ÓPTICA GEOMÉTRICA. Óptica Geométrica

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1 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. Departamento de Fíica Química ÓPTICA GEOMÉTICA Un itema óptico e un conjunto de ditinto medio materiale limitado por upericie. A travé del itema óptico e mueven lo rao luminoo, que on reverible en u propagación (e propagan igual en un entido que en el opueto) e independiente entre í (u propagación no e altera al cruzare con otro rao). El objetivo de la óptica geométrica e obtener, a partir de un objeto, la caracterítica de la imagen que de dicho objeto orma el itema. Mediante u lee podemo aprovechar la caracterítica de lo itema óptico para mejorar la percepción (aumento, diminución, enoque, corrección de deecto, etc.) El cerebro itúa el objeto que emite lo rao luminoo en la dirección en que el ojo lo recibe (e decir conidera que han recorrido una línea recta dede el objeto hata él, aunque no e aí cuando cambia el índice de reracción. Si todo lo rao que parten de un punto objeto conluen en otro tra atravear el itema óptico el itema e etigmático. El punto donde conluen e el punto imagen. Cuando no todo lo rao e cruzan en el mimo punto e produce una aberración, que impide obervar la imagen con nitidez. En lo itema óptico evitamo ete hecho coniderando la aproximación paraxial. Aproximación paraxial: Lo ángulo de lo rao con repecto al eje óptico on pequeño, e cumple para todo ello en ϕ tag ϕ ϕ Eto igniica que el radio e grande comparado con la ditancia h con repecto al eje con la que incide el rao obre el itema. Eje óptico: recta en la que e encuentran lo centro de curvatura de lo aparato que orman el itema óptico. Vértice: punto origen O del itema. E el punto de corte del elemento (epejo, dioptrio o lente) con el eje óptico. Foco objeto: punto del eje óptico del que parten rao que al atravear el itema e propagan paralelo al eje óptico (ormarían u imagen en el ininito). Foco imagen: punto del eje donde conluen lo rao que procedente del ininito propagándoe paralelo al eje óptico han atraveado el itema. Ditancia ocal objeto : la mínima ditancia que ha dede el vértice del itema al oco objeto. Ditancia ocal imagen : la mínima ditancia que ha dede el vértice del itema al oco imagen. Imagen real e imagen virtual: E real i e orma al hacer concurrir en un punto, rao que convergen procedente de un objeto. E virtual i lo rao procedente del objeto divergen e u prolongación la que concurre en un punto. Imagen derecha e imagen invertida: E derecha i etá en la mima orientación del objeto, invertida i u orientación e la contraria. CONVENIO DE SIGNOS: Tanto lo objeto como u imágene e repreentan mediante lecha. La magnitude reerida a la imagen e identiican con el mimo igno que la del objeto añadiéndole el igno prima. Ej: Si el tamaño del objeto e el de la imagen e. La luz incide dede la izquierda e propaga hacia la derecha. La ditancia medida hacia la izquierda del vértice del itema óptico (de la upericie o lente), en una dirección opueta a la propagación de la luz, e conideran NEGATIVAS. La ditancia medida hacia la derecha de ee vértice on POSITIVAS (como en un itema de eje carteiano). En la dirección vertical, la magnitude por encima del eje on POSITIVAS, la magnitude por debajo del eje on NEGATIVAS (igual que en eje carteiano). Lo ángulo medido en el entido de la aguja del reloj dede el eje óptico, o dede una upericie normal, on poitivo. Lo ángulo medido en entido opueto on negativo. Pág.

2 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. Departamento de Fíica Química CONSTUCCIÓN DE IMÁGENES Para averiguar la poición de la imagen, que correponde a cada punto objeto podemo trazar ininidad de rao averiguar donde e cortan, pero diponiendo de la poición de lo oco, lo má encillo on tre: a) un rao que dicurra paralelo al eje tra incidir obre el itema paará por el oco imagen. b) un rao que e dirige al centro del itema no ure deviación debido a que incide en dirección normal (tanto en relexión como en reracción). c) un rao que e dirige al oco objeto tra incidir obre el itema aldrá paralelo al eje. SISTEMAS ÓPTICOS. Pueden etar ormado por uno o má de lo iguiente elemento o combinacione de ello: Dioptrio Plano.- E una upericie tranparente plana que epara do medio con dierente índice de reracción. En él e cumple la le de Snell: n en î = n en rˆ iendo î el ángulo que orma el rao incidente con la normal al dioptrio rˆ el ángulo que orma el rao reractado con la normal. Cuando la luz paa de un medio rápido a uno lento (de maor índice) lo rao e acercan a la normal vicevera. En ete cao, i el ángulo de incidencia e hace maor, el rao reractado puede llegar a alejare tanto de la normal que e propague por la línea de eparación de lo medio ( rˆ ería 90º) in paar al otro medio. Al ángulo de incidencia para el que ocurre ete enómeno e le denomina ángulo límite i e hace aún maor el ángulo de incidencia e produce el enómeno de la relexión total (no paan rao al otro medio). Dioptrio Eérico.- E una upericie que epara medio homogéneo e iótropo con índice de reracción ditinto, tiene orma eérica, con centro en C radio. Epejo plano.- Supericie lia capace de relejar prácticamente el 00% de la luz incidente. La ormación de imágene e explica con la lee de la relexión. La imagen que e orma e virtual imétrica repecto al plano del epejo. Epejo eérico. El centro de curvatura de un epejo curvo eérico e el centro de la eera que limita el epejo. El radio de curvatura e la ditancia entre el centro la upericie del epejo. El vértice del epejo e el punto de u upericie donde corta al eje óptico, en él e itúa el origen de coordenada. La ditancia ocal e la mitad del radio de curvatura. Lente. E un itema óptico limitado por do o má dioptrio, iendo al meno uno de ello eérico. Pág. 2

3 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. Departamento de Fíica Química DIOPTIO ESFÉICO. FÓMULAS: Como lo índice de reracción on ditinto (n >n en el cao repreentado) lo rao e devían al atravear el dioptrio. El centro etá en C el radio e. El rao parte del objeto en A tra reractare en P llega al punto A (imagen) En el dióptrio eérico vamo a coniderar la aproximación paraxial en la que el radio e grande comparado con la ditancia h con repecto al eje con la que incide el rao obre el dióptrio. Lo ángulo de incidencia relexión erán pequeño, e cumple para todo ello en ϕ tag ϕ ϕ La ecuación que queremo obtener debe relacionar la poición del objeto con la de la imagen. Para ello tenemo en cuenta la le de Snell en el punto P n en î = n en rˆ pero egún la aproximación paraxial n î = n rˆ Normal n n P Eje 90-α γ A h 90-β α β A O C elacionamo lo ángulo î rˆ con α, β γ. î = 80-(90-α)-(90-β)=α+β (Coniderando la recta normal en P) rˆ =80-(80-β)-γ=β-γ (Coniderando el triángulo coloreado PCA ) n î = n rˆ n (α+β)=n (β-γ) Pero en la aproximación paraxial h α = (- por etar en la parte negativa del eje); β h h h h n n n n ( + ) =n ( - ) = ; n = INVAIANTE DE ABBE ' Llamado aí por ecribire igual para el objeto para la imagen. Si lo reagrupamo llegamo a: n n = ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL DIÓPTIO ESFÉICO h = h γ = ' Foco del Dióptrio: Ditancia ocal imagen: =, = ' n n = ' ' = n Ditancia ocal objeto: n n n =, = = = n n Aí e cumple + = = Con eto valore podemo tranormar la ecuación undamental n n en n n ' ' n n n = ' n = ; + = que e la ecuación de Gau Pág. 3

4 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. Departamento de Fíica Química AUMENTO LATEAL: El aumento lateral e el cociente entre el tamaño de la imagen el del objeto: Si trazamo el rao que paa por el vértice V del dioptrio, geométricamente obtenemo (aplicando la le de Snell la aproximación paraxial): nω = n ω ; ω = ; ω = ; n n = ML = = = P n M L = I h σ ω σ ω V n P ESPEJO ESFÉICO. FÓMULAS: Se puede coniderar un cao particular del dioptrio eérico con n=-n (El rao e propaga por el mimo medio pero en entido opueto) n n n n = r n n 2n + = r + = 2 r En el cao de lo epejo eérico ambo oco coinciden e encuentran en la mitad del radio de curvatura del epejo. Ditancia ocal imagen: 2 r =, = + = = r 2 Ditancia ocal objeto: =, = 2 r + = = r 2 n M L = = = = Aumento lateral ' TIPOS DE ESPEJOS ESFÉICOS CÓNCAVO C F O imágene virtuale. a) Epejo cóncavo: lo rao de luz inciden por la cara cóncava, el radio tiene igno negativo, pueto que el centro e itúa a la izquierda del vértice. r<0. Forman imágene reale. b) Epejo convexo: lo rao de luz CONVEXO inciden por la cara convexa e relejan divergiendo, el radio tiene F igno poitivo (centro ituado a la O derecha del vértice). r>0. Forman C Pág. 4

