ACTIVIDADES POLINOMIOS

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1 ACTIVIDADES POLINOMIOS

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3 1. Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a polinomios. Justifica tu respuesta. a) ( ) = , , b) ( ) = c) ( ) = d) ( ) = 5 e) ( ) = 25 f) ( ) = Para cada uno de los polinomios de la actividad 1., indica el grado, el coeficiente principal y el término independiente. 3. En el polinomio ( ) = ,7 indicar: a) el número de términos es:. b) el tercer término es:.. c) el coeficiente del cuarto término es: d) el coeficiente del término lineal es: e) el coeficiente es:. f) el coeficiente principal es:.. g) el término independiente es:.. h) el grado del polinomio es:.. 4. Escribe un polinomio mónico, completo de grado impar mayor que cinco, de manera tal que, ordenado en forma creciente, cada coeficiente sea el triple del que le sigue. 5. Escribe un polinomio completo de grado 6, de forma tal que los monomios de grado par, tengan coeficientes irracionales y los de grado impar tengan coeficientes racionales. 6. Construye un polinomio completo de grado 5, de manera tal que, en cada monomio, la diferencia entre el coeficiente y el exponente de la indeterminada sea siempre igual a 1,2. 7. Especializa los siguientes polinomios en los valores indicados en cada caso: a) ( ) = en = 1 b) ( ) = en = 0,1 c) ( ) = en = 2 87

4 8. Averigua si 2, 0 ó 2 son raíces del polinomio ( ) = Averigua si 1, 1, 2, 2, 3 ó 3 son raíces del polinomio P( x) = x + 4x + x El polinomio ( ) = 3 + tiene por raíces a = 4 y = 1. Averigua el valor de. 11. Dados los polinomios: ( ) = 4 1 ( ) = ( ) = ( ) = + 4 ( ) = + 5 ( ) = + 2 Calcula: a) ( ) + ( ) = b) ( ) ( ) = c) ( ) + ( ) = d) 2 ( ) ( ) = e) ( ) + ( ) + ( ) = f) ( ) ( ) + ( ) = 12. Dados los polinomios: ( ) = ( ) = ( ) = Calcula: a) ( ) + ( ) ( ) = b) ( ) + 2 ( ) ( ) = c) ( ) + ( ) ( ) = 13. Halla ( ) sabiendo que: a) 2 6 ( ) = b) [5 ( ) 2 ] = Si a un polinomio ( ) le sumamos el opuesto del opuesto de ( ), cuál es el resultado final? 15. Encuentra el valor de,, y sabiendo que: ( + ) + + ( + ) + ( ) = Con los polinomios: ( ) = ( ) = ( ) = a) Indica el resultado de: ( ). ( ). ( ) b) Indica el resultado de: ( ). [ ( ) + ( ) ] 88

5 17. Con los polinomios: ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = Encuentra los resultados de: a) ( ). [ ( ) + ( ) ] c) [ ( ). ( ) ] [ ( ) ( ) ] b) 2 ( ) + 4. ( ) d) [ ( ) ] + 4 ( ) 5 ( ) 18. Resuelve los siguientes productos especiales: a) ( ) = c) + = b) 2 = d) = 19. Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones: a) ( ) : ( 2 ) = b) ( ) : ( 3 ) = c) ( ) : ( 4 ) = d) ( ) : ( 2 ) = 20. Halla el cociente y el resto de ( ) ( ) siendo: ( ) = ( ) = Verifica el resultado obtenido, aplicando el algoritmo de la división. 21. Es cierto que existe un polinomio ( ) tal que verifique: = ( ).? 22. Encuentra el dividendo ( ) de una división entera, sabiendo que el resto es ( ) = 3 +, el cociente es ( ) =. ( ) y el divisor es ( ) =. ( ). 23. Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones: a) ( + 2 8) : ( 2 + 1) = b) ( ) : ( + 3 2) = c) ( ) : ( + 3) = d) ( ) : 2 = 89

6 24. Sabiendo que el dividendo es ( ) = divisor es ( ) = cociente es ( ) = y resto es ( ) = , verificar que: ( ) = ( ). ( ) + ( ) 25. Halla el resto de las siguientes divisiones enteras: a) ( ) : ( 2) = b) ( ) : ( 1) = c) ( 3 + 4) : 3 = d) ( + 3 1) : ( + 1) = 26. Encuentra el cociente y el resto de las siguientes divisiones enteras de polinomios, aplicando la regla de Ruffini: a) ( ) : ( 5) = b) ( ) : ( + 4) = c) + : = d) : + 2 = e) ( 0,1 + 0,01 + 0,2 + 0,02) : ( + 0,1) = 27. Calcula directamente el resto, aplicando el Teorema del resto en los ejercicios anteriores, verificando los resultados obtenidos. 28. Transforma las siguientes divisiones para poder aplicar la regla de Ruffini. Calcula en cada caso el cociente y el resto de la división. a) ( ) : ( 2 1) = b) : ( 3 + 2) = c) 27 : 3 = 90

