Nuevas tendencias de la Matemática: tica: Lógica borrosa e inteligencia artificial Lógica borrosa 1

Transcripción

1 Nuevas tendencias de la Matemática: tica: Lógica borrosa e inteligencia artificial Lógica borrosa 1

2 Esquema Introducción Conjuntos difusos Lógicas borrosas Aplicaciones Medidas Medida de especificidad Lógica borrosa 2

3 Introducción Determinismo Simplicidad organizada Probabilidad Complejidad desorganizada Caos determinista Conjuntos difusos Lógica borrosa 3

4 Introducción Los conjuntos difusos estudian la: imprecisión incertidumbre no especificidad vaguedad inconsistencia Lógica borrosa 4

5 Inteligencia Artificial Marvin Minsky: I.A. es el arte de construir máquinas capaces de hacer cosas que requerirían inteligencia en caso de que fuesen hechas por seres humanos Ingeniería del conocimiento Sistemas expertos Lógica borrosa 5

6 Aplicaciones de la Inteligencia Artificial Variables lingüísticas Lenguaje natural Sistemas expertos Control difuso Autómatas difusos Bases de datos difusas Lógica borrosa 6

7 Conjuntos difusos y lógicas borrosas

8 Conjuntos difusos: soleado alto caro contagioso Ejemplos número mucho más grande que uno los jóvenes de esta ciudad Lógica borrosa 8

9 Subconjuntos difusos Lotfi A. Zadeh en 1965 Fuzzy Sets µ A : X [0, 1] A: X [0, 1] Lógica borrosa 9

10 Ejemplo Si el enfermo está algo amarillo y se encuentra bastante cansado entonces puede tener hepatitis Lógica borrosa 10

11 Conjuntos clásicos A X o de Cantor f A : X {0, 1} 1 A F(X, {0, 1}) Gráfica G(f A )={(x,f A (x)); x X} x Diagrama de Venn Lógica borrosa 11

12 Subconjuntos difusos El referencial X es siempre un conjunto clásico A X A F(X, [0, 1]) G(A) Diagrama Lógica borrosa 12

13 Definición: Subconjunto normal Un subconjunto difuso A se dice que es normal si existe algún elemento del conjunto referencial x i X tal que A(x i ) = Lógica borrosa 13

14 Definición: Subconjunto de nivel Dado un conjunto borroso A sobre X se definen sus subconjuntos de nivel α (y se denominan A α ) a: A α = {x: A(x) α α} Lógica borrosa 14

15 OPERACIONES Igualdad: A=B A(x)=B(x), x Inclusión: A B A(x) B(x), x Unión: (A B)(x)=máx {A(x), B(x)} Intersección: (A B)(x)=mín{A(x), B(x)} Complementario: (c(a))(x) = 1 - A(x) Lógica borrosa 15

16 Propiedades (F(X,(X, [0,1]), máx, mín, ) ) es un retículo distributivo y complementario. No es un álgebra de Boole pues no verifica: la ley de contradicción la ley del tercio excluso Es un retículo de Morgan Lógica borrosa 16

17 Otras operaciones Probabilística: A B A B = A BA A B B = A+B-A B Lukasiewicz: A B B = máx{0, A+B-1} A B B = mín{1, A+B} Lógica borrosa 17

18 t-normas B. Schweizer,, A. Sklar: Probabilistic Metric Spaces North-Holland Holland Lógica borrosa 18

19 Norma triangular (o t-norma) Definición: T: [0, 1] x [0, 1] [0, 1] {x, 0}=0, T{x, 1}=x, para todo x T1) T{x, 0}=0,, para todo x [0,1] T2) T{x, y} = T{y, x} para todo x, y [0,1] y T3) Si x x', x x', y y' y y' entonces T{x, {x, y} T{x', {x', y'} T4) T{x, {x, T{y, {y, z}}=t{t{x, {x, y}, z} x, y, z [0,1] Lógica borrosa 19

20 t-norma positiva x>0, y>0 T(x, y)>0 t-norma arquimediana Continua y T(x, x)<x x (0, 1) t-norma estricta Estrictamente creciente en (0, 1)x(0, 1) Lógica borrosa 20

21 Conorma triangular (o t-conormat conorma) Definición: S1) x [0,1] S1) S{0, x} = x, x S{x, 1}=1, y S2, S3 y S4 como T2, T3 y T4 respectivamente Lógica borrosa 21

22 Negación fuerte N : [0, 1] [0, 1] continua estrictamente decreciente N(0)=1, N(1)=0 N(N(x))=x(x))=x Lógica borrosa 22

23 Conorma dual S(x,y)=N(T(N(x), N(y))) Lógica borrosa 23

24 Conectivos lógicos Una familia de conectivos lógicos borrosos o ternas de Morgan: (T, S, N) está formada por una t-norma t T, una t-conormat S y una negación N que se utilizan para generalizar las operaciones de intersección, unión y complementario Lógica borrosa 24

