Más acerca de vectores

Transcripción

1 APÉNDICE D Más acerca de vectores Vectores y escalares DIRECCIÓN TAMAÑO FIGURA D.1 Vectores Una cantidad vectorial es una cantidad dirigida, es decir, aquella para la que se debe especificar no sólo su magnitud (tamaño), sino también su dirección. Recuerda que en el capítulo 5 vimos que la velocidad es una cantidad vectorial. Otros ejemplos de cantidades vectoriales son fuerza, aceleración y cantidad de movimiento. En contraste, una cantidad escalar se puede especificar sólo con su magnitud. Ejemplos de cantidades escalares son rapidez, tiempo, temperatura y energía. Las cantidades vectoriales se representan con flechas. La longitud de la flecha representa la magnitud de la cantidad vectorial, y la punta de la flecha indica la dirección de esa cantidad. A una de esas flechas, trazada a escala y apuntando en forma correcta, se le llama vector. Suma de vectores Los vectores que se suman se llaman vectores componentes. Recuerda que en el capítulo 5 vimos que la suma de los vectores componentes se llama resultante. Para sumar dos vectores, traza un paralelogramo con los dos vectores componentes formando dos de los lados adyacentes (figura D.2). (Aquí, nuestro paralelogramo es un rectángulo.) Luego traza una diagonal a partir del origen del par de vectores; ésta es la resultante (figura D.3). RESULTADO FIGURA D.2 FIGURA D.3 Precaución: No intentes mezclar los vectores! No se pueden sumar peras con manzanas, así que el vector velocidad sólo se combina con otro vector velocidad; el vector fuerza sólo se combina con otro vector fuerza, y el vector aceleración se combina sólo con otro vector aceleración; cada uno en sus propios diagramas vectoriales. Si alguna vez muestras distintas clases de vectores en el mismo diagrama, usa distintos colores o algún otro método para diferenciar las distintas clases. 749

2 750 Apéndice D Más acerca de vectores Determinación de componentes de vectores En el capítulo 5 dijimos que para determinar un par de componentes perpendiculares de un vector, primero se traza una línea de puntos que pase por la cola de la flecha, que tenga la dirección de uno de los componentes que se busquen. Después, se traza otra línea de puntos que pase por la cola del vector y forme ángulo recto con la primera línea de puntos. El tercer paso consiste en formar un rectángulo cuya diagonal sea el vector dado. Traza los dos componentes. En este caso, sea F la fuerza total, U la fuerza hacia arriba y S la fuerza hacia la derecha. FIGURA D.4 FIGURA D.5 FIGURA D.6 Ejemplos 1. Al empujar una podadora de pasto, Eric Brown aplica una fuerza que impulsa la máquina hacia adelante, y también contra el piso. En la figura D.7, F representa la fuerza aplicada por Eric. Podemos separar esa fuerza en dos componentes. El vector D representa el componente hacia abajo, y S representa el componente horizontal, que es la fuerza que hace avanzar a la podadora. Si conocemos la magnitud y la dirección del vector F, se pueden estimar las magnitudes de los componentes, a partir del diagrama vectorial. FIGURA D.7 FIGURA D.8 2. Sería más fácil empujar o tirar de una carretilla para hacerla subir un escalón? La figura D.8 muestra un diagrama vectorial de cada caso. Cuando empujas la carretilla, parte de la fuerza se dirige hacia abajo, y dificulta la subida de la carretilla sobre el escalón. Sin embargo, cuando tiras de ella, parte de la fuerza de tracción se dirige hacia arriba, y ayuda a subir la rueda sobre el escalón. Observa que el diagrama vectorial parece indicar que si empujas la carretilla no podrás hacer que suba el escalón. Alcanzas a ver que la altura del escalón, el radio de la rueda y el ángulo de la fuerza aplicada determinan si al empujar la carretilla, ésta

3 Apéndice D Más acerca de vectores 751 FIGURA D.9 puede subir el escalón? Puedes ver cómo los vectores ayudan a analizar una situación y ver en qué consiste el problema! 3. Si se tienen en cuenta los componentes del peso de un objeto que rueda bajando por un plano inclinado, se puede ver por qué su rapidez depende del ángulo (figura D.9). Observa que cuanto más inclinado esté el plano, el componente S será mayor y el objeto rodará con más rapidez. Cuando el plano es vertical, S se vuelve igual al peso y el objeto alcanza su máxima aceleración: 9.8 metros por segundo al cuadrado. FIGURA D.10 FIGURA D.11 Hay dos vectores fuerza más que no se indican: la fuerza normal N, que es igual y con dirección opuesta a D, y la fuerza de fricción f, que actúa en el punto de contacto entre el barril y el plano inclinado. 4. Cuando el aire en movimiento golpea la cara superior del ala de un avión, la fuerza del impacto del aire con el ala se puede representar con un solo vector perpendicular a la cara inferior del ala (figura D.10). Representamos el vector fuerza como si actuara a la mitad de la cara inferior del ala, donde está el punto, y apuntando hacia arriba del ala, para indicar la dirección de la fuerza resultante de impacto del viento. Esta fuerza se puede descomponer en dos componentes, uno horizontal hacia la derecha y el otro vertical hacia arriba. Este último, U, se llama sustentación. El componente horizontal S se llama resistencia o fricción. Siel avión debe viajar a velocidad y altitud constantes, la sustentación debe ser igual al peso del avión y el empuje de los motores de la nave debe ser igual a la resistencia. La magnitud de la sustentación (y de la resistencia) se altera cambiando la rapidez del avión, o cambiando el ángulo (que se llama ángulo de ataque) formado entre el ala y la horizontal. 5. Examina el satélite que se mueve en sentido de las manecillas del reloj, en la figura D.11. En cada punto de su trayectoria orbital, la fuerza gravitacional F lo jala hacia el centro del planeta al que pertenece. En la posición A vemos a F separada en dos componentes: f que es tangente a la trayectoria del proyectil, y f que es perpendicular a esa trayectoria. Las magnitudes relativas de estos componentes, en comparación con la magnitud de F, se pueden ver en el rectángulo imaginario definido por ellas; f y f son los lados, y F es la diagonal. Se ve que el componente f está a lo largo de la trayectoria orbital, pero en contra de la dirección del movimiento del satélite. Esta fuerza componente reduce la rapidez del satélite. El otro componente, f, cambia la dirección del movimiento del satélite y lo aparta de su tendencia a seguir una línea recta. Así es como se desvía la trayectoria del satélite y forma una curva. El satélite pierde rapidez hasta que llega a la posición B. En este lugar, el más lejano (apogeo) del planeta, la fuerza gravitacional es algo más débil, pero perpendicular al movimiento del satélite, y el componente f se ha

4 752 Apéndice D Más acerca de vectores reducido a cero. Por otro lado, el componente f ha aumentado y ahora se combina totalmente y forma F. En este punto la rapidez no es suficiente para que la órbita sea circular, y el satélite comienza a caer hacia el planeta. Aumenta su rapidez porque el componente f vuelve a aparecer y tiene la dirección del movimiento, como se ve en la posición C. El satélite aumenta su rapidez hasta que pasa por la posición D (perigeo), donde de nuevo la dirección del movimiento es perpendicular a la fuerza gravitacional; f se combina y se identifica con F, y f no existe. La rapidez es mayor que la necesaria para la órbita circular a esa distancia, y al pasar por ese punto repite el ciclo. Su pérdida de rapidez al ir de D a B es igual a su ganancia de rapidez al ir de B a D. Kepler descubrió que las trayectorias de los planetas son elipses, pero nunca supo por qué. Lo sabes tú? 6. Como vimos en el ejemplo sobre los filtros polarizantes de Ludmila, en el capítulo 29, figura (página 573), en la primera fotografía a) se ve que la luz se transmite por el par de filtros, porque sus ejes están alineados. La luz que sale se puede representar por un vector alineado con los ejes de polarización de los filtros. Cuando los filtros están cruzados, en b), no pasa luz, porque la que pasa por el primero es perpendicular al eje de polarización del segundo, que no tiene componentes a lo largo de su eje. En la tercera fotografía, c), vemos que la luz se transmite cuando se intercala un tercer filtro polarizante formando un ángulo con los filtros que estaban cruzados. En la figura D.12 se ve la explicación de esto. Botes de vela FIGURA D.12 FIGURA D.13 Los marineros siempre han sabido que un velero puede navegar a sotavento, es decir, en la dirección del viento. Sin embargo, no siempre han sabido que también puede navegar a barlovento, es decir, contra el viento. Una razón de ello tiene que ver con una propiedad común no sólo en los veleros modernos: una quilla como aleta que se prolonga muy por abajo del fondo del bote, para asegurar que éste sólo surque el agua en dirección de avance (o de reversa) del bote. Sin una quilla, un bote sería impulsado hacia un lado por el viento. La figura D.13 muestra un velero que navega a sotavento. La fuerza del viento choca contra la vela y lo acelera. Aun cuando la resistencia del agua y todas las demás fuerzas de resistencia fueran despreciables, la rapidez máxima del bote sería la rapidez del viento. Esto se debe a que éste no chocará contra la vela si el bote se mueve con la rapidez del viento. El viento no tendría rapidez en relación con el bote, y la vela simplemente se colgaría. Si no hay fuerza, no hay aceleración. El vector fuerza de la figura D.13 disminuye conforme el bote viaja más rápido. El vector fuerza es máximo cuando el bote está en reposo, y el impacto total del viento hincha la vela, y es mínimo cuando el bote avanza tan rápido

5 Apéndice D Más acerca de vectores 753 FIGURA D.14 FIGURA D.15 como el viento. Si el bote es impulsado de alguna forma con una rapidez mayor que la del viento (por ejemplo, con una hélice de motor), la resistencia del aire contra el lado delantero de la vela produciría un vector fuerza con dirección opuesta. Esa fuerza desacelerará al bote. Por consiguiente, el bote, cuando sólo lo impulsa el viento, no puede tener mayor rapidez que la de éste. Si la vela está orientada en ángulo, como se ve en la figura D.14, el bote se moverá hacia adelante, pero con menor aceleración. Hay dos razones para ello: 1. La fuerza sobre la vela es menor, ya que no intercepta tanto viento en esa posición inclinada. 2. La dirección de la fuerza del impacto del viento sobre la vela no tiene la dirección del movimiento del bote, sino que es perpendicular a la superficie de la vela. Generalmente hablando, siempre que cualquier fluido (líquido o gas) interactúa con una superficie lisa, la fuerza de interacción es perpendicular a la superficie lisa. * El bote no se mueve en la misma dirección que la fuerza perpendicular a la vela, sino está restringido a moverse en una dirección de avance (o de retroceso) por su quilla. Entenderemos mejor el movimiento del bote descomponiendo la fuerza del impacto del viento, F, en componentes perpendiculares. El componente importante es el que es paralelo a la quilla, que llamaremos K, y el otro componente es perpendicular a la quilla, al que llamaremos T. El componente K, como se ve en la figura D.15, es el responsable del movimiento de avance del bote. El componente T es una fuerza inútil que tiende a voltear el bote y a moverlo hacia un lado. Esta fuerza componente se compensa con la quilla profunda. De nuevo, la rapidez máxima del bote no puede ser mayor que la rapidez del viento. Muchos veleros que navegan en direcciones que no son exactamente a sotavento (figura D.16), con sus velas bien orientadas, pueden avanzar con mayor rapidez que la del viento. En el caso de un bote de vela que avanza perpendicular al viento, éste puede continuar chocando con la vela aun después de que el bote avance más rápido que el viento. En forma parecida, un surfista rebasa la velocidad de la ola que lo impulsa al poner la tabla inclinada con respecto a la ola. Los ángulos mayores respecto al medio impulsor (viento para el bote, ola de agua para el surfista) producen mayores rapideces. Un velero puede navegar con más rapidez cortando el viento que yendo a favor de él. Por extraño que parezca, la rapidez máxima para la mayoría de los veleros se alcanza avanzando contra el viento, es decir, poniendo el velero en una dirección contraria a él! Aunque un velero no puede navegar directamente contra el viento, sí puede llegar a un destino a barlovento avanzando en zigzag. FIGURA D.16 * Puedes hacer un ejercicio sencillo para comprobar esto. Trata de rebotar una moneda sobre otra en una superficie lisa, como se indica. Observa que la moneda golpeada se mueve en ángulo recto (perpendicular) a la orilla de contacto. Observa también que no importa si la moneda proyectada se mueve a lo largo de la trayectoria A o B. Consulta a tu maestro para que te explique esto más detenidamente, lo cual incluirá la conservación de la cantidad de movimiento.

6 754 Apéndice D Más acerca de vectores FIGURA D.17 A esto se le llama bordado. Imagina que el bote y la vela están como muestra la figura D. 17. El componente K impulsará al bote en dirección de avance, en ángulo con respecto al viento. En la posición que se ve, el bote puede avanzar con más rapidez que la del viento, Aquí, a medida que el bote viaja más rápido, aumenta el impacto del viento. Esto se parece a correr bajo la lluvia que baja en ángulo. Cuando corres hacia la lluvia, las gotas te golpean con más fuerza y con más frecuencia; pero cuando corres alejándote de la dirección de la lluvia, las gotas no te golpean con tanta fuerza ni con tanta frecuencia. Del mismo modo, un bote que navega contra el viento siente más la fuerza del impacto del viento, mientras que uno que navega a sotavento siente menos fuerza de impacto del viento. En cualquier caso, el bote alcanza la rapidez terminal cuando las fuerzas contrarias anulan la fuerza del impacto del viento. Las fuerzas que se oponen consisten principalmente en la resistencia del agua contra el casco del bote. Los cascos de los botes de competencias tienen una forma que minimiza esta fuerza de resistencia, que es la principal oposición a las altas rapideces. Los veleros para hielo (que tienen patines para deslizarse sobre éste) no se encuentran con la resistencia del agua y pueden avanzar con varias veces la rapidez del viento cuando se dirigen contra él. Aunque la fricción sobre el hielo casi no existe, este tipo de velero no acelera sin límites. La velocidad terminal de uno de estos veleros no sólo se determina por las fuerzas de fricción que se oponen, sino también por el cambio en la dirección relativa del viento. Cuando la orientación y la rapidez del viento son tales que parece que éste cambia de dirección, el viento avanza paralelo a la vela, en vez de ir a su encuentro; entonces cesa la aceleración hacia adelante, cuando menos en el caso de una vela plana. En la práctica, las velas son curvas y forman un perfil aerodinámico que es tan importante para un velero como lo es para un avión. Los efectos se describen en el capítulo 14.