PÁGINA 217 PARA EMPEZAR. Vamos a mover un mosaico de la Alhambra

Transcripción

1 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN 217 PR EMPEZR Vamos a mover un mosaico de la lhambra Imagina que pones encima un papel transparente y lo calcas (si en vez de imaginarlo, lo haces, mejor). a) ómo has de mover el papel transparente para que el hueso H 1 se desplace exactamente sobre el hueso H 2? Y para que quede sobre el hueso H 3? Y para que se desplace hasta el H 4? b) En qué punto deberíamos clavar un alfiler para que, girando la transparencia, se puedan intercambiar las posiciones de los huesos blancos y azules? c) Dónde colocarías un espejo para que el mosaico se continúe en la imagen? a) H 1 coincide con H 2 desplazándolo a la derecha la distancia. H 4 H 3 H 1 coincide con H 3 desplazándolo en la dirección, el sentido y la distancia. H 1 coincide con H 4 girándolo 90, en sentido contrario a las agujas del reloj, alrededor de D. D H 1 H 2 b) Por ejemplo, el punto D. c) Por ejemplo, sobre la línea discontinua roja o sobre la línea discontinua verde.

2 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN En el mosaico de la segunda página estudiamos las transformaciones que llevaban H 1 a H 2, H 3 y H 4. a) uál o cuáles de ellas son traslaciones? b) uál es el vector que caracteriza la traslación que transforma H 1 en H 2? Y el que transforma H 2 en H 3? Y el que transforma H 3 en H 1? a) De H 1 a H 2, y de H 1 a H 3 son traslaciones. b) El vector que caracteriza la traslación que transforma H 1 en H 2 es el vector Ä8. El que transforma H 2 en H 3 es el vector Ä8, y el que transforma H 3 en H 1, Ä8. H 1 H 3 H 2

3 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN En unos ejes coordenados considera el vector de origen (0, 0) y extremo (3, 5). 5 (3, 5) Lo designaremos, simplemente, (3, 5). (0, 0) 3 a) Traslada los puntos (0, 4), ( 3, 5), (0, 0) y D(5, 1) mediante este vector. b) omprueba que los puntos M (1, 3), N (7, 1) y X (4, 1) están alineados. Trasládalos mediante el vector y comprueba que sus correspondientes también están alineados. a) Y '(3, 5) D'(8, 4) 8 t ' = (0, 0) 8 t '(3, 1) D X b) Y M' 8 t X' 8 t N' M X N X 3 a) Traslada el triángulo de vértices (3, 1), (4, 2) y (8, 1) según el vector 8 t (1, 4). omprueba que los triángulos y ''' son iguales. b) omprueba que la recta r : y = 3 + 4x se transforma en sí misma (es doble) según la traslación descrita en el apartado a). Para ello, toma varios puntos de r [por ejemplo, (0, 3), (1, 1), (2, 5)] y comprueba que sus transformados están también en r. (1, 4) (3, 1) (4, 2) (8, 1)

4 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe a) b) Y ' Y r (2, 5) Pág. 2 ' ' (1, 1) X y = 3 + 4x (0, 3) X T[(0, 3)] = (1, 1) é r T[(1, 1)] = (2, 5) é r T[(2, 5)] = (3, 9) é r 4 Dibuja unos ejes coordenados sobre papel cuadriculado. Traza con compás la circunferencia de centro (3, 4) y Q radio 5. a) omprueba que la circunferencia pasa por P (0, 0), (3, 4) Q (6, 8) y R (3, 1). b) Traslada los puntos, P, Q y R mediante la traslación T de vector (6, 2). P R c) omprueba que la circunferencia cuyo centro es ' = T( ) y radio 5 pasa por P', Q' y R'. d) Trasladando algunos de sus puntos, averigua en qué rectas se transforman el eje X y el eje Y. a), b), c) Y Q Q' ' y = 2 P R P' R' X x = 6 d) El eje X se transforma en y = 2. El eje Y se transforma en x = 6.