5 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. Departamento de Fíica Química CASOS DE FOMACIÓN DE LA IMAGEN EN UN ESPEJO SEGÚN LA POSICIÓN DEL OBJETO ESPEJOS CÓNCAVOS º Cao Si el objeto etá ituado entre el centro de curvatura el ininito, la imagen erá menor, real e invertida. Etará ituada entre C F. 2º Cao Si el objeto etá ituado en C la imagen también etará en C erá igual, invertida real. 3 er cao Si el objeto etá ituado entre el centro de curvatura el oco, la imagen erá maor, real e invertida. Etará ituada entre C el ininito C F 4º Cao Si el objeto etá ituado en el oco, lo rao alen paralelo entre í por lo que no e cruzan ( =- ) no e orma imagen. 5º Cao Si el objeto etá ituado entre el oco el epejo O, la imagen erá maor, derecha virtual. Etará ituada detrá del epejo. ESPEJOS CONVEXOS Cao único La imagen iempre erá menor, derecha virtual. Etará ituada entre el epejo O el oco F. Pág. 5

6 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. ESPEJO PLANO. FÓMULAS: Departamento de Fíica Química Puede coniderare como un eérico de radio. En un epejo plano, lo rao e relejan divergen tra incidir en u upericie. Un obervador ituado en P oberva lo rao como procedente de P, punto donde convergen la prolongacione de lo rao divergente. Por eo lo epejo plano orman imágene VITUALES. M M P P 2 + = = 0 = = ; ML = = = ; ' = Como no podemo dibujar el oco, por etar en, tomamo do rao cualequiera: Uno a la altura de M que e releja obre í mimo otro que partiendo de M incide en el vértice del epejo, relejándoe con el mimo ángulo de incidencia. La prolongacione de ambo coinciden en M, dando la altura del objeto virtual. Coniderando el equema geométricamente obtenemo que e orma una imagen a la mima ditancia del epejo (al otro lado) de igual tamaño. LENTES DELGADAS. FÓMULAS: Entendemo por lente un itema óptico ormado por do o má upericie reractora, iendo al meno una de ella curva. La primera claiicación ditingue entre lente gruea delgada. No ocupamo ólo de la última a que en la primera no e puede deinir el centro óptico. En una lente delgada el epeor (eparación entre lo dioptrio) e depreciable (eto e, mucho menor que lo radio de curvatura). ELEMENTOS DE UNA LENTE: Centro óptico: Centro geométrico de la lente, ituado en el origen de coordenada. Todo rao que paa por él no ure deviación Lo centro de curvatura C C, on lo centro de lo dioptrio que orman la lente; i uno de ello e plano, u centro de curvatura etá en el ininito. Foco principale F F : Punto donde e cruzan lo rao paralelo que inciden obre la lente (objeto e imagen repectivamente). Ditancia ocal imagen: : Ditancia entre el centro óptico el oco imagen F. >0 en lente convergente <0 en lente divergente. Ditancia ocal objeto:. Cuando ólo un medio circunda la lente, la ditancia ocale coinciden la denotaremo como. POTENCIA DE UNA LENTE: E la invera de la ditancia ocal imagen. P = e exprea en dioptría i la ditancia ocal etá en metro. La lente delgada e claiican en: Convergente: La convergente, convexa, o poitiva on má gruea en la parte central que en el borde, por lo que tienden a hacer que el rao e acerque al eje tra atravear la lente. Hacen converger lo rao incidente paralelo en el FOCO imagen (igno +). Divergente: La lente divergente, cóncava, o negativa on má delgada en el centro tienden a hacer que el rao e aleje del eje conorme paa a travé de la lente. Hacen diverger lo rao paralelo incidente, iendo u prolongacione la que convergen en el punto ocal imagen (ituado a la izda. del centro, igno -). Pág. 6

7 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. LENTES CONVEGENTES Departamento de Fíica Química Biconvexa Planoconvexa Menico Convergente EPESENTACIÓN LENTES DIVEGENTES Bicóncava Planocóncava Menico Divergente EPESENTACIÓN CASOS DE FOMACIÓN DE LA IMAGEN EN UNA LENTE SEGÚN LA POSICIÓN DEL OBJETO Para ormar la imagen hallamo la interección del rao paralelo el rao radial. El rao ocal comprueba dicha interección. ao paralelo: ao paralelo al eje óptico que e reracta en la lente para paar por F (oco imagen). ao radial: ao que incide obre el centro óptico no ure deviación ao ocal: ao que paa por el oco objeto (F) de la lente e reracta aliendo paralelo al eje óptico. En reumen tenemo lo cao iguiente: i)lente convergente con objeto ante del oco objeto. La imagen e real e invertida. (Cao,2,3). ii) lente convergente con objeto O entre el oco objeto F la lente. La imagen e virtual derecha.(5). iii) lente divergente iempre imágene virtuale derecha LENTES CONVEGENTES F 2F C 2F F º Cao Si el objeto etá ituado entre 2F el ininito (meno ininito), la imagen etará entre F' 2F' erá invertida, real má pequeña. > 2 < < 2 C 2F F 2F F 2º Cao Si el objeto etá ituado en 2, la imagen etará en 2 ', erá igual, invertida real. = 2 = 2 Pág. 7

