ISSN DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 FEBRERO DE 2009 ÁREAS Y PERÍMETROS AUTORÍA VIRGINIA CARMONA GONZÁLEZ TEMÁTICA MATEMÁTICAS ETAPA ESO

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1 ÁREAS Y PERÍMETROS AUTORÍA VIRGINIA CARMONA GONZÁLEZ TEMÁTICA MATEMÁTICAS ETAPA ESO Resumen Vamos a realizar unas actividades para estudiar la relación y la diferencia entre el perímetro y área de las figuras. También vamos a diseñar una tarea para que el alumnado llegue a clasificar los cuadriláteros según la longitud de sus diagonales y la posición del punto de corte de las mismas. Palabras clave Área, perímetro, cuadrilátero, paralelogramo INTRODUCCIÓN: Vamos a estudiar la relación entre puntos frontera de una figura, los puntos interiores y el área. Analizamos las dos frases siguientes: Al aumentar el perímetro de la figura en 2 unidades, se duplica su área. Al aumentar el perímetro de la figura en 2 unidades, el área también aumenta en dos. Veamos la justificación formal de las dos frases: Utilizando el Teorema de Pick que establece que, si F es la cantidad de puntos fronteras e I la de puntos interiores, se tiene que F/2 + (I-1) = Área de la figura, podemos analizar la situación planteada. C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 1

2 Primera frase: Con 0 puntos interiores, sabemos (usando la fórmula de Pick) que, si el perímetro crece en dos, el área crece en uno. Por tanto, la única opción de partida sería I = 0 y F = 4, ya que, I = 0 y F = 4 dan un área de 1 e I = 0 y F = 6 dan un área de 2, el doble que la anterior. Veámoslo con la fórmula: 2(F/2 + (I-1)) = (F+2)/2 + (I-1), es decir, F + 2I = 4, con lo que I = 0 y F = 4 es la única opción. Además, en figuras con puntos interiores no es posible, ya que la menor es la de área 3 (frontera 6) y para duplicar su área es necesario también duplicar su frontera. La segunda frase: Usando otra vez la fórmula de Pick, 2 + F/2 + (I-1) = (F+2)/2 + (I-1), se produce una contradicción. Por tanto, no es posible que exista una figura que al aumentar en dos su perímetro, su área también aumente en dos. Veamos una actividad para que los alumnos perciban mejor la relación y la diferencia que existe entre el perímetro y el área de una serie de figuras: ACTVIDAD 1: Vamos a utilizar el geoplano y construiremos figuras con las siguientes características, que el alumnado tendrá que calcular: La figura a tiene área = 5 y perímetro = 12; Ptos. Interiores 0 La figura b tiene área = 5 y perímetro = 10; Ptos. Interiores 1 La figura c tiene área =5 y perímetro = 8; Ptos. Interiores 2 De esta actividad se deduce que la misma área se puede obtener con figuras de distinto perímetro. Con vista a más adelante pedimos que anoten el número de puntos interiores. Por otra parte, se debe hacer énfasis en la siguiente idea: C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 2

3 Mientras más puntos interiores dejemos, menos perímetro necesitamos para obtener la misma área. Vamos a construir ahora unas figuras en el geoplano con las siguientes características, que el alumnado tendrá que calculara: La figura d tiene área = 3 y perímetro = 8; Ptos. Interiores 0 La figura e tiene área = 4 y perímetro = 8; Ptos. Interiores 1 La figura f tiene área = 5 y perímetro =8; Ptos. Interiores 2 La idea que sacamos como conclusión es: Mientras más puntos interiores dejemos, a igual perímetro mayor área. Se puede completar la actividad pidiendo al alumnado que rellenen el cuadro de figuras sin puntos interiores, con un punto interior y con dos puntos interiores. Para finalizar se les puede dar la fórmula de Pick. ACTIVIDAD 2: Vamos a utilizar el Tangram, se puede usar en geometría, fracciones, superficies y medida de longitudes. Un uso de este material puede ser la construcción de figuras y el análisis de áreas iguales con perímetros diferentes. El alumnado dibujará el Tangram en su libreta y le daremos distintas figuras y a cada una le calculará el área y el perímetro, indicando en cada una lo que mide cada lado. ACTIVIDAD 3: Utilizamos de nuevo el geoplano organizado al grupo en equipos de cuatro alumnos, se escriben en la pizarra los siguientes enunciados: Dos figuras con igual área y diferente perímetro. Dos figuras con igual perímetro y diferente área. Una figura con mayor perímetro y mayor área que la otra. Una figura con mayor perímetro y menor área que la otra. C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 3

