TEMA 3. SISTEMA DISCRET DE PARTÍCULES. SÒLID RÍGID.

Transcripción

1 Tea. Sstea dscret de partícules. Sòld rígd. TEMA. SISTEMA DISCRET DE PARTÍCUES. SÒID RÍGID. Supose que en l espa h ha dstrbuïdes n partícules puntuals ab asses, r r r,..., n. Cada partícula està posconada pel seu vector poscó,,..., n respecte el ate sstea de referènca nercal... Centre de asses d un sstea de partícules llures puntuals. El centre de asses o centre de gravetat () d un sstea de partícules es defne co: r r r r r + r n rn n El centre de asses representa la poscó que tndra una sola assa ab valor sua de totes les partícules, que les substtuís. EXEMPE. Calculeu la poscó del del sstea forat per kg 5kg. Els seus vectors r r r r r r 5 r r poscó són + j k + j k. S vole pode calcular els coponents del centre de asses per separat. Aí ens quedaren els coponents del centre de asses epressats co: n n n y + y n yn y n z + z n zn z n.. Defncó de sòld rígd. Quan en un sstea de partícules puntuals les dstànces relatves es antenen constants de que el sstea es coporta co un sòld rígd. Co eeples de sòld rígds ten tots els cossos sòld sepre quan les vbracons que realtzen els seus àtos les deforacons que es produeen per accó de les forces (traccó, copressó, fleó torsó) sgun neglgbles. En ser les dstànces nteratòques olt pettes pode consderar que qualsevol cos sòld és contnu. És per aò que tabé pode dr que els sòlds rígds són sòlds contnus... Centre de asses d un sòld contnu regular. Consdereu un sòld contnu qualsevol que es troba en absènca de l accó de la gravetat. S el colpege per un punt observare que el sòld es ou descrvnt una translacó una rotacó. Tots els punts del sòld descruen una trajectòra crcular respecte el centre de asses o centre de gravetat el centre de gravetat descru una trajectòra rectlína. Per Roger Maurco Grañó

2 Tea. Sstea dscret de partícules. Sòld rígd. El càlcul del centre de asses d un sòld contnu ve donat per les següents ntegrals. d; y M cos M cos y d Aquest càlcul és coplcat però en el cas dels sòlds regulars (esferes, lànes quadrades o rectangulars, lànes trangulars, etc...) les seves setres la seva dstrbucó de assa unfore en redue la dfcultat. Cercle de rad R àna quadrada de costat àna rectangular de costats àna trangular de costats a,b c h h h àna secrcular de rad R. 4R π Per Roger Maurco Grañó

3 Tea. Sstea dscret de partícules. Sòld rígd. En aquest tea aprendre a deternar els centres de asses d algunes fgures geoètrques no regulars, concretaent les que estan forades per fgures regulars. - Càlcul del centre de asses. Quan els sòld rígds estgun forat per és d una part regular aplcare cnc passos per deternar el seu centre de asses.. Prer dvdre la fgura en la enor quanttat possble de fgures geoètrques regulars.. Posconare els centres de asses de cada una de les fgures geoètrques regulars.. Calculare la assa de cada fgura geoètrca regular. 4. Substture les fgures geoètrques regulars per asses puntuals stuades en els centres de asses calculats en el punt. 5. Calculare el centre de asses total ab les equacons de l apartat.. EXEMPE. Calculeu el centre de asses de la làna de la fgura. y 5 c. Dvd la fgura en fgures geoètrques senzlles.. Marcare els centres de asses de cada fgura.. Calculare la assa que té cada una de les fgures regulars. σ S σ S σ S σ σ σ y y ( ) ( ) ) y 8 Per Roger Maurco Grañó

4 Tea. Sstea dscret de partícules. Sòld rígd. 4. Substture les fgures per les asses anterors. 5. Calculare el centre de asses de la fgura rregular y y + y + y + + σ σ ( ) + σ ( ) + σ ( ) σ ( ) + σ ( ) + σ ( ) ( ) + σ ( )( ) + σ ( ) σ ( ) + σ ( ) + σ ( ) y 7 c Moent d nèrca. El oent d nèrca respecte un e de gr ens peret conèer:. Co està dstrbuïda la assa al voltant de l e de gr.. la dfcultat de fer grar el cos respecte l e de gr. El oent d nèrca de qualsevol partícula puntual ve donat per : I r S una sòld està forat per n partícules puntuals el seu oent d nèrca vndrà donat per la sua dels oents d nèrca de cada partícula. I I n n r S el sòld és contnu, la sua anteror es convertrà en una ntegral. I d r Per splfcar pode usar els oents d nèrca d alguns sòlds rígds regulars. Esfera assssa de rad R respecte el seu dàetre Closca esfèrca de rad R respecte el seu dàetre I MR 5 I MR Anell clíndrc de rad R respecte el seu e I MR Clndre sòld de rad R respecte el seu e I MR 4 Per Roger Maurco Grañó

