Engranajes rectos no estándar

Transcripción

1 Capítulo 1 Engranajes rectos no estándar 1.1. Engranajes Los engranajes son elementos dentados que transmiten el movimiento rotatorio de un eje a otro, normalmente a una razón constante. Es claro que la obtención de una relación constante de transmisión no es solamente de los engranajes, ya que lo mismo puede obtenerse con correas, cadenas, ruedas de fricción, o hasta con levas entre los mecanismos de transmisión más conocidos. Sin embargo, dichos mecanismos poseen ciertas limitaciones principalmente en el orden de la carga o potencia que se puede movilizar. Los engranajes, por otro lado, poseen varias ventajas competitivas que los hacen óptimos para tal tipo de tarea, tales como: capacidad de transmitir grandes potencias, eficiencia de transmisión de hasta 98%, gran variedad de opciones de conformado, reducido espacio ocupado, etc. Como puede esperarse, los costos de manufactura de engranajes aumentan bruscamente al aumentar la precisión, cuando se requieren para la combinación de altas velocidades, cargas pesadas y bajos niveles de ruido; siendo de este modo más costosos que las cadenas y las bandas. La relación de transmisión de los engranajes se define como el cociente entre la velocidad angular de salida (velocidad de la rueda conducida) y la de entrada (velocidad de la rueda conductora), dicha relación puede tener signo positivo si los ejes giran en el mismo sentido, o signo negativo si los giros son de sentido contrario. Del mismo modo, si la relación de transmisión es mayor que 1 se supondrá el empleo de un mecanismo multiplicador, y si la relación de transmisión es menor a 1 se supondrá el empleo de un mecanismo reductor. El principio de transmisión de los engranajes está basado en el contacto directo entre dos cuerpos sólidos unidos rígidamente a cada uno de sus ejes. Entre las características generales de la transmisión por engranajes se tiene que: Poseen gran capacidad de carga.

2 4 Son compactos. Transmisión de fuerza sin deslizamiento (relación de transmisión constante e independiente de las cargas). Tienen alta eficiencia. Poseen distancias entre centros pequeñas y medias. Poseen seguridad de funcionamiento y gran duración. Son sencillas de mantener. Son caras y complejas de fabricar. Producen ruido. Los engranajes pueden ser clasificados según los siguientes criterios: Según la distribución espacial de los ejes de rotación. Según la forma del dentado. Según la curva generatriz del diente. Siendo la forma más común de clasificarlos según la distribución espacial de los ejes que conectan, por ejemplo, si los ejes son paralelos se pueden conectar por medio de engranajes rectos, helicoidales o engranajes de espina de pescado. Los ejes que se intersectan pueden conectarse por medio de engranajes cónicos cuyos dientes sean rectos, sesgados o construidos en espiral. Los ejes no paralelos ni intersectantes pueden ser conectados por medio de engranajes helicoidales cruzados, engranajes hipoidales o de un engranaje y un tornillo sinfín. Así pues, según los ejes sean paralelos o se corten o se crucen corresponderán a las siguientes subclases de engranajes cilíndircos, cónicos o hiperbólicos, respectivamente. 1. Engranajes cilíndricos: De dientes rectos externos (ver Figura 1.1). De dientes rectos internos. De dientes rectos con cremallera (ver Figura 1.2). De dientes helicoidales externos (ver Figura 1.3). De dientes helicoidales internos. 2. Engranajes cónicos: De dientes rectos (ver Figura 1.5).

3 5 De dientes helicoidales. 3. Engranajes hiperbólicos: Sinfín-corona (ver Figura 1.6). Hipoidales. De dientes helicoidales y ejes cruzados. 4. Engranajes no circulares: Ruedas dentadas para fines específicos, similares a los de las levas. Figura 1.1: Engranajes rectos exteriores. Figura 1.2: Engranaje recto-cremallera.

4 6 Figura 1.3: Engranajes helicoidales. Figura 1.4: Engranajes helicoidales dobles o de espina de pescado.

5 7 Figura 1.5: Engranajes cónicos. Figura 1.6: Tornillo sinfín-corona.

6 Engranajes rectos El tipo de engranaje más dominante y mejor conocido es el engranaje recto. Los engranajes rectos pueden transmitir movimiento y potencia de un eje a otro eje paralelo a una relación constante. Pueden usarse un número infinito de curvas para los perfiles de los dientes, los cuales producirán una acción conjugada. La forma del perfil más usada es la de una evolvente. En un conjunto de engranajes el piñón es el engranaje pequeño y el más grande es denominado engrane. El movimiento relativo en los engranajes es cinemáticamente equivalente a la rodadura de sus circunferencias primitivas o de paso, como se indica en la Figura 1.7. Figura 1.7: Engranajes rectos acoplados. Por lo tanto igualando la velocidad en el punto de contacto C, se obtiene o sea πn g d g = πn p d p (1.1) d g d p = n p n g = i g (1.2) siendo d g y d p los diámetros de paso del engrane y del piñón respectivamente 1 ; n g y n p representan la velocidad angular de los engranajes; i g es la relación del engranaje expresada 1 El subíndice g hace referencia al engrane y el subíndice p al piñón.

