LA INTEGRAL COMO ANTIDERIVADA

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1 UNIDAD II La integral como antiderivada LA INTEGRAL COMO ANTIDERIVADA La integración tiene dos interpretaciones distintas ) como procedimiento inverso de la diferenciación, y ) como método para determinar el área bajo una curva. Cada una de estas interpretaciones tiene numerosas aplicaciones, como se ira mostrando en el desarrollo del con concepto de integración. En primer termino, la integración puede considerarse el proceso inverso de la diferenciación, esto es, si una función es derivada y luego se integra la función obtenida, el resultado es la función original, siempre y cuando se especifique de manera precisa la constante de integración; ya que de otra forma el resultado puede diferir de la función original en una constante. En este conteto la integración se considera como: la operación de obtener una función cuando se conoce su derivada o tasa de cambio. En un segundo aspecto, también puede definirse como el proceso de encontrar el valor limite de una suma de términos cuando el número de éstos crece indefinidamente y el valor numérico de cada termino de aproima a cero, este es el caso en el que la integración se interpreta como la determinación del área bajo una curva. El cual será desarrollado al tratar el tema de integral definida. En uno u otro conteto, la integración requiere operacionalmente el que se determine una función cuando se ha dado o se conoce su derivada. En este teto analizaremos la primera de las dos interpretaciones, como proceso inverso de la diferenciación, que es el de encontrar la función cuando se conoce su derivada. Iniciaremos la eposición obteniendo antiderivadas sencillas, tomando como base las primeras reglas de derivación, a continuación eaminando otras reglas de derivación elaboraremos una primera tabla de integrales inmediatas y por último

2 UNIDAD II La integral como antiderivada trabajaremos con algunas propiedades esenciales a la integral definida, que en unión con las integrales inmediatas permitirá encontrar la integral indefinida o antiderivada general de una función cuya estructura es relativamente simple. LA ANTIDERIVADA Al proceso de obtención de una función a partir de su derivada se denomina antiderivación o integración. Es decir el proceso de integración, consiste en determinar la función cuya derivada se conoce; con lo que el objetivo principal radica en hallar la función que da origen a esta derivada. Si a un número positivo le calculo su raíz positiva, al elevar esta raíz al cuadrado obtengo el número positivo original, es decir la segunda operación anula a la primera, ya que me permite recuperar el número original. Por lo que decimos que estas dos operaciones son operaciones inversas. Múltiples ramas de las matemáticas contienen pares de operaciones inversas entre sí, como: la adición y la sustracción, la multiplicación y la división, la eponenciación y la radicación, los logaritmos y los antilogaritmos. Durante el primer curso de Cálculo se estudio la derivación; y el segundo curso incluye su inversa que es la antiderivación. Comenzaremos dando una definición de lo que vamos a considerar como antiderivada: Definición. Llamamos a F() una antiderivada de f en el intervalo I si df( ) = f ( ) en I, es decir, si F ()=f() para toda en I. d

3 UNIDAD II La integral como antiderivada Hemos usado la frase una antiderivada en vez de la antiderivada en la definición, mediante los siguientes ejemplos eponemos el porqué la llamamos de esa forma. EJEMPLO. Dada la función f ( ) f en =, Qué función al derivarla nos da ( ) el intervalo (, )?, es decir, Cuál es la antiderivada de f ( ) = en el intervalo (, )? df( ) Solución. Buscamos una función F que satisfaga la igualdad d toda real. Al utilizar nuestro conocimiento sobre derivación, sabemos que F( ) = es la función buscada. = para Pero es la única función que tiene como derivarla a f ( ) =? Un momento de refleión nos dirá que NO, que hay otras funciones que cumplen con la condición de que su derivada es f ( ) =. Por ejemplo la función F ( ) 7 = +, satisface también la igualdad F'( ) = ; por lo tanto, es una segunda antiderivada de f()=, pero también la función F ( ) 7 =, cumple con F'( ) =, por lo que hay una tercera antiderivada de f()= y aún más las siguientes funciones tienen en común que F'( ) = a) b) c) F ( ) = F( ) = F ( ) = + d) F( ) = + Todas estas funciones tienen la misma derivada y la única diferencia entre ellas es la constante, por lo que si F() es una antiderivada de f(), todas las antiderivadas de f() estarán incluidas en el conjunto F() + C, donde C es una constante cualquiera.

