Perímetros y áreas CONTENIDOS PREVIOS 132 MATEMÁTICAS 1. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. CONVIENE QUE

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1 CONTENIDOS PREVIOS Sepas lo que es el perímetro de un polígono. 9 cm 4 cm 8 cm 10 cm 1 cm prenderás a medir perímetros de polígonos y a calcular la longitud de una circunferencia. Perímetro = = 43 cm Estés familiarizado con el cálculo de áreas de figuras planas. Te servirá para buscar estrategias para el cálculo de las áreas de polígonos. Cuál es el área de la casa tomando como unidad de superficie el cuadrado de la figura? Y tomando como unidad el triángulo? Si tomamos como unidad : Área de la casa = 17 Y si se toma : Área de la casa = 34 Observa que el resultado depende de la unidad de medida. LEER Y COMPRENDER MTEMÁTICS Conozcas los elementos de una circunferencia. Lo necesitarás para aprender a medir arcos y calcular el área de un círculo. rco Cuerda Diámetro O Radio F Ángulo central Recuerdes lo que es un polígono inscrito y circunscrito a una circunferencia. Te ayudará a comprender algunas relaciones métricas entre figuras. Polígono inscrito en una circunferencia Polígono circunscrito a una circunferencia 13 MTEMÁTICS 1. ESO MTERIL FOTOCOPIBLE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L.

2 UNIDD 11 NOTCIÓN MTEMÁTIC QUÉ SIGNIFIC? p Indican el valor El perímetro de un polígono se representa P del perímetro. mediante las letras p o P. D C RECURSOS PR EL UL B QUÉ SIGNIFIC? Indica el área de un polígono. El área de un polígono se suele representar por la letra. D d Por ejemplo, el área de un rombo es =. QUÉ SIGNIFIC? π Representa un número con infinitas cifras decimales. Para trabajar con él se suele tomar una aproximación decimal del mismo, π = 3,14. QUÉ SIGNIFIC? a Esta letra, en los polígonos, indica la apotema. El cociente de la longitud de una circunferencia entre su diámetro es una razón constante para cualquier circunferencia que llamamos pi y escribimos π. La apotema es el segmento que va desde el centro de un polígono regular al punto medio de un lado. LEER Y COMPRENDER MTEMÁTICS a MTEMÁTICS 1. ESO MTERIL FOTOCOPIBLE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L. 133

3 EN L VID COTIDIN... Teselaciones del plano En este proyecto pretendemos que aprendas a: veriguar qué polígonos regulares sirven para enlosar o teselar el plano. Determinar la figura base de una teselación. Realizar teselaciones sencillas con polígonos. 1 Teselación del plano Seguro que muchas veces has visto enlosado el suelo con baldosas de distintas formas. Todas ellas encajan sin dejar ningún hueco entre sí. Teselar el plano viene a ser algo similar. sí, teselar el plano es recubrirlo con copias de una misma figura plana, de manera que no se superpongan y no dejen huecos entre ellas. En la fotografía se ve un conjunto de celdillas hexagonales fabricadas por las abejas. Este conjunto de hexágonos es un ejemplo de una teselación o enlosetado del plano. Teselación con hexágonos regulares cabamos de ver que las abejas fabrican celdas hexagonales que recubren el plano. Esto significa que con hexágonos regulares iguales podemos llenar o recubrir un plano, lo cual es posible porque, al reunir tres hexágonos como indica la figura, la suma de los tres ángulos que concurren en un punto, como el punto, es 360. Date cuenta de que el ángulo interior de los hexágonos vale 10 y en el punto concurren tres de ellos, 3 10 =360. De esta forma se va cubriendo el plano. La figura que se repite, en este caso el hexágono, se llama figura base de la teselación. COMPETENCI MTEMÁTIC Cuadrados y triángulos equiláteros para teselar el plano Como acabamos de ver, para que se pueda teselar el plano con un polígono regular es necesario que, al unir varios polígonos por los vértices, los ángulos que concurren sumen 360. OBSERV L FIGUR Y RESPONDE ESTS PREGUNTS. OBSERV L SIGUIENTE FIGUR Y CONTEST LS CUESTIONES. a) Cuántos ángulos concurren en el vértice? b) Cuál es la amplitud de cada uno? c) Cuánto suman en total? d) Podemos teselar el plano con cuadrados? a) Cuánto mide cada ángulo de un triángulo equilátero? b) Cuántos triángulos equiláteros tienen que coincidir en un punto para que la suma de los ángulos sea 360? c) Se puede teselar el plano con triángulos equiláteros? 134 MTEMÁTICS 1. ESO MTERIL FOTOCOPIBLE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L.