5 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN Las figuras siguientes tienen centro de giro. Explica por qué, halla el orden de cada uno y calcula el ángulo mínimo de coincidencia mediante giro. a) entro de giro de orden 3, porque al girarla alrdedor del centro coincide 3 veces consimo misma, contando con la posición inicial. Ángulo mínimo = b) entro de giro de orden 12. Ángulo mínimo = c) entro de giro de orden 8. Ángulo mínimo = Dibuja unos ejes coordenados en una hoja de papel cuadriculado. onsidera el giro G de centro (0, 0) y ángulo a = 90. a) Transforma mediante G los puntos ( 5, 0), (0, 5), (4, 3) y señala el triángulo ''' transformado del triángulo. b) En qué se transforma la recta r que pasa por y por? c) En qué se transforma la circunferencia de centro y radio 7? Y ' a) '(0, 5); '( 5, 0); '( 3, 4) r b) Se transforma en otra recta, s, perpendicular a r en. ' = s ' X c) En sí misma, es una figura doble.

6 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe 3 Recuerda el mosaico multihueso que vimos en la segunda página. Pág. 2 H 3 H 4 H 1 H 2 a) Describe un giro que transforme H 1 en H 4. b) Describe un giro que transforme H 1 en H 3. H 3 E H 4 H 1 H 2 D a) Es un giro de centro D y ángulo 90. b) Es un giro de centro E y ángulo 180.

7 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN Señala los ejes de simetría de esta figura. e 1 e 2 e 3 2 onsideramos la simetría S de eje la recta y = x. Dibuja los transformados mediante S de: a) Los puntos (3, 1), (4, 0), (0, 4), D (5, 5). b) El eje X. c) El eje Y. d) La circunferencia 1 de centro (1, 4) y radio 2. e) La circunferencia 2 de centro (3, 3) y radio 5. a) X' = Y '(1, 3) = ' ' 1 D = D' 2 = 2 ' 1 ' = ' X = Y' '(0, 4) '(4, 0) D'(5, 5) El punto D es doble: D = D'. e: y = x b) El eje X se transforma en el eje Y. c) El eje Y se transforma en el eje X. d) Se transforma en la circunferencia de centro ' 1 (4, 1) y radio 2. e) Se transforma en sí misma, es una figura doble.

8 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN Dibuja, en papel cuadriculado, el triángulo D de vértices ( 5, 3), ( 2, 2), (0, 5). onsidera la traslación T de vector (5, 1) y la simetría S de eje el eje X ( y = 0). a) Transforma D mediante T compuesto con S. b) Transforma D mediante S compuesto con T. a) Y b) Y ' e: y = 0 '' ' ' '' '' X ' ' ' '' '' e: y = 0 X '' 2 onsidera las simetrías S 1 y S 2 de ejes x = 0 (el eje Y ) y x = 6, respectivamente. a) Transforma el triángulo D del ejercicio anterior mediante S 1 compuesta con S 2. b) Transforma el triángulo D mediante S 1 compuesta con S, siendo S la del ejercicio anterior. a) Y b) Y = ' '' = ' ' '' ' ' '' ' X e 2 : y = 0 '' X '' e 1 : x = 0 e 2 : x = 6 '' e 1 : x = 0

9 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN ompleta, en tu cuaderno, los siguientes mosaicos: a) b) c) a) b) c)

10 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN ompleta, en tu cuaderno, los siguientes frisos. uál es el menor trozo que se repite en cada uno? 3 ompleta en tu cuaderno los siguientes rosetones. Después, contesta a las preguntas que te proponemos. a) De qué orden de giro es cada uno de ellos? b) uál es el menor trozo que se repite en cada uno? a) : entro de giro de orden 4. : entro de giro de orden 6. b)

11 11 Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGIN Encuentra algunos movimientos que dejen invariable este mosaico. Es regular este mosaico? Es semirregular? Hay muchos. Por ejemplo: e 2 La traslación del vector. a El giro de centro y ángulo a = 60. La simetría de eje e 1. e 1 La simetría de eje e 2. No es regular, es semirregular. 5 Qué movimientos dejan invariable la cenefa XI de la página anterior? a) on color. b) Sin color. D D' D'' D''' 8 t a) Las traslaciones del vector, 2, 3,, 2, b) Las mismas traslaciones que antes, y un giro de 180 sobre el punto D o cualquier punto similar a D. 6 Qué movimientos dejan invariable el rosetón XIII de la página anterior? Giros de 90, 180 y 270 alrededor del centro del rosetón.

12 11 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 229 Practica Traslaciones 1 a) Representa en papel cuadriculado la figura H 1 obtenida a partir de H mediante la traslación del vector 1 (3, 2). b) Dibuja la figura H 2 transformada de H 1 mediante la traslación 2 (2, 6). c) Di cuál es el vector de la traslación que permite obtener H 2 a partir de H. d) Qué traslación habría que aplicar a H 2 para que se transformase en H? H H H 1 8 t 1 (3, 2) 2 (2, 6) a) y b) en la figura. c) Es el vector (5, 4) que es la suma de 1 y 2. d) Habría que aplicar una traslación de vector ( 5, 4). 8 t (5, 4) H 2 2 Hemos aplicado a la figura F cuatro traslaciones para obtener F 1, F 2, F 3 y F 4. Determina los vectores 1, 2, 3 y 4 que nos permiten transformar F en cada una de las otras figuras. De F a F 1 : 1 (1, 3) De F a F 2 : 2 (3, 1) De F a F 3 : 3 (2, 2) De F a F 4 : 4 (5, 1) F F 1 F 3 F 2 F 4 Giros 3 Hacemos un giro de centro que transforma M en N. a) Indica en qué puntos se transforman los puntos,,, M N y P. b) En qué se transforma la recta que pasa por y? Y el Q N triángulo PD? D P Es un giro de centro y a = 90.

13 11 Soluciones a Ejercicios y problemas a) 8 es el único punto doble. 8 8 N 8 P P 8 Q b) Recta 8 Recta D PD 8 Q M 90 Q N D P Pág. 2 4 Dibuja las transformadas de esta figura mediante un giro de centro y ángulo a = 60, y otro del mismo centro y ángulo b = Simetrías 5 Halla las coordenadas de los vértices del cuadrilátero D, transformado mediante: a) La simetría de eje X. b) La simetría de eje Y. c) La simetría que tiene por eje la recta que pasa por ( 3, 3) y P ( 5, 0). D( 6, 4) ( 6, 1) ( 4, 4) ( 3, 3) d) Un punto del cuadrilátero es doble respecto de alguna de las simetrías anteriores. uál es? a) D( 6, 4) ( 6, 1) ' D' ( 4, 4) ( 3, 3) ' ' ' ( 6, 1) ' ( 3, 3) ' ( 4, 4) D' ( 6, 4)

14 11 Soluciones a Ejercicios y problemas b) ' (6, 1) D( 6, 4) ( 4, 4) ' D' ' (3, 3) ( 3, 3) ' ' (4, 4) ( 6, 1) ' D' (6, 4) Pág. 3 e c) ' ( 5, 0) D = ' ' = ' ' ( 2, 2) D' ( 2, 0) P ' D' d) El vértice es el único punto doble en la simetría de eje P. 6 uáles son los ejes de simetría de las siguientes figuras? e a) b) e c) e d) e) e 1 e 4 e 3 e 2 e 2 e 1 a) Solo tiene un eje de simetría, que es la recta que une los centros. b) Una de las diagonales del cuadrado. c) Un eje de simetría. d) Dos ejes de simetría: la recta que une los centros y la recta que pasa por los puntos de corte de las circunferencias. e) uatro ejes de simetría. Mosaicos 7 a) ompleta en tu cuaderno estos mosaicos. b) Identifica, en cada uno de ellos, algunos movimientos que lo transformen en sí mismo.

