TEMA 0: Introducción. Magnitudes y vectores

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1 TEMA 0: Introducción. Magnitudes y vectores 1.- La Naturaleza de la Física 2.- Magnitudes físicas 3.- Sistemas de unidades 4.- Vectores y funciones vectoriales TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES 1

2 1.- La Naturaleza de la Física Qué es la Física? Método científico División o ramas de la física (Física I) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. La Naturaleza de la Física 2

3 1.1.- Qué es la física? ( Por qué estudiar física?) Ciencia fundamental Comprensión de los fenómenos naturales estudio de los componentes de la materia estudio de las interacciones (electromagnética, gravitatoria, etc.) Base de la Ingeniería y la Tecnología TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. La Naturaleza de la Física 3

4 1.2.- Método científico ( Qué hace un físico?) Observar los fenómenos naturales Buscar patrones y principios Comprensión cuantitativa fenómenos Experimentar Elaborar Modelos Método científico Hacer Predicciones sobre el comportamiento de los Sistemas (validación experimental) Medir, magnitudes, unidades, procedimientos, rango de validez, Física: es la Ciencia de la medida TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. La Naturaleza de la Física 4

5 1.3.- División de la física Mecánica Electromagnetismo Termodinámica Física clásica Física Cuántica Física Relativista. DOMINIO NO CUÁNTICO (objetos grandes) DOMINIO CUÁNTICO + DOMINIO RELATIVISTA (velocidades grandes) DOMINIO NO RELATIVISTA (velocidades pequeñas) DOMINIO NEWTONIANO objetos grandes velocidades pequeñas (objetos pequeños) Física I Mecánica clásica o Newtoniana Mecánica: Ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la acción de fuerzas Cuerpos rígidos Estática Dinámica TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. La Naturaleza de la Física 5

6 División actual de la física TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. La Naturaleza de la Física 6

7 Historia Aristóteles, Arquímides, Newton, Lagrange,.., Einstein TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. La Naturaleza de la Física 7

8 2.- Magnitudes físicas Definición Clasificación de las magnitudes Medidas y errores 2.4- Unidades TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 8

9 2.1.- Definición Magnitud: aquella cualidad o característica de los cuerpos o de los fenómenos susceptible de ser medida Objetos de la Física: magnitudes físicas Longitud, anchura, velocidad, masa, volumen, fuerza, Cantidad de una magnitud: estado de esa magnitud en un objeto o fenómeno determinado Distancia recorrida Altura de una persona Distancia saltada Distancia Tierra-Luna Cantidades de una misma magnitud: la longitud TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 9

10 2.2.- Clasificación de las magnitudes (I) Observables directos (tiempo, longitud,...) Observables indirectos (energía, velocidad,..): definidos mediante una relación matemática M = x α y β... (II) Magnitud escalar Medida y unidades: (masa 3 kg ) Magnitud vectorial Dirección, sentido, medida y unidades: (fuerza 3i+2j+6k N ) v = xi + yj + zk Componentes 2 2 v = x + y + Módulo z 2 TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 10

11 2.3.- Medidas y errores Proceso de medida comparación con un patrón (medida directa) fórmula matemática ó modelo (medida indirecta) Resultados cuantitativos método de medida de las magnitudes sistema de patrones Las medidas y los resultados se deben poder repetir y reproducir (repetitividad) Se obtiene un resultado y hay que tener muy en cuenta el error en la medida TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 11

12 Proceso de medida: comparación con una cantidad patrón Cantidad: C = N. u Unidades (cantidad patrón) Cantidad medida (valor) Utilizando otra cantidad patrón: C = M. v N = M v u El cociente de las medidas de una magnitud, está en razón inversa de las unidades escogidas para medirlas: m = 100 cm cm = m TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 12

