ÁLGEBRA SUPERIOR I. Semestre: Primero Horas: 72 Hrs/sem: 4.5 Créditos: 10 Clave: AG-01 DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA:

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1 ÁLGEBRA SUPERIOR I Semestre: Primero Horas: 72 Hrs/sem: 4.5 Créditos: 10 Clave: AG-01 DESCRIPCIÓN DE LA ASIGNATURA: Las proposiciones, cuantificadores, conjuntos, funciones, permutaciones, combinaciones, etc., son algunos temas que conforman el presente curso y que han sido estudiados, una y otra vez, desde la secundaria hasta el tercer año de bachillerato. Esto no es obra de la casualidad ya que tales temas forman parte de cimientos del lenguaje matemático, tan necesarios para llevar a cabo un estudio formal de la matemática. Estos temas se han estudiado con un enfoque mecanicista, que aunque útil, no es suficiente para un estudiante de una carrera de ciencias; ya que éste requiere de un uso correcto del lenguaje matemático y de un manejo analítico de elementos de la matemática. En este curso, el estudiante empieza a familiarizarse con la demostración en matemáticas, de manera formal. También se introducirán conceptos de relaciones en conjuntos y las estructuras algebraicas tales como grupos, anil y campos, en donde con un enfoque elemental se le proporcionará al alumno un primer vistazo de lo que son las matemática superiores. En particular se estudiará el anillo de números enteros y el campo de números racionales. En este curso se pretende que el alumno participe de manera activa, aportando ideas en clase, resolviendo ejercicios y realizando tareas extraclase. OBJETIVOS: Al finalizar el curso, el alumno: 1. Utilizará correctamente y con fluidez el lenguaje matemático y manejará aspectos de la lógica matemática que justifican métodos de demostración que se emplean en matemáticas. 2. Manejará la teoría de las relaciones entre conjuntos, en particular las relaciones funcionales, las relaciones de equivalencia y las relaciones de orden. 3. Deducirá y manejará las fórmulas y procedimientos más utilizados en el cálculo combinatorio. 4. Manejará algunas estructuras algebraicas, en particular el anillo de números enteros y el campo de números racionales.

2 CONTENIDO: 1. LÓGICA, MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN Y CONJUNTOS. (16 sesiones) Objetivo: Conocer y manejar aspectos básicos de la lógica matemática y métodos de demostración que se utilizan en matemáticas. Deducir y manejar las propiedades básicas de conjuntos y de sus operaciones Nociones de lógica elemental. Objetivo: Conocer y manejar conceptos básicos de la lógica matemática como tautologías, contradicciones y proposiciones equivalentes Proposición y su valor de verdad Los conectivos lógicos La tabla de verdad de una proposición Tautologías y contradicciones Proposiciones equivalentes. Actividades de comprensión de las páginas 9 a 14 del libro Conjuntos y Estructuras de Alvaro Pinzón. Resolver del 1-1 al 1-14 y del 1-19 al 1-21 del libro anterior. Producto de escrito. propuestos. 9 hrs. de la lectura y exposición por parte de alumnos de Manejo de conceptos básicos de la lógica matemática. 6 clases

3 1.2. Aplicación a la teoría de circuitos. Objetivo: Conocer la aplicación de la lógica matemática a la simplificación de circuitos eléctricos Equivalencia entre circuitos eléctricos y proposiciones Simplificación de circuitos. Actividades de Extraclase: comprensión de las páginas 17 a 18 del libro Conjuntos y Estructuras de Alvaro Pinzón. Resolver ejercicios propuestos del 1 al 5, el 21 y el 22 del capitulo 1 del libro anterior. Producto de escrito. propuestos. 3 hrs. de la lectura y exposición por parte de alumnos de Simplificación de circuitos eléctricos. 1 clase

4 1.3. Cuantificadores. Objetivo: Aprender el uso apropiado de cuantificadores que se utilizan en las demostraciones matemáticas Funciones proposicionales Los cuantificadores universal y existencial La negación de una proposición que involucra cuantificadores. Actividades de Extraclase: comprensión de las páginas 14 a 16 del libro Conjuntos y Estructuras de Alvaro Pinzón. Resolver del 1-35 al 1-40, el 1-43 y el 1-44 del libro anterior. Producto de escrito. propuestos. 3 hrs. de alumnos de El valor de verdad y la negación de proposiciones que involucren cuantificadores. 2 clases

