1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS. OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo.

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1 1.5.- FUNCIONES Y SUS GRAFICAS OBJETIVO.- Que el alumno conozca el concepto de función, su representación gráfica así como su uso en el Cálculo Introducción. Como ya mencionamos al inicio de estas notas, el Cálculo es aquella rama de las matemáticas cuyo objeto de estudio son los Fenómenos del Cambio, entendiendo por Fenómeno del Cambio todo aquel que en su desarrollo eperimenta la variación en el valor de alguno de sus parámetros distintivos con respecto a otro de ellos, como: La posición de un móvil con respecto al tiempo; El volumen de una esfera con respecto al diámetro; El rendimiento en dinero con respecto al capital; etc. Según veremos con más detalle en los siguientes ejemplos: Ejemplos No El cambio en la cantidad de materia con respecto al tiempo, que sufre un material radiactivo en su proceso de desintegración. 2. El cambio en el volumen con respecto a la concentración de levadura, que eperimenta una masa adicionada con levadura en el proceso de fermentación. 3. El cambio en el volumen con respecto al radio de un globo esférico, a medida que se llena de aire. 4. El cambio en la velocidad con respecto a la posición de un móvil, que se desplaza según una cierta ley dada. 5. El cambio en la cantidad de carga almacenada con respecto al tiempo, por un condensador al que se le aplica un voltaje v(t) conocido. En todos estos casos está implícito un fenómeno de cambio y, por lo tanto, en su estudio emplearemos técnicas y reglas propias del cálculo. Sea el ejemplo No

2 Se trata en este caso de estudiar el cambio que eperimenta el volumen de un globo esférico a medida que su radio varía, variación que por supuesto es conocida y que es originada por la introducción paulatina y continua de aire al globo. Para estudiar este problema necesitamos contar con los siguientes datos y/o conocimientos: 1. Necesitamos conocer la relación que hay entre el volumen y el radio de una esfera. Es decir, necesitamos conocer la fórmula para calcular el volumen de una esfera de radio conocido. 2. Necesitamos saber como varía el volumen de la esfera a medida que varia el radio de ella. 3. Debe ser claro que estas dos variaciones se dan con respecto al tiempo, ya que Estas variaciones dependen de la velocidad (variación con respecto al tiempo de... ) con la que entra el aire al globo, además de que La introducción del aire al globo se da en forma continua. Con estos datos y con las técnicas y las reglas del cálculo es posible realizar nuestro cometido. Veámoslo: El punto No. 1 nos dice que es necesario conocer la fórmula para calcular el volumen de una esfera cuando conocemos su radio. Esta fórmula, sabemos que es: V = (4 π r 3 ) / 3 En realidad lo que nos dice esta fórmula es que el volumen de la esfera depende del valor del radio. Es decir, el valor del volumen está determinado por el valor del radio. En esta afirmación tan simple se esconde uno de los conceptos fundamentales del cálculo que es el de: Función. Cuya definición es la siguiente: FUNCION Es una regla de correspondencia f() mediante la cual a cada elemento a de un conjunto A ( a B ) le corresponde uno y solo un elemento b de otro conjunto B ( b B ) y se indica como: f : A B Analicemos la definición a partir de la pregunta: Qué es una función?. 51

3 Es simple y sencillamente una regla de correspondencia f(). Que establece una relación entre DOS conjuntos A y B. Y que debe cumplir con que a cada elemento a A le corresponde uno y solo un elemento b B. En nuestro ejemplo la regla de correspondencia es: f( r ) = (4 π r 3 ) / 3 En este caso el valor del volumen varía y depende (es una función...) del valor del radio. Por esta razón al volumen se le llama variable dependiente. El conjunto de valores que toma el volumen determina el conjunto B de la definición y recibe el nombre de Contradominio. Por otro lado el conjunto de valores que toma el radio determina el conjunto A de la definición y como puede tomar cualquier valor se le llama variable independiente. El conjunto de valores que toma el radio determina el conjunto A de la definición y recibe el nombre de Dominio. Es claro que a cada valor del radio le corresponde uno y solo un valor del volumen. Veamos lo anterior en la siguiente tabla que nos proporciona un cierto conjunto de valores de r (variable independiente) y los valores correspondientes de v(r), (variable dependiente) y que son únicos: 52