4 Se reparten los geoplanos. Se pide que cada integrante del equipo escoja uno de los enunciados y construya en su geoplano dos figuras con las características indicadas. Cuando terminan las muestran a sus compañeros de equipo y discuten si las figuras cumplen o no con las características solicitadas. Posteriormente, uno de los equipos pasa al frente. Cada integrante indica a todo el grupo el enunciado que han elegido y muestra las figuras que construyen. Entre todos verifican que las figuras construidas cumplan con las características indicadas en el enunciado ACTIVIDAD 4: Con el geoplano el alumnado construirá distintas figuras y le calcularán el área y perímetro, lo irán recogiendo en una tabla, con el dibujo correspondiente. Proponemos las siguientes preguntas, para la reflexión: Las figuras con igual área tienen el mismo perímetro? Si una figura tiene menor área que otra, también tiene menor perímetro? Si una figura tiene mayor perímetro que otra, también tiene mayor área? ACTIVIDAD 5: Vamos a utilizar un recurso para que el alumnado recuerde las fórmulas de las áreas ó perímetros es utilizando los dominós de áreas este dominó en cada ficha vendrá una figura geométrica y un área correspondiente a alguna de las figuras de otras fichas, con este recurso los alumnos y alumnas ejercitan el manejo de las fórmulas de manera divertida. Inicialmente pueden jugar cuatro equipos formados por dos alumnos cada uno para que entre los dos compañeros hagan el área de sus fichas inicialmente y luego comiencen a jugar. Cuando hayan alcanzado buena agilidad jugarán individualmente. Con este material se desarrolla varias de las competencias como o Caracterizar figuras o Buscar criterios que permitan clasificar las formas y aplicarlos a clasificarlas o Utilizar estos criterios para definir las formas con precisión, aprendiendo sus nombres correspondientes y los términos que se utilizan para ello. o Medir todas las magnitudes que interesan en las figuras, en este caso el área. Vamos diseñar una tarea para que los alumnos lleguen a clasificar los cuadriláteros según la longitud de sus diagonales y la posición del punto de corte de las mismas. C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 4

5 ACTIVIDAD 6: Empezaremos introduciendo los cuadriláteros a los alumnos de forma gráfica y con algunas propiedades: Clasificación de los cuadriláteros: Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Dibujamos en la pizarra: FIGURA 1: Trapezoide FIGURA 2: Paralelogramo FIGURA 3: Trapecio En la figura 2 vemos que sus lados opuestos son paralelos dos a dos. Son paralelos el lado AB con el DC. También son paralelos DA y CB. Este cuadrilátero se llama paralelogramo. La figura 3 tiene dos lados paralelos: el AB con el CD. Pero los otros dos lados no son paralelos. Se llama trapecio, que es un cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos y los otros dos no. La figura 1 no tiene ningún lado paralelo y se llama trapezoide. Contesta a estas preguntas: La figura A es un La figura B es un La figura C es un Clasificación de los paralelogramos. Los paralelogramos son cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Podemos distinguir cuatro clases: El romboide no tiene ángulos rectos y sus lados consecutivos no son iguales. El rectángulo tiene cuatro ángulos rectos y sus lados consecutivos no son iguales. El rombo no tiene ángulos rectos y sus lados son iguales. El cuadrado tiene los cuatro ángulos rectos y sus lados son iguales. Es el cuadrilátero regular. C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 5

6 A B C D Observando los dibujos superiores contesta a estas preguntas: La figura A es un La figura B es un La figura C es un La figura D es un Una vez conocidos los cuadriláteros vamos a trabajar las diagonales y los puntos de corte. Rectángulo. Se entregará a los alumnos y alumnas un folio y se les pedirá que identifiquen su posición en el cuadro de clasificación, así como el nombre que recibe. Cada alumno debe dibujar las diagonales y estudiar su longitud y su ángulo de corte. Rápidamente el alumnado identificará que es un rectángulo y que su lugar es: diagonales iguales y no se cortan en ángulo recto (si es necesario, como comprobación se usará una regla para medir la longitud de sus diagonales y una escuadra para medir el ángulo de corte de sus diagonales). Cuadrado. Posteriormente, se entrega otro folio y se pide al alumnado que doble un lado del rectángulo sobre su continuo, de forma que el ángulo que definen dichos lados quede en dos mitades iguales. Abriendo la figura nos sale un cuadrado. Con regla y escuadra se les pide que dibujen y estudien sus lados, diagonales y ángulos de corte de las mismas. Rombo. Se le entrega a cada alumno y alumna otro folio y se le pide que identifique los puntos medios de sus lados y que trace las rectas que une cada uno con su opuesto. C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 6