15 11 Soluciones a Ejercicios y problemas a) Pág. 4 b) Traslaciones de vector (1, 3) o (2, 0). Simetrías de ejes e 1, e 2, e 3. e 1 e 2 e 3 3 Giros de centro y ángulos a 1 = 60, a 2 = 120 Traslación de vector 1, 2, t 1

16 11 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 230 plica lo aprendido 8 Explica por qué las figuras siguientes tienen centro de giro. Halla el orden de cada uno y calcula el ángulo mínimo de coincidencia mediante giro: Estas figuras tienen centro de giro en porque al girarlas alrededor de coinciden consigo mismas varias veces. a) 45 b) c) a) n = 8 a = b) n = 4 a = 90 c) n = 3 a = 120 d) n = 6 a = d) e) 30 e) n = 12 a = 30 9 a) mplía en tu cuaderno estos mosaicos. b) Identifica, en cada uno de ellos, algunos movimientos que lo transformen en sí mismo. a)

17 11 Soluciones a Ejercicios y problemas b) Simetrías de ejes e 1 y e 2. Traslación de vector (3, 2). Pág. 2 8 t e 1 e 2 Simetrías de ejes e 1 y e 2. e 1 Traslación de vector. e a) Representa las transformadas de estas figuras mediante la simetría cuyo eje es la recta y = x. b) uál es la ecuación de la transformada de la recta que pasa por y? c) lguna de las figuras es invariante? a) ' F' ' S' F S b) La transformada de la recta que pasa por y es la misma recta, por ser perpendicular al eje de simetría. Es decir, es la recta de ecuación y = 4 + x. c) Es invariante la circunferencia cuyo centro (4, 4) está en el eje de simetría.

18 11 Soluciones a Ejercicios y problemas Resuelve problemas Pág r s a) Dibuja la imagen 1 transformada de mediante la simetría de eje r. b) Dibuja 2, transformada de 1 mediante la simetría de eje s. c) Define el giro equivalente a la composición de las dos simetrías que transforman en 2. a) y b) c) La composición de las dos simetrías es un giro r s de centro y a = Hemos transformado el punto P en P' mediante un giro de centro y ángulo 180. a) Identifica otros tres movimientos que transformen P en P'. b) uál es el transformado del punto en cada uno de ellos? P P' (1, 3) P e ''' P' ' '' a) I) P 8 P' mediante una traslación de vector (6, 2). II) P 8 P' mediante una simetría cuyo eje es la recta que pasa por y es perpendicular a la recta que une P y P'. Su ecuación es 3x + y 6 = 0. III) Mediante un giro de centro y ángulo a = 180. b) ' (5, 3) es el transformado de mediante la traslación (6, 2). ' ' es el transformado de mediante la simetría de eje e: 3x + y 6 = 0. ''' (3, 5) es el transformado de mediante el giro de centro y a = 180.

19 11 Soluciones a Ejercicios y problemas 13 Pág. 4 D Las figuras y D son iguales (compruébalo). Vamos a hacerlas coincidir mediante movimientos: a) Lleva hasta D mediante una traslación seguida de un giro. b) ómo encontrarías el centro de un único giro mediante el cual se transforma, directamente, en D? Describe las transformaciones utilizando unos ejes de coordenadas con centro en. a) Se traslada mediante el vector = (10, 2) y luego se gira 90 con centro en (10, 4). b) Se construyen dos mediatrices: la del segmento y la del segmento D. El punto donde se cortan, P (4, 0), es el centro de giro que transforma en D. 90 P D

20 11 Soluciones a Ejercicios y problemas PÁGIN 231 Problemas + 14 Queremos alicatar una pared de 4,6 m 3 m con azulejos cuadrados de 20 cm de lado como este: a) ompleta, en tu cuaderno, un mosaico de 7 7 azulejos. b) verigua cuántos círculos grandes y cuántos pequeños (completos) habrá en la pared alicatada. c) Qué proporción de cada color (superficie) habrá en la pared? Radio círculo grande: 10 cm; radio círculo pequeño: 4 cm. a) b) La pared es de 460 cm 300 cm; por tanto, caben 23 columnas 15 filas de azulejos. omo cada 2 2 azulejos hacen un círculo grande completo, y no debemos contar los que se quedan medios, es como si tuviéramos 22 columnas 14 filas de azulejos. Habrá entonces 11 columnas 7 filas de círculos; es decir, 11 7 = 77 círculos grandes. bserva la figura:

21 11 Soluciones a Ejercicios y problemas ontamos los círculos pequeños por columnas: comenzamos con la primera y vamos añadiendo columnas. Pág. 2 El número de círculos pequeños (completos) depende de que la columna sea par o impar. Veámoslo: 1. a columna: 7 círculos pequeños completos. 2. a columna: se suman = 22 círculos pequeños completos. 3. a columna: se suman 7 círculos pequeños completos. 4. a columna: se suman = 22 círculos copletos. sí, en las columnas pares se añaden 22 círculos completos y en las impares, solo 7. Del 1 al 23 hay 11 columnas pares y 12 impares. Por tanto, habrá = = 326 círculos pequeños completos. c) La proporción de cada color en la pared es igual a la proporción de cada color en un solo azulejo, ya que todos son iguales. El cuadrado tiene = 400 cm 2 de superficie. El color rojo está en las dos mitades del círculo pequeño; es decir, un círculo pequeño completo (con 20 6 cm de radio). Por tanto, el color rojo ocupa una superficie de π ,91 cm2. El color amarillo ocupa un cuarto de círculo grande (con 10 cm de radio): 1 4 π ,54 cm 2 on estos datos, ya podemos hallar las proporciones de los colores que hay en cada azulejo y, por tanto, en toda la pared: RJ: 34, ,0872 = 8,72 % MRILL: 78, ZUL: 100 (8, ,63) = 71,65 % 0,1963 = 19,63 % 15 Se llama motivo mínimo de un mosaico a una pieza teórica, lo más pequeña posible, repitiendo la cual se puede reproducir todo el mosaico. Los bordes de esta pieza no se notan salvo que los hayamos pintado expresamente. Por ejemplo, si en el siguiente mosaico trazamos ejes de simetría con ángulos de 60 :

22 11 Soluciones a Ejercicios y problemas descubrimos la pieza de aquí abajo como candidata a motivo mínimo. Pág. 3 a) Redúcela a la tercera parte de dos formas distintas. b) Puedes hacerla aún más pequeña? c) Descubre otro motivo mínimo trazando ejes de simetría perpendiculares. a) b) c) Reflexiona sobre la teoría 16 Se dice que una transformación T' es inversa de otra T cuando compuesta con ella da lugar a la identidad (es decir, si aplicamos T y después T', todo queda como estaba). Encuentra la transformación inversa en cada uno de los siguientes casos: a) Una traslación de vector ( 5, 2). b) Un giro de centro (0, 0) y ángulo a = 45. c) Una simetría de eje la recta y = x. a) Una traslación de vector (5, 2). b) Un giro de centro (0, 0) y ángulo a = 45. c) Es inversa de sí misma: una simetría de eje la recta y = x.