4 Vr () := ( ) 4 π r 3 3 r := 1, r = Vr () = Ejercicio No. 1. Obtenga las Fórmulas ( función ) asociadas a los Casos 4 y 5 del ejemplo No. 1 del punto anterior. Ejercicio No. 2 Marque la o las respuesta que considere son correctas para la pregunta: Que es una función? ( ) Una regla de correspondencia. ( ) El elemento de trabajo del Cálculo. ( ) El modelo matemático de un fenómeno artificial creado por el hombre. ( ) El modelo matemático de un fenómeno natural. ( ) Un ente matemático. ( ) Otra cosa diferente. 53

5 Pero: Realmente el radio puede tomar cualquier valor?. La respuesta es SI pero también es NO según veremos enseguida. Dado que la entrada de aire al globo es continua, entonces el radio de la esfera va a tener una variación también continua y deberá tomar todos los valores y en este caso la respuesta es SÍ. Por otro lado, si queremos construir un semicírculo de radio conocido, como generatriz de una esfera, nos vamos a encontrar con las situaciones siguientes: Si el radio es algún n entero, construirlo es muy sencillo. Simplemente abrimos nuestro compás abarcando las unidades especificadas para el radio y haciendo apoyo en el centro arbitrario (a menos que se diga otra cosa) trazamos nuestro círculo. Asimismo, si el radio es algún m racional, su construcción también es relativamente simple. El procedimiento seguido en el punto anterior es válido en este caso. Sin embargo, si el radio es un p irracional, aun cuando ya no es tan simple, en algunos casos si es posible, según veremos enseguida: Ejemplo No. 2. Construyamos un círculo de radio r = 2. Como ya vimos en apartados anteriores, para construir un segmento de esta magnitud hacemos lo siguiente: Sobre el eje de las abscisas trace un segmento unitario. Trace otro segmento semejante pero ahora sobre el eje de las ordenadas. Una los etremos de estos segmentos y el trazo correspondiente es igual a 2. Sitúe su compás en uno de los etremos y ábralo hasta abarcar el segmento completo y apoyando en el centro arbitrario trace su círculo. Ejercicios No Construya un círculo de radio: r = Construya un Círculo de radio: r = Construya un Círculo de radio r: = π. El círculo No. 3 NO se puede construir. 54

6 Entonces, solamente es posible construir círculos cuyos radios toman ciertos valores. En este caso, al conjunto de valores que puede tomar el radio está restringido a un cierto conjunto el que, como ya dijimos, define el Dominio de la función. En este caso particular este conjunto define a los llamados Números Constructibles. Ejercicio No. 4. Proporcione los dominios de las funciones del Ejercicio No. 1 y de los casos 1 y 2 del Ejercicio No. 2. Por otro lado, en el punto No. 5 de nuestro ejemplo señalamos que el radio varía de manera continua. Ahora: Qué significa esta variación continua de los valores que puede tomar el radio de la esfera?. En primer lugar significa que el radio no puede tomar un valor r 1 y luego brincarse al valor r 2. Es decir, no puede saltar de un valor a otro. Significa que debe tomar todos, absolutamente todos los valores. No debe faltar ninguno. En su variación no puede haber valores que no hallan sido tomados por el radio. No puede haber huecos. Ahora: Cómo representamos esta variación en las matemáticas?. La respuesta es simple. Veámoslo. Nosotros hemos trabajado con los siguiente conjuntos numéricos: N: {Conjunto de los Naturales que son los enteros positivos: 1, 2, 3,... }. En este conjunto hemos trabajado la Aritmética. Z: { Conjunto de los enteros, que son los enteros positivos y negativos mas el cero }. Aquí trabajamos la aritmética introduciendo la resta como operación. Q: { Conjunto de los racionales que son los números que aceptan la epresión n/m con n y m enteros y m diferente de cero }. Aquí trabajamos con el álgebra. I: { Conjunto de los irracionales, que son aquellos que no son Q }. Poco los hemos usado y más que nada como elementos sin significación propia. R: { Conjunto de los Reales, dados por la unión de los Racionales y los Irracionales }. En este conjunto se define el Cálculo. Porqué en los Reales se define el Cálculo?. 55

7 Porque, como en el caso de la esfera que define un problema del cálculo, la variación de los valores del radio debe darse en un conteto continuo, y este conteto solo lo proporciona el conjunto de los Reales. Ejercicios No. 5. En cuáles casos una epresión f() dada NO define una función?. (Sugerencia: Empleé como criterio de eclusión la correspondencia unívoca entre los elementos de A con los elementos de B). Apoyándose en la eposición anterior, DE la definición de DOMINIO y de CONTRADOMINIO de una función y después contrástela con la definición que consigna el teto: Cálculo y Geometría Analítica de Edwards y Penney. Eplique las posibles diferencias y/o coincidencias entre su definición y la que consigna el Teto indicado y haga las correcciones y/o adecuaciones correspondientes. Para determinar el Dominio de una función, se tomarán como base los criterios de eclusión señalados en el Ejercicio 5 inciso a) y en este casos consideraremos los siguientes TRES: 1. A ningún elemento del conjunto dominio A de la función f() le PUEDE tocar MAS de un elemento del conjunto contradominio B. Este caso se presenta cuando en la función aparecen raíces pares o cuadradas cuya solución acepta dos o más valores de igual magnitud pero de signo contrario. En este caso el conflicto se elimina indicando eplícitamente CUAL de las raíces debe considerarse como elemento correspondido. 2. A ningún elemento del conjunto dominio A de la función f() le PUEDE tocar un elemento que NO este contenido en el conjunto contradominio B. Este caso se presenta cuando en la función aparecen raíces cuadradas o pares en las que el radicando puede ser negativo en cuyo caso el resultado sería un par de números complejos conjugados. En este caso el conflicto se elimina considerando UNICAMENTE radicandos positivos o, a lo sumo, cero. 3. A cada elemento del conjunto contradominio A de la función f() le debe tocar un elemento BIEN definido e identificable. Es decir, no pueden eistir elementos en el dominio a los cuales les toque un elemento que no podamos definir. Este caso se presenta cuando la función está dada mediante una función racional (un quebrado) en cuyo caso el denominador puede ser CERO. Dado que la división entre cero NO ESTA DEFINIDA. En este caso, el conflicto se elimina ecluyendo del dominio aquellos valores que hacen que el denominador se anule. 56

8 Para finalizar este apartado precisemos la Definición: De inicio tenemos: Dos conjunto A y B no vacíos contenidos en los reales También tenemos: Una regla de correspondencia arbitraria. Ahora: si mediante tal regla de correspondencia a cada elemento a A le corresponde uno y solo un elemento b B entonces, y solo entonces, se dice que f es una función de A a B y se indica como: f : A B Cuándo la regla de correspondencia NO determina una función?: Una regla de correspondencia arbitraria NO siempre define una función como veremos en los siguientes casos: 1. No es función si cuando a al menos a un elemento a A le toca mas de un elemento b B aunque a los demás elementos de a les toque uno y solo un b B. Este caso se presenta cuando en el dominio de la supuesta función tenemos epresiones que contienen la raíz cuadrada de un real. El diagrama de correspondencia está dado en la siguiente gráfica. A no f () B raíces cuadradas 57

9 2. No es función si cuando a al menos a un elemento a A le toca un elemento b B pero se sabe cuál es. Este caso se presenta cuando en el dominio de la supuesta función tenemos raíces cuadradas de números reales negativos, como 4, cuyo resultado es un numero imaginario = 2i A no f B? 3. No es función si cuando a al menos a un elemento a A le corresponde un elemento b B pero que no sabemos cual es. Este caso se presenta cuando en el dominio de la supuesta función aparece un cociente en el que el denominador se hace cero. Se dice que hay una indeterminación. A f = 4/ B

10 Dominio de una Función. Como ya mencionamos, el dominio de una función es el conjunto A de valores que puede tomar la variable independiente, y a los que, mediante la regla de correspondencia que define a la función, le toca UNO y solo UN elemento del contradominio, Es decir, cumple con que a cada elemento a A le corresponda uno y solo uno de b B, según mostramos en la gráfica siguiente. A f B Por lo tanto, para determinar el dominio de una función, basta con observar los casos de eclusión mencionados líneas arriba. Este conjunto Dominio se obtiene mediante los siguientes pasos y que desarrollaremos a partir de un ejemplo. Ejemplo No. 3.- Obtenga el conjunto dominio de la función f = 1.- Detectamos a cual de los tres casos ya mencionados corresponde el problema. En este caso, como es una raíz cuadrada. 2.- Establecemos la o las condiciones que se deben cumplir. En este caso son DOS. a).- Sabemos que el radicando solo debe tener reales positivos incluyendo del cero. Esta condición queda dada por la desigualdad: 0 b).- Se debe especificar el signo fuera del radicando para ecluir la duplicidad de valores. 59

11 3.- Resolvemos la o las condiciones indicadas. En este caso la solución es directa y está dado por: Epresamos el conjunto solución en alguna de las formas ya vistas en los artículos anteriores. En Notación de Conjuntos es: D f = { / R + } En Notación de Intervalos es: D f = [ 0, ) En forma gráfica el Dominio queda dado por: D f Finalmente es conveniente validar el resultado obtenido. Esto significa darle algunos valores claves a la variable y verificar que no se presenta alguno de los tras casos mencionados. Ejercicios No. 6.- Siguiendo una estrategia semejante a la desarrollada, obtenga los Dominios de las siguientes funciones- 60

12 f () 4 := Tipos de Funciones Funciones Polinomiales. Sabemos que una ecuación tiene la forma general: A 0 + A 1 + A A 3 n A n n = 0 Por su parte un Polinomio tiene la forma General: p() = A 0 + A 1 + A A 3 n A n n Donde, en ambos casos, n debe ser un entero positivo: n Z y las diferentes A n deben ser racionales. A n Q 61

13 Por lo tanto, una función polinomial tendrá la forma general: f() = A 0 + A 1 + A A 3 n A n n Por ejemplo: f() = f() = π no es polinomial ya que tanto π como 2 no son racionales. f() = 3 1/2 2 3/4 + 1/ no es polinomial porque los eponentes ½ y ¾ y 1 no son enteros. Por lo ya dicho anteriormente, debe ser claro que el dominio de una función polinomial está definido por todos lo reales: D f = IR (Eplique porqué) Función Racional. Un función racional es el cociente de dos polinomios por lo que está dada mediante la epresión: f() = p() / q() Por ejemplo: f := 2 ( 4 + 2) Para determinar el dominio de definición de una función polinomial se sigue una estrategia semejante a la eplicada en el caso de la función raíz cuadrada. Ejercicios No. 4.- Determine los dominios de las siguientes funciones: f := f 3 := 8 f := f := f := f := f := 1 ( 2 1) 62

14 1 f := f := ( ) Gráfica de una Función. Definición.- Es la representación de todos los pares ordenados ( o, y o ), determinados por los valores que toma la función, sobre un sistema ejes coordenados. Dominio contradominio Por Ejemplo 5.- Obtenga la Gráfica de la siguiente función: f () := 1 1 Es la que mostramos en la siguiente figura

15 Si analizamos el comportamiento de la función, vemos que: Si la aumenta el valor correspondiente de y disminuye. Si la se aproima a 1 el valor correspondiente de y tiende al infinito. Sea ahora la Gráfica de la función: f () := 1 1 Esta grafícala mostramos en la figura siguiente. ) El dominio de la función está dado por: (-,1) (1, ) Ejercicio No. 6.- Analice su comportamiento GRAFICA DE UNA FUNCION POLINOMIAL. En todos los casos siguientes, la gráfica correspondiente ha sido obtenida empleando el Math Cad. Analice las diversas gráficas y en cada una de ellas efectúe las siguientes actividades: Intervalos en los cuales la función es creciente. Intervalos en los cuales la función es decreciente. Aproime el valor de los puntos en los cuales la curva cambia de comportamiento. 64

16 Los valores para los cuales f() = 0. Intervalos en los cuales la gráfica es cóncava. Intervalos en los cuales la gráfica es convea. El siguiente conjunto de gráficas corresponden a funciones Polinomiales de Grado 3. Cada una de ellas tienes características particulares. Encuéntrelas! Gráfica de una función Polinomial de 2 Grado. Una función polinomial de segundo grado tiene la forma general: f() = a 2 + b + c Donde, como ya dijimos, a, b y c son elementos de Q. Por ejemplo: f ()= Dependiendo de las raíces que tenga el polinomio p() = 0, se tendrán los siguientes tres casos: 1. Raíces reales y repetidas. En este caso la Raíz = 3 se repite dos veces. ( 3) 2 4 f ( ) Cómo se presenta esta característica sobre la gráfica?. 2.- Raíces reales y diferentes. En este caso las raíces son: = 2 y =

17 4 f ( ) Cómo se presenta esta característica sobre la gráfica?. 3.- Raíces Complejas conjugadas. En este caso las raíces son de la forma: = a ± bi con a y b Reales f ( ) Cómo se presenta esta característica sobre la gráfica? Gráfica de una Función Polinomial de 3 er Grado. Una función polinomial de tercer grado tiene la forma general: f() = a 3 + b 2 + c + d Donde, como ya dijimos, a, b, c y d son elementos de Q. Por ejemplo: Para esta función también tendremos diferentes casos dependiendo de las raíces que tenga el polinomio p() = 0: 66

18 1 er Caso.- Cuál es la características distintiva de esta función? y Cómo se traslada a la gráfica esta característica?. f() = ( 1 ) f ( ) Recuerde que los cruces de la gráfica con el eje determinan las raíces de la ecuación: f() = 0. 2 o Caso.- Cuál es la características distintiva de esta función?. Y Cómo se traslada a la gráfica esta característica? f ( ) Variantes 2.1. La siguiente función es idéntica a la anterior solamente que multiplicada por 1. Cómo afectó este cambio a la gráfica?

19 f ( ) er Caso.- Cuál es la características distintiva de esta función?. Y Cómo se traslada a la gráfica esta característica? f ( ) o Caso.- Cuál es la características distintiva de esta función?. Y Cómo se traslada a la gráfica esta característica?

20 f ( ) 0 5 o Caso.- Cuál es la características distintiva de esta función?. Y Cómo se traslada a la gráfica esta característica? f ( ) Ejercicios: Tomando como base la información generada en las Gráficas y sin emplear el paquete, bosqueje la grafica de un polinomio de grado 3 que tenga la siguientes raíces. 1. Negativo con dos raíces en cero y una en tres 2. Dos raíces complejas y una real en 5 3. Negativo y raíces = 0, = 1, = Negativos dos complejas y = 4 5. Negativo dos reales en 3 y otra en 3 6. Positivo raíz en +2 y dos en 4 7. Positivo tres raíces en 5 8. Positivo dos en cero y una en 7 69

21 Gráfica de una Función Polinomial de 4 o Grado. Una función polinomial de cuarto grado tiene la forma general: f() = a 4 + b 3 + c 2 + d + e Donde, como ya dijimos, a, b, c y d son elementos de Q. Por ejemplo: f() = Para esta función también tendremos diferentes casos dependiendo de las raíces que tenga el polinomio p() = 0: 1. Raíces Reales y Repetidas. 1.1 Tres repetidas y una diferente ( 4) 3 ( 2) 1.2 Dos repetidas y dos diferentes ( 4) 2 ( 2) Cuatro repetidas ( 4) Dos repetidas y dos diferentes ( 4) 2 ( 1)( + 1). 1.5 Cuatro raíces reales y diferentes ( + 2 )( 1 )( + 1)( + 2) NOTA.- Si una raíz se repite un numero par toca al eje, asimismo si la raíz se repite un numero impar de veces, lo cruza y hace una curvita. Caso La raíz = 4 se repite tres veces y la raíz = 2 es única. ( 4) 3 ( 2) f ( )

22 Siendo par positivo viene de arriba y se regresa para arriba Caso Las raíces = 4 y = 2 se repiten dos veces. ( 4) 2 ( 2) 2 f ( ) Caso La raíz = 4 se repite cuatro veces. f( ) := ( 4) 4 f( ) Caso La raíz = 4 se repite dos veces y las raíces = 1 y = -1 son únicas. 71

23 ( 4) 2 ( 1) ( + 1) f ( ) Caso Las cuatros raíces = -2, = -1, = 1 y = 2 son únicas. f() = ( + 2 )( 1 )( + 1)( + 2) f ( ) Raíces Reales y Complejas Conjugadas. 3.1 La Raíces son dos complejas conjugadas y dos reales repetidas 3.2 La Raíces son dos complejas conjugadas y dos reales diferentes 3.3 La Raíces son dos pares complejas conjugadas diferentes 3.4 La Raíces son dos complejas conjugadas repetidas ( simple parábola) 72

24 3.1.- La raíces son dos en = 4 y dos en: = ± i ( ) ( ) 2 50 f ( ) La Raíces son dos en = ± i y dos únicas en = 3 y en = 4. ( ) ( ) ( 4) 20 f ( ) Las Raíces son dos complejas conjugadas diferentes de la forma: = ± i y = ± 2i. 73

25 ( ) ( 2 + 4) f ( ) Las raíces son dos complejas conjugadas de la forma = ± i repetidas dos veces. ( ) f ( ) 0 T R A B A J O (Continuación) IV.- Suponga que en el proceso de inflado del globo, su volumen tuvo un comportamiento determinado por siguiente función. 74

26 vt ():= e 2t if 0 t if 0.5 t 1 ( 2t) if 1 t 1.5 t 2 if 1.5 t 2 4 if 2 t 0 otherwise Analice la información proporcionada por la Función anterior, con tanto detalle como considere necesario, y a partir de dicho análisis realice las siguientes actividades. IV.1.- Describa verbalmente lo que sucede con el volumen globo durante el proceso. 1.- Cómo fue la entrada de gas que le proporcionó el depósito?. Constante? Variable? Lineal? Continua? Discontinua? Justifique su respuesta. 2.- Cómo fue la variación del volumen del globo?. Constante? Variable? Lineal? Continua? Discontinua? Justifique su respuesta. 3.- El radio del globo tendrá un comportamiento semejante?. Justifique su respuesta. 4.- El color del globo como parámetro de descripción del proceso tendrá un comportamiento semejante?. Justifique su respuesta. 5.- La opacidad del hule del globo como parámetro de descripción del proceso tendrá un comportamiento semejante. Justifique su respuesta. 75

27 IV.2.- Ahora describa nuevamente lo que sucede con el globo utilizando los elementos distinguidos en los tres puntos anteriores. IV.3.- Con la información proporcionada por la función podemos determinar la variación del volumen del globo con respecto a su radio?. Si su respuesta es si: Hágalo!. Si es no justifique su respuesta. IV.4.- Con la información proporcionada por la función podemos determinar la variación del área del globo con respecto a su radio?. Si su respuesta es si: hágalo!. Si es no justifique su respuesta. IV.5.- Con la información proporcionada por la función podemos determinar la variación del volumen del globo con respecto a su área?. Si su respuesta es si: Hágalo!. Si es no justifique su respuesta. 76