7 Posteriormente, se pide a cada alumno que forme figuras que tengan a estas líneas como diagonales, con la única condición de que no midan igual ambas diagonales, pues, en caso contrario, saldría un cuadrado de nuevo. Le pediremos que estudie sus lados y el paralelismo entre ellos, la longitud de sus diagonales y el ángulo de corte. Romboide. Se da otro folio a cada alumno y se le pide que doble el papel en tres trozos sobre el lado más largo. Luego debe trazar dos dobleces uniendo el primer punto de arriba con la esquina izquierda de abajo y el segundo de abajo con la esquina superior derecha. Recortando por esos dobleces se obtiene una figura, que debe dibujar sus diagonales y realizar el mismo estudio que antes. Ahora seguimos con los trapecios y vamos a cambiar un poco la dinámica. Para ello, se dará a cada alumno un folio y se le pedirá que dibuje un cuadrilátero que sólo tenga dos lados paralelos. Además, deberá dibujar sus diagonales y medirlas Una vez realizado deben trazar las diagonales de cada figura y rellenar la tabla con la medida de las diagonales: C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 7

8 CUADRILÁTERO DIAGONAL 1 DIAGONAL 2 ROMBOIDE RECTÁNGULO ROMBO CUADRADO TRAPECIO TRAPEZOIDE PARALELOGRAMO Después de este ejercicio diremos a los alumnos que clasifiquen las figuras según la longitud de las diagonales. Con un transportador diremos a los alumnos que midan el ángulo que forman las diagonales CUADRILÁTERO ÁNGULO 1 ÁNGULO 2 ROMBOIDE RECTÁNGULO ROMBO CUADRADO TRAPECIO TRAPEZOIDE PARALELOGRAMO Cuál de los cuadriláteros anteriores tiene las diagonales perpendiculares? Cuál de los cuadriláteros anteriores tiene las diagonales perpendiculares e iguales? Ahora diremos a los alumnos que dibujen los cuadriláteros en papel con sus diagonales y los recorten para comprobar la simetría por las diagonales. Por último diremos a los alumnos que nos resuman todas las propiedades anteriores y las comentaremos en clase, lo que servirá para repasar a los alumnos. RESUMEN: Cuadrilátero. Es una figura plana limitada por cuatro segmentos de recta, llamados los lados del cuadrilátero. Los cuadriláteros se clasifican atendiendo al paralelismo de sus lados opuestos en: Paralelogramo Trapecio Trapezoide C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 8

9 Paralelogramo. Es el cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos. Así, se tienen siguientes paralelogramos: Rombo: paralelogramo cuyas diagonales miden distinto y se cortan en ángulo recto. los Rectángulo: Paralelogramo cuyas diagonales miden igual y no se cortan en ángulo recto. Cuadrado: Paralelogramo cuyas diagonales miden igual y se cortan en ángulo recto. Romboide: paralelogramo cuyas diagonales miden distinto y no se cortan en ángulo recto. Trapecio: Es aquel cuadrilátero que tienen dos y sólo dos lados paralelos y opuestos. Tenemos los siguientes trapecios: Trapecio isósceles: Es el trapecio que tiene iguales los lados no paralelos. Trapecio rectángulo: Es el trapecio que tiene dos ángulos rectos. Trapecio escaleno: Es aquel que no es ni rectángulo ni isósceles. Trapezoide: Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún lado opuesto paralelo. BIBLIOGRAFÍA: Monereo Carles (2005).Internet y competencias básicas. Aprender a colaborar, a comunicarse, a participar, a aprender. Barcelona: Grao C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada csifrevistad@gmail.com 9

10 Alsina, Claudi, Carme Burgués, Josep M.ª Fortuny. (1998).Materiales para construir geometria editorial:sintesis Autoría Virginia Carmona González I.E.S Antonio Gala, Palma del Río, Córdoba C/ Recogidas Nº 45-6ºA Granada 10