Lectura: LA SIMETRÍA ROTACIONAL

Transcripción

1 Lectura: LA SIMETRÍA ROTACIONAL 1

2 2

3 Presentación del trabajo propuesto Las primeras páginas sirven para presentar las ideas de rotación alrededor de un punto y de simetría rotacional mediante una colección de applets que los estudiantes pueden manipular. Con ellas se pretende que recuerden y afiancen los contenidos matemáticos aprendidos en clase y fuera del ámbito escolar acerca de la simetría, especialmente: - Distinguir entre varias figuras, cuál de ellas es la rotación de otra alrededor de un punto. - Observar varias figuras con simetría rotacional: el triskel, la estrella de mar y el rosetón (simetrías rotacionales de órdenes 3, 5 y 8) y, en cada una de ellas, el menor ángulo de rotación que hace coincidir la figura consigo misma. - Observar distintas figuras con simetría central que aparecen en la naturaleza y en las construcciones humanas. Tras esa breve introducción se presentan once actividades de dificultad creciente atendiendo a varios criterios: - El grado de abstracción de las figuras presentadas. En principio se proponen actividades con figuras muy familiares para los estudiantes, y después se plantean otras que se utilizan con menos frecuencia. - La disminución de la presencia de las ayudas en los applets. - La complejidad del lenguaje utilizado en la formulación de las preguntas. - El nivel de profundidad en los conceptos implicados y la cantidad de conexiones entre conceptos. Se pueden distinguir tres secciones diferenciadas: - En las actividades 1 a 3 se proponen cuestiones elementales sobre la simetría rotacional de las figuras en diferentes contextos. En las primeras preguntas se presenta un applet que dispone de un deslizador (un punto sobre un segmento punteado de color verde en la parte superior) que, al ser desplazado hacia la derecha, hace que la imagen comience a girar alrededor del punto marcado en rojo y podamos comprobar si coincide con la original (antes de dar la vuelta completa). - Con las actividades 4 a 7 se pretende analizar el grado de comprensión de los conceptos implicados en la simetría rotacional y las relaciones entre esos conceptos. - Las actividades 8 a 11 se dedican a la aplicación de la simetría rotacional en las artes ornamentales para el análisis de los mosaicos. Es conveniente tener en cuenta que hay que dedicar un tiempo a la manipulación de los applets y que la duración de esta fase inicial del trabajo será distinta para cada estudiante. 3

4 4

5 Esta primera actividad introduce al alumno en la utilización de la simetría para el diseño de figuras en un contexto que suele resultar familiar y atractivo para los estudiantes. Sólo se presentan figuras con simetría rotacional de orden 2 o sin simetría rotacional (orden 1). Los símbolos que no tienen simetría rotacional han sido seleccionados entre los que tienen simetría axial para que den a los alumnos la sensación de "tener cierta simetría". Se persigue que discriminen entre los dos tipos de simetría. 5

6 6

7 Se combinan dos contextos, el de los logotipos de empresas y los símbolos que se insertan en las banderas. Se vuelve a presentar la discriminación entre los dos tipos de simetría en el caso de la figura c), que no tiene simetría rotacional aunque sí tiene simetría axial. La figura e) tiene simetría rotacional de orden 2, aunque la parte negra caerá sobre la blanca y viceversa, el enunciado ya ha advertido de esa posibilidad. La figura del último apartado, el símbolo de la Unión Europea, parece tener simetría rotacional de orden 12, por ser ese el número de estrellas equidistantes colocadas sobre una circunferencia, pero ocurre que al dar un giro de 30º las estrellas no coinciden, cosa que sí ocurre cuando damos un giro de 60º. La simetría rotacional será de orden 6. 7

8 En este caso ya no se proporciona la ayuda del deslizador que gira la baldosa. A esto se añade el que se propongan figuras que poseen simetría axial y rotacional, algunas sólo tienen una de ellas y otras tienen los dos tipos. Las únicas que sólo poseen simetría rotacional son c) (orden 2) y e) (orden 4). Las colocadas en los apartados b) y h) tienen simetría rotacional de orden 2 por tener dos ejes de simetría axial perpendiculares. El azulejo del apartado d) tiene simetría rotacional de orden 4 y cuatro ejes de simetría axial. 8

9 9

10 Las cuestiones se refieren ahora a un contexto abstracto como es el de las figuras geométricas. El trabajo que se pide es que el alumno recorra una figura con un punto móvil sobre ella y que conjeture sobre la figura que describirá el punto simétrico. Debe analizar la situación en formas que se van complicando poco a poco. Las preguntas atienden a varios temas: - La forma que describirá el punto simétrico. Vértices y ángulos. - El lugar del punto simétrico para que se cumplan ciertas condiciones. - Medida: el tamaño de la figura simétrica. - Diferencias cuando el punto está en el interior o en el exterior de la figura. Si se revisa la actividad en clase posteriormente, se puede pedir a los alumnos que vuelvan a realizar el ejercicio dejando la traza del punto verde (botón derecho sobre el punto) y activar la opción "dejar traza" (hay que repetir este proceso en cada apartado). 10

11 En algunos casos, la formulación de las afirmaciones puede llevar a engaño, como es el caso de la segunda de ellas. Si el centro de rotación se sitúa en el punto medio del segmento AB, las rectas coinciden, pero la respuesta es falsa porque no ha de estar exactamente en esa posición. 11

12 12

13 13

14 Se pretenden revisar las ideas que los alumnos han adquirido sobre el concepto de simetría rotacional y cómo las relacionan con otras ideas geométricas: direcciones, rectas, puntos invariantes. Una de las dificultades de estas cuestiones reside en la comprensión de la propia pregunta. Se han realizado de forma intencionada para estudiar el grado de comprensión que tiene el alumno en este tipo de mensajes. Es más, en algún caso dos preguntas son muy parecidas y en ellas sólo cambia la redacción. 14

15 15

16 16

17 La posibilidad de que los mosaicos puedan girar será de gran ayuda en este primer trabajo con mosaicos que se propone a los estudiantes. En el mosaico de Escher el cambio de colores puede plantear alguna dificultad. 17

18 Esta prueba es del mismo tipo que la anterior. Presenta la dificultad adicional de no disponer de la imagen girada del mosaico. En el primero de los mosaicos, las formas triangulares adquieren dos colores: amarillo y verde, pero eso no cambia nada. 18

19 Para cada mosaico deben encontrar un centro de rotación de cada tipo. Los dos primeros sólo tienen simetría rotacional de un orden, los tres siguientes tienen simetrías rotacionales de varios tipos, y el último no tiene simetría rotacional. 19

20 Bibliografía - ALSINA, C, PÉREZ, R. Y RUIZ, C. (1989). Simetría dinámica. Síntesis. Madrid. - COXFORD, A. Ed. (1996). Geometría desde múltiples perspectivas. N.C.T.M y SAEM Thales. Sevilla. - EPSILON (Revista). (1987). La Alhambra, APMA. Granada. - ESTALL I POLES, V. (2000). Catálogo de la colección de azulejos de serie del siglo XIX del Museo del Azulejo de Onda. Faenza. Castellón. - GEDDES, D. (1995). Geometría en el ciclo medio. N.C.T.M y SAEM Thales. Sevilla. - MORA, J.A. y RODRIGO, J. (1993). Mosaicos (2 vol.). Colección dos puntos, Proyecto Sur. Granada. - WEYL, H. (1991). Simetría. McGRAW HILL. Madrid. Webs de interés para el aprendizaje de la simetría rotacional (activas febrero 2009). - Wikipedia. - Symmetry en la web de Jo Enkins. - Webquest symmetry de Adrian Bruce. - Geometría del movimiento de Teresa Ruiz, Pilar Álvarez y Arantxa Cortabarría. os/mem2003/movimientos/ - Geometría interactiva aplicada al estudio de los movimientos en el plano, de María José Sánchez Quevedo. cio.html - Mosaicos de Ángel Corral Cedena. - Escher in the classroom de Jill Britton. - Principles & Standards for School Mathematics del N.C.T.M /index.htm - Geometría dinámica del grupo G4D. 20