Capítulo 4. El dinero

Transcripción

1 Capítulo 4. El dinero Curso El modelo de generaciones solapadas Supuesto 1 El tiempo es discreto en el OLG, t = 0; 1; 2; :::. y cada agente de la economía vive dos periodos, uno en el que es joven y otro en el que es viejo. La estructura de las generaciones está representada en la gura 1. En t = 0, el primer agente ya es viejo y tiene una cantidad M de dinero. Supuesto 2 Hay un solo bien de consumo en cada periodo, c, el cual no es almacenable. Los agentes reciben una dotación w t (t) de unidades de c cuando son jovenes, y w t (t + 1) cuando son viejos.

2 Supuesto 3 El bien c se intercambia en un mercado competitivo en cada momento t, al precio p t. El viejo y el joven de distintas generaciones interactúan dentro del mismo periodo, tomando p t como algo dado. Supuesto 4 La cantidad de dinero que se emplea en la economía es constante en el tiempo M s t = M Def. 1 Existe un conjunto de consumo C = R 2 +, cuyos elementos consisten en combinaciones de bienes o cestas de consumo a lo largo del periodo vital de un agente que nace en t: (c t (t) ; c t (t + 1)) 2 C Supuesto 5 Todo consumidor tiene unas preferencias, t, que cumplen los supuestos de completitud, transitividad, no saturación, convexidad y continuidad. Estas preferencias están representadas por una función de utilidad u (c t (t) ; c t (t + 1)) : C! R La función de utilidad es la misma para todos los agentes de la economía a lo largo del tiempo. Def. 2 Un agente que nace en el periodo t ha de resolver el siguiente problema max fu (c t (t) ; c t (t + 1))g (1.1) s.t. c t (t) p t + M d t = w t (t) p t (1.2) c t (t + 1) p t+1 = w t (t + 1) p t+1 + M d t (1.3) M d t =p t 0 (1.4) en donde, p t es el precio en el periodo t, Mt d es la cantidad demandada de dinero en t, (1.2) es la restricción presupuestaria nominal (monetaria) cuando el agente es joven, (1.3) es la restricción presupuestaria nominal cuando el agente es viejo y (1.4) es una restricción para el ahorro y, por tanto, Mt d =p t es el saldo real en t (es decir, ahorro en unidades del bien de consumo). Si se despeja Mt d en las restricciones (1.2) y (1.3), se tiene que c t (t) + c t (t + 1) p t+1 p t = w t (t) + w t (t + 1) p t+1 p t ; (1.5) 2

3 lo cual representa la restricción presupuestaria intertemporal de un agente nacido en el periodo t. 1 Def. 2 El problema podría ser reescrito de la siguiente manera (c t (t) ; c t (t + 1)) arg max fu (c t (t) ; c t (t + 1))g (1.6) s.t. c t (t) p t + c t (t + 1) p t+1 = w t (t) p t + w t (t + 1) p t+1 (1.7) en donde ya no se hace referencia a M d t. c t (t) w t (t) (1.8) La solución a este problema pasa por una solución interior o una solución de esquina 1 Se podría escribir la expresión (1.5) en términos de p t+1 =p t t + 1, donde t representa la tasa de in ación y p t+1 =p t el precio de una unidad de bien de mañana en términos de un bien disponible a día de hoy. 3

4 Si permitimos que t varie y analizamos el equilibrio resultante para cada t diferente, podemos encontrar la curva de oferta-demanda, o el conjunto de las combinaciones (c t (t) ; c t (t)) que son óptimas para cada p t =p t+1. De esta forma tan simple, se ha descrito el comportamiento optimizador de los agentes. El siguiente paso consiste en construir los conceptos de asignación factible y de equilibrio competitivo. 4

5 Def. 3 Dada una economía de intercambio puro como la que se ha descrito, se dice que una asignación c t (t) ; c t (t + 1) ; Mt d es factible si, en cada periodo c t (t) + c t 1 (t) = w t (t) + w t 1 (t) M d t = M s t = M es decir, los mercados de bienes y de dinero se vacían en t. Def. 4 Un equilibrio competitivo es una secuencia de precios fp t g 1 t=0 cuando los agentes los toman como dados, eligen una secuencia tal que, ct (t) ; c t (t + 1) ; M d t 1 t=0 en donde los mercados de bienes y de dinero se vacían en cada momento t c t (t) + c t 1 (t) = w t (t) + w t 1 (t) M d t = M Supuesto 2 Las dotaciones de bienes que reciben los agentes no cambian de un periodo a otro w t (t) = w 1 8t; w t (t + 1) = w 2 8t: Si todos los agentes tienen idéntica función de utilidad u (; ), la curva de oferta-demanda es también la misma, por lo que, para un precio relativo p t+1 =p t todos tomarían la misma decisión. Así pues, esto lleva a la siguientes proposiciones de existencia de equilibrios estacionarios. Prop. 1 Si la curva de oferta-demanda (COD) es decreciente y se permite una solución interior: u 1 (w 1 ; w 2 ) u 2 (w 1 ; w 2 ) < p t ; p t+1 entonces, un equilibrio monetario estacionario viene dado por un precio p t = p 2 (0; 1). De este modo, el equilibrio está caracterizado por c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2 ; M d t = M: 5

6 Prueba Para comprobar que p t = p > 0 8t representa un equilibrio, hay que ver tres cuestiones. Primero, dado que p t = p ello lleva a que p t+1 =p t = 1, entonces eligen los agentes c t (t) = c 1 y c t (t + 1) = c 2?. La respuesta es si, dado que su decisión pertenece a la curva de oferta-demanda, lo cual implica que están maximizando su utilidad. Segundo, siempre se satisface la restricción c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2?. La respuesta es si, puesto que c 1 +c 2 = w 1 +w 2, siempre se sitúa dentro de la linea de posibilidades. Tercero, está el mercado de dinero en equilibrio?. De la restricción presupuestaria tenemos que M t =p = c 1 w 1, y puesto que M t = M, el mercado de dinero está en equilibrio si p = M= (c 1 w 1 ) : Este último resultado nos ha proporcionado una fórmula para p. La Teoría Cuantitativa del dinero se sostiene aquí en el sentido de que si M fuese duplicado al principio del periodo, el nivel de precios p también se duplicaría para siempre. Prop. 2 Si la curva de oferta-demanda (COD) es decreciente, la cantidad de dinero es nula y se permite una solución de esquina: u 1 (w 1 ; w 2 ) u 2 (w 1 ; w 2 ) p t p t+1 ; entonces, un equilibrio autárquico estacionario viene dado por (c t (t) ; c t (t + 1)) = (w 1 ; w 2 ) : De este modo, el equilibrio está caracterizado por Prueba Ejercicio de clase. c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2 ; M d t = 0: En resumen, el dinero tiene un valor positivo de equilibrio en este modelo OLG. Los agentes se encuentran una sola vez y no se pueden hacer préstamos de uno a otro, por lo que el dinero actúa como un medio de conexión entre generaciones. El dinero tiene un valor incluso aunque no tenga un valor intrínseco, por lo que su valor es endógeno. 6

7 Ahora, intentamos encontrar la secuencia de los precios a través del tiempo que proporcione los equilibrios de expectativas racionales. De namos una función de ahorro de la forma: pt+1 S = w 1 c t (t) = c t 1 (t) w 2 p t = M t 1 p t 1 = p t 1 pt S p t p t 1 Estas funciones tienen una inversa, por lo que podemos escribir S 1 (S ()) = S 1 ( S ()), es decir p t+1 = S 1 pt 1 pt S ; (1.9) p t p t p t 1 lo cual es una ecuación en diferencias que nos da la trayectoria de la in ación en el tiempo. Claramente, la ecuación (1.9) se satisface para p t+1 =p t = 1, es decir, permaneceríamos en el equilibrio para siempre, lo cual es el equilibrio no in acionario que hemos encontrado antes. Para p t+1 =p t = (u 2 =u 1 ), se tiene que p t p t 1 S 1 ((u 2 =u 1 ) S (u 1 =u 2 ) ) = S 1 (0) = (u 2 =u 1 ) (vease la gura 7). De esta manera, también se permanecería en ese equilibrio si se partiera de esa tasa de in ación. Si diferenciamos S 1, encontraremos que (S 1 ) 0 > 0 y (S 1 ) 00 < 0, con lo que el grá co para precios queda como sigue 7

8 Existe un continuo de equilibrios de expectativas racionales, uno diferente para cada nivel inicial de in ación entre 1 y (u 2 =u 1 ) : Si (1 + 0 ) = 1, ( 0 = 0), tendremos el equilibrio estacionario ya analizado en el que (c t (t) ; c t (t + 1)) = (c 1 ; c 2 ) es constante a lo largo del tiempo. Si (1 + 0 ) > 1, entonces (1 + t ) crecerá desde (1 + 0 ) hasta (u 2 =u 1 ). En este caso S (p t+1 =p t )! 0 a medida que p t+1 =p t! (u 2 =u 1 ). Finalmente, (1 + 0 ) < 1 no puede ser un equilibrio dado que los precios llegarán a ser alguna vez negativos, lo cual no es aceptable. El equilibrio con (1 + 0 ) > 1 es llamado equilibrio de burbuja (buble equilibrium). Aunque M y el número de agentes sean constantes, está siempre subiendo (puesto que los agentes esperan que esto suceda), y los ahorros tenderán a cero. Pero no hay una razón aparente para que exista la burbuja. Por cada (1 + 0 ) en el intervalo (1; u 2 =u 1 ], la ecuación (1.9) ( gura 8) nos proporciona la senda de equilibrio para la in ación. Para el precio inicial p 0 = M S (1 + 0 ) se tiene una manera de averiguar todos los precios para todos los equilibrios de burbujas. 8

9 2. Equilibrio en economías de intercambio puro y e ciencia en el sentido de Pareto. Asignaciones estacionarias Pareto-e cientes Resumamos los resultados con el objeto de considerar algunas cuestiones relativas a la e ciencia de los equilibrios obtenidos. Se han encontrado los siguientes equilibrios: 1. AU: equilibrio autárquico, en donde no hay dinero ni intercambios c t (t) = w 1 c t (t + 1) = w 2 M t = 0 2. MC, equilibrio monetario, con precios constantes distintos de cero, asignaciones de consumo constantes y M t > MB, equilibrio monetario de burbuja, en donde p t+1 =p t! (u 2 =u 1 ), el consumo aumenta y los ahorros disminuyen (i.e. los saldos reales disminuyen). Llegados a este punto, precisamos de un criterio que nos permita comparar la e ciencia de situaciones distintas. Def. 5 Una asignación factible c = (:::; c t 1 (t 1) ; c t 1 (t) ; c t (t) ; c t (t + 1) ; :::) ; se dice que es Pareto superior a otra asignación factible c 0 = :::; c 0 t 1 (t 1) ; c 0 t 1 (t) ; c 0 t (t) ; c 0 t (t + 1) ; ::: si u (c () ; c ( + 1)) u (c 0 () ; c 0 ( + 1)) para cualquier = t 1; t u (c () ; c ( + 1)) > u (c 0 () ; c 0 ( + 1)) para algún Def. 6 Se dice que una asignación factible es un óptimo de Pareto (o una asignación Pareto e ciente), si no existe ninguna otra asignación factible que resulte Pareto superior a ésta. 9

10 ? Cual de los equilibrios descritos es mejor en el sentido de Pareto?. Es decir, a partir del criterio de Pareto, necesitamos clasi car los equilibrios AU, MC y MB. En primer lugar, MC es Pareto superior a AU dado que todos los individuos de cualquier generación consigue una utilidad más alta, y el viejo consigue más consumo que en la autarquía. Por lo tanto, el dinero consigue que todo el mundo esté mejor en términos de utilidad.. Segundo, MB es mejor que AU puesto que podemos ver cómo todo el mundo está en una situación mejor. Tercero, MC es mejor que MB, todas las generaciones están mejor con una tasa de in ación constante. Pueden lograr estar una curva de indiferencia mayor. Pero,? está el viejo de la generación 0 también mejor en MC que en MB?. Para contestar esta pregunta, considera los grá cos de la gura 10 ahora considera ambos grá cos juntos. 10

11 Finalmente, comparemos las asignaciones que están a lo largo de la linea presupuestaria. Las asignaciones c t (t) = w 1 y c t (t + 1) = w 2 son subóptimas tanto para el joven como para el viejo de todas las generaciones. Nótese que en términos de utilidad todo el mundo está mejor en E que en (w 1 ; w 2 ), y además la gente vieja consigue un mayor consumo. Pasando desde E hasta A se mejora al viejo de la generación en 0, pero todo el resto está peor en términos de utilidad. Así que mejoramos la situación del ultimo pero a costa de hacer que todo el mundo 11

12 esté peor. Pero, en términos de Pareto, A es mejor que (w 1 ; w 2 ). Por otro lado, podemos ir desde A hasta E haciendo que todo el mundo esté mejor en el futuro excepto el viejo de ahora, ello implica que A y E no sean comparables en términos de Pareto, es decir, ninguno domina al otro. El paso de A hasta E sólo sería deseable para un gobierno que pondere del mismo modo la utilidad de todos los agentes. Pero el concepto de óptimo de Pareto no considera las ponderaciones de las utilidades. 3. Extensiones interesantes e importantes: una autoridad monetaria y scal en el modelo A continuación introducimos el gobierno en el modelo. El gobierno consume t unidades del bien de consumo en cada periodo. La restricción presupuestaria (RPG) del gobierno debería hacer iguales el consumo público a la fuente de esos fondos (impuestos, deuda pública e impresión de papel moneda): t = T t + M s t M s t 1 p t + D t D t 1 (1 + R t ) (3.1) en donde D t es la deuda pública real en el periodo t, T t es el valor real de los impuestos el periodo t, y R t es el tipo de interés real en el periodo t. Nótese que la política monetaria y la scal han de ser implementadas al mismo tiempo, dado que la restricción anterior ha de ser satisfecha. Por ejemplo, en equilibrio no podríamos tener el siguiente resultado: D t = T t = 0 8t, y M t = M 8t con t > 0. Por ello, las autoridades scales y monetarias han de coordinar sus actividades. Este es un problema que la mayoría de los modelos keynesianos ignoran. Pero incluso si alguno de ellos toma en cuenta este aspecto, no tienen en consideración la secuencia temporal de impuestos, deuda y gasto. Nos gustaría analizar diferentes políticas del gobierno en el marco de nuestro modelo, tomando en consideración la forma que la restricción presupuestaria del gobierno tiene en cualquier circunstancia. El siguiente supuesto ayuda a simplifucar considerablemente el análisis. Supuesto 6 : t = 0 constante Ejemplo 1: Un impuesto de suma ja (lump sum tax) Cada agente debe pagar t unidades del bien de consumo al gobierno con independencia de sus acciones y condiciones económicas (los agentes no pueden cambiar 12

13 el importe de lo que pagan). La restricción de los agentes es la siguiente c t (t) + M d t p t = w 1 t c t (t + 1) = w 2 + M d t p t+1 t A menudo supondremos que t es constante en términos reales. En la RPG Por tanto, la RPG viene dada por > 0 T t = ls t M t = M D t = 0 = = (se supone que no proporciona ninguna utilidad a los agentes). Se obtienen los mismos equilibrios que antes: 13

14 p t = p 8t es un equilibrio PO con dinero. Puesto que los ahorros son una función creciente de la renta, S 0 < S, dado que w 1 < w 1 S 0 = M p 0 =) p 0 = M S 0 con p 0 > p También se tienen equilibrios de burbujas Ejemplo 2: la oferta monetaria crece a una tasa constante Estudiemos ahora un equilibrio en donde la oferta de dinero aumenta. Hay que ver por tanto la forma en la que el gobierno introduce dinero en la economía. Empecemos con el caso más sencillo, en donde el dinero se les da a los agentes jovenes en una suma ja t = 0 D t = 0 M t = (1 + ) M t 1 ls t (t) = T t es decir, el gobierno imprime dinero a la tasa y se lo da a través de un subsidio de suma ja al agente joven (un subsidio es como un impuesto negativo). La RPC pasa a ser 0 = ls t (t) + M t M t 1 ls t (t) = M t M t 1 p {z t } subsidio p t 14

15 Recordemos que la cantidad total de recursos no ha sido alterada. Así, un equilibrio con precios constantes, p t+1 =p t = 1, sería una linea que atravesase (w 1 + (M t M t 1 ) =p t ; w 2 ) ; e implicaría unas asignaciones no factibles. 1 es un equilibrio con consumo esta- Ejercicio : Demostrar que p t = (1 + ) p t cionario. Ejercicio : Demostrar grá camente cómo construir este equilibrio (nota: tendrá que estar en la linea de 45 o atravesando (w 1 ; w 2 ), puesto que no hemos cambiado la renta disponible). Ejercicio : Demostrar que este equilibrio es subóptimo. Nótese que estamos buscando un resultado monetarista clásico. Si el consumo es estacionario, entonces M t+1 = p t+1 M t p t También podría haber un equilibrio de burbujas en este modelo, en donde M t+1 M t < p t+1 p t 15

16 el consumo aumenta y los ahorros disminuyen. No podemos saber los precios de equilibrio hasta saber ls t (t) y viceversa. Puesto que se supone que p t =p t+1 = 1= (1 + ), entonces en equilibrio RMS = 1= (1 + ), como en el siguiente grá co. Los agentes deciden ir desde A hasta B Tenemos que ver que para esos precios relativos los agentes maximizan y el mercado se vacía. Claramente, dados unos precios p t+1 =p t = 1 + y dado un impuesto (constante), los agentes elegirán el punto A, puesto que es el punto de tangencia a estos precios. Dado que estamos buscando un consumo estacionario, c t (t + 1) = c t 1 (t), y puesto que el punto A está sobre la linea de posibilidades para los consumos estacionarios, tenemos que c t (t) + c t 1 (t) = c t (t) + c t (t + 1) = w 1 + w 2 lo cual implica que el mercado de bienes se vacía. La RPG se satisface de modo trivial si hacemos = (1 + ) M t 1 p t 1? Se vacía el mercado de dinero?. Si el mercado de bienes se vacía y todas las restricciones presupuestarias son satisfechas, entonces el mercado de dinero se vacía. Ello demuestra que A es un equilibrio. El precio de equilibrio inicial debe 16

17 ser determinado desde = (1 + ) M 1 p 0 Finalmente, nótese que este equilibrio es subóptimo. Haciendo que = 0, podríamos conseguir que todo el mundo estuviese mejor (en términos de utilidad) y el agente viejo obtendría un mayor consumo en t = Ejemplo 3: Impuesto in acionista El gasto del gobierno es nanciado por un impuesto in acionista t = > 0 = M t M t 1 p t {z } seignorage T t = D t = D t 1 = 0 Busquemos, en primer lugar, un equilibrio estacionario. Podemos escribir la condición de equilibrio del mercado como En un equilibrio estacionario se tendría c t (t) + c t 1 (t) + = w 1 + w 2 c 1 + c 2 = w 1 + w 2 17

18 Considera la gura 16. Para un nivel de gasto 0, A y B son candidatos al equilibrio. Ambos quedan en la curva de oferta (i.e. los agentes maximizan su utilidad) y el mercado se vacía (están en la linea de 45 o, la linea de restricción de recursos). Son equilibrios con in ación. Además, B sería un equilibrio con una tasa de in ación mayor que la de A; pero en ambos puntos p t =p t+1 < 1. En resumen, hay dos equilibrios (en A y en B) con consumo estacionario y la tasa de creación de dinero se iguala a la tasa de in ación. Nótese que con un consumo estacionario y con una riqueza total constante, la restricción presupuestaria intertemporal del agente requiere M t =p t = constante 8t, lo cual implica que M t+1 =M t = p t+1 =p t. Si incluyésemos algún impuesto en la RPG, podríamos tener = T t + M t M t 1 p t T t = M t M t 1 p t es decir, en este caso, tenemos un de cit nanciado con creación de dinero, lo cual conduce a los mismos resultados. Tanto la tasa de in ación como la oferta monetaria están determinados de forma endógena. La gura 16 también muestra que un 0 más alto implica una in ación mayor, y que hay un nivel máximo = 00 que puede ser nanciado con in ación. El impuesto in acionario grava los saldos reales, en donde la tasa de in ación es el tipo impositivo y el gasto del gobierno representa el ingreso total del impuesto in acionario. La curva de La er nos da las combinaciones de y que coexisten en equilibrio. 18

19 Hay dos tipos impositivos por cada nivel de gasto, pero sólo uno maximiza la recaudación del gobierno. Hemos derivado este grá co directamente del grá co 16. La cuestión es qué tasa de in ación es mejor para un nivel dado de gasto. Nótese que en cualquier caso, todos los agentes, incluso el agente viejo de la generación 0, están mejor con un equilibrio de in ación baja, puesto que pueden alcanzar una curva de indiferencia mayor.? Es el equilibrio de in ación baja un óptimo de Pareto?,? podemos encontrar una secuencia fc t (t) ; c t (t + 1)g 1 t=1 con c t (t) + c t 1 (t) = w 1 + w 2, que domine en el sentido de Pareto a otros equilibrios?. 19

20 Si E da unas asignaciones superiores en el sentido de Pareto que A, puesto que podemos alcanzar la curva de indiferencia más alta posible: todas las generaciones mejoran en términos de utilidad y el agente viejo de la generación 0 consigue más unidades de consumo. En teoría, un plani cador central,podría alcanzar el punto E. En la práctica ningún plani cador central conoce las funciones de utilidad de los agentes. A es alcanzado por el mercado por sí solo, sin ayuda de un plani cador, todo el mundo maximiza la utilidad, los mercados se vacían no tienen que saber nada en torno a los agentes. En cualquier caso cabe preguntarse, cual es la mejor asignación que se podría alcanzar con impuestos in acionarios y cómo son éstas comparadas con asignaciones Pareto óptimas. A es la mejor in acionaria. Podríamos mejorar la optimalidad movienonos a E utilizando un impuesto de 20

21 suma ja para nanciar, por ejemplo, = ls. En el caso simple obtuvimos la gura 19. Este modelo muestra un rasgo muy incómodo: multiplicidad de equilibrios. Es di cil comparar este resultado teórico con el mundo real. Nos gustaría tener tan solo un equilibrio. Nótese que dos posibles tipos de equilibrio para fp t g 1 t=0 a fp; p; p; :::g b fp 0 ; p 1 ; p 2 ; :::g donde p 0 < p 1 < ::: En (b), incluso si p 0 está muy cerca (pero no igual) a p, entonces la secuencia completa es muy diferente de p. Con un pequeño error tenemos grandes consecuencias y acaba nalmente en el equilibrio autárquico. No es una propiedad deseable para el modelo. Estamos imponiendo que estamos empezando con un nivel inicial dado de precios. Es seguro que el gobierno no puede determinar este nivel inicial de precios. Parece como si A fuese inestable. En este modelo un equilibrio de expectativas racionales no signi ca que un error en el primer periodo haga que los otros precios cambien secuencialmente, sino que todos cambian al mismo tiempo. No hay un pequeño error, sino un gran cambio. 21

22 References [1] Blanchard, Olivier Jean & Stanley Fischer: Lectures on Macroeconomics, The MIT Press, (1989). [2] Grandmont, Jean-Mitchel: Money and Value: A Reconsideration of Classical Monetary Theories, Econometric Society Monographs, Cambridge University Press, (1983). [3] Samuelson, P. A.: An exact consumtion-loan model of interest with or without the social contrivance of money, Journal of Political Economy, vol. 66 (1958), pp [4] Sargent, Thomas J.: Dynamic Macroeconomic Theory, Harvard University Press, (1987). [5] Sargent, Thomas J.: Macroeconomic Theory, Academic Press, (1987). 22