4 UNIDAD II La integral como antiderivada Por lo que podemos concluir que; F()= + C, donde C es cualquier constante, es la antiderivada general de en (-, ). Surge ahora una importante pregunta. Es toda antiderivada de f()= de la forma F()= + C? df( ) La respuesta es afirmativa, ya que al derivar F() obtenemos que: = d EJEMPLO. Encuentre la antiderivada general de f(), ). Solución. Sabemos que al derivar la función es. Pero esta difiere de f() F() = =, en que la derivada de = en el intervalo (- obtenemos que la derivada F() = contiene a multiplicada por, de lo cual surge la idea de proponer como una antiderivada a F( ) =. Derivando esta función comprobamos que se satisface la igualdad establecida. F ( ) = = Al Igual que en el ejemplo eisten otras antiderivadas de la función f() =, como son: F ( ) = + 0 F ( ) = F( ) = + Por lo que la antiderivada general de f() = es F( ) = + C

5 UNIDAD II La integral como antiderivada Revisando estos dos ejemplos podemos deducir que:: Si una función f(x) tiene una antiderivada, tendrá una familia completa de ellas y cada miembro de ésta se puede obtener de otro de ellos mediante la adición de la constante adecuada. Llamaremos a esta familia de funciones la antiderivada general de f. Después de acostumbrarnos a esta noción, omitiremos el adjetivo general. INTEGRAL INDEFINIDA DE UNA FUNCIÓN. Llamaremos integral indefinida de la función f(), al conjunto de todas las antiderivadas de la función f(), y la denotaremos como: f ( d ) Esta epresión se lee «integral de la función f() con respecto a la variable». Por lo desarrollado anteriormente sobre la antiderivada, si F() es una antiderivada de f(), entonces: f ( d ) = F( ) + C donde C representa una constante llamada constante de integración. Como paso inicial para determinar la integral indefinida de una función f(), obtengamos una epresión para determinar la antiderivada de la función f ( ) n =. Para encontrar la antiderivada general o la integral indefinida de esta función analizaremos algunos casos; d. Qué función tiene como derivada? sabemos que ( ) = por lo que d podemos deducir que d = d = + C

6 UNIDAD II La integral como antiderivada 6. Cuál función posee como derivada a? Recordemos que d ( ) = ( ) =, con lo que podemos establecer que d = + C d. Qué función al derivarla nos da? Nos percatamos que d ( ) ( ) d = = con lo que afirmamos que d = + C. La función cuya derivada es, la podemos deducir rápidamente al observas que d ( ) ( ) d = = por lo que d = + C.. De una forma análoga, la función que tiene como derivada a, es d = + C 6. Luego la antiderivada general de es: 6 6 d = + C 7. Analizando los casos al 6 podemos concluir que n n d = + C n + Ejercicio: Tomando como base la epresión siguientes integrales indefinidas n n d = + C n + determine las. 6 d Es una integral para la cual n es igual a d = + C = + C d Reescribiendo la función para que tenga la estructura señalada:

7 UNIDAD II La integral como antiderivada 7 d = d en la cual n = d = d = + C = + C d = + C por lo tanto. d Escribiendo en forma de potencia de números con la misma base, = y por la propiedad del producto Por lo que tenemos un caso con 7 = = 7 n = d = d = + C d = + C = + C = + C INTEGRALES INMEDIATAS De la derivación de funciones elementales, podemos deducir las correspondientes integrales llamadas inmediatas. d.- Como ( + C) = entonces tenemos que: d = + C d.- Si n+ d ( + C) = d n + n, entonces tendremos que: n d n+ = + C n + d.- Para (ln + C ) =, de lo cual obtenemos: d = ln + C d

8 UNIDAD II La integral como antiderivada 8 d.- Se vio que (e + C) = e d d.- Se sabe que (sen + C ) = cos d, obteniéndose que = + ed e C, por lo que: cos d = sen + C y podríamos continuar analizando de forma similar las demás reglas de derivación y sus integrales correspondientes, que al resumirlas nos permiten obtener la siguiente tabla de integrales inmediatas. ) d = + C n+ n ) d = + C n n + d ) = ln + C ) sen d = cos + C ) cos d = sen + C 6) sec d = tan + C 7) csc d = cot + C TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS 8) sec tan d = sec + C 9) csc cot d = - csc + C 0) e d = e + C a ) a d = + C ln a para a>0, a d ) d = arc tan + C = tan + C a + a a a a d ) = arc sen + C = sen + C a a a Aplicaremos rápidamente algunas de estas integrales. Ejercicios. - Calcular d Es una integral inmediata perteneciente al caso en el que a =. d= + C ln

9 UNIDAD II La integral como antiderivada 9 d 9+.- Calcular d Esta integral tiene la estructura del caso con a=, por lo que: d.- Calcular d = tan + C + 9 Revisando nuestro formulario se ajusta al numero con a = d = sen + C Antes de intentar resolver otros problemas es conveniente el establecer algunas propiedades que son de gran utilidad al aplicarlas en el calculo de antiderivadas o de las integrales indefinidas. Propiedades de la integral indefinida. Al igual que en la diferenciación se tienen propiedades, las cuales brindan apoyo en la obtención de la antiderivada de distintos tipos de funciones, en casos que involucran mayor grado de reducción dificultad. La integral de una constante multiplicada por una función, nos indica que:.- k f()d= k f()d Es decir la integral de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. La integral de una suma de funciones, señala que f () + g() h() d= f()d+ g()d h(),- ( ) Es decir la integral de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de las integrales.

10 UNIDAD II La integral como antiderivada 0 Mostraremos su aplicación en los siguientes ejemplos:.- Calcular 0 d Es una integral inmediata perteneciente al caso, en el que n = y se aplica la propiedad con k = 0. simplificando fracciones: d.- Calcular d = 0 d = 0( ) + C = + C d = + C La cual cae en el caso con n = -, y aplicando la propiedad con k = d = d + d = d = C C + = + + d = + C por lo tanto.- Calcular 7 6 d Escribiendo 6 en forma de potencia 6 = 6 = Por la propiedad del producto de potencias de la misma base, Por tanto, tenemos el caso con 7 6 = 7 = 8 n = y aplicando la propiedad con k = 8

11 UNIDAD II La integral como antiderivada.- Calcular d = 8 d = 8 d = 8 C + + 9d = 6 + = + 8 C C Es una integral inmediata perteneciente al caso once en el que la base a =. 9 9d = 9 + C= + C ln ln Ejercicios resueltos: Calcular las siguientes integrales empleando las reglas y propiedades de integración. + ) d = d = + C = + C por la propiedad con k = y la regla con n =. ) [ ] + d = 6 d 8d + = 6 d + + d 8 d + d = C = + + C = + + C reglas y. por las propiedades y, y las

12 UNIDAD II La integral como antiderivada d = d d 6 ) ( )( ) d = ( 6) + d C = C = primero se realiza el producto de polinomios y luego se aplicaron la propiedad y la regla. 7d d ) = 7 = 7ln + C = ln + C regla. 7 por la propiedad con k = 7 y la d d ) = = ln + C = ln + C por la propiedad k = y la regla. d + 6) = d = + C = + C = + C primero se + reepresó la raíz cúbica y se aplico la regla con n = - 7) sen d 0 sen d = 0( cos ) + C = 0cos + = C 0 por la propiedad, con k = 0 y la regla. 8) cos d = cos d = sen + por la propiedad con k = - y la regla. = 9) tan d ( sec ) d = sec d d = ( tan ) + C primero se sustituyo la tangente cuadrada mediante la identidad tan = sec y se aplicaron las propiedades y y las reglas y 6. C

13 UNIDAD II La integral como antiderivada 0) cot d ( csc ) d = csc d = d = cot + C primero se sustituyo la cotangente cuadrada mediante la identidad cot = csc y se aplicaron las propiedades, y las reglas y 7 ) d = arctan + C ( ) por la regla con a = 6 + 7d d 7 ) = 7 = arctan + C + ( ) por la propiedad con k=7, la regla con a= d ) arcsen( ) C = + por la regla con a =. ) e d = 9 e d = 9e + 9 C por la propiedad con k = -9 y la regla 0. ) d = + C por la regla con a =. ln 6) d = d + d + e d + = + e 6 e C d al aplicar las propiedades y y las,, y 0. 6 d = + = + + e+ e d d e d e e + e 7) ( + e ) reglas y 0 C al aplicar la regla con n = e y la 8) = d d d 7 d C = C al aplicar las reglas propiedades y y la regla.

14 UNIDAD II La integral como antiderivada d + + = e + eln + C = e + ln C e 9) e d = e d + e propiedades y y las reglas, y. por las + e d = e e d + e d d = e ) ( e + e ) propiedades y y las reglas, y 0. C al aplicar las PROBLEMAS PROPUESTOS Resuelve los siguientes problemas indicando las propiedades y las reglas de integración aplicadas. ) 7 d ) d ( ) ) d ) ( + ) d e ) d 6) + d 8) [ + ( + ) ] d 7) ( )( + ) d 0) 0d ) + d sen 6) d cos 9) d sen + ) ( cos 9e ) d ) tan ) d sec 9) + + d 7 6d ) 8d ) + d ) 7) d 8) d cos 0) ( sen cos ) ) d + 9 d ) e d e e + d + cos ) d sen