7 como la relación del engranaje mayor al menor. Los dientes de los engranajes embonables deben ser de igual anchura y separación; por lo tanto, el número de dientes (z) de cada engranaje es directamente proporcional a su diámetro de paso, o sea 9 z g z p = d g d p = n p n g = i g (1.3) Nomenclatura de los engranajes rectos Las proporciones y formas de los dientes de los engranajes están normalizados y las denominaciones que se definen a continuación son comunes a todos los engranajes rectos: Figura 1.8: Parámetros de los engranajes rectos de dientes de evolvente. Diámetro de paso (d). Es el diámetro a lo largo de la cual engranan los dientes. Con relación al diámetro de paso o primitivo se determinan todas las características que definen los diferentes elementos de los dientes de los engranajes. Número de dientes (z g o z p ). El número dientes del engrane o del piñón. Paso diametral (P ). Una relación igual al número de dientes del engranaje por pulgada de diámetro de paso. P = z d (1.4) Paso circular (p). La distancia medida sobre la circunferencia de paso desde un punto situado en un diente al punto correspondiente del diente adyacente. Comprende, en consecuencia, un diente y un espacio. p = π d z = π P (1.5)

8 10 Adendum (a). La distancia radial de la circunferencia de paso a la parte superior del diente. a = 1 P (1.6) Dedendum (b). La distancia radial de la circunferencia de paso al fondo del espacio del diente. b = P (1.7) Diámetro exterior (d a ). El diámetro de la circunferencia del adendum. Es igual al diámetro de paso más el doble del adendum. d a = d + 2a = z + 2 P (1.8) Diámetro de fondo o en la raíz del diente (d f ). El diámetro de la circunferencia de fondo es igual al diámetro de paso menos el doble del dedendum. d f = d 2b = z P (1.9) Altura total (h t ). La altura total del diente. Es igual a la suma del adendum y dedendum. h t = a + b = 2.157P (1.10) Altura de trabajo (h k ). La distancia que penetra un diente dentro del espacio de embonamiento. Es igual al doble del adendum. h k = 2a = 2 P (1.11) Huelgo u holgura (c). La distancia que hay entre la parte superior del diente y el fondo del espacio de embonamiento. Es igual al adendum menos el adendum. c = b a = P (1.12) Espacio circular (t). El espesor de un diente medido sobre la circunferencia de paso. Es igual a la mitad del paso circular. t = p 2 = π 2P (1.13)

9 11 Espesor cordal (t c ). circunferencia de paso. El espesor de un diente medido sobre una cuerda de la ( ) 90 t c = d sin z (1.14) Adendum cordal (a c ). La distancia radial de la parte superior de un diente a la cuerda de la circunferencia de paso. a c = a [1 cos (90 z)] (1.15) Angulo de presión (φ). El ángulo que determina la dirección de presión entre los dientes en contacto y que designa la forma de los dientes de evolvente, también determina el tamaño de la circunferencia de base. Circunferencia de base (d b ). Circunferencia a partir de la cual se genera el perfil de la evolvente. Figura 1.9: Parámetros de los engranajes rectos de dientes de evolvente (continuación). El valor numérico del módulo determina el tamaño del diente, ya que el paso es el mismo sin importar si los dientes se colocan en una rueda pequeña o en una rueda grande. Nótese que a mayor m mayor será el diente y, a mayor p menor tamaño de diente. Por otro lado, el módulo tiene la ventaja de no depender del número π (m = d/z).

10 12 Figura 1.10: Esquema para la ley de engrane La ley de engrane y acción conjugada de perfiles conjugados Los dientes de los engranajes para transmitir el movimiento de rotación, actúan conectados de modo semejante a las levas, siguiendo un patrón o pista de rodadura definido. Cuando los perfiles de los dientes se diseñan para mantener una relación de velocidades angulares constante, se dice que poseen acción conjugada. En consecuencia los perfiles de dientes de engranajes que ostenten acción conjugada, se denominarán perfiles conjugados. En términos generales, cuando una superficie hipotética empuja a otra (Figura 1.10), el punto de contacto c es aquél donde las superficies son tangentes entre sí. En estas circunstancias las fuerzas de acción-reacción están dirigidas en todo momento a lo largo de la normal común ab a ambas superficies. Tal recta se denomina línea de acción y cortará a la línea de centros O 1 O 2 en un punto P llamado punto primitivo. En los mecanismos de contacto directo, en los cuales se produce contacto entre superficies que deslizan y/o ruedan, la relación de velocidades angulares es inversamente proporcional a la relación de segmentos que determina el punto primitivo sobre la línea de centros, o sea: i g = n 2 n 1 = r 1 r 2 = O 1P O 2 P (1.16) O 1 P y O 2 P se denominan radios primitivos y a las circunferencias trazadas desde O 1 y

11 O 2 con esos radios, circunferencias primitivas. En consecuencia, para que la relación de transmisión se mantenga constante, el punto P deberá permanecer fijo: la línea de acción, para cada punto de contacto, deberá pasar siempre por P. La ley de engrane se puede enunciar como sigue: La relación de transmisión entre dos perfiles se mantendrá constante, siempre y cuando la normal a los perfiles en el punto de contacto pase en todo instante por un punto fijo de la línea de centros Perfil de evolvente Una de las cosas que interesa en los engranajes es encontrar perfiles conjugados que, por una parte, satisfagan la ley general de engrane y, por otra, sean fáciles de construir. De los muchos posibles perfiles conjugados, solamente se han estandarizado la cicloide y la evolvente. La cicloide se empleó inicialmente, aunque actualmente su utilización está limitada a relojes de lujo y de pared. El perfil evolvente en cambio tiene varias ventajas, siendo las más importantes su facilidad de fabricación y el hecho de que la distancia entre los centros de dos engranajes de evolvente puede cambiar sin alterar la relación de velocidades. Este tipo de perfil es el que se emplea en la mayor parte de los engranajes. La curva que describe este perfil es la que genera el extremo de una cuerda ideal (de espesor cero), inicialmente enrollada en un cilindro, al desenrollarse del cilindro. El perfil de evolvente depende, por tanto, del cilindro utilizado, el cual recibe el nombre de circunferencia de base. El perfil de evolvente o curva de evolvente se puede definir de la siguiente manera: la evolvente es una curva tal que el lugar geométrico de los centros de curvatura de todos sus puntos forma una circunferencia. Su ecuación paramétrica obedece a la siguiente relación: { x = a cos ϕ + aϕ sin ϕ f(x, y) y = a sin ϕ aϕ cos ϕ (1.17) La obtención del perfil envolvente sigue un patrón bastante claro si se observan las Figuras 1.11 y Así pues la curva de evolvente se obtiene a partir del punto A 0, desarrollando sobre las tangentes sucesivas A 1 B 1, A 2 B 2, A 3 B 3, A 4 B 4, etc., las longitudes de arco de A 1 A 0, A 2 A 0, A 3 A 0, A 4 A 0, etc. con lo cual se obtienen los segmentos A 1 C 1, A 2 C 2, A 3 C 3, A 4 C 4, etc. uniendo los puetos C i se obtiene la curva evolvente deseada. En general, para que dos engranes con perfil de evolvente sean intercambiables entre sí, se deben cumplir las siguientes condiciones: Tener el mismo módulo (o mismo paso circular o diametral). Igual ángulo de presión de generación. Presentar addendum y dedendum normalizados.

12 14 Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia primitiva. Figura 1.11: Evolvente. Figura 1.12: Método gráfico de la generación de una evolvente. Existen diferentes criterios y formas de normalización de los perfiles de dientes, según las normas técnicas de cada país:

13 15 DIN (Deutsches Institut für Normung) de Alemania. AFNOR (Association française de Normalisation) de Francia. UNE (Una Norma Española) de España. AGMA ( American Gear Manufacturers Association) de Estados Unidos de Norteamérica. Sin embargo la más conocida y empleada es la última. En la Tabla 1.1 se muestran algunos casos estándar para cuatro clases de dientes. Del mismo modo, en la Figura 1.13 se muestran engranajes rectos con distintos módulos. Tabla 1.1: Paso diametral estándar (AGMA) para cuatro clase de dientes. Clase P [ pulg 1] Grueso 1/2, 1, 2, 4, 6, 8, 10 Semigrueso 12, 14, 16, 18 Fino 20, 24, 32, 48, 64, 72, 80, 96, 120, 128 Extrafino 150, 180, 200 Figura 1.13: Engranajes rectos con diferentes módulos.

14 Estudio de los engranajes rectos no estándar El defecto más serio en un sistema de engranajes de evolvente es la posibilidad de interferencia entre la punta del diente del engrane y el flanco del diente del piñón, cuando el número de dientes en este último se reduce por debajo del mínimo para ese sistema de engranajes. Cuando ocurre interferencia, el metal que interfiere se elimina del flanco del diente del piñón con el cortador cuando se generan los dientes. Esa eliminación de metal se conoce como rebaje o socavación y normalmente ocurrirá a menos que se tomen las medidas para impedirlo. Si el cortador no eliminó este metal, los dos engranes no girarán al acoplarse debido a que el engrane que provoca la interferencia se atasca contra el flanco del piñón. No obstante, lo que sucede en la práctica es que los engranes podrán girar libremente debido a que el flanco del piñón se ha rebajado; sin embargo, este rebaje no sólo debilita el diente del piñón sino que también puede eliminar una pequeña porción de la evolvente adyacente al círculo base, lo cual puede reducir seriamente la longitud de acción. El intento de eliminar la interferencia y su rebaje resultante ha conducido al desarrollo de varios sistemas de engranajes no estándar, algunos de los cuales requieren cortadores especiales. Sin embargo, dos de estos sistemas han tenido éxito y tienen amplia aplicación debido a que se pueden emplear cortadores estándar para generar los dientes. Para poder comprender en que consiste la corrección del dentado, así como toda la formulación matemática de los parámetros geométricos de los engranajes corregidos, es necesario previamente establecer algunos conceptos fundamentales acerca de los diferentes métodos de elaboración de las ruedas dentadas y de los parámetros geométricos de los engranajes Métodos de elaboración de engranajes rectos Existen diversos métodos de elaboración de ruedas dentadas, pero esencialmente todos se basan en uno de los siguientes principios: Método de forma o de copia. Método de generado o rodamiento. El método de forma o de copia consiste en reproducir el perfil de la herramienta en el semiproducto, este procedimiento se realiza en una fresadora y con ayuda de una fresa de engranaje o también llamada fresa de módulo (ver Figura 1.14). De este modo una vez que se ha fresado uno de los huecos o espacios entre los dientes, el disco del engranaje se fija en la próxima posición de corte. El fresado se puede emplear para el corte en bruto o en acabado y no sólo para engranajes rectos, sino también para engranajes helicoidales y cónicos rectos. Este método tiene como deficiencia su poca productividad y su inexactitud (generalmente con una fresa se tallan ruedas con diferentes números de dientes). Por otra parte usando esta

15 forma de elaboración de la ruedas dentadas no se pueden fabricar dientes corregidos, ya que la corrección implica una modificación de la forma del perfil del diente; y habría que tener entonces una herramienta con el perfil modificado. Figura 1.14: Elaboración de una rueda dentada por el método de copia. 17 En cambio, durante el procedimiento de generación o rodamiento el borde cortante de la herramienta es capaz de crear mediante una rodadura controlada los perfiles de los dientes, existiendo diversas formas de lograrlo: por mortajado, por tallado con cremallera, por tallado con fresa madre, etc. Es mucho más productivo y exacto que el método anterior, pues el procedimiento de generación permite de forma muy simple variar parámetros de las ruedas dentadas con mayor racionalidad y precisión, además de permitir el tallado de ruedas dentadas con corrección en los flancos de dientes, mediante el conveniente desplazamiento de la herramienta generadora con relación a la posición de referencia que se establece entre la rueda tallada y la recta de módulo en la herramienta empleada. En este método se aprovecha una propiedad del perfil de evolvente, según la cual todos los perfiles de evolvente son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil, que apoya sobre una base que es la circunferencia primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una línea recta. Así se pueden generar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la línea primitiva de ésta ruede sobre la circunferencia primitiva del engranaje. La cremallera consiste en varios planos rectos unidos rígidamente, de modo que pueden

16 18 generarse simultáneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, la cremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano del dibujo de la Figura Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se gira la pieza que se está tallando un ángulo determinado y se repite el proceso. Figura 1.15: Elaboración de una rueda dentada por el método de generación o rodamiento Corrección en las transmisiones por engranajes Muchos textos de Teoría de Mecanismos [1] para explicar la corrección hablan esencialmente de un desplazamiento de la herramienta, y no relacionan directamente la corrección con el cambio de diámetro del semiproducto donde se va a tallar la rueda dentada. Para comprender mejor este fenómeno se necesitan conocer 2 conceptos: la cremallera básica y las propiedades de la evolvente. La cremallera básica es el perfil de referencia que se usa para definir los parámetros geométricos de los engranajes, es decir, el patrón que establece las principales dimensiones geométricas de una transmisión por engranajes, y por lo tanto la forma del diente.

17 Las normas internacionales como la norma japonesa JIS B , la polaca PN-78/m , la soviética GOST , la norteamericana AGMA y la internacional ISO 57-74, establecen los parámetros geométricos de la cremallera básica; destacándose entre ellos la recta de módulo o línea de referencia, que es la que divide la cremallera en dos partes. A lo largo de esta línea el espesor del diente es igual al del espacio interdental. Es importante tener en cuenta que la cremallera básica tiene determinado el ángulo del perfil (llamado ángulo de la cremallera), y que el paso es el mismo por cualquier recta paralela a la recta de módulo o línea de referencia (ver Figura 1.15). El perfil del diente de las transmisiones por engranajes puede tener diversas formas, pero indiscutiblemente la curva geométrica más usada es la evolvente. Esta curva tiene tres propiedades esenciales que es conveniente discutir: La evolvente nace en la circunferencia base; es decir en una circunferencia de menor diámetro no hay una evolvente (el punto i sobre la circunferencia de base es el inicio de la evolvente). 2. Todo radio de curvatura de la evolvente es tangente a la circunferencia base (ρ es tangente a la circunferencia de base r b ). 3. El radio de curvatura de la evolvente en cualquier punto es igual al arco por la circunferencia base ( ρ = Ai ). Figura 1.16: Propiedades de la evolvente. Es importante destacar que el diente está formado por dos evolventes las cuales están representadas de manera exagerada en la Figura 1.16, para facilitar la explicación. Un detalle interesante a observar es que a medida que el radio exterior se aleja de la circunferencia base

18 20 el espacio entre las dos evolventes que conforman el diente se hace mayor en una zona cercana a la circunferencia base y menor en zonas lejanas a dicha circunferencia, llegando a cortarse inclusive cuando el radio exterior es muy grande. La esencia de las correcciones del dentado consiste en ir ubicando el diente en una zona de la evolvente diferente a la que le hubiera correspondido si se hubieran tallado normalmente. Esta claro que si se desea mover hacia afuera por la evolvente el radio del semiproducto debe ser mayor y viceversa. Para trazar la evolvente existen métodos gráficos y analíticos; siendo estos últimos más precisos y más fáciles de aplicar con ayuda de la computación. Durante el proceso de tallado por el método de generado se produce un engranamiento entre el semiproducto y la cremalllera básica (independientemente del tipo de herramienta que se use). En este proceso de engranamiento habrá solamente una circunferencia del semiproducto que rueda sin deslizamiento por una recta de la cremallera. El paso y el módulo de la rueda dentada por esta circunferencia son iguales al paso y por ende al módulo de la cremallera (no hay deslizamiento, es decir se hace igual el paso de la cremallera al paso por la circunferencia). Hay que tener en cuenta que el paso de la cremallera es el mismo por cualquier recta paralela a la recta de módulo, mientras que el paso de la rueda depende del radio de la circunferencia para un número de dientes dado. La circunferencia por donde se reproduce el paso de la herramienta se denomina circunferencia de paso. La longitud o perímetro de esta circunferencia es por tanto 2πr p = πd = zπm, es decir, es igual al número de dientes de la rueda por el paso de la herramienta. La expresión matemática para el cálculo del diámetro de la misma será d = mz (1.18) Una rueda dentada se considera normal o estándar cuando durante el proceso de tallado la circunferencia de paso rueda sin deslizamiento con respecto a la línea de referencia o recta de módulo de la herramienta (ver Figura 1.17). Las fórmulas para hallar todos los parámetros geométricos de las ruedas dentadas normales aparecen en la Tabla 1.2. Tabla 1.2: Parámetros geométricos de las ruedas dentadas normales. Parámetro Símbolo Expresión de cálculo Número de dientes z Ángulo de presión φ Módulo m Paso diametral Paso circular p πm Factor de altura de cabeza del diente Factor de holgura radial c c m P h a 1 m h a m

19 21 Diámetro de paso d mz Diámetro base d b d cos φ Diámetro exterior d a d + 2mh a Diámetro interior o de fondo d f d 2m (h a + c ) Distancia entre centros a w m (z g + z p ) En la Tabla 1.2, c es el coeficiente de holgura relativa de los dientes, el cual es un parámetro propio de la herramienta con que se tallan las ruedas; sus valores más usados son 0.16 y 0.25, h a es el factor de altura del diente, el cual también se corresponde con la herramienta que se utilice, sus valores son 0.8 ó 1. El ángulo de la cremallera φ, que define el ángulo de presión del engranaje recto, es generalmente de 20. Las fórmulas son aplicables tanto al piñón como al engrane, solamente teniendo en cuenta que el número de dientes cambia para cada rueda. Figura 1.17: Relación entre circunferencia de paso y línea primitiva para un engranaje recto normal Engranajes rectos no estándar Qué sucedería si al tallar un engranaje se escoge un semiproducto cuyo diámetro es superior en algunos milímetros al que realmente se necesita de acuerdo al valor obtenido de las fórmulas convencionales para engranajes rectos?. Evidentemente ya la posición relativa de la cremallera herramienta con respecto a la rueda cambia, es decir la herramienta estará más alejada con respecto al centro del engranaje. Entonces la circunferencia de paso rodará sin deslizamiento por una recta por encima de la recta de módulo de la cremallera. Al aumento en radio del semiproducto (b) con relación al módulo (m) se le denomina coeficiente de corrección (x). Evidentemente este aumento del semiproducto se corresponde con el desplazamiento de la herramienta (ver Figura 1.18). x = b m (1.19)

20 22 Figura 1.18: Corrección positiva de una rueda dentada. Siempre que se aumente el semiproducto estamos en presencia de una corrección positiva. Desde luego que la misma situación que ocurre al aumentar el semiproducto es válida para su disminución; pero con efecto contrario, es decir el ancho del diente por la circunferencia de paso disminuye, aumenta el espacio interdental, etc. Siempre que se disminuya el semiproducto estamos en presencia de una corrección negativa Corrección de altura o correccción compensada de los engranajes rectos En ocasiones existen limitaciones en cuanto a la distancia entre centros a utilizar, es decir la misma no puede ser elegida libremente. Por ejemplo, puede darse el caso de que en una transmisión de 2 engranajes, diseñados y construidos, durante la prueba de transmisión los dientes del piñón resulten más débiles que la del engrane. Ante esta situación el diseñador puede decidir para mejorar el comportamiento de la transmisión dar una correccción positiva al piñón y una negativa de la misma medida al engrane; de tal manera que el engranaje en su conjunto quede compensado. En este caso se mantiene la distancia entre centros, pudiendo utilizarse la misma carcaza de diseño. Cuando se corrige una pareja de engranajes y la misma corrección positiva x p que se le da al piñón, se le da negativamente al engrane x g ; estamos en presencia de una corrección de altura o corrección compensada de las ruedas dentadas. Es decir: x p = x g (1.20) A la suma de los coeficientes de corrección del piñón y del engrane se le llama coeficiente sumario de corrección (x Σ ): x Σ = x p + x g = 0 (1.21) Por lo tanto se deduce lógicamente que para realizar una corrección de altura, la rueda corregida positivamente necesita un semiproducto mayor, y que para la corregida negativamente un semiproducto menor. En la Tabla 1.3 se muestran las expresiones para

21 el cálculo de los parámetros geométricos de una transmisión por engranajes con corrección de altura. 23 Tabla 1.3: Parámetros geométricos de las ruedas dentadas con corrección de altura. Parámetro Símbolo Expresión de cálculo Número de dientes z Ángulo de presión φ Módulo m Paso diametral P 1 m Paso circular p πm Factor de altura de cabeza del diente h a h a m Factor de holgura radial c c m Diámetro de paso d mz Diámetro base d b d cos α Diámetro exterior d a m (z + 2h a + 2x) Diámetro interior o de fondo d f m [z 2 (h a + c ) + 2x] Distancia entre centros a w m (z g + z p ) Las expresiones de la tabla anterior sirven tanto para el piñón como al engrane, siempre y cuando se coloquen los valores de número de dientes (z) y coeficiente de corrección (x) con su respectivo signo para la rueda que se esté calculando. En las correcciones de altura producto de que el aumento de diámetro de una rueda es proporcional a la disminución en diámetro de la otra, la distancia entre centros es igual que para un engranaje normal con los mismos números de dientes Corrección angular de los engranajes En ocasiones para atenuar determinada falla del dentado, o para llevar una pareja de engranajes a una distancia entre centros mayor o menor de la que tendrían si fueran normales se utilizan las correcciones angulares. Estamos en presencia de una corrección angular cuando el coeficiente de corrección sumario es diferente de cero, es decir el valor de

22 24 corrección positiva que se le da a una rueda no coincide con el valor de corrección negativa que se le da a la otra. Por lo tanto se pueden presentar los siguientes casos: a) x g = + y x p = pero de valor diferente. b) x g = y x g = + pero de valor diferente. c) x g = y x p = d) x g = + y x p = + e) x g = + y x p = 0 f) x g = y x p = 0 g) x g = 0 y x p = + h) x g = 0 y x p = De todos los casos anteriores el más lógico y usual en la práctica es el caso d). Cuando se esta en presencia de dicho caso, producto de que de la circunferencia de paso hacia arriba los dientes se hacen más estrechos, y de que la circunferencia primitiva va a estar por encima de la circunferencia de paso, los engranajes tienden a encajarse, es decir a no conservar la holgura radial relativa. Debido a esto los dientes se recortan en su punta. En realidad para evitar tener que recortar los dientes después de maquinados lo que se hace es hacerlos ligeramente más cortos en una magnitud ( y) denominada coeficiente de desplazamiento invertido. Esto se logra eligiendo el diámetro exterior del semiproducto ligeramente inferior al calculado por la corrección. Si el coeficiente de corrección sumario (x Σ ) es positivo se dice que la corrección es angular positiva, y viceversa. Antes de definir las ecuaciones para el el cálculo de una transmisión por engranajes con corrección angular, es necesario definir las variables y su descripción para una mejor comprensión (ver Tabla 1.4). Tabla 1.4: Variables para el cálculo de ruedas dentadas con corrección angular. Variable Descripción Unidades a Distancia entre ejes mm b Anchura del diente mm c Juego de la cabeza mm d Diámetro primitivo mm d a Diámetro exterior mm d b Diámetro de la circunferencia base mm d f Diámetro interior o de fondo mm d w Diámetro primitivo de funcionamiento mm h a Altura de la cabeza del diente mm h f Altura del pie del diente mm

23 25 i Relación de transmisión j n Juego normal entre flancos mm m Módulo mm n Número de revoluciones rpm p Paso mm s Grueso del diente mm W Medida entre dientes mm x Factor de corrección z Número de dientes φ Ángulo de presión ɛ Relación de contacto Valor específico, para multiplicar por m La notación de los subíndices se especifican en la Tabla 1.5 Tabla 1.5: Índices de las variables del cálculo de ruedas dentadas con corrección angular. Subíndice g p a b f n w Descripción Referido al engrane Referido al piñón Referido a la cabeza del diente Referido a la circunferencia base Referido al pie del diente Referido a la sección normal Referido a la circunferencia primitiva de funcionamiento En la Tabla 1.6 se dan todas las expresiones para el cálculo de una transmisión por engranajes con corrección angular. Tabla 1.6: Parámetros geométricos de las ruedas dentadas con corrección angular. Parámetro Símbolo Expresión de cálculo Número de dientes z Ángulo de presión φ Módulo m Paso diametral P Paso circular p πm Diámetro base d b d cos φ n 1 m Diámetro primitivo de funcionamiento d w d b cos φ w

24 26 Diámetro exterior d a d + 2m (x + h a y) Diámetro de fondo d f d 2m (h a + c x) Altura del diente h 0.5 (d a d f ) = h a + h f Altura del pie del diente h r m (h a c x) Altura de la cabeza del h diente a 0.5 (d a d) Espesor normal del diente en ( π ) s el cilindro de referencia n m tan φ Longitud de la tangente base (normal común) media sobre k dientes W m cos φ [π (k 0.5) + 2x tan φ + z inv φ t ] Al vincularse dos ruedas mediante su engrane, surgen otros parámetros importantes que permiten valoraciones importantes de su montaje y funcionamiento. A continuación se listan las principales fórmulas para el cálculo geométrico de un engranaje recto: Razón de engrane i = z g z p (1.22) Distancia entre ejes, sin juego; siendo el juego normal entre flancos j n = 0 ( ) ( ) zg + z p cos φ a = m 2 cos φ w según norma DIN867 es φ = 20 ; φ w se obtiene de: Corrección sumaria invφ w = 2 (x g + x p ) sin φ + j n /m (z g + z p ) cos φ = d bg + d bp 2 cos φ w (1.23) + inv φ (1.24) x Σ = x g + x p (1.25) 1.8. Influencia de la corrección de los dientes en el engranaje Eligiendo adecuadamente los coeficientes de corrección en los dientes de evolvente puede ser aumentada la capacidad de carga del engranaje, y ajustar el montaje de las ruedas engranadas en una distancia interaxial prefijada conservando la relación de transmisión cinemática dada. Adicionalmente, con ayuda de las correcciones positivas en la rueda se puede prevenir la

25 interferencia de los dientes engranados y posibilitar el tallado de piñones con número de dientes pequeños sin peligro del socavado de sus bases. En la Tabla 1.7 puede ser observado que correcciones positivas producen un aumento de la resistencia de los dientes a la fractura y a la picadura, aunque el efecto favorable de mejorar la resistencia del dentado es más significativo en ruedas con pequeños números de dientes. Sin embargo, el aumento de los coeficientes de corrección pueden conducir a la disminución del espesor del diente cerca del vértice y provocar debilidad a la fractura en su cresta, por tal motivo los valores máximos del coeficiente de corrección se restringen por las condiciones que pueden provocar un tallado puntiagudo de los dientes. 27 Tabla 1.7: Influencia de la corrección y el ángulo de la cremallera de referencia en la resistencia del engranaje. Tipo de engranaje Resistencia a la fractura Resistencia a la picadura z g = 27; z p = 9 z g = 54; z p = 18 z g = 27; z p = 9 z g = 54; z p = 18 φ = 20 ; x g = x p = φ = 20 ; x g = x p = φ = 28 ; x g = x p = Mediante la corrección puede aumentar la capacidad portante de los engranajes debido a un aumento del ancho del diente cerca de su base, la posibilidad de reducir el número de dientes y aumentar respectivamente el módulo, el aumento de los radios de curvatura de las superficies de evolvente y la disminución de la velocidad deslizamiento. En el engrane y el piñón, el parámetro principal para evaluar la corrección del dentado es el coeficiente de corrección, que cuantifican el desplazamiento absoluto de la herramienta, b, con relación al módulo: x g = b g m x p = b p m Al aplicar correcciones en los dientes se debe tener en cuenta que las correcciones positivas pueden producir un afilado inadmisible de los dientes y una disminución del coeficiente de recubrimiento. Las correcciones negativas disminuyen la resistencia al contacto y a la fractura y también pueden provocar socavado en los dientes Relaciones prácticas para seleccionar los coeficientes de corrección Corrección proporcional básica.

26 28 Si x Σ 0 entonces x p = x Σz g z g + z p Si x Σ < 0 entonces ( x p = x Σ 1 z ) g z g + z p Correcciones para ruedas con pequeño número de dientes, en las cuales se desea evitar el socavado del fondo del diente. Corrección parcial. Si 0 x Σ 0.5 entonces x h a z sin2 φ 2 Si 0.5 x Σ 0 entonces x p = x Σ y x g = 0 x p = 0 y x g = x Σ Correcciones recomendadas por normativas de algunos países, cuando no existen limitaciones en la distancia interaxial nominal exigida para el montaje. Según norma alemana Según norma soviética x g = x p = 0.5 Según norma belga x = z x = z Correcciones recomendadas para el piñón, cuando existe un valor establecido de corrección sumaria para el engranaje.

27 Según el instituto alemán FZG (Forschungsstelle für Zahnräder und Getriebebau) 29 x p = x Σ i i 1 i z g Según la firma MAAG 2 x p = 0.5x Σ + [ A ( )] xg + x p 2 log i ( zg z ) p log 100 donde: A = 0.71 para φ = 15 A = 0.61 para φ = 17.5 A = 0.50 para φ = 20 A = 0.38 para φ = 22.5 A = 0.23 para φ = 25 Adicionalmente, existen recomendaciones con empleo de gráficos para una distribución aceptable del coeficiente de corrección Fallas en las transmisiones por engranajes Las transmisiones por engranajes pueden sufrir múltiples deterioros durante su funcionamiento, no obstante las fallas más comunes son: a) Picadura o careado. Esta falla se caracteriza por el desprendimiento de partículas de la superficie del diente producto de la acción del lubricante. Estos desprendimientos aparecen en la zona cercana al polo por encima y por debajo de de la circunferencia primitiva (ver Figura 1.19). Este fenómeno se debe a que aquí es donde mejor puede desarrollarse la grieta sin limarse, ya que la velocidad de deslizamiento es muy pequeña. 2 MAAG Gear Company Ltd., MAAG Gear Book, Zurich, 1990

28 30 Figura 1.19: Picadura en los dientes de engranajes. b) Desgaste. Esta falla es propia de las transmisiones no lubricadas, y se caracteriza por la disminución del espesor del diente en la zona de la cabeza y del pie, que es donde mayor velocidad de deslizamiento existe (ver Figura 1.20). Figura 1.20: Desgaste en los dientes de engranajes. c) Deformación plástica de la superficie de los dientes o fluencia friccional. Esta falla se produce en transmisiones altamente cargadas, y se caracteriza por la fluencia del material hacia los extremos o centro del diente en dependencia de si la rueda es conducida o conductora (ver Figura 1.21).

29 31 Figura 1.21: Deformación plástica de los dientes de las transmisiones por engranajes. d) Fractura del diente. Esta falla se produce tanto en transmisiones lubricadas como no lubricadas. La misma se puede producir debido a la fatiga o a sobrecargas instantáneas. La misma se produce en el pie del diente (ver Figura 1.22). Figura 1.22: Fractura de los dientes de las transmisiones por engranajes Influencia de la corrección en la disminución de las fallas por picadura Para elegir adecuadamente el valor del coeficiente de corrección, x, para la rueda que se va a diseñar hay que tener en cuenta varios criterios en dependencia de si se va a dar una corrección positiva o negativa a la rueda, y además realizar también algunas revisiones al conjunto de las dos ruedas en dependencia si se trata de una corrección angular positiva o negativa, o una corrección de altura. De este modo cuando se presenta una falla en una transmisión por engranajes el proyectista trata de resolverla inmediatamente con la elevación de la calidad del material; sin embargo muchas fallas se pueden retardar e inclusive evitar con ligeras modificaciones a través del uso de las correcciones.

30 32 La picadura o fatiga superficial, consiste en el desprendimiento de párticulas de metal, de las superficies de trabajo de los dientes, asociada a la acción sobre éstas de tensiones de contacto de carácter cíclico, en presencia del lubricante en la transmisión. Durante el funcionamiento de la transmisión, de acuerdo de la magnitud de las tensiones de contacto, se desarrollan en la superficie grietas de fatiga, que tienen su origen en defectos de la superficie o del interior del metal. La orientación de las mismas está intimamente relacionada con las fuerzas de fricción sobre la superficie, de suerte que las grietas, una vez desarrolladas, mediante un proceso de fisuración progresiva quedan orientadas en la dirección de las fuerzas de fricción. Dado que la orientación de estas fuerzas sobre la rueda conductora es diferente y contraria a la de la conducida en la zona de la cabeza y del pie del diente respectivamente, las fisuras de fatiga se desarrollan en la dirección de estas fuerzas tal como se muestra en la Figura Figura 1.23: Desarrollo de la grieta en los dientes. El desarrollo posterior de las grietas, una vez que alcanzan la superficie, está íntimamente relacionado con la presencia del lubricante en la transmisión. En la Figura 1.23 se muestra la dirección del movimiento de rodadura entre los dientes. El contacto comienza en el pie del diente de la rueda conductora y la cabeza de la conducida y se va extendiendo hacia la cabeza de la conductora y el pie de la conducida. Esto determina que las grietas que se encuentran en el pie de los dientes de ambas ruedas entran en la zona de contacto por su abertura exterior,

31 de manera que el aceite que se encuentra en el interior de la grieta queda bloqueado y la presiona abriéndola. Este proceso al repetirse sucesivamente provoca el desprendimiento de las partículas de metal. Al mismo tiempo, las grietas que se encuentran en las superficies de la cabeza de los dientes entran en contacto por el fondo y durante la rodadura el aceite es desalojado del interior. En esta situación, las grietas no experimentan la presión del aceite y no se desarrollan los hoyos de picadura. La picadura, pues, sólo se desarrolla en el pie de los dientes, fundamentalmente en la zona próxima al polo donde la carga específica es mayor. Este proceso de picadura está directamente relacionado con la presencia de las tensiones de contacto de carácter cíclico que son, en definitiva, las que dan origen a las grietas de fatiga. Cualquier modificación de la geometría que disminuya la magnitud de las tensiones de contacto reduce la posibilidad de aparición de estas grietas y disminuye la tendencia de la superficie a la destrucción por picadura. En las transmisiones por engranaje las tensiones de contacto se determinan según la ecuación de Hertz, considerando las superficies de los dientes en las proximidades de los puntos de contacto como dos cilindros, para este caso particular: 33 σsup = qe ρ (1.26) Dado que el módulo de elasticidad E es constante, las tensiones de contacto dependen de la carga específica q y del radio de curvatura reducido ρ. La expresión del radio de curvatura reducido para una transmisión dada es: ρ = ρ pρ g ρ p + ρ g (1.27) El término ρ p +ρ g = AB = constante (Figura 1.24), por lo que el radio de curvatura reducido es una función inversa del producto ρ p ρ g, y éste alcanza su valor máximo cuando ρ p = ρ g, o sea en el punto medio de la línea teórica de engranaje AB.

32 34 Figura 1.24: Línea práctica de engranajes. En la Figura 1.25 se muestra la curva de variación del radio de curvatura reducido a lo largo de la línea teórica de engranaje. En el caso de los engranajes cilíndricos de dientes rectos la carga específica varía a lo largo de la línea práctica de engranaje. Si se simplifica el esquema de variación de la carga específica y consideramos que esta varía de q/2 a q, podemos obtener las curvas de variación de las tensiones de contacto. De este análisis se desprende que para obtener el valor mínimo de las tensiones de contacto, es necesario lograr un desplazamiento de la línea práctica de engranaje, mediante una corrección tal que ubique la misma simétricamente respecto al punto C. En la Figura 1.26 se muestran las modificaciones del radio de curvatura y de las tensiones de contacto al desplazarse la línea de engranaje mediante la corrección. Para lograr esta condición debe cumplirse (1.24) que: Ab = ab (1.28) Del triángulo AO p b

33 35 Ab = R 2 ep R 2 op (1.29) Del triángulo BO p a ab = R 2 eg R 2 og (1.30) Figura 1.25: Tensiones superficiales en ruedas no corregidas.

34 36 Figura 1.26: Tensiones superficiales en ruedas corregidas. En el caso particular de la corrección de altura: R ep = m (z p + h a + x) (1.31) R op = z p m cos α (1.32) 2 R eg = m (z g + h a + x) (1.33)

35 37 R og = z g m cos α (1.34) 2 Sustituyendo las expresiones 1.31, 1.32, 1.33, y 1.34 en 1.29 y 1.30 respectivamente, igualando las expresiones obtenidas según 1.30 y despejando el valor de x de la ecuación resultante se obtiene: x = 0.25 ( ) zg 2 zp 2 sin 2 α c + z g z p z g + z p + 4 (1.35) que corresponde al valor de la corrección de altura necesario para obtener el mínimo valor de las tensiones de contacto, o lo que es lo mismo, la máxima resistencia a la picadura. Es obvio que el valor del coeficiente de corrección obtenido debe ajustarse teniendo en cuenta las limitaciones del espesor del diente por la circunferencia exterior y del coeficiente de recubrimiento. Una forma evidente de disminuir las tensiones de contacto para el caso de la corrección angular es aumentar en todo lo posible los radios de curvatura, y lograr una combinación óptima de los valores del coeficiente de corrección para el piñón y para el engrane. En las Tablas 1.8 y 1.9 se muestran los valores del coeficiente de corrección para máxima resistencia a la picadura para corrección de altura y para corrección angular. Tabla 1.8: Corrección de altura para máxima resistencia a la picadura. z g /z p

36 Los valores tomados de la Tabla 1.8 deben ser multiplicados por Cuando se desee determinar el coeficiente de corrección para un número de dientes, y no aparezca su valor en la columna correspondiente, debe tomarse el último valor que aparece en dicha columna. Por ejemplo para z p = 14 y z c = 40 el valor del coeficiente de corrección x g = x p será Tabla 1.9: Corrección angular para atenuar las diferentes fallas de los engranajes z g /z p X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X2 X1 X

37 39 En la Tabla 1.9 para cada número de dientes, el primero de los renglones corresponde a los valores de corrección para máxima resistencia a la picadura, el segundo para máxima resistencia a la fractura, y el tercero para máxima resistencia al desgaste Formas en que se pueden presentar los problemas de engranajes corregidos La corrección del dentado de una transmisión por engranajes no siempre es una obligación para el diseñador, no obstante el empleo de las mismas es muy conveniente de acuerdo a lo planteado en las secciones anteriores. A continuación se exponen las formas más comunes de abordar los problemas relacionados con la corrección de las transmisiones por engranajes. Primer caso: La distancia entre centros es libre, es decir no viene fijada. En este caso el proyectista puede elegir tres soluciones: a) No dar corrección, es decir usar engranajes normales. b) Dar una corrección angular teniendo en cuenta las condiciones de trabajo de la transmisión. c) Dar una corrección de altura teniendo en cuenta el regimen de trabajo de la transmisión. Segundo caso: La distancia entre centros viene fijada. En este caso se pueden presentar las siguientes soluciones. a) Garantizar la distancia entre centros dada con una pareja de ruedas normales cuyos números de dientes y módulo den como resultado dicha distancia entre centros. b) De lograrse la situación anterior dar una corrección de altura a dichas ruedas con la finalidad de atenuar la falla que pudiera presentarse. c) Elegir números de dientes para el piñón y el engrane, y un módulo dado de tal manera que la distancia entre centros sea cercana a la fijada, y llevarla a la misma mediante una corrección angular, garantizando de paso una mayor resistencia a las fallas que pudieran presentarse. Tabla 1.10: Corrección de altura para máxima resistencia al desgaste. z g /z p

38 En la Tabla 1.10 los valores tomados de la tabla deben ser multiplicados por Cuando se desee determinar el coeficiente de corrección para un número de dientes, y no aparezca su valor en la columna correspondiente, debe tomarse el último valor que aparece en dicha columna. Por ejemplo para z p = 12 y z c = 40 el valor del coeficiente de corrección x g = x p será Software comercial para modelado de engranajes Uno de los softwares que ha tenido gran acogida en el campo de la manufactura de engranajes es GearTrax, este software creado por la empresa Camnetics, permite modelar engranajes rectos, helicoidales, cónicos, cremalleras, poleas, tornillos sinfin, etc. con gran facilidad.