7 29. Halla el valor de m para que resulte cociente exacto: a) ( ) : ( 1) = b) : = 30. Encuentra el valor de para que al dividir: a) por + 3 se obtenga de resto 5. b) por 2 se obtenga de resto 1. c) por + 1 se obtenga de resto Hallar, según corresponda los valores de, o, tales que verifiquen: a) ( ) = con ( 1) = 5 b) ( ) = + + 0,5 siendo = 3 una de sus raíces. c) ( ) = + ( 16 + ) 2 con ( 2) = 8 d) ( ) = + + siendo = 1 = 1 sus dos raíces. e) S( ) = 11 + ( ) = tengan a = 4 como raíz común. f) El resto de dividir ( 3 ) por ( 1) sea 16 Puede indicar cuál es el polinomio cociente y qué raíces tiene? Son éstas también raíces del primer polinomio? 32. Indica si cada afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta. a) ( 1) es un factor de ( + 2 3). b) ( + 3 4) se escribe como producto de ( + 1) por algún otro polinomio. c) ( + 3 1) es factor de ( + 3 ). d) El resto de dividir ( 16) por ( 2) es cero. 33. Para cada par de polinomios, indica si ( ) es divisible por ( ). a) ( ) = ( ) = + 3 b) ( ) = ( ) = c) ( ) = ( 4 + 3) ( ) = + 3 d) ( ) = 1 ( ) = 1 91

8 34. Dado el polinomio ( ) = a) Halla el resto de la división de ( ) por ( ) = 3. b) Idem al anterior, siendo ( ) = + 3. c) Indica si ( ) es divisible por ( ) o por ( ). Trabajo Práctico 35. a) Calcula el valor de k para que ( ) = + 5 divida a ( ) = b) Encuentra el cociente de la división ( ) : ( ). 36. Es posible que un polinomio de grado nueve, tenga exactamente ocho raíces reales. Justifica tu respuesta. 37. Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justifica tu respuesta. Todas las raíces de un polinomio de grado par, pueden ser no reales. 38. Analiza cuántas raíces no reales puede tener un polinomio de grado seis. 39. Encuentra las raíces reales (si es que existen) de los siguientes polinomios y expresa en forma exacta (si es necesario trabaja con radicales): a) ( ) = 4 8 b) ( ) = c) ( ) = 5 d) ( ) = + 1 e) ( ) = f) ( ) = Halla las raíces racionales (si existen) de los siguientes polinomios: a) ( ) = b) ( ) = c) ( ) = d) ( ) = Indica cuáles de los siguientes polinomios son primos y cuáles son compuestos: a) ( ) = + 4 b) ( ) = 16 c) ( ) = d) ( ) = e) ( ) = f) ( ) =

9 42. Es primo un polinomio que sea producto de dos polinomios primos? 43. Extrae factor común en los siguientes polinomios: a) = b) 2 + = c) h + h h = d) + = e) h + h h + h = f) = 44. Extrae factor común por grupos en los siguientes polinomios: a) + = b) = c) = d) + = e) 0,9 3 0,03 + 0,1 = f) + = 45. Transforma en factores las siguientes diferencias de cuadrados: a) = b) 1 = c) 0,01 25 = d) ( + ) = e) ( + ) = f) 1 ( 3 ) = 46. Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: a) = b) 1 + = c) 0, = d) + + = e) 1 + = f) 1 + = 93

10 47. Factoriza los siguientes trinomios completando cuadrados: Trabajo Práctico a) = b) = c) = d) = e) + 2 = f) = g) = h) = 48. Factoriza completamente los siguientes polinomios, utilizando cualquiera de los métodos estudiados: I) = II) + = III) = IV) 2 8 = V) = VI) = VII) = VIII) 9 + = IX) = X) + = XI) = XII) = XIII) = XIV) ( + 2) ( + 2) = XV) ( 1) ( 3) = XX) = XXI) = XXII) = XXIII) + + = XXIV) + + = XXV) = XXVI) 2 32 = XXVII) + = XXVIII) + = XXIX) 81 9 = XXX) 5 20 = XXXI) = XXXII) = XXXIII) + = XXXIV) = 94

11 XVI) ( 16) + ( 2 + 4) = XVII) = XVIII) = XIX) = XXXV) = XXXVI) + + = XXXVII) + 1 = 49. Halla el múltiplo común de menor grado de los siguientes polinomios: a) ( ) = ( 4 8) ( 2 + 6) ( ) = 8 72 b) ( ) = ( ) = a) Verifica que la expresión algebraica fraccionaria se puede simplificar por ( 2) para 2. b) Verifica que la igualdad obtenida no se cumple para = Simplifica, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas racionales e indica para qué valores de se verifica la igualdad. a) = h) = b) = c) = d) = i) = j) = k) = e) = l) = f) = m) = g) = n) = 95

12 52. Dadas las expresiones algebraicas racionales: ( ) = ( ) = ( ) = Calcula: a) ( ) + ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) + ( ) d) ( ) + ( ) ( ) 53. Calcula las operaciones indicadas y simplifica cuando sea posible las siguientes expresiones algebraicas racionales e indica el dominio de validez. a) + = b) = c) + = d) + = e) + = f) + = g) + = h) + = i) + = j) = k) = l) = 96

13 m) = n) : = o) : = p) : = q) : = 54. Resuelve las operaciones indicadas entre las expresiones algebraicas dadas, simplificando primero cada término (cuando sea posible), e indica el dominio de validez. a) + : = b) : + = c) + = d) : + = e) + : ( ) ( ) = f) + = 97

14 A PREN DIEN DO APLICÁ LO QUE APRENDISTE (polinomios) 1. Encuentra el valor de,, y sabiendo que: ( + ) + + ( + ) + ( ) = Factoriza completamente el siguiente polinomio obteniendo al menos una raíz por el método de Gauss: ( ) = Factoriza, opera y simplifica el resultado tanto como sea posible indicando para qué valores de es válida la igualdad: = 4. Factoriza aplicando la regla de Ruffini: ( ) ( 3 6) 5. Efectuar las siguientes operaciones y simplificar: