C U R S O: FÍSICA COMÚN MATERIAL: FC-07 DINÁMICA II

Transcripción

1 C U R S O: FÍSICA COMÚN MATERIAL: FC-07 DINÁMICA II Joseh-Louis de Lagrange (Turín, 1736-París, 1813) Matemático francés de origen italiano. Sus adres tuvieron 11 hijos de los cuales sólo el menor, Lagrange, llegó a sobrevivir. Estudió en su ciudad natal y hasta los diecisiete años no mostró ninguna atitud esecial ara las matemáticas. Sin embargo, la lectura de una obra del astrónomo inglés Edmund Halley desertó su interés y, tras un año de incesante trabajo, era ya un matemático consumado. Lagrange era de mediana altura, comlexión débil, con ojos azul claro y un color de iel álida. Era de un carácter nervioso y tímido, detestó la controversia, y al evitarla de buena gana ermitió a otros tener crédito or cosas que él había hecho. Su actividad mental durante unos veinte años que aso en Prusia fue asombrosa, no sólo or el hecho de roducir su esléndida Mécanique analytique, sino or contribuir, con doscientos trabajos, a las Academias de Berlín, Turín, y París. Algunos de éstos realmente son tratados, y todos, sin exceción, son de una extraordinaria calidad. Salvo un corto tiemo cuando él estaba enfermo en que rodujo aroximadamente un artículo or término medio al mes. Fue uno de los matemáticos más imortantes del siglo XVIII; creó el cálculo de variaciones, sistematizó el camo de las ecuaciones diferenciales y trabajó en la teoría de números. Entre sus investigaciones en astronomía destacan los cálculos de la libración de la Luna y los movimientos de los lanetas. Su obra más imortante es Mecánica analítica (1788).

2 Cuando se golea una elota de golf en el camo de juego, una gran fuerza F actúa sobre la elota durante un corto intervalo de tiemo t, haciendo que ésta se acelere desde el reoso hasta una velocidad final. Es en extremo difícil medir tanto la fuerza como la duración de su acción; ero el roducto de ambas F t uede calcularse en función del cambio de velocidad resultante de la elota de golf. A artir de la segunda ley de Newton, sabemos que F=m a usando la definición de aceleración F=m Multilicando or t se obtiene: v t F t = m (vf vi) de donde se tiene F t = m vf m vi A artir de esta relación definiremos momentum lineal e imulso: Momentum Lineal o Cantidad de Movimiento se define mediante la siguiente exresión: =m v El momentum lineal es una cantidad vectorial, de igual dirección y mismo sentido que el vector velocidad v, como muestra la figura 1. Por la definición en el SI la unidad de medida del momentum lineal es Kg m/s. v m fig. 1 2

3 Imulso I se define mediante la exresión: I = F t Observemos en la figura 2, que I es un vector que tiene la misma dirección y el mismo sentido que F. Por la imulso es N s. exresión anterior vemos que en el SI la unidad de medida del I t1 t2 F F t = t2 t1 fig. 2 Relación entre Imulso y Momentum Lineal En la figura 3 un cuero de masa m, se mueve con una velocidad v1. Si una fuerza F, constante, actúa sobre el cuero durante un intervalo de tiemo t, observaremos que su velocidad sufrirá una variación, asando a ser v2 al final del intervalo. v1 v2 F F fig. 3 A artir de las definiciones anteriores en la siguiente relación: F t = m v2 m v1 se observa: F t Reresenta el imulso I que recibió el cuero. m v2 Reresenta la cantidad de movimiento del cuero, 2, al final del intervalo t. m v1 Reresenta la cantidad de movimiento del cuero, 1, al inicio del intervalo t. lo que imlica I = 2 1 I = Esta es la relación que existe entre el imulso y el momentum, es decir, el imulso es el resonsable de la variación del momentum del cuero. 3

