Mecanica en la Medicina El Movimiento del Cuerpo Humano Teoría

Transcripción

1 Mecanica en la Medicina El Movimiento del Cuerpo Humano Teoría Dr. Willy H. Gerber Instituto de Ciencias Físicas y Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Austral de Chile Valdivia, Chile 1

2 Describiendo nuestro mundo Para describir nuestro mundo debemos introducir parámetros que nos permiten reproducir una situación existente. En lo que se refiere al movimiento del cuerpo humano esto seria su posición en el espacio. Esto es la posición y orientación de cada uno de nuestras partes corporales. Si deseamos describir como la posición evolucionara en el tiempo debemos ademas indicar como esta varia en el tiempo. 2

3 La Posición - traslación La posición de un cuerpo se define mediante tres coordenadas. Si deseamos describir como estas variables variaran en el tiempo, debemos determinar/indicar como cada una de las variables variara en el tiempo: donde t es el tiempo. 3

4 La Posición - rotación Para un cuerpo tridimensional no basta con indicar donde se encuentra, ademas hay que definir la orientación que tiene. Para ello basta con señalar un eje y el angulo en que se le debe rotar respecto de su orientación original. Para indicar en que dirección apunta el eje bastan dos coordenadas como podrían ser ángulos tales como la latitud y longitud. En conjunto con el angulo de rotación se requieren de tres parámetros (ángulos) para definir la orientación de un cuerpo. 4

5 La Velocidad - traslación Para describir como se mueve el cuerpo es necesario indicar como varia la posición en el tiempo. Se introduce la velocidad que es el camino recorrido dividido por el tiempo transcurrido: Esta velocidad es la velocidad media entre aquella en el tiempo t y t+dt. Si se desea la velocidad instantánea (en un instante), se debe escoger un intervalo de tiempo infinitesimal (dt->0) lo que corresponde a la derivada temporal: 5

6 Información Adicional La derivada de una curva es la pendiente de la recta tangente al punto en que se calcula esta: Se obtiene dividiendo el incremento en el valor de la función por la variación de la variable en el limite infinitesimal. 6

7 La Velocidad - rotación Para describir como rota un cuerpo es necesario indicar como varia el angulo en el tiempo. Se introduce la velocidad angular que es el angulo recorrido dividido por el tiempo transcurrido: Nota: para simplificar no se considera la variación del eje. Esta velocidad angular es la velocidad angular media entre aquella en el tiempo t y t+dt. Si se desea la velocidad angular instantánea (en un instante), se debe escoger un intervalo de tiempo infinitesimal (dt->0) lo que corresponde a la derivada temporal: 7

8 Advertencia La velocidad y velocidad angular se pueden estimar dividiendo la diferencias entre dos posiciones/ángulos y el tiempo que ha transcurrido Sin embargo esto solo es el valor promedio para el tiempo considerado. Si comenzó a correr y recorrió en 2 segundos una distancia de 4 metros solo sabrá que su velocidad Promedio fue 2 metros por segundo. Como su velocidad inicial fue cero es posible que su velocidad final fue de 4 metros por segundo. Las ecuaciones indicadas son solo instantáneas si la aceleración fue nula o sea la velocidad constante. 8

9 Velocidad tangencial Para el caso de un movimiento circular el camino recorrido corresponde al arco donde r es el radio. Por ello la velocidad tangencial (a lo largo del circulo) es o sea 9

10 La Aceleración - traslación Si la velocidad varia en el tiempo es necesario introducir el concepto de aceleración Esta se define como la variación de la velocidad en el tiempo considerado: Esta aceleración es la aceleración media Entre aquella en el tiempo t y t+dt. Si se desea la aceleración instantánea, se debe escoger un intervalo de tiempo infinitesimal (dt->0) lo que corresponde a la derivada temporal: 10

11 Información Adicional Si se conoce derivada de una función y se desea calcular esta, se debe calcular el integral de la derivada La integral es el área debajo de la curva entre los limites de integración 11

12 Aceleración gravitacional Galileo Galilei descubrió arrojando objetos desde la Torre de Pisa que los cuerpos caen bajo efecto de la gravedad con una aceleración constante: En forma vectorial Eso significa que si arrojamos un objeto en forma horizontal Su velocidad sera constante. 12

13 Aceleración constante Como la aceleración es la velocidad sera con v_z0 la velocidad inicial (t=0). Para el caso de la aceleración constante es Galileo Galilei ( ) y en el caso de aceleración gravitacional 13

14 Aceleración constante Como la velocidad es la posición sera con x_z0 la posición inicial (t=0). Para el caso de la aceleración constante se tiene que 14

15 Parábola del salto Si saltamos observaremos siempre una parábola 15

16 Aceleración centrifuga/centrípeta Cuando un cuerpo se desplaza en una órbita circular sufre una aceleración (variación de la velocidad tangencial) en dirección del centro (centripeta). Para calcular la aceleración se tiene por Pitagoras que Para variaciones menores (dr << r) por lo que o sea 16

17 Caminar y correr Al caminar nuestro cuerpo quisiera continuar en una trayectoria recta experimentando una aceleración centrifuga respecto del suelo. Sin embargo la gravedad nos retiene y caminamos: Si la aceleración centrifuga supera a la aceleración gravitacional nos desprendemos del suelo y comenzamos a correr: 17

18 El Momento - traslación Para comprender como se genera el movimiento se definió lo que se denomino el movimiento que contiene un cuerpo. Esta magnitud se denomina momento y se define como la masa multiplicada por la velocidad: Esta magnitud se logra transmitir de un cuerpo a otro conservando se, como se puede mostrar con la pelota en la imagen. 18

19 El Momento Angular rotación En analogía se puede definir un momento angular. Para ello debemos multiplicar lo que es la velocidad angular (en vez de la velocidad) por un equivalente de la masa que llamaremos momento de inercia. Por ello se tiene que el momento angular es: También este se conserva como se puede mostrar con la rueda de bicicleta con la que se logra pasar momento angular a la silla y vice versa. 19

20 Primera Ley de Newton - traslación Ley de Inercia Todo cuerpo mantiene su estado ya sea inmóvil o moviéndose en forma uniforme y en línea recta, a menos que actúa una fuerza sobre el. En forma matemática, el momento se conserva o sea: Sir Issac Newton ( ) Si la masa no varia esto equivale a que la velocidad es constante: 20

21 Primera Ley de Newton - rotación Ley de Inercia de Rotación Todo cuerpo mantiene su estado ya sea inmóvil o rotando en En torno a un eje, a menos que actúa un torque sobre el. En forma matemática, el momento se conserva o sea: Como el momento de inercia se puede modificar, la velocidad angular variara de modo que el momento angular sea constante: 21

22 Segunda Ley de Newton - traslación Ley de Aceleración La tasa de cambio del momento de un cuerpo es proporcional a la resultante de la fuerza que actúa sobre el cuerpo y en la misma dirección. La constante de proporcionalidad se denomina masa inercial que es distinta a la masa gravitacional. En forma matemática, que si la masa es constante es 22

23 Segunda Ley de Newton - rotación Ley de Aceleración Angular La tasa de cambio del momento angular de un cuerpo es proporcional a la resultante del torque que actúa sobre el cuerpo en el mismo eje. La constante de proporcionalidad se denomina momento de inercia. El torque seria y para momento de inercia constante con alpha la aceleración angular. 23

24 Aplicación de Fuerzas Toda fuerza se puede descomponer en una componete que actuá sobre el centro de masa y genera traslación y una perpendicular que genera torque y con ello rotación. El torque es y las aceleraciones son El centro de masa es aquel punto en un cuerpo sobre el que cualquier fuerza no genera rotación 24

25 Tercera Ley de Newton - traslación Ley de Acción y Reacción Toda fuerza ocurre en pares, y estas dos fuerzas son iguales en magnitud y dirección opuesta. Cuando rechazamos generamos una fuerza sobre el suelo y una de igual magnitud pero en dirección opuesta sobre nuestro cuerpo. Para esto es clave que: - exista roce entre el pie y el suelo (no se resbale) - la masa del planeta es grande de modo que absorba el impuso (variación de momento). 25

26 Tercera Ley de Newton - rotación Ley de Acción y Reacción en el caso de la rotación Todo torque ocurre en pares, y estos dos torques son iguales en magnitud y dirección opuesta. La ventaja de la ley de acción y reacción en rotación es que no necesita un sistema externo. Puede ser aplicado a un cuerpo en vuelo tal como el gato o cualquier deportista que debe variar la posición de su cuerpo durante un salto. 26

27 Trayectoria de un Cuerpo Todo salto se compone de una parábola del centro de masa (en el salto no existe fuerza que actúe por lo que la aceleración es solo la gravitacional) y movimientos de rotación de un movimiento inicial y/o generado. 27

28 Fuerzas Existen distintas fuerzas como la gravitacional que también se denomina peso. Se calcula multiplicando la masa por la aceleración gravitacional y tiene dirección vertical: Los resortes generan una fuerza proporcional al largo de su elongación x: Por lo que se les usa para medir fuerza (dinamometro) 28

29 Energía Carnot fue el primero en describir la energía en función del camino y la fuerza necesaria para recorrerlo. Nicolas Carnot ( ) Las unidades con que se mide la energía son los Joules (antes las calorías) y corresponden a aplicar una fuerza de un Newton para mover un cuerpo una distancia de un metro. 29

30 Energía Cinética La energía que tiene un cuerpo se puede calcular con la ayuda de la segunda ley de Newton y se denomina energía cinética (del movimiento) 30

31 Energía Potencial Para las distintas fuerzas ya introducidas se tienen las energías potenciales En general la energía total es la energía cinética y la potencial que tiene un cuerpo. La energía cinética se puede convertir en potencial y vice versa. 31

32 Literatura [1] Human Body Dynamics: Classical Mechanics and Human Movement, Aydın Tözeren, Springer-Verlag New York, Inc., 2000, ISBN [2] Introduction to Sports Biomechanics, Roger Bartlett, E & FN Spon, 2002, ISBN [3] Sports Biomechanics, Roger Bartlett, Routledge, 2007, ISBN10: [4] Biomechanics, Principles and Applications, Donald R. Peterson, Joseph D. Bronzino, CRC Press, 2008, ISBN 13: