MICROECONOMÍA INTERMEDIA EXAMEN FINAL 8 de julio de 2013 GRADOS EN ADE Y TADE

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1 MICROECONOMÍA INTERMEDIA EXAMEN FINAL 8 de julio de 2013 GRADOS EN ADE Y TADE APELLIDOS DNI GRUPO NOMBRE El examen consta de 4 problemas. La duración del examen es de 1h45m. Los problemas deben contestarse en el espacio facilitado para ello en el propio examen. Está prohibido quitar la grapa y utilizar hojas adicionales. PROBLEMA 1 Consideremos un duopolio formado por las empresas 1 y 2, con función inversa de demanda P (Q) = 200 Q, donde Q = Q 1 + Q 2. Las empresas 1 y 2 tienen distintas funciones de costes totales, y son C 1 (Q 1 ) = 20Q 1 y C 2 (Q 2 ) = 40Q 2, respectivamente. Supongamos que las empresas eligen cantidades secuencialmente (modelo de Stackelberg), siendo el líder la empresa 1. (a) [8 p.] Calcular la producción óptima para la empresa 2, cuando observa que la empresa 1 ha producido Q 1 unidades. (b) [8 p.] Demostrar que los beneficios que anticipa el líder cuando elige el nivel de producción Q 1 (y tiene en cuenta la respuesta óptima de la empresa 2) son π 1 = (120 Q 1 /2)Q 1 20Q 1. (c) [9 p.] Obtener el precio, las cantidades, y los beneficios del equilibrio de Stackelberg.

2 PROBLEMA 2 Los profesores de Estadística y Microeconomía tienen dos posibles elecciones con respecto a la cantidad de ejercicios que van a mandar a un grupo de estudiantes como tarea para casa. Pueden mandarles o bien una cantidad razonable de ejercicios o bien una cantidad excesiva. Se sabe que los ejercicios influyen en la nota media de la forma siguiente. Si ambos mandan una cantidad razonable de ejercicios la nota media del grupo será de 5 en Estadística y de 6 en Microeconomía. Si ambos mandan una cantidad excesiva de ejercicios la nota media del grupo será de 4 en Estadística y de 5 en Microeconomía. Si el de Estadística manda una cantidad excesiva y el de Microeconomía una cantidad razonable la nota media del grupo será de 6 en Estadística y de 4 en Microeconomía. Si el de Microeconomía manda una cantidad excesiva y el de Estadística una cantidad razonable la nota media del grupo será de 3 en Estadística y de 7 en Microeconomía. Cada profesor está interesado en maximizar la nota media en su asignatura y ambos eligen simultáneamente la cantidad de ejercicios que van a mandar. (a) [8 p.] Denotando las decisiones mediante R= Mandar una cantidad razonable de ejercicios y E= Mandar una cantidad excesiva de ejercicios, representar el juego en forma normal (tabla de ganancias). (b) [8 p.] Obtener el/los equilibrio/s de Nash, si existen, y deducir si es/son eficientes (óptimos) en el sentido de Pareto. (c) [9 p.] Supongamos que el profesor de Estadística decide antes, y el de Microeconomía decide después, tras observar la decisión del primero. Representar la forma extensiva del juego. Deducir razonadamente el/los equilibrio/s más razonables (equilibrios de Nash perfectos en subjuegos).

3 PROBLEMA 3 Sea una economía de intercambio puro formada por dos consumidores (A y B) y dos bienes (1 y 2). Las dotaciones iniciales de los dos consumidores son W A = (2, 3) y W B = (3, 2). Sabemos que las funciones de demanda del bien 1 por parte de los dos consumidores vienen dadas por x 1 A = 1 3 y x 1 B = 2 3 3p 1 +2p 2 p 1. 2p 1 +3p 2 p 1 (a) [10 p.] Escriba la condición de vaciado del mercado del bien 1. Sabiendo que la ley de Walras se cumple, calcule un par de precios de equilibrio general competitivo. (b) [8 p.] Suponga que p 1 = 2. Con la condición encontrada en (a), calcule un precio para el bien 2, p 2, tal que (p 1, p 2 ) sean un nuevo vector de precios de equilibrio. Cómo son esos nuevos precios con respecto al primer par de precios de equilibrio? (c) [7 p.] Explique por qué el vector de precios de equilibrio no es único (pista: piense en cómo afecta a la elección óptima de los consumidores en un modelo con dotaciones, un cambio en los precios como el del apartado anterior).

4 PROBLEMA 4 El ingreso (y la cantidad producida) de una empresa viene dado por y = f(x) = 48x 3x 2, donde x [0, 16] es el nivel de esfuerzo del trabajador. El coste (o desutilidad) de realizar esfuerzo para el trabajador es c(x) = x 2. El trabajador puede aceptar o no el contrato propuesto por el propietario de la empresa. Una vez ha aceptado un contrato s(f(x)), la utilidad del trabajador viene dada por s(f(x)) x 2 cuando realiza el esfuerzo x. En tal caso, el beneficio de la empresa es f(x) s(f(x)). Si el trabajador no acepta el contrato, supondremos que el beneficio de la empresa es 0 y que el trabajador obtiene en ese caso una utilidad de reserva de u = 30. (a) [6 p.] Obtener el nivel de esfuerzo eficiente (aquel que maximiza la suma de pagos de la empresa y el trabajador). (b) [7 p.] Suponga que la empresa ofrece al trabajador un contrato de aparcería por el que el trabajador se queda un tercio de la cosecha y entrega el resto (dos tercios) a la empresa, es decir, s(f(x)) = 1 3f(x). Calcule el esfuerzo óptimo del trabajador y su utilidad si acepta el contrato. Aceptará el contrato? Calcule también el beneficio del propietario. (c) [6 p.] Contestar a las preguntas del apartado (b), pero con el sistema de incentivos consistente en el sistema de arrendamiento s(f(x)) = f(x) 110, es decir, que la producción pertenece en su totalidad al trabajador, que paga un alquiler fijo de 110 euros a la empresa. (d) [6 p.] Cual sería el sistema de arrendamiento óptimo para la empresa?

5 MICROECONOMÍA INTERMEDIA EXAMEN DE RECUPERACIÓN DEL PARCIAL 8 de julio de 2013 GRADOS EN ADE Y TADE APELLIDOS DNI GRUPO NOMBRE El examen consta de 4 problemas. La duración del examen es de 1h45m. Los problemas deben contestarse en el espacio facilitado para ello en el propio examen. Está prohibido quitar la grapa y utilizar hojas adicionales. PROBLEMA 1 Un consumidor/trabajador dispone de una dotación de tiempo de 10 horas diarias para repartir entre ocio y trabajo ( R = 10). El salario es w = 4 euros/hora y el precio del único bien de consumo es p = 2 euros/unidad. El consumidor no tiene rentas no salariales (o sea que su dotación de consumo C es cero). Sus preferencias por consumo (C) y ocio (R) se pueden representar a través de la siguiente función de utilidad: U(R, C) = (R) 2/5 (C) 3/5, donde R denota horas de ocio y C unidades del bien de consumo y sabemos que su recta presupuestaria se puede escribir pc + wr = p C + w R. (a) [12 p.] Calcular la elección óptima de consumo y ocio por parte del consumidor. Cuántas horas dedicará a trabajar al día? Represente gráficamente la recta presupuestaria, así como la cesta óptima. (b) [13 p.] Suponga que el consumidor tuviera también una renta no salarial M = 20. Responda de nuevo al apartado (a), es decir, calcule la nueva elección óptima de consumo y ocio, así como la oferta de trabajo y represente la solución gráficamente (recta presupuestaria y cesta óptima) Podría decir si el ocio es un bien normal o inferior en este caso? Explique su respuesta.

6 PROBLEMA 2 El propietario de una fábrica puede sufrir anualmente una pérdida debida a la inundación ocasionada por un río cercano. Si no se produce la inundación la fábrica vale euros en el mercado y, si hay inundaciones, vale sólo euros. Se sabe que la probabilidad de sufrir la inundación es 0.1. Representemos con c m y c b a las cantidades de dinero que podría consumir si hay inundaciones y si no las hay, respectivamente. Las preferencias del propietario se pueden representar mediante la función de utilidad U(c m, c b ) = 0.1 c m c b. Una compañía de seguros le oferta una póliza por la que el asegurado paga una prima de 0.2 euros por cada euro de pérdida asegurado. Llamemos x a la cantidad total asegurada por el propietario. (a) [7 p.] Explicar si la utilidad del propietario es, o no, una función de utilidad esperada. Cuál es la actitud frente al riesgo del propietario? Por qué? (b) [8 p.] Definir qué es un plan de consumo contingente (lotería). Mediante tales planes, expresar la distribución de probabilidades y los posibles niveles de consumo c m y c b del propietario, en el caso de no asegurarse, y en el caso de comprar x euros de seguro. (c) [10 p.] Si a través de contratar el seguro, los planes de consumo contingente (c m, c b ) que el propietario puede alcanzar satisfacen la recta presupuestaria 0.2c m + 0.8c b = y teniendo en cuenta las preferencias (función de utilidad) del propietario por distintos planes de consumo contingente, qué cantidad óptima de seguro x decidirá comprar? (Pista: piense en qué dos condiciones ha de cumplir una cesta de consumo contingente óptima).

7 PROBLEMA 3 Una empresa de electricidad genera kilovatios hora (kw/h) de energía, según la función de costes c(y) = 10y, donde y representa la producción en miles de kw/h. La demanda de energía para usos residenciales es y 1 = 200 2p 1 donde p 1 es el precio que se paga por cada kw/h. La demanda para usos industriales es y 2 = 200 4p 2. (a) [12 p.] Determine los niveles de producción y los precios si la empresa puede discriminar entre ambos tipos de consumidores. (b) [13 p.] Suponga que existe una ley que prohíbe al monopolista discriminar precios. Calcule la función de demanda agregada de energía. Calcule el precio único que cargaría en este caso a todos los consumidores y la cantidad total vendida.

8 PROBLEMA 4 La demanda de entradas para un concierto es y = p y el coste de organizarlo es de euros. (a) [6 p.] Obtener la cantidad de entradas que pondrán a la venta los organizadores y el precio, si quieren maximizar los beneficios. (b) [6 p.] Calcular los beneficios que obtendrán. (c) [6 p.] Si la capacidad máxima del local es de espectadores, determinar el precio de la entrada y los beneficios que obtendrán. (d) [7 p.] Supongamos que la capacidad es de espectadores y que, por cada entrada, la organización tiene que pagar un impuesto de 100 euros. Calcular cuántas entradas pondrán a la venta, el precio de cada una y la recaudación impositiva del gobierno.