13 Errores de medida Error = diferencia entre el valor real de una magnitud y el valor medido En realidad solo podemos conocer el valor más probable de la cantidad de la magnitud y el grado de incertidumbre de dicho valor Tipos de errores Precisión Exactitud Errores sistemáticos: mal funcionamiento de los instrumentos de medida, etc., (se pueden evitar por comparación con otros instrumentos) Errores accidentales: radican en la persona que mide. Son difíciles de evitar y se evalúan por medios estadísticos o Error absoluto Ea = valor exacto valor medido Resultado ± error: 1 6, 47 ± 0, 02 mm (Mismas unidades que la magnitud) o Error relativo Er = Ea valor exacto (Adimensional. Se suele dar en %) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 13

14 Cifras significativas: El error sirve para determinar el número de cifras significativas El valor de una cantidad va a venir dado en función del error que hayamos determinado para ella. Si he medido o determinado un valor de 5,47826 con un error de 0,002, lo correcto es expresar: 5,478 ± 0,002 (5,47826 ± 0,002) 5,478 ± 0.036% La solución nunca puede ser más exacta que el menos exacto de los factores Cuidado con las calculadoras! Ejemplo: Si la carga de un puente es de N con un posible error de 100 N, con cuántas cifras habrá que dar la reacción en uno de los soportes del puente si en los cálculos hemos obtenido N? TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 14

15 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 1 Cuál es la suma de 5, y 3, ? a) 3, b) 8, c) 3, d) 8, TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 15

16 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 2 Cuál(es) es(son) la(s) diferencia(s) entre 3,0 y 3,0000? a) 3,0000 podría ser el resultado de un paso intermedio en un cálculo; 3,0 tiene que ser el resultado final b) 3,0000 representa una cantidad que se conoce con más precisión que 3,0 c) No hay diferencia d) Expresan la misma información, pero se prefiere 3,0 por facilidad de escritura TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 16

17 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 3 Cuál es el número de átomos de carbono en 0,5 nanomoles de carbono? Un mol contiene 6, átomos? a) 3, b) 3, c) d) 3, e) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes físicas 17

18 3.- Sistemas de Unidades Magnitudes fundamentales y derivadas Sistemas tradicionales Sistema Internacional (SI) Análisis dimensional TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 18

19 3.1.- Magnitudes fundamentales y derivadas Las magnitudes físicas están relacionadas entre sí: F = m.a E = ½ m.v 2 Sólo 7 magnitudes físicas son independientes entre sí: magnitudes fundamentales (3 para la parte de mecánica) El resto de magnitudes se pueden derivar de estas 7 (3): magnitudes derivadas El sistema de unidades selecciona las magnitudes que considera magnitudes fundamentales y define sus unidades (cantidades patrón) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 19

20 3.2.- Sistemas tradicionales (Mecánica) Sistema de unidades M Masa L Longitud T Tiempo CGS (Centímetro, gramo, segundo) Sistema Técnico SGI (Sistema gravitacional Ingles) SAI (Sistema absoluto ingles) g utm slug lb kg cm m pie pie m s s s s s SI kp = peso de un kilogramo de masa lbf = peso de una libra de masa 1 lb = 0, kg 1 pie = 0, 3048 m Fuerza dina kp lbf poundal N Puesto que existe un ley física que relaciona F con masa y aceleración (F=m.a) (a=v/t; v=e/t), tendremos: 1 dina = 1g.cm.s -2 1 kp = 1utm.m.s -2 TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 20

21 3.3.- Sistema Internacional (SI) (Normativa sobre SI: Ley 88/1967 de y decreto 1257/ ) Unidades fundamentales (7) (3 para la parte de mecánica) Magnitud unidad símbolo Longitud (l) Masa (m) Tiempo (t) Intensidad de corriente eléctrica (I) Temperatura termodinámica (T) Cantidad de sustancia (n) Intensidad luminosa (I L ) metro kilogramo segundo amperio kelvin mol candela m kg s A K mol Cd TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 21

22 Unidades suplementarias (De carácter geométrico. No se ha decidido si son fundamentales o derivadas.) Magnitud unidad símbolo Ángulo plano Ángulo sólido radián estereorradián rad sr TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 22

23 Definiciones metro: longitud recorrida en el vacío por un rayo de luz en 1/ segundos kilogramo: masa que tiene el prototipo internacional, compuesto de una aleación de platino e iridio, que se guarda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (BIPM) en Sèvres, cerca de París. segundo: masa duración de oscilaciones de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio ( 133 Cs), a nivel del mar. amperio: intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a newton por metro de longitud. TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 23

24 kelvin: fracción de 1/273,16 partes de la temperatura del punto triple del agua. mol: cantidad de esa sustancia que contiene tantas entidades elementales del tipo considerado, como átomos hay en 12 gramos de carbono-12. candela: intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática. de frecuencia 540 x 1012 hercios y de la cual la intensidad radiada en esa dirección es 1/683 vatios por estereorradián. TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 24

25 Ángulo plano: ángulo formado por el arco de circunferencia AB, con centro en O, que intercepta a dos rectas que se unen en el punto O O θ R B l A θ = l R radián: ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual a la del radio R R (un ángulo completo alrededor de un punto equivale a 2π rad) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 25

26 Ángulo sólido: espacio comprendido dentro de una superficie cónica o piramidal. Se obtiene trazando con radio arbitrario R y centro en el vértice O, una superficie esférica y aplicando la relación: S Ω = 2 R siendo S el área del casquete esférico interceptado por el ángulo sólido R estereorradián: ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, delimita sobre la superficie esférica correspondiente, un área igual al de un cuadrado que tiene como lado el radio de la esfera (el ángulo sólido completo alrededor de un punto es 4π sr) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 26

27 Normas de uso sobre nombres de unidades SI Nombres unidades y múltiplos o submúltiplos con minúscula, excepto grado Celsius kg kilogramo / m metro ºC grado Celsius Nombres de unidades compuestas producto de otras se separan con espacio o guión. En cocientes con por: N.m newton-metro, newton metro m/s metro por segundo Valor de la magnitud: si es superior a la unidad se utiliza el plural, si es inferior el singular: 300 m 300 metros / 0,3 m 0,3 metro Evitar el uso de nombres antiguos o derogados: µm micrómetro (en lugar de micra) ºC grado Celsius (en lugar de grado centígrado) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 27

28 Normas de uso sobre nombres de unidades SI Siempre con minúscula excepto si provienen de un nombre propio. Si el símbolo es de dos letras y deriva de un nombre propio, se escribe con mayúscula la primera metro m / newton N / (se permite L para litro) pascal Pa Los símbolos se imprimen en tipo redondo (letra romanilla) Los prefijos se escriben con minúscula excepto los superiores a mega kilómetro km / megahertz MHz El símbolo con prefijo se considera como nuevo y no necesita paréntesis: cm -1 en lugar de (cm) -1 No son abreviaturas y nunca se escriben en plural ni tienen punto al final 1 km / 15 km TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 28

29 Normas de uso sobre nombres de unidades SI Se deja un espacio entre el valor numérico y el símbolo, salvo grado, minuto y segundo de ángulo. La temperatura se puede expresar de las dos formas: 7 m / 3 kg 15º ºC ó 18 ºC Productos de unidades mediante un punto a media altura; en cocientes con una barra N m N/m ó N m -1 Los símbolos que no existan en el juego de caracteres que se utilice se escriben a mano TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 29

30 Normas de uso sobre nombres de unidades SI La coma o el punto decimal son aceptados: 3,47 ó 3.47 No utilizar comas o puntos para separar grupos de cifras, se pueden utilizar potencias de 10 o prefijos. No separar por puntos grupos de 4 cifras excepto en una tabla donde haya cifras mayores Es preferible la notación decimal a las fracciones. Para valores inferiores a uno el cero debe de preceder a la coma 0,67 (en lugar de,67) Sobre el uso y desuso del SI. M. Puigcerver. Revista Española de Física 5 (1 ) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 30

31 3.4.- Análisis dimensional Una magnitud puede ser la misma en dos sistemas de unidades (metros, pies) Para relacionar las magnitudes sin que intervengan las unidades, Fourier aplicó a estas el concepto de dimensión (corchetes []) (Dimensión: naturaleza cualitativa de una cantidad física) Si la magnitud es fundamental, los corchetes se pueden omitir. Así, en el SI: [M] = M [L] = L [T] = T Para las magnitudes derivadas, debe cumplirse siempre que: [ D ] = [ M ] α [ L] β [ T ] γ Principio de homogeneidad dimensional: Si una ecuación expresa correctamente una relación entre magnitudes de un proceso físico, debe ser dimensionalmente homogénea, esto es, todos sus términos deben tener las mismas dimensiones TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 31

32 Constantes En las leyes físicas, que establecen la relación entre distintas magnitudes, aparecen unas constantes, que pueden ser universales, específicas o geométricas. Tienen sus unidades correspondientes F G = G m m r ; F = k l Cte universal Cte específica T = 2π l g Cte geométrica k = Modulo de Young del material ES l TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 32

33 [ ] [ ] [ ] T LT g l L l LT t v g T g l = = = = = = = 2 2 ; ; ; ; 2 L τ π τ ( ) [ ] [ ] ,, 2 1 = = + = = = = = + γ γ β α τ τ γ γ β α γ β α T L M g l m T g m l f = = = = γ τ β α g l g m l Ejemplo de homogeneidad Ejemplo de aplicación: deducción de la fórmula del periodo de un péndulo físico ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 33

34 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 4 Sabiendo que la constante de gravitación universal vale: G = 6, dinas cm 2 g Hallar su valor en: a) sistema internacional; b) cuando se miden las masas en kg, las fuerzas en kp y las distancias en m. 2 TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 34

35 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 5 a) La terna {masa, longitud, velocidad} se puede usar como terna de magnitudes independientes? b) Usando esta terna, determinar las dimensiones de las magnitudes tiempo y fuerza. TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 35

36 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 6 Cuáles son las dimensiones de fuerza y potencia en el S.I (es decir, usando como magnitudes fundamentales {M, L, T})? TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 36

37 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 7 La densidad del acero vale 7,8 g/cm 3. Expresarla en el Sistema Internacional y en los sistemas técnico, gravitacional inglés y absoluto inglés. TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 37

38 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 8 Determinar las dimensiones de I, R, ω, M y C en la ecuación dimensionalmente homogénea: EIy=Rx 3 -P(x-a) 3 -ωx 4 +Mx 2 +C en donde x e y son longitudes, P es una fuerza y E es una fuerza por unidad de superficie. TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 38

39 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 9 La presión de un fluido en movimiento depende de su densidad ρ y su velocidad v. Cuál será la expresión de la presión en función de estas? TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Sistemas de unidades 39

40 4.- Magnitudes vectoriales Definición Clasificación de los vectores Operaciones con vectores Funciones vectoriales TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 40

41 4.1.- Definición La representación gráfica de una magnitud vectorial es un segmento de recta, orientado, que recibe el nombre de vector B a A El módulo indica, en la unidad elegida, el valor numérico de la cantidad de la magnitud representada. Al origen A se le denomina punto de aplicación La dirección es la de la recta en que está contenido El sentido se representa por una punta de flecha en su extremo Propiedades de la notación vectorial: La formulación de una ley física en función de los vectores es independiente de los ejes de coordenadas que se escojan La notación vectorial es concisa TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 41

42 4.2.- Clasificación de los vectores (I) Según los grados de libertad Libres: Componentes Deslizantes: Componentes y recta de acción Ligados: Componentes y punto de aplicación TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 42

43 (II) Según la forma de actuar Polares: No presentan ninguna duda para asignarles el sentido en que actúan (fuerza, velocidad, etc.) Axiales: Hay que asignar un sentido por convenio (velocidad angular de una rueda, ) Se adopta un convenio: regla del tornillo o de la mano derecha TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 43

44 4.3.- Operaciones con vectores Vectores libres 1.- Suma v s = v + w s w 2.- Producto de un escalar por un vector p = m v v p = mv Versor: vector unitario v v TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 44

45 cos γ k j cos β i cos α v v u 1 γ cos β cos α cos ; v v cos γ ; v v cos β ; v v cos α v v v v k v j v i v v v z y x z 2 y 2 x 2 z y x + + = = = + + = = = + + = + + = Componentes vectoriales, escalares y cosenos directores v v x v y v x a b g x y z cosenos directores ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALES. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 45

46 Operaciones suma y producto por un escalar en función de las componentes: s = p = v + mv w = = mv ( v + w ) i + ( v + w ) j + ( v + w ) x x i + mv x y j + mv y z k y z z k Determinación de un vector 3 componentes Módulo y dos cosenos directores Coordenadas extremo E(x E, y E, z E ) y origen O(x O, y O, z O ) v = (x E -x O )i + (y E -y O )j + (z E -z O )k TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 46

47 3.- Producto escalar (resultado: un escalar) a b = a b cosα = a b + a b + x x y y a z b z a a b a a b Propiedades Distributiva Conmutativa No asociativa Escalar: > = < 0 Vect. Perpendiculares prod. escalar 0 Vect. Paralelos prod. escalar máximo v. v = v 2 i. i = j. j = k. k = 1 i. j = j. k = k. i = 0 TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 47

48 4.- Producto vectorial (resultado: un vector) a b = c a b = a b senα Propiedades Seudovector Area del paralelogramo Distributiva No conmutativa No asociativa b α a Perpendiculares = máximo Paralelos = 0 i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k j x k = i k x i = j a x b = i j k a x a y a z b x b y b z = (a y b z a z b y )i + (a z b x -a x b z )j +(a x b y -a y b x )k TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 48

49 5.- Otras operaciones Producto mixto: a x b. C Doble producto vectorial: a x b x c TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 49

50 Vectores deslizantes Cómo se puede operar con vectores deslizantes? No está definida la suma de vectores deslizantes Se deben introducir nuevos conceptos: Momento Los momentos van a expresar la distribución en el espacio de las magnitudes Muy útiles y necesarios cuando trabajemos con las fuerzas El efecto de una fuerza aplicada a un sólido rígido depende de su punto de aplicación Es un vector deslizante sobre su recta de acción TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 50

51 Momento de un vector (F) respecto a un punto (O) M O = r x F M O = r F senθ = F d Brazo del vector Independiente del punto de aplicación sobre la recta soporte, pero dependiente del Polo o Centro de Momentos (O) (vector fijo en O) A cada punto del espacio le corresponde un momento distinto del mismo vector, formándose así lo que se denomina un campo de momentos del vector TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 51

52 Determinación de un vector deslizante Un vector deslizante está determinado por: Sus componentes (F x F y,f z ) Un punto de la recta soporte (p x,p y,p z ) O también por: Sus componentes (F x F y,f z ) El momento respecto a un punto (M ax, M ay,m az ) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 52

53 Par de vectores Dos vectores deslizantes Iguales en módulo Paralelos y de sentido contrario Momento del Par M O = ra F + rb = ( ra rb ) F = r F M O = rf sinθ = Fd ( F ) (d=distancia entre las dos rectas soportes de los vectores deslizantes) Independiente de O El momento de un par es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto sin que cambien sus efectos Se puede representar un par de fuerzas por un vector libre idéntico al Momento del par M TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 53

54 Reducción de un Sistema de Vectores Deslizantes Qué ocurre si se desplaza la fuerza de un punto a otro? Al desplazar el VD F de A a O cambian sus efectos Se puede añadir en O dos vectores iguales y opuestos a F Los tres vectores se podrán remplazar por el vector fuerza equivalente y el vector par sin que cambien los efectos Si se desplaza F de O a O tenemos que sustituir el momento por M O : Los dos momentos están relacionados: = r ' F = = M + s F ( r + s ) Hay que añadir el Momento de la Fuerza en O con respecto a O M O' Sistema Fuerza-Par O El efecto de cambiar la fuerza de punto de aplicación supone introducir adicionalmente un momento F M O ' = r F = r F + s F TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 54

55 Un sistema de fuerzas sobre un sólido rígido (vectores deslizantes), puede ser reemplazado por un conjunto de Sistemas Fuerza-Par que actúan en un punto O Se pueden ahora combinar (sumar) las fuerzas por un lado y los pares por otro, resultando una fuerza resultante R y un par resultante M O R R R = F M O = F ( r ) El sistema puede ser trasladado de un punto O a otro O sin más que sumar el momento de la Resultante R respecto a O M R O' = M R O + s R TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 55

56 Sistemas especiales 1.- Sistema de vectores concurrentes En el punto de concurrencia es equivalente a la resultante general R Su Momento total respecto al punto de concurrencia será cero 2.- Sistema de Pares de vectores Equivalente a su momento total Su resultante general es cero TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 56

57 4.4.- Funciones vectoriales Similares a cualquier otra función: a = a(u) (Ejemplos: r=r(t), v=v(t), etc.) Indicatriz: Sea una función vectorial a(u). Si se llevan a un mismo punto de aplicación los valores que toma al ir variando la variable independiente u, se llama indicatriz de la función a la curva definida por los extremos Indicatriz TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 57

58 Derivada de una función vectorial da du a a(u) s a(u+ u) d a du lim a = a(u+du)-a(u) a 0 = lim u = u u 0 a ( u + u) a( u) u Dirección: tangente a la indicatriz Sentido: el del incremento del vector para incrementos positivos de u Módulo: da du a 0 = lim u s u = lim u u 0 = ds du TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 58

59 Expresión analítica d a du = da du i + da du j x y + daz du k Reglas de derivación Las mismas que para las funciones escalares d da db ( a + b) = + du du du d df da ( fa) = a + f du du du d da db ( a b) = b + a du du du d du db da ( a b) = a + b du du TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 59

60 Integración Las mismas que para las funciones escalares Integral de un vector es otro vector cuyas componentes son las integrales de las componentes del vector a du = axdui + aydu j + a z duk TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 60

61 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 10 Dados los vectores A=3i+4j+k y B=i-2j+5k calcular: a) sus módulos; b) su suma; c) su producto escalar; d) el ángulo formado entre ambos; e) la proyección del vector A sobre el B; f) su producto vectorial; g) un versor perpendicular a A y a B. TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 61

62 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 11 Dada la función vectorial A(t)=cos(t)i+sen(t)j, siendo t un escalar, calcular d A A dt x 2 d A 2 dt TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 62

63 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 12 Cuáles de los siguientes vectores son mutuamente perpendiculares? A=(2, 1, 1); B=(0, 0, 2); C=(1, -2, 0); D=(1, 1, -3); E=(9, 5, 3) TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 63

64 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 13 Sean A=(-1, 0, 1), B=(1, 1, 3), C=(-2, 1, -1), D=(2, 5, 1) cuatro puntos del espacio. a) Determinar el ángulo que forman los vectores AB y CD; b) determinar el vector unitario que sea perpendicular a AB y esté contenido en el plano XY. TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 64

65 CURSO PROPEDEÚTICO DE FÍSICA. SEPTIEMBRE 2013 Cuestión 14 Dado el vector B=4t 2 i+2tj-k determinar el módulo de la derivada del vector y la derivada del módulo de vector para t=2. db dt y db dt TEMA 0: INTRODUCCIÓN. MAGNITUDES Y VECTORES. Magnitudes vectoriales 65