25 Mínimo t-normas Mínimo: : Es la mayor de las t-normas Producto: Prod Lukasiewicz: Prod(x, y)=x.y W(x, y) = máx{0, x+y-1} Sumas ordinales Lógica borrosa 25

26 t-normas Prop.. distributiva ley de absorción idempotencia Luego la única t-norma t continua distributiva es el mínimo Sin embargo la terna de Lukasiewicz (W, W*, N) sí verifica el principio de contradicción y el tercio excluso Lógica borrosa 26

27 t-normas Familia de t-normas t {T{ ϕ }: T ϕ (x, y)= ϕ -1 (T(ϕ(x), (x), ϕ(y))) donde ϕ es una función estrictamente creciente y continua en [0, 1] tal que ϕ(0)=0 y ϕ(1)= Lógica borrosa 27

28 t-normas Las únicas t-normas t continuas son: el mínimo o de la familia del producto o de la familia de Lukasiewicz o de la familia de las sumas ordinales Lógica borrosa 28

29 RELACIONES Al conjunto (X, R) formado por un conjunto difuso X y una relación borrosa R se le llama estructura relacional borrosa. Ejemplo Lógica borrosa 29

30 RELACIONES T-preorden: reflexiva y T-transitiva T T-indistinguibilidad: reflexiva, simétrica y T-transitivaT Lógica borrosa 30

31 RELACIONES R R es reflexiva si R(a, a)=1 a X. R simétrica si R(a,b)=R(b,a) a, b Xb R R es α-reflexiva si R(a, a) es siempre mayor o igual a un cierto valor α. R R es T-transitiva si: T(R(a,b),R(b,c)) R(a,c) R(a,c) Lógica borrosa 31

32 Composición de relaciones E = {invierno, primavera, verano, otoño} = {i, p, v, o} T = {calor, templado, frío} = {c, t, f} V = {abrigo, blusa, chaqueta} = {a, b, ch} R: E TE S: T V SoR: : E V SoR(a,b)= (a,b)=máx{mín{r(a, x), S(x, b)}} Lógica borrosa 32

33 Consecuencias de Alfred C: F(E) F(E) V C(V) Tarski V1 V2 V2 C(V1) C(V1) C(V2) C(V2) C(C(V))=C(V) Lógica: : Conjunto de proposiciones y un operador de consecuencias Lógica borrosa 33

34 Consecuencias de Alfred Tarski Si una relación borrosa es reflexiva y T-transitiva entonces verifica los axiomas de consecuencias de Tarski Luego los T-preórdenes T nos generan operadores de consecuencias Lógica borrosa 34

35 Propiedad transitiva R transitiva Si R(a, b) y R(b, c) entonces R(a, c) R(a, b) R(b, c) R(a, c) R(a, c) máx{min{r(a, x), R(x, c)}} Generalizando R(a, c) S{ T{R(a, x), R(x, c)} } Lógica borrosa 35

36 Medida borrosa Lógica borrosa 36

37 Definición de medida de Lebesgue (1902): Sea (X, F, M) donde X es un conjunto, F es un sigma álgebra de X y M es una aplicación M: F [0, ): M( )=0 A n F es una sucesión de conjuntos disjuntos de F entonces M(UA n )= ΣM(A n ) Lógica borrosa 37

38 Definición de medida borrosa de Sugeno (1974): Una medida borrosa M es una función M: F [0, 1] que verifica las siguientes propiedades: M( ) = 0 M(X) = 1 Condición de continuidad monótona M(UA n )=lim M(A n ) Lógica borrosa 38

39 Medida borrosa Nguyen,, H. T. & Walker, E. A.: A first course in Fuzzy Logic.. CRC Press Lógica borrosa 39

40 Definición 2ª de medida borrosa (Klir( Klir, Nguyen, Walker): Una medida borrosa M es una función M: F [0, 1] que verifica las siguientes propiedades: M( ) = 0 M(X) = 1 Si A B entonces M(A) M(B) Lógica borrosa 40

41 Ejemplos Las medidas sigma aditivas Las medidas de Sugeno Medidas de creencia, necesidad y plausibilidad Long(A)/b (A)/b-a Card(A)/ (A)/Card(X) Lógica borrosa 41

42 Medida borrosa Trillas, E; Alsina,, C.: A reflection on what is a membership function Lógica borrosa 42

43 Definición 3ª de medida borrosa (Trillas): (X, p) donde p es un preorden m: X [0, 1] es una p-medida en X si verifica que: Si x 0 X es minimal para p entonces m(x 0 ) = 0. Si x 1 X es maximal para p entonces m(x 1 ) = 1. Si xpy entonces m(x) m(y) Lógica borrosa 43

44 Ejemplos Las medidas sigma aditivas Las medidas de Sugeno Entropía (DeLuca, Términi) Ser aproximadamente una potencia de Lógica borrosa 44

45 Medida de especificidad Lógica borrosa 45

46 Medida de especificidad Medida de la cantidad de información contenida en un conjunto difuso Evalúa el grado en que un subconjunto borroso tiende a tener un elemento y sólo uno Lógica borrosa 46

47 Medida de especificidad En una variable lingüística: la cantidad de información que contiene una proposición Está relacionada con el inverso de la cardinalidad de un conjunto Lógica borrosa 47

48 Antecedentes: medidas de especificidad Introducidas por Ronald Yager Dubois y Prade han investiga- do sobre sus aplicaciones: i) Especificidad mínima. ii) Importancia en razonamiento aproximado Lógica borrosa 48

49 Antecedentes: medidas de especificidad Higashi y Klir discuten un concepto similar que denominan no-especificidad Relacionado con el concepto de granularidad introducido por Zadeh Lógica borrosa 49

50 Aplicaciones Yager: Una medida de tranquilidad a la hora de tomar una decisión Kacprzyk: Aprendizaje inductivo Sistemas de razonamiento deductivo Lógica borrosa 50

51 Aplicaciones Determina la utilidad de la información que proporciona un sistema experto principio de intercambio entre especificidad y certeza Lógica borrosa 51

52 Definición de medida de especificidad Lógica borrosa 52

53 1.- Sp Medida de especificidad Sp(A)=1 si y sólo si A es un conjunto clásico con un único elemento 2.- Sp( )=0 3.- Aumenta, si aumenta el mayor valor de pertenencia, y disminuye si los otros valores de pertenencia aumentan Lógica borrosa 53

54 Propiedad Si A y B son dos subconjuntos difusos normales tales que A B B entonces Sp(A) Sp(B) Lógica borrosa 54

55 Definición: Dadas dos medidas de especificidad Sp y Sp* se dice que Sp es más estricta que Sp* si sus pesos asociados w j y w j * verifican que w j w j * para todo j Lógica borrosa 55

56 Definición: medida de especificidad en universos finitos A un subconjunto difuso de un conjunto finito X a j = j-ésimo valor de pertenencia de A Sp: [0, 1] X [0, 1] tal que Sp(A) = T 1 (a 1, N(S j=2,..d =2,..d{T 3 (a j, w j )}) Lógica borrosa 56

57 Ejemplos Lógica borrosa 57

58 Ejemplo 1 Medida de especificidad lineal Sp(A) = a 1 = j 2 w j a j Donde los pesos verifican: i) w j [0, 1], ii) w j = 1 d = j 2 iii) w j w i para todo j<i mayores o iguales a dos. (T1=W; S=W*; T3=Prod) d Lógica borrosa 58

59 Medidas de especificidad lineales Son medidas de especificidad. Son regulares La más estricta es Sp(A)=a 1 a 2 La menos estricta es d Sp(A)= a 1 1 a j. d 1 = j Lógica borrosa 59

60 Ejemplo 2: Sp(A) = a 1 (ka j + (1 a j )) = j 2 donde k [0, 1) d Lógica borrosa 60

61 Ejemplo 3: Sp(A) = a 1 (1 w j a j )) donde w j (0, 1] d = j 2 (T1=T3=Prod. S=Prod*) Lógica borrosa 61

62 Especificidad en conjuntos referenciales infinitos Lógica borrosa 62

63 Definición: α máx Sp(A) = N (M(A α )) dα Lógica borrosa 63

64 Propiedades Sp( )=0 Si A es un conjunto clásico con un único elemento entonces Sp(A)=1 Si el máximo valor de pertenencia aumenta quedando el resto de valores de pertenencia invariantes, entonces Sp aumenta. Si A y B son dos conjuntos normales y A B entonces Sp(A) Sp(B) Lógica borrosa 64

65 Ejemplo 4: α máx Sp(A) = α máx Long(A α ) dα Es una medida de especificidad Lógica borrosa 65

66 Especificidad bajo una T-indistinguibilidad Lógica borrosa 66

67 Axiomas 1) Sp({x} / S) = 1 2) Sp( / S) = 0 3) Sp(µ / Id) = Sp(µ) 4) Sp(µ / S) Sp(µ) Lógica borrosa 67

68 Algoritmo Si Máx j (T(µ(x j ), S(x j, x k ))) µ(x k ) para algún j k, entonces x k X. Ejemplo: X = {x 1,, x 5 }, T = Prod, S µ=1/x /x /x /x 4 + 0/x 5, X = {x 1, x 2, x 3 } Lógica borrosa 68

69 Verifica los axiomas Sp({x} / S) = T(1, S(x 1, x 1 )) = 1 Sp( / S) = T(0, S(x i, x i )) = 0 Sp(µ / Id) = T(µ(x i ), 1) = µ(x i ) Sp(µ / S) Sp(µ) Lógica borrosa 69

70 Ejemplos Lógica borrosa 70

71 Lógica borrosa 71