5 1.4. La demostración en matemáticas. Objetivo: Conocer métodos de demostración en matemáticas y aplicar en casos sencil Razonamientos válidos Métodos de demostración. Actividades de Producto de Extraclase: comprensión de las páginas 20 a 27 escrito. del libro Conjuntos y Estructuras de Alvaro Pinzón. Resolver del 1-27 al 1-34, y del 1-46 al 1-59 del libro anterior. propuestos. 6 hrs. de la lectura y exposición por parte de alumnos de Demostración de teoremas sencil usando distintos métodos de demostración. 4 clases

6 1.5. Conjuntos. Objetivo: Conocer conceptos elementales de la teoría de conjuntos. Deducir y manejar las propiedades básicas de conjuntos y de sus operaciones Formas de describir un conjunto: por comprensión y por extensión Igualdad de conjuntos Subconjuntos Conjunto potencia Unión e intersección de conjuntos. Sus propiedades Complemento de un conjunto. Sus propiedades Diferencia y diferencia simétrica entre conjuntos. Sus propiedades Unión e intersección de una colección de conjuntos Partición de un conjunto. Actividades de Producto de comprensión de las escrito. Resolver ejercicios de las notas anteriores. 5 hrs. propuestos. de alumnos de La demostración de las propiedades básicas de conjuntos y de sus operaciones. 3 clases

7 2. RELACIONES Y FUNCIONES. (16 sesiones) Objetivo: Conocer y manejar la teoría de las relaciones entre conjuntos, en especial, las relaciones funcionales, las relaciones de equivalencia y las relaciones de orden parcial. Comprender el concepto de cardinalidad Relaciones. Objetivo: Hallar el dominio y la imagen de una relación. Determinar si una relación es de equivalencia o de orden parcial. Hallar las clases de equivalencia de una relación de equivalencia dada. Demostrar que toda partición define una relación de equivalencia y viceversa Producto cartesiano Dominio, codominio e imagen de una relación Relaciones: reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva Relaciones y clases de equivalencia Partición de un conjunto inducida por una relación de equivalencia Relación de equivalencia inducida por una partición Relaciones de orden parcial. Actividades de comprensión de las Resolver ejercicios de las notas anteriores. Producto de escrito. 10 hrs. propuestos. de alumnos de Familiaridad con conceptos y resultados relativos al tema. 7 clases

8 2.2. Funciones. Objetivo: Determinar si una relación dada es función. Determinar si una función es inyectiva, suprayectiva y/o biyectiva. Hallar la composición de 2 funciones. Hallar la inversa de una función invertible Dominio, imagen y codominio de una función Funciones: inyectiva, suprayectiva y biyectiva Composición de funciones La inversa de una función. Actividades de comprensión de las Resolver ejercicios de las notas anteriores. Producto de escrito. 9 hrs. propuestos. de alumnos de Familiaridad con conceptos y resultados relativos al tema. 6 clases

9 2.3. Cardinalidad. Objetivo: Determinar si dos conjuntos dados tienen la misma cardinalidad. Hallar la cardinalidad de un conjunto dado. Demostrar relaciones entre las cardinalidades de conjuntos finitos bajo ciertas condiciones dadas Conjuntos que tienen la misma cardinalidad Conjuntos finitos e infinitos Conjuntos numerables. Actividades de comprensión de las Resolver ejercicios de las notas anteriores. Producto de escrito. 5 hrs. propuestos. de alumnos de Familiaridad con conceptos y resultados relativos al tema. 3 clases

10 3. CÁLCULO COMBINATORIO. (5 sesiones) Objetivo: Deducir y manejar las principales técnicas de conteo. Expresar coeficientes del binomio de Newton en términos de combinaciones. Deducir la fórmula para determinar la cardinalidad de la potencia de un conjunto finito Técnicas de conteo. Objetivo: Resolver de conteo aplicando las fórmulas deducidas Principios de adición y de multiplicación Ordenaciones con repetición Permutaciones Combinaciones. Actividades de comprensión de las Resolver ejercicios de las notas anteriores. Producto de escrito. 5 hrs. propuestos. de alumnos de Demostración de las principales técnicas de conteo. de de conteo. 3 clases

11 3.2. El binomio de Newton. Objetivo: Escribir coeficientes del binomio de Newton en términos de combinaciones. Deducir la fórmula para determinar la cardinalidad de la potencia de un conjunto finito. Construir el triángulo de Pascal Los coeficientes binomiales La cardinalidad de la potencia de un conjunto finito El triángulo de Pascal. Actividades de Producto de comprensión de las escrito. Resolver ejercicios de las notas anteriores. 3 hrs. propuestos. de alumnos de Expresión de coeficientes del Binomio de Newton en términos de combinaciones. Obtención de la fórmula para hallar la cardinalidad de la potencia de un conjunto finito. Construcción del triángulo de Pascal 2 clases

12 4. EL ANILLO DE LOS NÚMEROS ENTEROS. (7 sesiones) Objetivo: Iniciar al estudiante en el conocimiento y manejo de las estructuras algebraicas Estructuras algebraicas. Objetivo: Dado un conjunto con una operación binaria, determinar si tiene estructura de grupo. Dado un conjunto con 2 operaciones binarias, determinar si tiene estructura de anillo o de campo Grupos Anil Campos. Actividades de Producto de comprensión de las escrito. Resolver ejercicios de las notas anteriores. 3 hrs. propuestos. de alumnos de Hacer una tabla que indique las estructuras algebraicas de conjuntos dados con sus operaciones. 2 clases

13 4.2. Propiedades de anillo de números enteros. Objetivo: Deducir y manejar las propiedades de anillo que tienen números enteros. Actividades de Producto de comprensión de las escrito. Resolver ejercicios de las notas anteriores. 3 hrs. propuestos. de alumnos de La demostración de las propiedades básicas de anil. 2 clases

14 4.3. Dominios enteros. Objetivo: Dado un conjunto con dos operaciones binarias, determinar si tiene estructura de dominio entero. Demostrar que todo dominio entero cumple la propiedad cancelativa de la multiplicación. Actividades de comprensión de las Resolver ejercicios de las notas anteriores. Producto de escrito. 1 hr. propuestos. de alumnos de Determinar si un conjunto con dos operaciones es dominio entero. 1 clase

15 4.4. Orden en enteros. Objetivo: Deducir y manejar las propiedades de orden de enteros Los axiomas básicos Definición de orden en enteros Propiedades de orden en enteros. Actividades de comprensión de las Resolver ejercicios de las notas anteriores. Producto de escrito. 3 hrs. propuestos. de alumnos de Demostración de las propiedades de orden de números enteros. 2 clases

16 5. Los números racionales. (4 sesiones) Objetivo: Conocer la construcción matemática del campo de números racionales como clases de equivalencia. Manejar propiedades de orden de números racionales Construcción del campo de números racionales a partir del anillo de números enteros. Objetivo: Obtener la construcción del campo de números racionales como clases de equivalencia a partir de números enteros Construir el conjunto de números racionales como clases de equivalencia Definir las operaciones suma y multiplicación en racionales Demostrar que racionales son un campo Los enteros como subconjunto de racionales. Actividades de Producto de comprensión de las escrito. Resolver ejercicios de las notas anteriores. 5 hrs. propuestos. de alumnos de La construcción del campo de números racionales. 3 clases

17 5.2. Orden en racionales. Objetivo: Manejar las propiedades de orden en racionales Definición Propiedades. Actividades de Producto de comprensión de las escrito. Resolver ejercicios de las notas anteriores. 2 hrs. propuestos. de alumnos de La demostración de las propiedades básicas del orden en racionales. 1 clase

18 ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA: Conferencia, interrogatorio, lluvia de ideas, ejercicios, demostración, trabajo grupal e individual. CRITERIO DE CALIFICACIÓN: Se aplicarán 3 exámenes parciales, se calificarán las tareas y se aplicará, en su caso, un examen ordinario. La puntuación de parciales y tareas se detalla a continuación. EXÁMENES PARCIALES Y TAREAS Parcial No.1 Unidad I Parcial No.2 Unidad II Parcial No.3 Unidades III, IV y V Tareas TOTAL PUNTUACIÓN 30 puntos 30 puntos 30 puntos 10 puntos 100 puntos Con calificación mayor o igual a 80 puntos, el alumno queda exento de examen ordinario; en caso contrario, ésta representará el 60 % de la calificación final complementando con el examen ordinario el 40 % restante. NEXOS ACADÉMICOS: Álgebra Superior II. BIBLIOGRAFÍA: 1. Ash, R.B. A primer of Abstract Mathematics. The Mathematical Association of America, Birkhoff, G. y Maclane, S.A. Survey of Modern Algebra. Macmillan, Cárdenas., Humberto et. al. Álgebra Superior. México: Trillas, Halmos, P. y Givant, S. Logic as Algebra. The Mathematical Association of America, Johnsonbaugh, Richard. Matemáticas Discretas. México: Iberoamérica, Pinzón, Álvaro. Conjuntos y Estructuras. México: Harla Meyer, Paul. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas. México. Fondo Educativo Interamericano, S.A, Herstein, I.N. Álgebra Moderna. Trillas, PERFIL PROFESIOGRÁFICO DEL PROFESOR: Licenciado en Matemáticas o Licenciado en Enseñanza de las Matemáticas, preferentemente con posgrado y experiencia docente, de investigación o de trabajo en el área.