5 Tea. Sstea dscret de partícules. Sòld rígd. Clndre assís de rad R longtud respecte el dàetre que passa pel centre és perpendcular al clndre R I M 4 + Barra pra de longtud respecte a una recta que passa pel seu centre és perpendcular a la barra. I M Paral lelepípede d arestes a, b c respecte un e que passa pel centre és paral lel a l aresta c ( b ) I M a +.5. Teorea d Stener. S conee el oent d nèrca respecte d un e que pass pel centre de asses d una fgura, pode calcular fàclent el oent d nèrca respecte de qualsevol e paral lel al prer. on d és la dstànca entre els dos eos. I I + d A EXEMPE Calculeu el oent d nèrca respecte l e A que passa per l etre d una barra pra de longtud. Dada: I oent d nèrca respecte d un e que passa pel és perpendcular a la barra. Aplque el teorea d Stener. I A I d + d I A + I A 5 Per Roger Maurco Grañó

6 Tea. Sstea dscret de partícules. Sòld rígd..6. Teorea de la fgura plana. Aquest teorea relacona els oents d nèrca respecte eos perpendculars entre s contnguts en el pla que conté la fgura plana, ab el oent d nèrca perpendcular a la fgura plana que passa pel punt de tall dels dos eos anterors. Supose una partícula puntual ( ) de la fgura plana. El seu oent d nèrca respecte els eos y són I y I y.el oent d nèrca de la assa respecte l e z serà I Z a on a + y. Substtunt, ens quedarà: I a I + y Z Z ( ) Aplcant aquest raonaent a tots els punts del sòld suant per a tot el sòld, ens quedarà: I + y I + y I I + I Z ( ) Z ( ) ( ) Z y.7. Moent d nèrca de fgures copostes. S un sòld està forat per dverses parts, pode calcular el seu oent d nèrca co la sua dels oents d nèrca de cada part, sepre tennt en copte que els oents s han de calcular respecte el ate e de gr. EXEMPE cos I k N I Calculeu el oent d nèrca respecte l e A de la fgura forada per una esfera de rad R una barra pra de longtud de asses M respectvaent. R M 0,5 kg 0, kg 0,5 R 0,.8. Representacó de forces en els sòlds contnus. Els sòlds contnus estaran sotesos a l accó de forces puntuals que són produïdes per altres sòlds o superfíces. En aquest apartat aprendre a dentfcar les forces que apareen sobre un cos per contacte ab un altre objecte. Un cop dentfcada la força pode substtur el cos causant de la força per una de puntual. Els tpus de contactes és habtuals que ens pode trobar són: 6 Per Roger Maurco Grañó

7 Tea. Sstea dscret de partícules. Sòld rígd. CONTACTES EN UN PUNT Cable tens sense pes: a força que fa el cable és en el sentt del cable ja que el cable sepre estra a epeny. Cable ab pes: a força és tangent a la curvatura del cable en el punt de contacte el sentt és el del cable ja que sepre estra a epeny. Contacte entre superfíces llses en un punt: a força és perpendcular a la superfíce de contacte. Contacte entre una superfíce llsa un cantell: a força és perpendcular a la tangent de la corba en el punt de contacte. Contacte entre superfíces ab frec: H ha dues forces, una és perpendcular a la tangent en el punt de contacte l altra és tangent a la corba en el punt de contacte. contacte. F r F F r F CONTACTES EXTENSOS Contactes etensos entre superfíces planes: - Contacte en tota la superfíce plana. a força és perpendcular a la superfíce de contacte. No pode establr-ne el punt d aplcacó. - Contacte en una aresta de la superfíce. a força actua a l aresta és perpendcular a la superfíce de recolzaent. Rodets gues llscants sense fregaent: a força és perpendcular a la dreccó de ovent del rodet. Artculacó: Actuen dues forces, una paral lela l altra perpendcular a la paret o al terra. 7 Per Roger Maurco Grañó

8 Tea. Sstea dscret de partícules. Sòld rígd. Encastaents: Actuen dues forces, una paral lela l altra perpendcular a la paret o al terra, un oent aplcat en l encastaent. RESOUCIÓ DE PROBEMES AMB SÒIDS CONTINUS Quan resoleu problees de dnàca haureu de procedr de la següent anera:. Observare el sòld a estudar dentfcare els tpus contactes a què està sotès.. Aïllare el sòld substture els contactes per les forces els oents. Dbuare les forces els oents on es produïa el contacte.. Fare el recopte del nobre d ncògntes. 4. Escrure les equacons de la dnàca que correspongun. 8 Per Roger Maurco Grañó