9 Resumen de la resolución sugerida para el Problema 1 del Examen Final (a) La función de beneficios de la empresa 2 es π 2 = (200 Q)Q 2 40Q 2. La c.p.o. para beneficio máximo es π 2 Q 2 = 200 Q Q 2 40 = 0. Despejando Q 2 obtenemos la función de reacción de la empresa 2. Resulta ser f 2 (Q 1 ) = 80 Q 1 /2. Luego la producción óptima para la empresa 2 es Q 2 = 80 Q 1 /2 en el caso de ser positiva. (b) El líder considera los beneficios que obtiene, si la empresa 2 produce Q 2 = f 2 (Q 1 ) habiendo observado la producción Q 1. La función de beneficios asociada es π 1 = (200 f 2 (Q 1 ) Q 1 )Q 1 20Q 1 = (120 Q 1 /2)Q 1 20Q 1. (c) La c.p.o. para maximizar π 1 es 120 Q 1 = 20. Luego la cantidad óptima del líder es Q s 1 = 100. La empresa seguidora producirá Q s 2 = f 2(100) = 30. Luego la cantidad total será Q s = 130 y el precio P s = P (130) = 70. Los beneficios en el equilibrio serán π1 s = = 5000 y = = 900. π s 2 Resumen de la resolución sugerida para el Problema 2 del Examen Final (a) La tabla con las ganancias es: Micro R E Estadística R 5, 6 3, 7 E 6, 4 4, 5 (b) Señalando los máximos pagos de cada jugador que se obtienen con sus estrategias, dada la estrategia del otro, obtenemos: Micro R E Estadística R 5, 6 3, 7 E 6, 4 4, 5 Luego el equilibrio de Nash es (E, E) y ambos profesores pedirán una cantidad excesiva de ejercicios. En (E, E), los jugadores obtienen los pagos (4, 5). Sin embargo, para el par de estrategias (R, R) obtienen (5, 6) y ambos están mejor que con (E, E). Luego (E, E) no es eficiente en el sentido de Pareto. Comentario: Maximizando la suma de los pagos de los jugadores, entre los perfiles posibles de estrategias, vemos que el máximo se alcanza en = 11, para el perfil (R, R) que representa una situación eficiente. El equilibrio de Nash (E, E) no es eficiente y, sin embargo, es un equilibrio en estrategias dominantes (para cada jugador, la estrategia E es óptima, independientemente de qué haga el otro). Los jugadores podrían cooperar para alcanzar el pago conjunto máximo 11, pero finalmente obtienen = 9. Se trata del fenómeno dilema del prisionero. (c) La forma extensiva se representa en la figura 1. Micro R (5, 6) Est. R E Micro E R E (3, 7) (6, 4) (4, 5) Figura 1: Forma extensiva del Problema 2(c) Además se han señalado las acciones óptimas, aplicando el principio de inducción retroactiva. El único equilibrio de Nash perfecto en subjuegos es (E, EE). Podemos deducir el único ENPS de otra forma: como las estrategias E son dominantes en el juego simultáneo, también son las

10 únicas acciones óptimas que se obtienen al aplicar el principio de inducción retroactiva. Luego directamente podemos deducir que el único ENPS es (E, EE). Resumen de la resolución sugerida para el Problema 3 del Examen Final (a) La condición de vaciado del mercado 1 sería x A 1 + xb 1 = 5, es decir, 2p 1+3p 2 3p 1 = 5. Haciendo, por ejemplo, p 1 = 1 y despejando obtenemos p 2 = 1. Como se cumple la ley de Walras sabemos que si ese vector de precios hace que el mercado 1 esté en equilibrio, también hará que el mercado 2 lo esté, así que será un vector de precios de equilibrio. 3p 1 + 2(3p 1+2p 2 ) (b) Si el precio del bien 1 es 2, sustituyéndolo en la condición de equilibrio del apartado anterior, obtenemos p 2 = 2. Sustituyendo en la condición de equilibrio comprobamos que el nuevo vector de precios cumple dicha condición y por lo tanto es también un vector de precios de equilibrio. Vemos que para pasar del primer vector de precios al segundo hemos multiplicado a ambos precios por una constante, en este caso, 2. (c) Si multiplicamos a los precios por una constante, la renta de los consumidores se multiplica por la misma constante, por lo que su conjunto presupuestario no se ve alterado, y por lo tanto tampoco cambiará su elección óptima. Esto implica que si el primer vector de precios vaciaba los dos mercados, el segundo también lo hará. Resumen de la resolución sugerida para el Problema 4 del Examen Final (a) El bienestar conjunto es W (x) = f(x) s(f(x)) + s(f(x)) c(x) = 48x 4x 2. La c.p.o. de máximo es 48 8x = 0. Luego es esfuerzo eficiente es x = 6. (b) Si el trabajador acepta el contrato, su utilidad es s(f(x)) c(x) = 1 3 (48x 3x2 ) x 2. La condición necesaria y suficiente de optimalidad del esfuerzo es 16 4x = 0. Luego el nivel óptimo de esfuerzo para el trabajador, si acepta el contrato, es x = 4 con el un ingreso asociado igual a y = 1 3 f(4) = 48. La utilidad del trabajador en ese caso es s(f(4)) 42 = 32. Como 32 > 30 = u el trabajador sí acepta el contrato. El beneficio de la empresa es 2 3f(4) = 96. Este contrato no es óptimo para la empresa porque no induce el esfuerzo eficiente, que es x = 6. (c) Si el trabajador acepta el contrato, su utilidad es igual a s(f(x)) c(x) = 48x 3x x 2. La condición de optimalidad del esfuerzo es 48 8x = 0. En consecuencia, si el trabajador acepta el contrato, realizará el esfuerzo x = 6 y obtendrá el nivel de utilidad f(6) = 34. Como su utilidad de reserva es 30, el trabajador aceptará el contrato. El beneficio de la empresa será 110. Este contrato no es óptimo para la empresa porque aunque induce al trabajador a realizar el esfuerzo eficiente, el trabajador obtiene una utilidad positiva (mayor que su utilidad de reserva). (d) El contrato óptimo es un contrato de arrendamiento que implementa el esfuerzo óptimo y con un alquiler igual a 114, para dejar al agente indiferente entre aceptar o no, es decir, s(f(x)) = f(x) 114.

11 Resumen de la resolución sugerida para el Problema 1 del Examen de Recuperación (a) Hay que maximizar U(R, C) sujeto a 2C+4R 40. Para una cesta óptima interior, la condiciones necesarias son RMS = pend(rp) y 2C+4R = 40. Igualando RMS = UM R /UM C = 2C/(3R) con pend(rp) = w/p = 2, tenemos C = 3R. Sustituyendo en la RP y despejando, obtenemos la cesta óptima X = (R, C) = (4, 12). La oferta de trabajo es, por tanto, L = 10 4 = 6. El gráfico está en la figura 2. C X X R Figura 2: Rectas presupuestarias y cestas óptimas del problema 1. (b) Como M = 20, ahora tenemos C = 10. Hay que maximizar U(R, C) sujeto a 2C + 4R 60. Para una cesta óptima interior, la condiciones necesarias son RMS = pend(rp) y 2C +4R = 60. Igualando RMS = UM R /UM C = 2C/(3R) con pend(rp) = w/p = 2, tenemos C = 3R. Sustituyendo en la RP y despejando, obtenemos la cesta óptima X = (R, C) = (6, 18). La oferta de trabajo es, por tanto, L = 10 6 = 4. El gráfico está en la figura 2. Los precios w = 4 y p = 2 no cambian, respecto del apartado (a). Pero hay un aumento de la renta m = 20. El resultado es que la demanda de ocio aumenta ( R = 6 4 = 2). Tenemos un bien normal (porque las preferencias son Cobb-Douglas). Resumen de la resolución sugerida para el Problema 2 del Examen de Recuperación (a) La función de utilidad del enunciado es la esperanza estadística de una función creciente del consumo contingente: es la suma ponderada de los valores de la función c en el consumo contingente al estado malo (con inundación), y el contingente al estado bueno (sin inundación), ponderados con las probabilidades del estado malo (0.1) y bueno (0.9), respectivamente. En consecuencia, se trata de una función de utilidad esperada. siendo la utilidad de consumir c unidades igual a c. El propietario es averso al riesgo, pues c es una función creciente y cóncava porque ( c) = c 1/2 /2 > 0, ( c) = c 3/2 /4 < 0. (b) Un plan de consumo contingente es un plan que especifica el consumo contingente a cada estado posible de la naturaleza (asociado con la correspondiente probabilidad). El resultado de no asegurarse se puede expresar como consumir c m = euros en el estado malo (con probabilidad 0.1) y consumir c b = euros en el estado bueno (con probabilidad 0.9). El resultado de comprar x unidades de seguro se puede expresar como consumir c m = x + x = x euros en el estado malo (con probabilidad 0.1) y consumir c b = x euros en el estado bueno (con probabilidad 0.9). (c) Tenemos que maximizar U(c m, c b ) sobre la recta presupuestaria (RP). Sabemos que en la cesta óptima interior se debe tener RMS = pend(rp). Por una parte, tenemos RMS = UM UM m b = c b /(9 c m ). Por otra parte, tenemos pen(rp) = 1/4. Igualando y elevando al cuadrado

12 tenemos c b = 81c m /16. Sustituyendo en la R.P. y despejando, obtenemos c m A partir de la relación c m = x, deducimos x Resumen de la resolución sugerida para el Problema 3 del Examen de Recuperación (a) Se trata de una discriminación de tercer grado. Las demandas inversas son p 1 = y 1 y p 2 = y 2. El monopolista maximiza π = ( y 1)y 1 +( y 2)y 2 10(y 1 +y 2 ). Las c.p.o. para un máximo interior son 100 y 1 = 10 y y 2 = 10. Despejando, obtenemos y1 = 90, y2 = 80. Los precios correspondientes son p 1 = = 55 y p 2 = = 30. Las cantidades y precios obtenidos son positivos, luego maximizan los beneficios del monopolista. Como la función de costes es lineal, los beneficios totales se pueden descomponer en la suma de los beneficios obtenidos en cada mercado: π = π1 +π 2 = 5 650, donde π 1 = = y π2 = = (b) La demanda total agregada se obtiene sumando horizontalmente las dos demandas. Si las representamos gráficamente, nos damos cuenta de que, para precios p 50, la suma es y(p) = y 1 (p) = 200 2p puesto que para tales precios no hay demanda para usos industriales. Para precios p 50, la suma es y(p) = y 1 (p) + y 2 (p) = 200 2p p = 400 6p. La cantidad correspondiente al precio p = 50 es y(50) = 100. En consecuencia, la demanda total agregada tiene dos tramos relevantes. En el primero, tenemos p(y) = y para 0 y 100. En el segundo, tenemos p(y) = y para 100 y 400. Notar que el primer tramo de la demanda se corresponde con la demanda del primer grupo de consumidores (usos residenciales) y sería el tramo relevante cuando el monopolista fijara un precio muy alto. Si no puede discriminar precios, el monopolista debe vender cada unidad al mismo precio. El monopolista maximizará π(y) = p(y)y 10y, donde p(y) es la demanda total inversa. La condición de óptimo de monopolio es la habitual, IM (y) = CM (y). Sin embargo, la curva IM tiene dos tramos relevantes, que se pueden deducir de la demanda total agregada calculada antes. Si el óptimo estuviera en el primer tramo, la c.p.o. necesaria sería la que corresponde al primer grupo de consumidores que se ha obtenido en el apartado (a). Tendríamos y = 90, p = 55 y π = Si el óptimo estuviera en el segundo tramo, la c.p.o. necesaria sería y = 10. Tendríamos y = 170 con p(170) = y el beneficio asociado sería π(170) = p(170) = En consecuencia, el óptimo (máximo absoluto del beneficio) es el segundo. Luego el monopolista fijará p = y producirá y = 170 cuando no pueda discriminar. Resumen de la resolución sugerida para el Problema 4 del Examen de Recuperación (a) La demanda inversa es p = y. Los organizadores maximizan π(y) = (500 40y)y La c.p.o. es IM = CM. Resolviendo y = 0, obtenemos ym = El precio es p m = = 250. (b) π m = = (c) La función de beneficios π(y) es cóncava y alcanza en y m = el máximo. Sin embargo, los organizadores sólo pueden vender < y m entradas. Luego la función π(y) es creciente en el intervalo de producciones admisibles [0, 8 000]. En consecuencia, el máximo restringido a la capacidad se alcanza en y = El precio correspondiente es = 300. Los beneficios serán π = = (d) Ahora la función de beneficios es π = ( y)y y. La c.p.o. correspondiente al máximo es ahora y = 100. Despejando, obtenemos y = Vemos que no se alcanza la capacidad máxima y, por ello, es la cantidad óptima de entradas. El precio es p = = 300. Los beneficios son π = = La recaudación es de =