4 UNIDD 11 3 Teselaciones con otros polígonos regulares Según se ha visto en la página anterior, se puede teselar el plano con triángulos equiláteros, con cuadrados y con hexágonos regulares. Es posible teselar el plano con otros polígonos regulares diferentes de los mencionados? Se sabe que no es posible teselar el plano con polígonos convexos de más de seis lados; por tanto, vamos a estudiar los polígonos de cinco lados. RELIZ ESTS CTIVIDDES. a) Calcula la medida en grados de cada ángulo interior de un polígono regular de cinco lados. b) Observando la siguiente figura, comprueba que no es posible cubrir el plano con pentágonos regulares. RECURSOS PR EL UL 4 Determinación de la figura base de una teselación demás de los polígonos regulares mencionados, algunas variaciones de los mismos pueden también teselar el plano. Una de las más conocidas es la variación del siguiente cuadrado. Por lo tanto, haciendo traslaciones y giros podemos cubrir el plano como se indica a continuación. F RELIZ LS CTIVIDDES. a) Comprueba que, con la pieza anterior, se tesela el plano. Para ello recorta varias piezas iguales a ella y verifica que al unirlas no dejan huecos entre sí. b) Construye, variando el cuadrado de forma similar, alguna pieza que tesele también el plano. simismo, se puede teselar el plano mediante polígonos irregulares diversos. Por ejemplo, a partir de este cuadrilátero cóncavo. Para ello es suficiente hacer dos giros de 90, obteniendo este polígono. HZ ESTS CTIVIDDES. a) Cuál es la figura base en la teselación? b) Una figura que no sea un polígono, puede ser la figura base de una teselación? c) Dibuja teselaciones a partir de estas figuras base. COMPETENCI MTEMÁTIC MTEMÁTICS 1. ESO MTERIL FOTOCOPIBLE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L. 135

5 ESTRTEGIS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMS Reducir el problema a otro conocido Estrategia veces, para facilitar la resolución de un problema, lo reducimos a otro ya conocido. En los siguientes problemas se trata de hallar el área de un polígono irregular que, en principio, es difícil de calcular. Para hallar esta área descomponemos el polígono en otros polígonos de áreas conocidas (triángulos y trapecios) mediante una diagonal y las perpendiculares trazadas a la diagonal por los vértices. PROBLEM RESUELTO En un terreno que tiene la forma que indica la figura se quiere construir un gimnasio. El plano del terreno está hecho a escala 1 : Cuál es el área que va a tener el gimnasio, en metros cuadrados? Planteamiento y resolución Escala 1 : Tenemos que trazar una diagonal que nos ayude a obtener otras figuras de áreas conocidas. 1.º Trazamos la diagonal BE y las perpendiculares a esta desde los vértices G, CF y DH. sí, el polígono queda descompuesto en tres triángulos: BE, BCF, HDE, y un trapecio: FCDH..º Tomamos las medidas necesarias para calcular el área de estas figuras y hallamos su valor real. PLICCIÓN DE ESTRTEGIS BE = 6,5 cm 6, = cm = 65 m B E G = 0,6 cm 0, = 600 cm = 6 m F G H BF = 1,1 cm 1, = cm = 11 m FC = 1,3 cm 1, = cm = 13 m C HE = 1,9 cm 1, = cm = 19 m D HD = cm =.000 cm = 0 m 65 6 Área del triángulo BE = = 195 m Calcula el resto de las áreas y halla el área total del gimnasio. PROBLEMS PROPUESTOS 1 El siguiente plano está hecho a escala 1 : y representa el plano de una parcela. Cuál es el área de la parcela, en metros cuadrados? El siguiente plano está hecho a escala 1 :.000 y representa el plano de un parque. Cuál es el área del parque, en hectáreas? Escala 1 : Escala 1 : MTEMÁTICS 1. ESO MTERIL FOTOCOPIBLE SNTILLN EDUCCIÓN, S. L.