23 11 Soluciones a Ejercicios y problemas 17 La composición de transformaciones no cumple la propiedad conmutativa (es decir, T 2 T 1, en general, es distinto que T 1 T 2 ). Sin embargo, si las transformaciones son de ciertos tipos, sí se cumple la propiedad conmutativa. Justifica en cuáles de los siguientes casos es así y en cuáles no: a) omposición de dos traslaciones. b) omposición de dos giros del mismo centro. c) omposición de dos simetrías axiales. d) omposición de una traslación y un giro. a) Sí es conmutativa. El resultado es otra traslación de vector igual al vector suma de los correspondientes a las dos traslaciones. b) Sí es conmutativa. El resultado es otro giro del mismo centro y ángulo igual a la suma de los ángulos correspondientes a los dos giros. c) No es conmutativa. d) No es conmutativa. Pág Si consideramos una transformación que deja todo como estaba y donde estaba, a dicha transformación la llamaremos identidad (I ). Define una traslación y un giro que sean equivalentes a la identidad. La única translación que es equivalente a la identidad es la de vector 8 0. Un giro equivalente a la identidad es aquel con cualquier centro y un ángulo de 360, 720, Se dice que una transformación es idempotente (o involutiva) si compuesta consigo misma da lugar a la identidad (es decir, si la aplicamos dos veces, todo queda como estaba: T T = I ). Encuentra dos movimientos que sean idempotentes. Por ejemplo: Un giro de centro cualquiera y ángulo 180, ya que al componerlo dos veces es equivalente a la identidad. Una simetría de eje cualquiera. 20 Justifica que solo se puede hacer un mosaico regular con triángulos, cuadrados o hexágonos. Para ello ten en cuenta cuánto deben sumar los ángulos de los polígonos que concurren en un vértice de un mosaico. Y cuánto vale el ángulo de cada uno de los polígonos regulares. Seis triángulos equiláteros encajan en el plano, pues sus ángulos suman 360 : = 360

24 11 Soluciones a Ejercicios y problemas uatro cuadrados encajan en el plano, pues sus ángulos suman 360 : Pág = 360 No podemos encajar los pentágonos regulares: = on tres pentágonos no llega a = on cuatro pentágonos pasamos de 360 Tres hexágonos regulares encajan en el plano, pues sus ángulos suman 360 : = 360 l considerar tres polígonos de más de 6 lados, la suma de los tres ángulos correspondientes es mayo de 360 ; luego no se pueden encajar en el plano.

25 11 Soluciones a Y para terminar PÁGIN 233 Investiga Diferentes baldosas Entre los modelos de baldosas del muestrario de la derecha, cuáles sirven para construir el suelo que ves a la izquierda? MUESTRRI Todas las baldosas del muestrario son válidas para construir el suelo pedido. (No se tienen en cuenta las líneas de unión entre baldosas).

26 11 Soluciones a la utoevaluación PÁGIN 233 Sabes definir, aplicar, reconocer y distinguir los distintos movimientos en el plano? 1 verigua las coordenadas de los vértices del triángulo transformado del mediante cada uno de los siguientes mo- (2, 5) Y vimientos: a) La traslación de vector. (1, 2) b) La simetría de eje X. c) La simetría de eje Y. d) El giro de centro y ángulo 90 (90 en el sentido de las agujas del reloj). e) En alguno de los movimientos anteriores el punto P (0, 4) es doble? f ) En alguno de los movimientos anteriores es el eje Y una recta doble? a) ' (4, 0); ' (5, 3); ' (10, 4) b) ' (1, 2); ' (2, 5); ' (7, 6) c) ' ( 1, 2); ' ( 2, 5); ' ( 7, 6) d) ' (2, 1); ' (5, 2); ' (6, 7) e) En la simetría de eje Y el punto P (0, 4) es doble. f ) En las simetrías de eje X y de eje Y, el eje Y es doble. (7, 6) X 2 Llamamos S a la simetría de Y, y T, a la traslación de vector (2, 5). btén la transformada de la figura F mediante la composición de S con T. Y F X Y F F' X

27 11 Soluciones a la utoevaluación 3 onsidera las simetrías S 1 y S 2 de ejes e 1 y e 2, respectivamente. Dibuja la fugura F' transformada de F mediante S 1 compuesta con S 2. Qué otro movimiento nos permite obtener F' a partir de F? Pág. 2 F F e 1 8 t = (0, 8) e 1 e 2 e 2 F' on una translación de vector (0, 8) se obtiene F' a partir de F. 4 Dibuja en papel cuadriculado un mosaico a partir de esta pieza: usca una forma de engranarlas distinta de esta: