UNIDAD I CLASES DE NUMEROS

Transcripción

1 UNIDAD I CLASES DE NUMEROS LOS NÚMEROS ARÁBIGOS Los números arábigos, tal y como los usamos ahora, son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y el importantísimo 0. Se trata de un sistema de tipo decimal cuyas cifras ocupan un lugar con un determinado valor, siendo el del símbolo cero el lugar destinado al vacío. Tanta es nuestra confianza en estos números, internacionalmente aceptados, que ni siquiera somos conscientes del grado hasta el cual dependemos de ellos. Todos conocemos la gran simplicidad que los números arábigos han traído al cálculo aritmético. La carga innecesaria de la que han liberado a la mente humana es incalculable. Frente a cualquier otro sistema de numeración inventado por el hombre, permiten una mayor facilidad de manejo (debido a la presencia del cero). Pero le llevó al hombre cerca de cinco mil años, a partir del comienzo de los símbolos numéricos, para concebir un símbolo que representase la nada. No se conoce quién fue su inventor, sin duda uno de los pensadores más creativos y originales de la historia. Sólo sabemos que fue un hindú que vivió antes del siglo IX d.c. 1

2 Los hindúes denominaron a este símbolo sunya, que quiere decir nada o vacío y que fue adoptado por los árabes bajo la denominación de sifr, que en su idioma significaba lo mismo. Con el tiempo esta palabra se convertiría en cefer, más fácil de pronunciar. Finalmente dio origen en inglés a "cipher" y "zero" (esta última por intermedio de zefirum), así como a los vocablos castellanos cero y cifra. A continuación pueden compararse los números hindi con los actuales. Como puede comprobarse, presentan ciertas similitudes. Si los primeros se comparan con los árabes, en la tabla de la derecha, podrá verse que son idénticos. Fue el matemático italiano Leonardo Fibonacci, el más completo de la Edad Media, quien aprendió el nuevo sistema de numeración adoptado y mejorado por los árabes. Hacia el año 1200, cuando Fibonacci era joven, Pisa (su ciudad natal) tenía un gran ambiente comercial y estaba entregada al comercio con el Norte de África. Leonardo tuvo así la oportunidad de visitar esa región y de gozar de los beneficios de la educación árabe. En 1202 publicó su tratado Líber Abaci, en el que se empleaba ese sistema y el símbolo nada, enseñando su uso en aritmética e introduciendo definitivamente estos números. Por aquel entonces Europa empezaba tímidamente a salir de las tinieblas de la Edad Media. La prosperidad aumentaba y con ella el deseo de saber. En Italia había numerosos comerciantes que necesitaban realizar continuos cálculos para mantener sus negocios y, en cuanto comprobaron las ventajas de los números arábigos (denominados así, pese a su procedencia hindú, porque los europeos los aprendieron del pueblo musulmán) y la importancia del cero, adoptaron el nuevo sistema, aunque con cierta lentitud. Apenas si costó un par de siglos convencerlos para que aceptaran el cambio. 2

3 Debido a que estos números provenían de países que no usaban el alfabeto romano, sus formas eran muy distintas a las de las letras latinas, y esto también fue ventajoso: terminó así su confusión con los números romanos, que terminaron pasando completamente de moda, perdiéndose prácticamente su uso. Desde entonces se pudieron realizar las mismas operaciones con la centésima parte de las explicaciones y sin perderse ningún conocimiento, manteniéndose intactos hasta la actualidad. Numeración Romana Es un sistema de numeración que usa letras mayúsculas a las que se ha asignado un valor numérico. Este tipo de numeración debe utilizarse lo menos posible, sobre todo por las dificultades de lectura y escritura que presenta. Se usa principalmente: En los números de capítulos y tomos de una obra. En los actos y escenas de una obra de teatro. En los nombres de papas, reyes y emperadores. En la designación de congresos, olimpiadas, asambleas, certámenes... Reglas La numeración romana utiliza siete letras mayúsculas a las que corresponden los siguientes valores: Letras I V X L C D M Valores Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior. XVI = 16; LXVI = 66 3

4 En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas. En la antigüedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas. XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34 IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900 La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado. X = 10; C = 100; M = Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente. XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129 4

5 El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos. M= ALGUNOS NÚMEROS ROMANOS 1 = I 2 = II 3 = III 4 = IV 5 = V 6 = VI 7 = VII 8 = VIII 9 = IX 10 = X 11 = XI 12 = XII 13 = XIII 14 = XIV 15 = XV 16 = XVI 17 = XVII 18 = XVIII 19 = XIX 20 = XX 21 = XXI 29 = XXIX 30 = XXX 31 = XXXI 39 = XXXIX 40 = XL 50 = L 51 = LI 59 = LIX 60 = LX 61 = LXI 68 = LXVIII 69 = LXIX 70 = LXX 71 = LXXI 74 = LXXIV 75 = LXXV 77 = LXXVII 78 = LXXVIII 79 = LXXIX 80 = LXXX 81 = LXXXI 88 = LXXXVIII 89 = LXXXIX 90 = XC 91 = XCI 99 = XCIX 100 = C 101 = CI 109 = CIX 114 = CXIV 149 = CXLIX 399 = CCCXCIX 400 = CD 444 = CDXLIV 445 = CDXLV 449 = CDXLIX 450 = CDL 899 = DCCCXCIX 900 = CM 989 = CMLXXXIX 990 = CMXC 999 = CMXCIX = M = MX = ML 5

6 SISTEMA BINARIO DE NÚMEROS Un número binario sólo tiene ceros y unos. Este número es (1/2) + 0 (1/4) + 1 (1/8) (= en decimal) De la misma manera que en el sistema decimal, se pueden poner números a la izquierda o a la derecha del punto decimal, para indicar valores mayores o menores que uno. En el sistema binario: El número justo a la izquierda del punto es un número entero, lo llamamos unidades. Cuando vamos a la izquierda, cada posición vale 2 veces más. La primera cifra a la derecha del punto significa mitades (1/2). Cuando vamos a la derecha, cada posición vale 2 veces menos (la mitad de la anterior). Dos valores diferentes Como sólo puedes tener ceros y unos, en binario se cuenta así: Decimal: Binario: "El binario es tan fácil como 1, 10, 11." 6

7 Aquí tienes más equivalencias: Decimal: Binario: Definición de binario La palabra binario viene de "bi-" que significa dos. Tenemos "bi-" en otras palabras como "bicicleta" (dos ruedas) o "binoculares" (dos ojos). Cuando leas un número binario, pronuncia cada dígito (por ejemplo, el número binario "101" se lee "uno cero uno"). De esta manera la gente no los confunde con números decimales. Bits Un dígito binario por sí solo (como "0" o "1") se llama un "bit". Por ejemplo tiene cinco bits de longitud. La palabra bit viene de las palabras inglesas "binary digit" Cómo indicar que un número está en binario? Para mostrar que un número es binario, ponemos un pequeño 2 detrás: 1012 De esta manera nadie pensará que es el número decimal "101" (ciento uno). Ejemplos: Cuánto es en decimal? El "1" de la izquierda está en la posición "2 2 2", esto es (=8) El siguiente "1" está en la posición "2 2", esto es (=4) El siguiente "1" está en la posición "2", esto es 1 2 (=2) El último "1" son las unidades, es decir 1 Respuesta: 1111 = = 15 en decimal Cuánto es en decimal? El "1" de la izquierda está en la posición "2 2 2", así que vale (=8) El "0" siguiente está en la posición "2 2", así que vale (=0) 7

8 El "0" está en la posición "2", así que vale 0 2 (=0) El último "1" son las unidades, así que vale 1 Respuesta: 1001 = = 9 en decimal Cuánto es 1.12 en decimal? El "1" de la izquierda está en la posición de las unidades, así que vale 1. El "1" de la derecha está en la posición de las "mitades", así que vale 1 (1/2) Por tanto, 1.1 es igual a "1 y 1 medio" = 1.5 en decimal Cuánto es en decimal? El primer "1" está en la posición "2", así que vale 1 2 (=2) El "0" está en la posición de las unidades, vale 0 El "1" a la derecha del punto está en la posición de las "mitades", así que vale 1 (1/2) El último "1" está en la posición de los "cuartos", así que vale 1 (1/4) Entonces, es 2+0+1/2+1/4 = 2.75 en decimal "Hay 10 tipos de personas en el mundo, los que saben binario y los que no." 8