilidades de otro evento dado que ya ocurrió el primero. Al final se reportan las probabilidades de que ocurran uno y otro evento. El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad siguiendo el proceso inverso. Si ya ocurrió el evento H cuál es la probabilidad de que venga de A, B o C? Ejemplo 6 (Tema 4.5): Sean A, B y C enfermedades y H un síntoma que aparece con cualquiera de las 3 enfermedades. Las enfermedades son excluyentes y un estudio indica: P(A) = 0.02, P(B) = 0.01, P(C) = y P(H/A) = 0.75, P(H/B) = 0.8 y P(H/C) = Dado que ocurrió el síntoma H, la probabilidad de que provenga de la enfermedad B es: El teorema de Bayes nos dice que dicha probabilidad se obtiene dividiendo la probabilidad de B y H entre las suma de las probabilidades de las intersecciones. Esto es: Observe que las intersecciones corresponden a las ramas finales del árbol y que cada intersección es el producto de las probabilidades de las ramas anteriores, de la forma: Si se hubiera pedido la probabilidad de que dado H viniera de C, cambiamos el numerador por la probabilidad de C y H 15

17 Variables Aleatorias Discretas. Son aquellas variables que en un experimento solo pueden tener resultados con números enteros. Por ejemplo, la respuesta es éxito o fracaso (binomial) o la respuesta es el número de veces (frecuencia) que ocurre un evento en un intervalo de tiempo o espacio (Poisson). En los casos de variables aleatorias discretas se puede encontrar una fórmula que permite calcular la probabilidad de que ocurra exactamente un valor posible de las respuestas. Ejemplos: Experimento de tipo Binomial. Las respuestas posibles son: si o no, éxito o fracaso, etc. Sólo hay dos respuestas posibles. En este caso, la probabilidad de que la variable tome exactamente el valor x cuando hay n ensayos está dada por la fórmula Ejemplo 7 (Tema 5.9): a) La probabilidad de que una persona tenga gripe es de 0.3 = p. La probabilidad de que 5 (x) personas de 20 (n) tengan gripe es: P(X = 5) = 15504(0.3) 5 (1-0.3) (20-5) =

18 Recuerde que debe distinguir en los casos de probabilidad acumulada cuando se dice al menos o cuando se dice cuando mucho. En el primer caso, al menos es el límite inferior y el segundo, cuando mucho, es límite superior. b) Encuentre la probabilidad de que cuando mucho 2 tengan gripe. Se calcula la probabilidad de 0, de 1 y de 2 y se suman. P(X = 0) = = P(X = 1) = P(X = 2) = c) La probabilidad de que un equipo funcione es de 0.9. Si se prueban 16 equipos, la probabilidad de que al menos14 funcionen es: El equipo funciona o no funciona, esto indica un experimento de tipo binomial. Al menos 14 significa que deben funcionar, 14, 15 y 16, por lo que la probabilidad es: P(X = 14) = = P(X = 15) = P(X = 16) = Experimento Poisson. Se tiene un parámetro que es el valor esperado de ocurrencias en el intervalo de tiempo o espacio. La probabilidad de que ocurran 17

19 exactamente un número de eventos en el tiempo o espacio determinado está dado por: Media o valor esperado Varianza Ejemplo 8 (Tema 5.10): Encuentre la probabilidad de que se atiendan a 12 personas en una hora si el valor esperado es de 10 personas atendidas por hora. = Se debe tener cuidado de manejar el valor esperado en las unidades adecuadas. Nota. Se puede dar el valor esperado de 10 atenciones por hora pero, pedir la probabilidad de atenciones en ocho horas, en este caso el valor esperado de atenciones en ocho horas es de (10)(8) = 80 atenciones en la ocho horas. Si se pide la probabilidad de 70 atenciones en las ocho horas se calcula así: = Otro caso de variable discreta, en donde se aplican las técnicas de conteo. Se tiene un total de N objetos con diferentes características, n 1, n 2, n 3. Se toma una muestra de tamaño n y se pide la probabilidad de ocurrencia de alguno de los posibles resultados del evento. Dado que la probabilidad es el número de formas 18

20 en que puede ocurrir el evento entre el total de casos posibles se usa la combinatoria y la regla del producto para encontrar dichas cantidades Ejemplo 9 (Tema 4.4): Se tienen 20 resistencias de 100 ohms, 15 resistencias de 200 ohms y 10 resistencias de 300 ohms. Si se toman aleatoriamente 6 resistencias, determine las siguientes probabilidades, escoger: a) Dos de cada de cada tipo b) 3 de 100 ohms, dos de 200 y una de 300 c) Las 6 de 200 ohms. d) Las 6 de un mismo tipo La probabilidad es el número de casos favorables entre el total de casos posibles. Se tienen 45 resistencias en total. El número total de formas que se pueden escoger 6 objetos de 45, sin importar el orden, es: a) De las resistencias de 100 ohms, se pueden tomar dos de las 20 que hay, de las resistencias de 200 ohms se pueden tomar dos de las 15 y de las de 300 se pueden tomar dos de las 10. Ahora, como se toman dos de un tipo, dos del otro y dos del tercer tipo, el número de formas que podemos hacer esto es: La probabilidad es: / =

21 b) Se pueden tomar 3 resistencias de las 20 que hay de 100 ohms, 2 resistencias de las 15 que hay de 200 ohms y una de las 10 que hay de 300 ohms. La probabilidad es: / = c) Se pueden tomar, nada más, 6 resistencias de las 15 de 200 ohms La probabilidad es: 38760/ = d) Se pueden tomar 6 de las 20 de 100 ohms o 6 de las 15 de 200 ohms o 6 de las 10 de 300 ohms. La probabilidad es: 43975/ = Observe que en el cálculo de resultados posibles cuando es o se suma y cuando es y se multiplica En el examen solo le preguntan un caso parecido a uno de los anteriores Variable Aleatoria Continua Entre las variables de este tipo se encuentran variables que siguen una distribución de probabilidades normal, la normal estándar (z), la t de Student y la ji - cuadrado. Aunque hay otras variables aleatorias continuas, no se incluyen en el examen departamental. 20

22 La probabilidad de ocurrencia de un evento para una variable aleatoria continua se determina integrando la función de densidad de probabilidad correspondiente en el intervalo de interés (área bajo la curva de la función de densidad vs los valores de la variable aleatoria). Dado que las integrales son muy complicadas, se han elaborado tablas para facilitar encontrar el área bajo la curva correspondiente. Distribución Normal. La probabilidad se tiene que dar en un intervalo, no se puede encontrar la probabilidad de exactamente un valor. Veremos con algunos ejemplos como se determina e interpreta la probabilidad. Ejemplo 10 (Tema 5.11): Una lata se debe llenar con un litro de producto. Un estudio en 36 latas proporciona una media de 0.98 litros con una desviación estándar de 0.1 litros. a) La probabilidad de que una lata se llene con 1.1 litros es: b) La probabilidad de que la lata se llene con menos de 0.96 litros es: c) La probabilidad de que se llene con más 1.1 litros es: Las tablas de la normal, con el fin de ser generales, se estandarizan por medio de Las tablas proporcionan el valor del área desde menos infinito hasta el valor para el cual se busca la probabilidad. Conociendo esto, se pueden usar para encontrar las probabilidades pedidas. a) P(X = 1.1) = P(1.05< X < 1.15), recuerde que no existe el área para una línea o punto por lo que, se calcula el área en un intervalo próximo al valor pedido. 21

23 0.98 Estandarizando la variable z = ( )/0.1 = 1.2 P(X = 1.1) = P(z = 1.2) = P(0.7 < z < 1.7) Por medio de la tabla de la normal estándar se encuentra: Área o probabilidad entre los dos valores: = La probabilidad de que se llene con 1.1 litros es de Se determina, por medio de las tablas el área desde menos infinito hasta 1.15, el área desde menos infinito hasta 1.05 y se restan para tener el área en el intervalo que incluye 1.1 b) Probabilidad de que se llene con menos de 0.96, es el área desde menos infinito hasta el valor de z = ( )/0.1 = La probabilidad de que se llene con menos de 0.96 litros es Este resultado, también se puede interpretar como el porcentaje de latas producidas que se llenarán con menos de 0.96 litros. El 42% de las latas se habrán llenado con menos de 0.96 litros. Esto puede significar que no le compren las latas ya que son muchas con menos de 0.96 litros cuando debería ser 1 litro el llenado. 22

24 c) Probabilidad de que se llene con más de 1.1 es el área que queda por delante de 1.1. Debido a que esta área no la proporciona la tabla usamos el complemento, tomando en cuenta que el área o probabilidad total es igual a uno. P(X > 1.1) = 1- P(X 1.1 z = ( )/.1 = 1.2 P(z > 1.2) = 1- P(z < 1.2) = = La probabilidad de que una lata sea llenada con más de 1.1 litros es de También, se puede interpretar como que el 11.5% de las latas se llenarán con más de 1.1 litros. Distribuciones Muestrales. Valor Esperado. Variable Aleatoria Discreta. El valor esperado de una variable aleatoria discreta se determina como: Ejemplo 11 (Tema 5.3): Sea x una variable discreta cuyos valores y probabilidades correspondientes se representan en la siguiente tabla: 23

25 x P(x) El valor esperado de x es: Variable Aleatoria Continua. Conocida la función de densidad de probabilidad de la variable, el valor esperado se determina por medio de: La integral se evalúa en el intervalo en que está definida la función de densidad Ejemplo 12 (Tema 5.4): Suponga que el error de medición de un instrumento es una variable aleatoria continua con una función de densidad de probabilidad dada por: y cero en cualquier otro valor de x 24

26 El valor esperado de la variable es: Intervalos de Confianza. Intervalo en donde se espera con cierta probabilidad que se encuentre el valor del parámetro bajo estudio. En cada problema, se debe determinar el tipo de distribución correspondiente, para esto, tome en cuenta, el parámetro bajo estudio y el tamaño de la muestra. Ejemplo 13 (Tema 6.3): a) Intervalo para la media, muestra grande La resistencia a la presión en una muestra de 36 cilindros para gas, presentan una media de 998 kg/m 2 y una desviación estándar de 25. El intervalo de confianza del 99% para la presión media de estos cilindros es: El problema corresponde a intervalo de media con muestra grande, entonces, en el formulario se encuentra:. Donde ( conocida o n>30) 25

27 Observe que dado que la muestra es tamaño mayor a 30 podemos usar la desviación estándar de la muestra s como aproximación de la desviación de la población. Usando las tablas de la normal estándar para encontrar la z que le corresponde a un área de 0.005, se obtiene z = 2.57, por lo que el intervalo pedido es: b) Intervalo para la media muestra pequeña Un estudio en 16 muestras de papel presenta una resistencia a la tensión media de 32 N con una desviación estándar de 3. El intervalo de confianza del 95% para la resistencia a la tensión de éste tipo de papel es: Identificamos del formulario, para un intervalo de confianza de media con muestra pequeña. Observe que, debido a que la muestra es pequeña, utilizamos la distribución de la t de Student. 26

28 Para encontrar el valor correspondiente de la t tomamos en cuenta los grados de libertad (n -1), que en este caso son 16 1 = 15 grados de libertad. A partir de las tablas se encuentra: = Ejemplo 14 (Tema 6.4): Intervalo para proporciones En una muestra de 90 personas, 65 contestaron a favor de un producto. Encuentre un intervalo de confianza del 90 % para la proporción de personas que están a favor del producto. Dado que es un problema de proporción, de acuerdo al formulario: Ejemplo 15 (Tema 6.25): Intervalo para la desviación estándar Un fabricante desea conocer, con un 95% de confianza, la variación en la tenacidad de una fibra de rayón. Se toman 14 muestras de un tipo de fibra y 27

29 se obtiene una tenacidad media de 2.83 con una desviación estándar de g/denier. Identificamos, del formulario, para el intervalo de confianza de la desviación estándar: Usando las tablas para la distribución ji cuadrado con 13 grados de libertad. Ejemplo 16: Intervalo para la diferencia de medias o de proporciones Diferencia de medias. (Tema 6.17) Muestras grandes, suponiendo las varianzas conocidas (los otros casos los verá en el curso). Una muestra de resistencia al esfuerzo de 36 metales de un tipo proporcionó una media de 248 N/m 2 con una desviación de 20 N/m 2 y otra muestra de 38 metales de otro tipo proporcionó una media de 252 N/m 2 con una desviación de 28 N/m 2. El intervalo de confianza para la diferencia de medias con el 95% de confianza es: 28

30 En el formulario, identificamos, con. Sustituyendo los datos: El intervalo es: Observe que el intervalo incluye el cero. Diferencia de Proporciones. (Tema 6.21) Antes de una mejora, 120 personas de 200 dijeron que un servicio era bueno, después de la mejora, 150 de 220 dijeron que eran bueno. Encuentre el intervalo de confianza del 90% para la diferencia de proporciones. 29

31 El intervalo es: Observe que el intervalo no incluye el cero Tamaño de Muestra Distribución normal medias (Tema 6.3.2) El error que determina el intervalo depende de la desviación estándar, de la distribución muestral correspondiente y a un valor de la variable aleatoria de dicha distribución, para un nivel de confianza dado. Fijando un error particular podemos determinar el tamaño de muestra necesario para tener dicho error o tamaño del intervalo en el cual queremos que se encuentre el parámetro (media, desviación, etc.) De qué tamaño debe ser una muestra para tener un error de 0.2 para una variable con distribución normal con media 2.5 y desviación estándar de 0.3 y con una confianza del 95%? En el formulario se encuentra que, en estas condiciones, el error está dado por:, sustituyendo los datos y despejando para n, se encuentra: Se redondea al número superior, la muestra para éste error es de tamaño 9 Distribución normal, proporciones. (Tema 6.4.1) Mismo procedimiento que en el caso anterior, solo se debe reconocer y aplicar la fórmula correspondiente para el error en éstas condiciones. 30

32 Pruebas de Hipótesis. Prueba para probar, con una probabilidad especificada, que cierto parámetro tiene un determinado valor. Dependiendo del parámetro que se pruebe y del tamaño de la muestra, debe identificar el estadístico de prueba correspondiente y manejar el concepto del valor p. Ejemplo17 (Tema 6.9): Prueba de Media, muestra grande. La verdadera media del peso de un costal de harina debe ser de 50 kg. Se pesan 36 costales obteniendo una media de 49.5 kg con una desviación de 1.2 kg. Haga una prueba de hipótesis, con el 95% de confianza, para verificar si el contenido de los costales es diferente a 50 kg. 1. Planteamiento de las hipótesis nula y alterna 2. Identificación del estadístico de prueba apropiado para el caso y calcular Se pide prueba sobre la media y es el caso de muestra grande, del formulario: 3. Con el nivel de confianza encontrar la región (o área) de rechazo o con el valor del estadístico, encontrar el valor p a), el valor de z que corresponde a ésta área es (tablas normal estándar) es de 1.96 (o -1.96) 31

33 b) El valor p o área que corresponde al valor de z del estadístico es (tablas) de Para z = - 2.5, se tiene un área, desde menos infinito, de 0.006, el valor p es ésta área 4. Comparar y rechazar o no la hipótesis nula a) El valor de z del estadístico es menor al valor de z correspondiente para el nivel de confianza (- 2.5 < ), por lo que se rechaza la hipótesis nula. b) El valor p es menor que el valor del nivel de confianza alfa (0.006 < 0.05), por lo que se rechaza la hipótesis nula 5. Concluir. Si hay diferencia, con este nivel de confianza, en el llenado de los costales respecto de la especificación de 50 kg. Nota. Si usted observa con cuidado las respuestas, en éste y otros problemas de toma de decisiones con pruebas de hipótesis, ya le están dando el valor del estadístico de prueba (no tiene que identificarlo y calcularlo). Lo que si debe saber es como se plantea la hipótesis nula, calcular el valor del estadístico de prueba y saber como tomar decisiones al comparar los dos estadísticos. Ejemplo 18 (Tema 6.13): Prueba de proporción. Un fabricante dice que su producto tiene el 65% del mercado. Un estudio, muestra que de 300 productos 160 son del fabricante. Con un 95% de confianza pruebe la hipótesis del fabricante. 32

34 1. 2. La prueba es sobre una proporción de una población con muestra grande, del formulario 3. a), el valor de z que corresponde a ésta área es (tablas normal estándar) es de b) Para z = -1.77, se tiene un valor p o área desde menos infinito de Por cualquiera de las dos comparaciones, se observa, para el nivel de confianza establecido, que no hay suficiente evidencia estadística para rechazar H Se concluye que el fabricante tiene razón Prueba de diferencia de medias Ejemplo 19 (Tema 6.17): Se tienen dos tipos de concretos. Se toma una muestra de tamaño 42 de cada uno y se obtiene un promedio muestral de la conductividad térmica para el primero de con una desviación estándar de y un promedio de de conductividad térmica con una desviación estándar de para el segundo. Esta información sugiere que el promedio verdadero de conductividad térmica del primer concreto es mayor que la del segundo, con. 33

35 Hipótesis. Es una prueba de diferencia de medias con muestras grandes, del formulario: Para el nivel de confianza dado y tomando en cuenta que es una prueba de una cola la z que le corresponde (tablas) es: z = 2.33 La z de prueba es mayor que la z correspondiente al nivel de confianza, por lo tanto cae en la región de rechazo de la hipótesis nula. (El valor p es menor al valor alfa, se rechaza la hipótesis nula). Se puede concluir que el primer acero tiene una conductividad térmica mayor. Prueba de diferencia de proporciones Ejemplo 20 (Tema 6.21): De 300 residentes de la ciudad 63 están a favor de un aumento en la velocidad permitida en las carreteras, mientras que de 180 residentes del campo 75 están a favor del cambio. La información indica que la percepción es diferente en los dos grupos. 34

36 Hipótesis: Prueba de diferencia de proporciones muestra grande. Del formulario Tomamos un nivel de confianza De la tablas para alfa medios se tiene z = Comparando los valores de z de prueba y de significancia, z de prueba es menor, (valor p = , mayor que alfa) por lo que no hay evidencia para rechazar la hipótesis nula. Nota, si cambiamos el nivel de confianza a 0.1, z = En este caso la z de prueba si cae en la región de rechazo. Análisis de Regresión. En los problemas que aparecen, encontrará una tabla de datos en donde aparecen los valores de las variables dependiente e independiente, así como los 35

37 valores que se requieren para hacer los cálculos de los coeficientes que caracterizan a la recta de regresión y al coeficiente de correlación. En el formulario usted encontrará las siguientes relaciones para encontrar: Coeficientes de la recta de regresión : n es el número de datos Coeficiente de correlación El coeficiente de determinación es el coeficiente de correlación elevado al cuadrado, r 2 36

38 Tiene que leer con cuidado lo que se le pregunta y sustituir correctamente los datos. Ejemplo 21 (Tema 6.27): De acuerdo a la siguiente tabla encuentre la recta de regresión y los coeficientes de correlación y de determinación. y x 2 y 2 x y Suma = En este caso n = 6 a) Los coeficientes de la recta de regresión son: 37

39 La recta de regresión es: b) El coeficiente de correlación es: c) El coeficiente de determinación es : r 2 = (0.9759) 2 = Pruebas No Paramétricas. Las pruebas son sobre la mediana y no se ponen restricciones sobre la normalidad o no de la distribución de la variable bajo estudio. Algunas de las pruebas son de: Rangos con Signo de Wilcoxon, Suma de Rangos de Wilcoxon, Mann Whitney y Kruskal Wallis. Prueba de Rangos con Signos de Wilcoxon. 38

40 Prueba el valor de la mediana de la población, la distribución de la población debe ser simétrica y no importa el tamaño de la muestra. Prueba de Suma de Rangos de Wilcoxon. Muestras dependientes de muestras aleatorias en poblaciones que tienen distribuciones similares no normales. Muestras independientes, en muestras aleatorias de poblaciones que tienen distribuciones similares, simétricas, no normales. Prueba de U Mann Whitney. Muestras independientes de muestras aleatorias de poblaciones con distribuciones similares, no normales. Es equivalente a la prueba de Suma de Rangos de Wilcoxon. Las dos se pueden aproximar por una distribución normal con misma media y varianza cuando el tamaño de cada muestra es mayor o igual a 10 y no se requiere que el tamaño de cada muestra sea el mismo. Prueba de Kruskall Wallis. Es el equivalente a una prueba ANOVA de un factor. Muestras de una distribución que no sea normal. Se recomienda cuando no se puede asegurar normalidad y varianzas iguales. Ejemplo 22 (tema 7): Se desea investigar si un proceso de manufactura es mejor que otro. Se toman 5 muestras de uno y 8 del otro. La prueba adecuada para verificar si hay o no diferencia entre las medianas es: 39

41 Se trata de un caso en donde no tenemos información sobre la distribución de las poblaciones. Se puede usar la prueba de Suma de Rangos con Signo de Wilcoxon o la prueba U de Mann Whitney con Si las muestras son dependientes o pareadas solo se puede usar la prueba de suma de rangos de Wilcoxon. 40

42 EXAMEN PRÁCTICA Pregunta 1. La siguiente tabla representa las ventas (en millones) de bolsas de papa por semana que vende La papa feliz Intervalo Frecuencia relativa 0.1 < x < x < x < x < x El porcentaje de ventas de cuando mucho 0.7 millones de ventas es: Pregunta 2: La siguiente tabla muestra una lista de varios indicadores del crecimiento económico a largo plazo en Filipinas. Las proyecciones son hasta el año 2010 Indicador Económico Cambio Porcentual Inflación 5.3 Exportaciones 3.7 Importaciones 2.8 Ingreso Real disponible 3.9 Consumo 2.4 PNB real 2.9 Inversión (residencial) 3.2 Productividad (fabricación)

43 La mediana del cambio porcentual es: Pregunta 3: Una muestra de 10 baleros presentan los siguientes diámetros en cm: La desviación estándar es: Pregunta 4: La siguiente tabla, se refiere a la prueba de un medicamento contra el dolor que realizo Smith&Smith Pharmaceuticals, Inc. Calcula la probabilidad de que una persona haya usado el medicamento o que estuviera en el grupo de control Medicamento Placebo Grupo de control total Dolor de muelas Sin dolor Total Pregunta 5: En una línea de producción se tienen dos dispositivos A y B en paralelo, el sistema funciona si alguno de los dos funciona. La probabilidad de que funcione A es de 0.92 y la de que funcione B es de La probabilidad de que el sistema funcione es: Pregunta 6: 42

44 Se tienen 5 camisas rojas, 8 azules y 9 blancas. Se escogen aleatoriamente 4 camisas. La probabilidad de que sean 1 roja, una azul y 2 blancas es: Pregunta 7: Un estudio tiene como resultado la siguiente tabla de la relación de compra de corbatas por categoría y tamaño. Grande Mediana Chica Total Vestir Sport Lujo Total Sí se escoge aleatoriamente a una camisa, qué probabilidad hay de que la corbata sea mediana dado que es de vestir? Pregunta 8: Un examen tiene las siguientes probabilidades de contestar correctamente las preguntas Pregunta Probabilidad

45 La calificación esperada para este examen es: Pregunta 9: La función de densidad de probabilidad para la emisión de partículas alfa está dada por f(x) = 0.25 e (-0.25x), en el intervalo x > 0 y f(x) = 0, para cualquier otro valor de x. El valor esperado de x es: Pregunta 10: Una compañía que produce llantas para camión sabe por experiencia que 16% de sus llantas tienen imperfecciones y se deben clasificar como de segunda. Entre 20 llantas seleccionadas al azar, cuál es la probabilidad de que 2 sean de segunda? Pregunta 11: Sea X la cantidad de fracturas en la superficie de una caldera de cierto tipo, una muestra, seleccionada al azar, presenta un promedio de 3 fracturas por caldera. Calcula la probabilidad de que en una caldera existan exactamente 4 fracturas. Pregunta 12: Una fábrica tiene una torre con carbón activado para absorber contaminantes. Una muestra de 38 mediciones reportó una media de 145 kg de contaminantes removidos con una desviación estándar de 18. El intervalo de confianza del 95% para la cantidad de contaminantes removidos es: 44

46 Pregunta 13: En respuesta a muchas quejas respecto a la variación en el voltaje en una zona Industrial, el director general del servicio postal inicia una investigación preliminar. Una muestra de 14 mediciones tiene como resultado una desviación estándar de 18 volts. El intervalo de confianza del 95% para la desviación poblacional es: Pregunta 14: Una empresa desea estimar la proporción de hogares en los que se compraría su producto. Se seleccionó una muestra de aleatoria de 800 hogares. Los resultados indican que, 172 de los hogares comprarían el producto. El intervalo de confianza del 90% de la proporción poblacional de hogares que comprarían el producto es: Pregunta 15: Se registra la producción diaria promedio de cierto producto en una planta. El registro se llevo a cabo durante 54 días y se obtuvo una media de 1350 litros con una desviación estándar de 260 litros. Prueba la hipótesis a un nivel de significación de 5%, de que la producción media diaria sea de 1400 litros. H : µ = 2500, estadística de prueba z = No Rechazo H * Pregunta 16: En una temporada de vacaciones, se asegura que los hoteles estarán ocupados a un 88%. Se encuentra que en 34 hoteles se tuvo un lleno del 84%. Qué conclusión puede usted obtener acerca de la capacidad de ocupación? realiza la prueba a un nivel de significancia del 5% o H :P=0.85 estadística de prueba z=-0.47 No Rechazo H * 45

47 o H :P=0.85 estadística de prueba z=0.47 Rechazo H * Pregunta 17: Se estudia el rendimiento de dos tipos de valores, el valor tipo A y el valor tipo B. El rendimiento de estos sólo se conoce hasta después de la venta. Se tienen registradas 30 tasas de rendimiento anterior para valores tipo A y 36 para valores tipo B. De estas muestras se obtuvieron las estadísticas en la tabla siguiente: Tipo A Tipo B Media 7.2% 8.5% Varianza Presentan estos datos suficiente evidencia de que existe una diferencia en el rendimiento de ambos valores? Utiliza un nivel de confianza de 0.1 o H : µ - 0, estadística de prueba z=-1.9 Rechazo H * o H : µ - = 0, estadística de prueba z=-1.9 Rechazo H * o H : µ - <0, estadística de prueba z=-1.9 No Rechazo H * Pregunta 18: El administrador de un hospital conjetura que el porcentaje de cuentas hospitalarias no pagadas aumentó durante el año anterior. Los registros del 46

