MATEMATICA. Segundo Año Módulo 6

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1 entro Educativo de Nivel Secundario Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional irección de apacitación No ocente irección General de ultura y Educación Provincia de uenos ires MTEMTI Segundo ño Módulo 6 LIROS HILLER 2011 Formato digital PF Publicación de edutecne Editorial de la U. T. N. Sarmiento 440 (1041J) iudad utónoma de uenos ires rgentina [email protected] Universidad Tecnológica Nacional U.T.N. rgentina. La Editorial de la U.T.N. recuerda que las obras publicadas en su sitio web son de libre acceso para fines académicos y como un medio de difundir el conocimiento generado por autores universitarios, pero que los mismos y edutecne se reservan el derecho de autoría a todos los fines que correspondan.

2 Figuras, polígonos. uadriláteros. lasificación y propiedades. Simetría. Figuras irculares. Vamos a repasar ELEMENTOS E UN FIGUR ntes de entrar específicamente en el tema de cuadriláteros, abordaremos algunos conceptos básicos que nos permitirán seguir desarrollando los sucesivos temas de geometría que vamos a tratar. Vamos a repasar los elementos fundamentales de una figura plana. Observemos por ejemplo la siguiente figura: Lados y Vértices Los lados de la figura son los bordes de la misma, es decir,,,,. Los vértices son los puntos que unen dos lados consecutivos, es decir los puntos,, y son los vértices de la figura. Los vértices y ; y se llaman vértices opuestos. Las diagonales son los segmentos que unen vértices opuestos, entonces deducimos que y son las diagonales. Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 117

3 iagonales ISETRIZ E UN ÁNGULO O Llamamos bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide al ángulo en dos partes congruentes. ntes. En la figura la apreciamos en forma simbólica del siguiente modo: O = O La semirrecta O divide al ángulo que O ) es congruente con O ). O ) en dos partes congruentes, es decir PERÍMETRO E UN FIGUR onceptualmente podemos decir que el perímetro de una figura es el contorno de la misma, si queremos averiguar el perímetro de una figura debemos sumar todos los lados de la misma. En los problemas donde nos piden calcular los lados de una figura o el perímetro de la misma, debemos antes que nada saber las propiedades de los lados según la figura de que se trate. Por ejemplo, si nos piden calcular el perímetro de un rectángulo, sabemos que tiene dos pares de lados paralelos Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 118

4 e iguales. En algunos casos en los datos figuran incógnitas, tendremos que plantear una ecuación y resolverla. URILÁTEROS lasificación de los distintos tipos: Rectángulo (ángulos rectos) Rombo (lados iguales) Paralelogramo (lados opuestos paralelos) Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 119

5 Trapecio Escaleno Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo Romboide OTROS URILÁTEROS Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 120

6 Observando el cuadro anterior vemos que hay tres grupos de cuadriláteros. quellos que tienen dos pares de lados opuestos paralelos llamados paralelogramos. Otros que tienen un par de lados opuestos paralelos llamados trapecios y aquellos que no tienen ningún par de lados opuestos paralelos llamados trapezoides. Si dibujamos un cuadrado en un papel cualquiera y lo recortamos para poder plegarlo sobre sí mismo de modo que las dos partes en las que efectuamos los dobleces quedan superpuestas coincidiendo de manera exacta e cuántas maneras podríamos doblarlo? Fíjese por ejemplo si la plegamos siguiendo la línea punteada, las partes superpuestas coinciden. URO Pero también se cumple lo pedido si plegamos por cualquiera de las otras líneas punteadas que se indican en los dibujos que se dan a continuación. estas líneas punteadas se las denomina Ejes de Simetría. oblando el cuadrado por sus distintos ejes de simetría podemos decir que sus lados son todos congruentes y sus ángulos también. Es decir: = ) = = = ) = = = 90 º Y que sus diagonales son congruentes, es decir que las medidas de las diagonales son iguales. Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 121

7 = O Y además que la medida de O es la misma que la de O y que la medida de O es la misma que la de O. ecimos entonces que las diagonales se cortan mutuamente en segmentos congruentes y el punto donde se cortan es el punto medio de cada una de ellas. Es decir O = O y O = O. Todas las propiedades de los cuadriláteros podemos deducirlas a partir de sus ejes de simetría. Vamos a resumir las propiedades de los cuadriláteros: URO O Lados: (1) Todos los lados son congruentes. (2) Los lados opuestos son paralelos. Lenguaje Simbólico: (1) = = = // y // iagonales: (1) Las diagonales son congruentes y se cortan perpendicularmente en el punto medio. (2) demás son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen (3). Lenguaje Simbólico: = ( 1) O = O ( 2 ) O = O = = 45º ( 3 ) = = 45º Ángulos: Tienen cuatro ángulos rectos (todos miden 90º). Lenguaje Simbólico: = = = = 90 º Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 122

8 Lenguaje Simbólico: = 1 O = O = ( ) O O ( 2 ) RETÁNGULO Lados: (1) Los lados opuestos son congruentes y paralelos (2). Lenguaje Simbólico: = y = // y // iagonales: Las diagonales son congruentes (1) y se cortan mutuamente en el punto medio (2). Ángulos: Tiene cuatro ángulos rectos (todos miden 90º) Lenguaje Simbólico: = = = = 90 º ROMO Lados: Todos los lados son congruentes. Lenguaje Simbólico: 1 2 iagonales: Las diagonales se cortan perpendicularmente (1) en su punto medio (2) y además son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen (3). Lenguaje Simbólico: ( 1) 3 4 O O = O O = O( 2 ) = 4 3 = ( ) Ángulos: Los ángulos opuestos son congruentes. Lenguaje Simbólico: = y = Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 123

9 Lados: Tienen dos pares de lados consecutivos congruentes. Lenguaje Simbólico: = iagonales: Las diagonales son perpendiculares (1). La diagonal principal es la que es eje de simetría de la figura (en este caso es la diagonal principal) (2). La diagonal principal corta a la otra en su punto medio y es bisectriz de los ángulos cuyos vértices unen (3). Lenguaje Simbólico: (1) ROMOIE O = O (2) 1 = 2 (3) Ángulos: Los ángulos que unen la diagonal no principal son congruentes. Lenguaje Simbólico: = ) ) (ya que la diagonal no es eje de simetría de la figura, fíjese que si doblamos el romboide por la diagonal el ángulo y el ángulo no coinciden, por lo tanto no son congruentes) 1 O 2 Lados: Los lados opuestos son congruentes (1) y paralelos (2). Lenguaje Simbólico: = y = (1) // y // (2) iagonales: Las diagonales no son iguales pero se cortan mutuamente por su punto medio. PRLELOGRM O Lenguaje Simbólico: O = O y O = O Ángulo: Los ángulos opuestos son congruentes (1) y los ángulos que están del mismo lado son conjugados internos entre paralelas (2), es decir que suman 180º. Lenguaje Simbólico: (1) = y = (2) ) + ) = 180 º y ) + ) = 180 º Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 124

10 TRPEIO ESLENO Lados: Tiene un par de lados paralelos (que se llaman bases) en este caso y //. Los cuatro lados son distintos. iagonales: son distintas y no se cortan en su punto medio. Ángulos: los cuatro ángulos son distintos pero los ángulos del mismo lado son conjugados internos entre paralelas, es decir que suman 180º. Lenguaje Simbólico: ) + ) = 180 º y ) + ) = 180 º TRPEIO ISÓSELES O Lados: Tiene un par de lados paralelos que son las bases //. Los lados no paralelos ( ) son congruentes. Lenguaje Simbólico: = iagonales: Las diagonales son congruentes pero no se cortan en el punto medio. Lenguaje Simbólico: = O O y O O Ángulos: Los ángulos adyacentes a las son congruentes. Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 125

11 TRPEIO RETÁNGULO Lados: Tiene un par de lados opuestos y paralelos (bases). Lenguaje Simbólico: // iagonales: No son congruentes. Lenguaje Simbólico: Ángulos: Tiene dos ángulos rectos = = 90 º ÁNGULOS INTERIORES E UN URILÁTERO ualquier cuadrilátero puede ser dividido en dos triángulos, si se traza una de sus diagonales. omo la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º, entonces la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de 180º. 2 =360º (ya que quedan determinados dos triángulos). Podemos decir entonces que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es igual a 360º. Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 126

12 1ª) ado el siguiente paralelogramo, si el ángulo ) = 58º. alcular los restantes ángulos del paralelogramo. Para poder resolver este problema, debemos tener en cuenta las propiedades del paralelogramo. Se sabe que los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo son congruentes, por lo tanto = y = Es decir: ) = 58º entonces ) = 58º + = 360 º 58º 58º + = 244 º O sea que: ) = y = = 58º Pero con = entonces 2 = 244º = 244º y = 244º y ) = 122 º La suma de los 4 ángulos tiene que dar 360º, esta sería una forma de verificar el ejercicio. 2ª) uando en un problema de geometría los datos vienen dados por ecuaciones, primero debemos establecer las relaciones geométricas, es decir, debemos pensar en las propiedades de la figura que estamos analizando. Veamos el siguiente ejemplo, dado un Trapecio Isósceles: N P ) M = X + 40 º ) Q = 2 X 20 º M Q Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 127

13 omo se trata de un trapecio isósceles los ángulos de la base son congruentes, es decir: M = Q partir de esta relación geométrica (que M ) y Q ) son congruentes), reemplazo los datos dados: x + 40 º = 2 x 20 º Me quedó planteada una ecuación, entonces tengo que resolverla, para eso despejamos x. 40 º + 20 º = 2 x x 60 º = x Si x=60 reemplazo ahora este valor en cada uno de los ángulos. M ) = x + 40 º = 60 º + 40 º = 100 º Para calcular el ángulo N ), sabemos que NP // MQ, por lo tanto M ) y N ) son ángulos conjugados internos entre paralelas y suman 180º. M + N = 180 º N = 180 º M ) N = 180 º 100 º = 80 º El ángulo P ) mide también 80º (entre los 4 ángulos deben sumar 360º). ado el siguiente paralelogramo: = 2 x + 6cm = x + 12cm = 7cm Se pide calcular el perímetro. Pensemos en los datos que nos dieron. y, son dos lados del paralelogramo. ómo son esos lados? Recordemos las propiedades del paralelogramo, respecto a los lados: Los lados opuestos en un paralelogramo son iguales y paralelos. Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 128

14 Por lo tanto = 2 x + 6cm = x + 12cm Resolvemos la ecuación: 2 x x = 12cm 6cm x = 6m Reemplazamos la x en los lados dados: = 2 6cm + 6cm = 12cm + 6cm = 18cm = 6cm + 12cm = 18cm omo tenemos que averiguar el perímetro del paralelogramo, sabemos que el mismo es la suma de todos los lados. O sea: Perímetro = = 18 cm + 18cm + 7cm + 7cm = 50cm Observe que el lado = 7cm, porque es igual a su opuesto, que bien sabemos que es de 7cm. veriguar la medida de los ángulos que faltan en cada cuadrilátero. 52º Si el ángulo ) vale 52º el ángulo ) vale 180º-52º=128º, ya que como ) y ) son ángulos conjugados internos entre paralelas, la suma de ambos es igual a 180º. El ángulo ) es congruente con el por lo tanto ) = 52 º y ) es congruente con ) o sea es igual 52º. b) En el siguiente trapecio isósceles el ángulo ) vale 74º, como se trata de un trapecio isósceles los ángulos de las bases son congruentes es decir el ángulo ) = 74 º. Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 129

15 Recordar que = y que =. Hallar el valor de x en cada figura y los ángulos interiores de cada cuadrilátero. 3x+15 2x+10. omo el ángulo ) es congruente con el ángulo ) porque son ángulos opuestos en paralelogramos. ) = 2 x + 10 º Podemos ) = 3x 15º igualarlos = 2 x + 10 º = 3x 15º 2 x 3x = 15º 10 º x = 25º x = 25º Nos queda una ecuación con una sola incógnita: X omo ya calculamos el valor de x podemos determinar ahora el ángulo ) = 2 x +10 º reemplazando ahora el valor de x. ) = 2 25º + 10 º = 50 º + 10 º = 60 º ) = 60 º = = 60 º ) = 3x 15º = 75º 15º = 60 º + = 360 º 60 º 60 º =... = entonces... = 2 Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 130

16 FIGURS IRULRES Si tomamos una soga y la colocamos alrededor de un aro o de cualquier objeto circular, observaremos que la cantidad de soga necesaria para bordear dicho objeto es aproximadamente tres veces y un poco más la longitud del diámetro. Entendemos por diámetro a cualquier segmento que pase por el centro de la circunferencia. ; y MN son diámetros. M o N Esta relación que existe entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es un número irracional conocido con el nombre griego de Pi (π). Nota: Se llama Nº irracional porque contiene infinitas cifras decimales no periódicas, hasta el día de hoy la computadoras siguen buscando más cifras del número Pi. Podemos entonces calcular la longitud de una circunferencia con la fórmula. Long (O;d) = π.d Se lee longitud de la circunferencia de centro O y diámetro d. O d También podemos expresar la longitud de una circunferencia en función de su radio. Long (O; r) = 2 π r Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 131

17 efinición de Radio r 1 Llamamos radio al segmento comprendido entre el centro de la circunferencia y su perímetro. Por ejemplo: r 1 y r 2 son radios. R 2 Ejemplos: a) alcular la longitud de una circunferencia cuyo radio es r = 5cm Longitud = 2 π r = 2. 3,14. 5cm = 10cm. 3,14 = 31,4cm b) alcular el diámetro de una circunferencia cuyo perímetro es igual a 400m. P = 2πr 400m = 2πr m = r 2/ π 1 200m = r 3,14 r = 63, 6m Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 132

18 10 1) En un rectángulo abcd sus diagonales son ac 4 x 10cm = y bd = 3x 2cm. alcula la medida de sus diagonales. GRFIR ) En un rombo abcd, a = 18º. alcula b ), c ) y d ). GRFIR 3) En un trapecio isósceles abcd, bc//ad uánto miden cada uno de sus lados no paralelos, si ab = 4 x + 20cm y cd = 2 x + 36cm? GRFIR Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 133

19 4) En el trapecio abcd: b a alcular c ) y d )... 4x c x d 5) En abcd paralelogramo: Hallar ) los 4 ángulos interiores. ω = 125º ω 6) En el rombo: Hallar ) los 4 ángulos interiores. ω = 113º a c b Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional d Página 134

20 7 abcd trapecio rectángulo. GRFIR ω = 114 º Hallar los ángulos interiores. b a c ω ) d 8) abcd trapecio isósceles ab = 3x 7cm cd = 2 x + 2cm Hallar los lados congruentes. a b c d Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 135

21 9 abcd trapecio rectángulo α = 59 º. Los ángulos de la base del abcd son congruentes. Hallar b ) y c ). d α a c b Matemática 2º año - ENS Nº 451 nexo Universidad Tecnológica Nacional Página 136