4 Fuerzas internas y externas Las fuerzas que actúan en un sistema de artículas se ueden clasificar en internas y externas. Si una artícula del sistema ejerce una fuerza sobre otra que también ertenece al sistema, aquella será una fuerza interna. Por otra arte, si la fuerza que actúa sobre una artícula del sistema fuese ejercida or un agente que no ertenece al sistema, se tratará entonces de una fuerza externa. Las fuerzas internas ueden roducir variaciones en las cantidades de movimiento de las artículas de un sistema, ero no roducen variación en la cantidad de movimiento del sistema. Choques en una dimensión Choques elásticos e inelásticos: una colisión es elástica cuando los cueros que chocan no sufren deformaciones ermanentes durante el imacto o cuando se conserva su energía cinética. Dos bolas de billar, or ejemlo, exerimentan choques que se ueden considerar elásticos. En caso contrario, si los cueros resentan deformaciones debido a la colisión estamos en resencia de un choque inelástico y no se conserva la energía cinética del sistema. Por ejemlo, si chocan dos automóviles y se mueven egados desués de la colisión, aunque en el caso que los cueros continúan egados, más bien se habla de choque totalmente inelástico. Princiio de conservación del momentum lineal en los choques En los casos que no existen fuerzas externas que actúen sobre los cueros que chocan, la cantidad de movimiento del sistema se conserva, si sobre él sólo actúan fuerzas internas. Por lo tanto la cantidad de movimiento de un sistema de cueros que chocan, inmediatamente antes de la colisión, es igual a la cantidad de movimiento, inmediatamente desués del choque. En la figura 4 vemos un ejemlo de un choque elástico, ara exlicar la conservación de momentum. 4

5 v2a v1a ( A N TES) (D U R A N T m2 m1 F21 t m1 m2 F12 t v1d v2d m1 m2 (D ES PU ES) fig. 4 Consideremos una colisión directa entre las masas m1 y m2, como lo muestra la figura 4. Suonga que las suerficies están libres de fricción. Indicamos sus velocidades antes del imacto v1a y v2a ; y desués del imacto como v1d y v2d. El imulso de la fuerza F12 que actúa sobre la masa m2 es F12 t = m2 v2d m2 v2a En forma similar, el imulso de la fuerza F 21 sobre la masa m1 es F21 t = m1 v1d m1 v1a Durante el intervalo de tiemo t, F12 = -F21, de modo que F12 t = -F21 t O bien, m2 v2d m2 v2a =(m1 v1d m1 v1 Y, finalmente, reagruando los términos m1 v1a + m2 v2a = m1 v1d + m2 v2d PSISTEMA(ANTES) PSISTEMA(DESPUÉS) 5

6 EJEMPLOS 1. Un móvil cambia de osición en el tiemo, tal como lo muestra la figura 5. Si la masa del móvil es de 8 kg, entonces el momentum que osee a los 10 s, exresado en unidades del SI, es x(m) t(s) fig Un mismo objeto es mostrado en tres situaciones distintas. En I se encuentra en reoso, en II está bajando or un lano inclinado con velocidad constante y en III está cayendo libremente. Resecto al cuero, es correcto decir que tendrá un momentum distinto de cero I) 3. sólo sólo sólo sólo sólo en en en en en II) III) I. II. III. I y II. II y III. En los casos I, II y III se muestran cueros con distinta masa y distinta velocidad, al resecto se afirma que al comarar las cantidades de movimiento de los cueros es correcto concluir que son iguales los casos I) II) III) m = 2 kg v = 12 m/s m = 4 kg v = 6 m/s I y II. I y III. II y III. I, II y III. ninguno de ellos. 6 m = 2 kg v = 12 m/s

7 PROBLEMAS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE 1. Un cuero avanza en línea recta de modo que su momentum es 0. El mismo cuero a artir de cierto momento reduce su masa a la mitad y cuadrulica su raidez, or lo tanto, ahora su momentum es 2. 0/4. 0/ En el gráfico que muestra la figura 6, se observa como varía la cantidad de movimiento versus la velocidad de una elota, en base a él, se uede afirmar que la masa de la elota, exresada en kg, es (kg m/s) A B A/B B/A A B/2 2 A B A B v(m/s) fig Un cuero de masa constante está bajando or un lano inclinado, y el gráfico de la figura 7 muestra cómo se comorta su momentum en función del tiemo. De la observación del gráfico, es verdadero concluir que el cuero está bajando con velocidad constante. está sometido a una fuerza neta mayor que cero. no osee momentum. exerimenta una aceleración constante mayor que cero. está aumentando su momentum. t fig Dos cueros A y B, son soltados desde los 20 m y los 5 m de altura, resectivamente. Considerando que las resectivas masas de A y B son 2 kg y 4 kg, será correcto afirmar que al comarar sus cantidades de movimiento, A y B, cuando cada uno está llegando al suelo, se cumle que A B 2 kg 4 kg A = B A = 2B 20 m 10 m A = 4B 4A = B 2A = B fig. 8 7

8 5. Resecto a la cantidad de movimiento se afirma que es una magnitud vectorial. sólo deende de la velocidad. si se dulica la masa, el momentum disminuye a la mitad. la unidad de medida del momentum en el SI es el kg m/s. Cuántas afirmaciones son correctas? Si Z y W reresentan, resectivamente, la velocidad y el momentum de un cuero, es osible entonces que de las tres situaciones mostradas sea(n) correcta(s) I) Z II) Z W 7. III) W Z W sólo I sólo II. sólo III. todas ellas. ninguna de ellas. Juan y José están arados sobre atines en una ista de atinaje en hielo, Juan tiene una masa de 80 kg y José de 60 kg. En cierto instante Juan emuja horizontalmente a José y este adquiere una velocidad de 0,8 m/s. Entonces, con resecto a Juan es correcto decir que desués del emujón se quedará quieto. moverá con sentido moverá con sentido moverá con sentido moverá con sentido ouesto ouesto ouesto ouesto a a a a José José José José y y y y raidez raidez raidez raidez 8 de de de de 0,4 0,6 0,8 1,0 m/s. m/s. m/s. m/s.

9 8. Dos carritos ueden moverse sobre rieles horizontales en el laboratorio. El roce entre los carritos y los rieles es desreciable. Inicialmente el carrito (1) está en reoso y el carrito (2) que se mueve con velocidad constante va a chocar con el (1). Considere T el instante del choque. El momentum total del sistema de carritos está mejor reresentado or el gráfico T t T T 9. T t t t T t El gráfico de la figura 9 muestra la variación del módulo del momentum de una artícula en función del tiemo, entonces es correcto afirmar que (kg m/s) 10 0,2 fig. 9 se mueve or un lano inclinado. sobre el cuero actúa la fuerza de roce. la velocidad disminuye hasta arar. sobre el cuero actúa una fuerza variable. el gráfico uede reresentar una caída libre. 9 t(s)

10 10. Un cuero rectangular se mantiene en reoso en el esacio hasta que en cierto momento, debido a una exlosión que ocurre en su interior, se fracciona en dos artes A y B, que salen disaradas hacia el esacio. Resecto a estas artes, se afirma correctamente que B A fig. 10 A y B salen hacia el Sur. A y B salen hacia el Norte. si A sale hacia el Sur, B sale hacia el Oeste. si A sale hacie el Este, B sale hacia el Oeste. los dos trozos ueden salir hacia el mismo lado o hacia lados distintos. 11. Cuál afirmación es falsa resecto al imulso? Es una magnitud vectorial. Siemre roduce una variación en la cantidad de movimiento. Al chocar dos artículas se ejercen imulsos iguales. Tiene la misma dirección y sentido de la fuerza. Mientras mayor sea el tiemo de alicación de la fuerza sobre un cuero, mayor será el imulso sobre él. 12. La figura 11 muestra un gráfico de fuerza versus tiemo, obtenida de un móvil que estaba siendo emujado. En base al gráfico, es correcto decir que el imulso ejercido sobre el móvil es F (N) 0,1 0,2 1,0 2,0 5,0 20 Ns Ns Ns Ns Ns 0,1 fig t(s)

11 13. Un carrito de 1,8 kg que se encuentra en reoso, es goleado horizontalmente or una bolita de lasticina de 0,2 kg, quedando adherida al carrito. Si el conjunto tiene una raidez de 1 m/s, la raidez con la fue lanzada la lasticina es 2 m/s 5 m/s 10 m/s 18 m/s 20 m/s 14. En cuál de los siguientes casos se conserva el momentum de una artícula de masa constante? 15. En una caída libre. En un lanzamiento vertical hacia arriba. Al lanzar un cuero or un lano horizontal sin roce. En un lano inclinado sin roce. En un bus que está siendo frenado. El momentum siemre tendrá la misma dirección y sentido que la velocidad y la aceleración. fuerza y el deslazamiento. velocidad y el deslazamiento. aceleración y el deslazamiento. fuerza y la aceleración. 16. La figura 12 muestra un gráfico de velocidad versus tiemo, construido con valores tomados de un camión en movimiento, al resecto es correcto afirmar que el camión disminuyó su cantidad de movimiento. mantuvo constante su imulso y su momentum. no fue sometido a ningún imulso. conservó su momentum. ninguna de las anteriores. v(m/s) t(s) fig

12 CLAVES DE LOS EJEMPLOS 1B 2E 3E DMONFC-07 Puedes comlementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web htt:// 12