Uno de los objetivos marcados por RES es que el alumno pueda construir sucesiones de números

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1 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Sucesiones numéricas M. en C. César O. Pérez Carrizales Uno de los objetivos marcados por RES es que el alumno pueda construir sucesiones de números a partir de una regla dada y determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas. Una dificultad que hemos detectado al realizar observaciones en diferentes colegios es que los maestros tienen dificultades para explicar a los alumnos esta segunda parte, la de determinar la expresión que define una regla dada. Los maestros obtienen fácilmente la regla y dicen a los alumnos cuál es, les explican porqué esa es la regla, pero tienen dificultad para darles sugerencias de cómo obtener la regla. La reforma es clara al señalar: Es necesario no caer en la tentación de decirles cuál es la regla general de la sucesión, sino animarlos a probar distintas alternativas hasta que encuentren una que les satisfaga. La actividad sucesiones numéricas (Pagina del libro de primero de secundaria) tiene como objetivo desarrollar algunas habilidades que pueden facilitar a los alumnos la entrada al lenguaje algebraico y en esta asesoría analizaremos recursos útiles para el maestro en la explicación de cómo obtener la regla. Descripción de la variación entre términos de una sucesión El primer bloque de esta actividad es el siguiente. Indica qué número sigue en cada una de las secuencias numéricas. a) b) c) d) e), 0,, 6,, 5, 9,,,,, 8, 6,,, 9, 6, 8, 00,,,,,, 6, 08,, El objetivo de este bloque es que los alumnos observen la forma en que varían los términos de una sucesión, puedan describirla y a partir de esta descripción puedan obtener los términos siguientes. En las sucesiones a y b los términos se forman sumando una constante al término anterior (se suman tres en la a y cuatro en la b). Permita que sean los alumnos quienes expliquen cómo se forman los términos En la sucesión c cada término se forma multiplicando el previo por. La sucesión d puede obtenerse mediante el cuadrado de números enteros, comenzando con el, 8, 9, 0,,,...

2 Sin embargo no todos los alumnos lo ven de dicha manera CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Tenga en cuenta que, al igual que ocurre en este caso, en el resto de las sucesiones puede ocurrir que los alumnos describan reglas muy diferentes a las esperadas por nosotros y sin embargo son correctas. Cuando se dé este caso de a los alumnos la oportunidad de que expliquen sus métodos, ya que cada una de esas soluciones permite observar diferentes propiedades de las sucesiones. En la quinta sucesión cada número se forma multiplicando por el término anterior. Obtención de la expresión que describe a una sucesión La actividad continúa con el siguiente ejercicio La siguientes secuencias de figuras se construyen utilizando regletas blancas: Secuencia Secuencia Responde las siguientes preguntas: a) Cuántas regletas serán necesarias para las siguientes tres figuras de cada secuencia? b) Cuantas se necesitan para construir la figura número 0 de cada secuencia? c) Cuántas se necesitan para construir la figura número 5 de cada secuencia? d) Cuántas se necesitan para construir la figura número 9 de cada secuencia? e) Cuántas se necesitan para construir la figura número de cada secuencia? f) Cuántas se necesitan para construir la figura número de cada secuencia?

3 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Resultará fácil para los alumnos determinar la cantidad de regletas necesarias para las siguientes tres figuras de cada secuencia, pero para obtener la 9ª o la ª tendrán dificultad y surgirá la necesidad de determinar una regla de construcción de las sucesiones. Secuencia Nuestra sugerencia para analizar la primer secuencia es mediante una tabla. Puede dibujar la tabla en el pizarrón y construir la figura con sus regletas magnéticas. Al llenar la columna cantidad de regletas podrá observarse una secuencia numérica. 0 Sobre esta sucesión numérica se pueden aplicar los métodos de descripción usados en la actividad anterior. Puede observarse que la secuencia se forma sumando al término anterior. Algunos alumnos intentarán usar esta suma para determinar cuántas regletas se usan para términos posteriores, sin embargo aún será difícil determinar la cantidad de regletas necesarias para un número de figura muy grande. La siguiente columna la utilizaremos para describir cómo se va formando cada nuevo número tomando el número anterior.

4 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Esta última columna hace muy explícito el proceso de adición necesario para construir el siguiente término. A esta columna le llamaremos descripción aditiva. Pida a sus alumnos que verbalicen la operación que se realiza en el renglón y. En el caso de la operación ++, surgirá una verbalización muy útil: uno más dos veces el tres. Aproveche esta verbalización para que la operación +++ se describa como uno más tres veces el tres. Aproveche esta verbalización para llenar la siguiente columna a la que llamaremos descripción multiplicativa. Aumente la cantidad de columnas para motivar la generalización de esta regla () () 5 +() 6 +5() +6() Usaremos esta última columna para obtener la fórmula correspondiente a la sucesión. Pida a los alumnos que observen que es lo que se mantiene constante y que es lo que cambia en la última columna. Puede observarse que se conserva el, la suma y el. Por lo tanto la expresión quedará + algo(). Es en este

5 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE momento cuando podemos trabajar con la fila y la fila. Si nos regresamos en esa secuencia de operaciones, la tabla quedará como sigue. +0() + +() + + +() Para determinar de que depende el número faltante, comparemos la primer columna ( Número de figura ) y la columna de la descripción multiplicativa. Número de figura +0() 5 +() +() +() +() 6 +5() +6() La comparación de estas columnas facilitará a los alumnos observar que ese algo faltante corresponde al número de figura menos. Conviene que antes de escribir la fórmula usando variables, se use una combinación de operaciones y palabras que faciliten al alumno entender la expresión final. Con esta combinación de operaciones y palabras la fórmula quedará de la siguiente manera: Numero de + Figura- () Sugiera a los alumnos que en lugar de utilizar la frase completa número de figura, por comodidad usaremos solamente la inicial. De esta manera, la expresión quedará: C = + (n - ) ()

6 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Variaciones obtenidas por los alumnos Una variación menor surge cuando los alumnos verbalizan de manera diferente la columna de descripción aditiva ++ uno más el tres dos veces +() +++ uno más el tres tres veces +() ++++ uno más el tres cuatro veces +() Al pedir a los alumnos que describan que es lo se mantiene constante y que es lo que varía, llegaremos a la expresión C = + () (n-) Esta misma variación puede obtenerse cuando algunos alumnos construyen la sucesión con las regletas de la siguiente forma 0 En este caso la descripción aditiva no es necesaria. La construcción con regletas lleva directamente a verbalicaciones que permiten obtener una descripción multiplicativa. uno mas tres veces la regleta + () 0 5 uno mas tres veces la regleta uno mas tres veces la regleta +() +()

7 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Variación Una variación que nos parece muy interesante es la que surge cuando algunos alumnos visualizan las figura como regletas que se enciman, de la siguiente forma. Podemos ver que al construir la figura de esta forma, hay las tres regletas se enciman en un área equivalente a una regleta blanca, por lo que estamos contando cuadros de más. La descripción quedaría de esta manera 0 tres veces la regleta menos ()- tres veces la regleta menos ()- tres veces la regleta menos ()- Al pedir a los alumnos que describan que es lo que cambia y que se mantiene constante en la última columna, obtendremos la siguiente expresión C = n Observe que esta forma de interpretar la construcción no se puede realizar físicamente con regletas, aunque usted si la puede realizar con sus regletas de imán. Un alumno que hace esta interpretación ya no está dependiendo de las regletas físicas, sino en las imágenes y en el área que éstas cubren. Si ya ha trabajado con los alumnos la propiedad distributiva, puede invertir algo de tiempo comparando ambas expresiones C = + () (n-) C = n -

8 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Sucesión de triángulos Las figuras mostradas fueron construidas con regletas amarillas. Indica en cada caso cuántos triángulos se forman y cuántas regletas son necesarias para formarlos. Si continuas la secuencia: a) Cuántos triángulos tendrá la séptima figura de la secuencia? Y la octava? b) Cuántas regletas serán necesarias para construir la séptima figura? Y la octava? Figura Figura c) Cuántas regletas serán necesarias para construir la figura 5 de la secuencia? d) Cuántas regletas serán necesarias para construir la figura 5 de la secuencia? Figura Puedes explicar como va creciendo el patrón? Nº de figura Figura Figura Figura Nº de triángulos Nº de regletas Cuántas regletas serán necesarias para construir la figura 80 de la secuencia anterior? Aunque puede parecer muy obvio que el número de triángulos corresponde al número de figuras, hay alumnos que no logran verlo hasta que comienza a llenar una tabla. Para obtener la expresión para calcular la cantidad de regletas utilizadas llenaremos nuevamente una tabla 5 ()-

9 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Haciendo una descripción aditiva obtenemos Llenando una columna con la descripción multiplicativa tendremos 5 + +() ++ +() +++ +() De la última columna podemos obtener la expresión C=+(n-) Una variación de la tabla sería la siguiente () +++ +() En este caso, la expresión obtenida es C= +n 9

10 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Nuevamente, puede comparar las diferentes expresiones resultantes. Responde las siguientes preguntas: Figura 0 Cuántas regletas serán necesarias para construir la figura 0 de la secuencia mostrada arriba? Cuántos cuadrados se formarán? Figura 0 Cuántas regletas serán necesarias para construir la figura 0 de la secuencia mostrada arriba? Cuántas regletas serán necesarias para construir la figura 5 de la secuencia mostrada arriba? Cuántos cuadrados se formarán? Figura 5 Cuántos cuadrados se formarán? Si tuvieras 8 regletas, cuántos cuadrados se pueden formar? Las tablas para resolver el ejercicio de la figura formada por palillos es la siguiente () +++ +() La expresión que se obtiene de la tabla es la siguiente: C = + (n-) 0

11 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE () () Número de la figura La expresión que se obtiene de la tabla es la siguiente: C = +6 (n-) Figura Cantidad de regletas () () La expresión que se obtiene de la tabla es la siguiente: C = +9 (n-)

12 DE MODELOS EDUCATIVOS ASESORÍA SECUNDARIA BIMESTRE Comentarios finales: Entre los alumnos aparecerán diferentes formas de construir las tablas, las cuales llevarán a diferentes expresiones algebraicas. Analice los deferentes procedimientos que usan los alumnos y realice comparaciones grupales de ellos. Se dará cuenta que las diferentes interpretaciones de los alumnos le proveerá de nuevas herramientas de explicación.