48 hospital muestran que 52 cuentas de 1148 personas admitidas en abril no habían sido liquidadas después de 90 días. Este número es similar a las 36 cuentas de 1102 personas admitidas durante el mismo mes del año anterior. Con estos datos hay evidencia suficiente que indique un incremento en dicho porcentaje? realiza la prueba con alfa =0.05 o H :P -P 0 estadística de prueba z = 2.4, Rechazo H * o H :P -P <0 estadística de prueba z = - 2.4, No Rechazo H 0 * Pregunta 19: Se requiere, para asegurar un funcionamiento uniforme, que la verdadera desviación estándar del punto de ablandamiento de cierto tipo de asfalto sea a lo sumo de 0.4 C. Una muestra de 8 especímenes reporta una desviación estándar de 0.52 C. Se puede pensar que la desviación es >0.58 con alfa =0.1 o H : σ² > 0.25 estadística de prueba 2=12.11, No Rechazo H * o H : σ² 0.25 estadística de prueba 2=12.11, Rechazo H * Pregunta 20: Un estudio sobre la carga de masa (x) de DBO (kg/ha/d) y la eliminación de masa (y) de DBO (kg/ha/d) presentan los siguientes resultados: 47

49 Carga de masa x Eliminación de masa y x² y 2 xy suma = La recta de regresión es: Pregunta 21: En el caso de comparación de varios niveles para un factor, en el que no se puede suponer normalidad ni varianzas iguales, la prueba adecuada para ver si hay diferencias es: o Kruskall Wallis* o Prueba de Rangos con Signo de Wilcoxon* 48

50 o Prueba de suma de Rangos de Wilcoxon* o Mann Whitney* * Son ejemplo de la forma como aparecen las opciones de respuesta. 49

51 REFERENCIAS. W. W. Hines, D. C. Montgomery, D. M. Goldsman y C. M. Borror; Probabilidad y Estadística para Ingeniería ; Cuarta edición; Ed. CECSA; México, W. Navidi; Estadística Para Ingenieros y Científicos ; Ed. McGraw- Hill; México, R.E. Walpole, R. H. Myers y S. L. Myers; Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias ; Octava edición; Ed. Pearson; México, W. Mendenhall, R. J. Berner, B. M. Berner, Introducción a la Probabilidad y Estadística ; Ed. Thompson; México,

52 TABLA DE ESPECIFICACIONES CLA VE TEMA RESULTADOS DE APRENDIZAJE % A P (objetivos) CON COM L 5 % 1.0 Introducción a la Estadística 1.1 Concepto de Variable Definir Variables y Medidas Comprender Tipos de Variables: Cualitativas y 1.2 Cuantitativas 1.3 Escala de Medición Definir Escalas de Medición Defnir el Análisis 1.4 Exploratorio de Datos Análisis de datos 1.8 Distibución de Frecuencias 1.9 Representaciones Gráficas 2.0 Medidas de tendencia central Medidas de posición Conocer las fuentes de información Conocer las diferencias entre población y muestra TOT AL Distinguir datos agrupados de no agrupados Determinar las Frecuencias Absolutas, Relativas, Absolutas Acumuladas y Relativas Acumuladas x 1 Elaborar Histogramas, Polígono de Frecuencias, Ojiva, Diagramas de Tallo y Hoja, Diagramas de Pastel, Diagrama de Caja y Bigote. Calcular la media, mediana y moda para datos no agrupados. x 1 Calcular la media, mediana y moda para datos agrupados. Calcular Cuartiles, deciles y percentiles 5 % 3.0 Medidas de dispersión % Definir qué es dispersión o variabilidad Calcular las medidas de dispersión: rango, desviación media, desviación estándar, varianza, dispersión relativa, coeficiente de variación, x 1 51

53 recorrido intercuartílico Teoría de la Probabilidad 4.1 Fundamentos básicos de la probabilidad 4.2 Experimento Aleatorio 4.3 Reglas de Probabilidad 4.4 Reglas de Probabilidad Métodos de Conteo 5.1 Interpretación conjunta de las medidas de tendencias central y de dispersión Interpretar las distribuciones de los datos con respecto a su Coeficiente de Asimetría utilizando la Regla Empírica y el Teorema de Tchebychev Conocer los enfoques de probabilidad (clásica, frecuencial, subjetiva) Distinguir qué es espacio muestral, evento(simple o compuesto), punto muestral Aplicar las reglas de Adición para eventos excluyentes, no excluyentes o complementarios x Aplicar las reglas de Multiplicación para eventos dependientes e independientes x 1 Calcular la probabilidad condicional x 1 5 % Calcular probabilidades con Teorema de Bayes x 1 5 % Calcular el número de eventos utilizando ordenaciones con repetición, permutaciones, combinaciones o Diagrama de Arbol x Distibuciones de probabilidad Panorama general de las distribuciones de probabilidad Clasificar las distribuciones de probabilidad (discretas y x 10 % 52

54 continuas) Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta x 1 Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución de probabilidad continua x 1 Calcular la Probabilidad Acumulada para los casos de Distribuciones Discretas y Continuas. Identificar las propiedades de una distribución de probabilidad conjunta, marginal y condicional Calcular la esperanza conjunta, covarianza y coeficiente de correlación de variables aleatorias independientes así como valores esperados condicionales Distribuciones de probabilidad más conocidas Calcular la probabilidad distinguiendo las características de las distribuciones de probabilidad Uso de las distintas 5.8 distribuciones 5.9 Binomial x Poisson x 1 Aproximación a la Binomial 5.11 con la de Poisson 5.12 Normal x 1 Aproximación a la Binomial 5.13 con la de normal 5.14 T-student 5.15 Ji-cuadrada 5.16 Distribución F 5.17 Comprender aplicación de la Normal, Ji-Cuadrada, F, T- Student x Muestreo 20 % 6.1 Definición de muestreo 10 % 53

55 Estimación estadística (Muestras Grandes y Chicas, Varianza Conocida y Desconocida) Teoría de Decisión 6.7 Prueba Estadística de medias 6.8 Clasificar los tipos de Muestreo (cuota, aleatorio simple, estratificado) Calcular media, desviación estándar, probabilidad, tamaño de muestra, error muestral, intervalo de confianza para la distribución muestral de medias. x 1 Calcular: media, desviación estándar, probabilidad, tamaño de muestra, error muestral, intervalo de confianza para la distribución muestral de proporciones. x 1 Calcular: media, desviación estándar, probabilidad, tamaño de muestra, error muestral, intervalo de confianza para la distribución muestral de diferencia de medias. x 1 Calcular: media, desviación estándar, probabilidad, tamaño de muestra, error muestral, intervalo de confianza para la distribución muestral de diferencia de proporciones. x 1 25 % Plantear hipótesis nula y alternativas (prueba de 1 y 2 colas) x 1 Identificar los niveles de significación, error tipo I y tipo II 6.9 Calcular Estadístico de Prueba y Regla de Decisión. x 6.10 Calcular el valor p x Prueba Estadística de proporciones Plantear hipótesis nula y alternativas (prueba de 1 y 2 colas) x 1 Identificar los niveles de significación, error tipo I y tipo II 54

56 6.13 Calcular Estadístico de Prueba y Regla de Decisión. x 6.14 Calcular el valor p x Prueba Estadística de diferencia de medias Plantear hipótesis nula y alternativas (prueba de 1 y 2 colas) x 1 Identificar los niveles de significación, error tipo I y tipo II 6.17 Calcular Estadístico de Prueba y Regla de Decisión. x 6.18 Calcular el valor p x Prueba Estadística de diferencia de proporciones Plantear hipótesis nula y alternativas (prueba de 1 y 2 colas) x 1 Identificar los niveles de significación, error tipo I y tipo II 6.21 Calcular Estadístico de Prueba y Regla de Decisión. x 6.22 Calcular el valor de p x Prueba Estadística para la varianza de una y dos poblaciones Plantear hipótesis nula y alternativas (prueba de 1 y 2 colas) x 1 Identificar los niveles de significación, error tipo I y tipo II 6.25 Calcular Estadístico de Prueba y Regla de Decisión. x 6.26 Calcular el valor p x x 6.27 Lineal Regresión y correlación 6.28 Múltiple Conocer las condiciones en las que el modelo es válido 5 % Calcular: ecuación, estimación, análisis de correlación, recta de mínimos cuadrados x 1 Calcular: ecuación, estimación, análisis de correlación, recta de mínimos cuadrados 7.0 Estimación no paramétrica Elaborar casos de aplicación; 7.1 Prueba de Signo x 7.2 Prueba U de Mann Whitney x Prueba de Rangos de 7.3 Wilcoxon x 5 % 1 55

57 Prueba de correlación de Rangos Análisis de Varianza de Rangos de Friedman Coeficiente de Correlación de Rango de Spearman Coeficiente de correlación de Rango de Kendall x x x x Total 10 0 % 24 56