8 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. C 2F F 2F F C F 2F 2F F 3 er cao Departamento de Fíica Química Si el objeto etá ituado entre 2, la imagen etará ituada má allá de 2 ' erá maor, invertida real. 2 > > ; > 2 4º Cao Si el objeto etá ituado en el oco F la imagen no e orma (e ormaría en el ininito).lo rao alen paralelo entre í por lo que no e cruzan ( = ). = = F C F 5º Cao Si el objeto etá ituado entre F la lente, la imagen erá virtual (la orman la prolongacione de lo rao), maor derecha. LENTES DIVEGENTES En la lente divergente el oco imagen tiene igno negatico (lo rao procedente de - divergen) la potencia de la lente tambien lo e. Cuando dibujemo lo rao, hemo de tener en cuenta que la poición de lo oco e opueta a la de la convergente. La imágene obtenida on iempre virtuale. ' C F F Cao único Para cualquier poición del objeto la IMAGEN etá má cerca del centro, e menor virtual. C F ' F Cao único El reultado e el mimo aunque el objeto e itúe má lejo del oco FÓMULAS PAA LENTES DELGADAS.: Para obtener la ecuación de la lente, conideramo do medio: el que material que orma la lente, de índice de reracción n> el medio que rodea a éta, que normalmente e el mimo por todo lo Pág. 8

9 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. Departamento de Fíica Química lado uele er el aire, con índice de reracción. El rao que parte del punto P tiene que atravear do dioptrio: ) pao del medio al 2 (aire vidrio). n= n =n, el índice e reracción del vidrio. Dioptrio con 2) pao del medio 2 al nuevamente (vidrio aire). n=n n =. Dioptrio 2 con 2 El problema lo etudiamo como do cambio uceivo de dioptrio, por lo que aplicamo la ec. del dioptrio 2 vece. AIE n= AIE n= P C 2 S P S O MEDIO S C P 2 n n n n Aplicamo la ecuación del dioptrio al primero (n=; n =n): = = (Ec.) ' la imagen que e obtiene del primer dioptrio (ituada en P en el equema) actúa como objeto para el egundo. Por tanto la imagen reultante del itema, que vamo a llamar e obtendrá de la aplicación al egundo dioptrio (n=n; n =): n n n n = = (Ec.2) 2 n n = ' umando n n = ' 2 = (n ) 2 Ecuación de DESCATES para una lente delgada Foco: Si =-, = = (n ) 2 luego = (n ) 2 (FOCO IMAGEN) Pág. 9

10 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. Departamento de Fíica Química También llamada ecuación del contructor de lente, pueto que contiene lo dato materiale para abricar la lente. Si =, = E decir =-. = (n ) 2 luego = (n ) 2 (FOCO OBJETO) Si utituimo el oco imagen en la ecuación de Decarte, no queda una ecuación imple: = que e la ecuación de Gau para lente delgada. ' La potencia de la lente e la invera de la ditancia ocal, e mide en dioptría i la ditancia etá en metro. P = ; = P ' El aumento lateral de una lente e el cociente entre el tamaño de la imagen el del objeto: M L = = (Se puede comprobar ácilmente mediante el rao que paa por el centro óptico). eumen de la relacione má importante de dioptrio, epejo lente. Fórmula Fundamental Foco objeto Foco imagen Fórmula General Aumento Lateral Dioptrio eérico n n = ' n = ' = n n + ' = + ' = ' M L = ' ' Dioptrio plano Epejo eérico Epejo plano Lente n = ' M L = ' 2 = + = 2 ' = ' ' = 2 + = 0 ' = ' ' = M L = ' = (n ) = (n ) 2 ' 2 ' = ' = (n ) 2 + ' = M L = = = ' ' ' M ' L = + = ' ' INSTUMENTOS ÓPTICOS * Lupa. E implemente una lente convergente de pequeña ditancia ocal (entre 5 0 cm). Se emplea para ampliar la imagen de pequeño objeto colocado dentro de la ditancia ocal. * Microcopio. Pág. 0

11 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. Departamento de Fíica Química Para aumento maore a lo que permite la lupa e recurre al microcopio. Conta de do lente convergente. Una (llamada objeto) e itúa mu próxima al objeto (de ahí u nombre) que deeamo obervar. La imagen ormada por eta lente cae dentro de la ditancia ocal de otra egunda lente (llamada ocular), cerca de la que e itúa el ojo. La imagen real dada por la primera lente actúa como objeto de la egunda, obteniéndoe una imagen inal mu aumentada. * Telecopio. Aunque para tarea ditinta a la anteriore, exiten telecopio tanto de lente, como de epejo; e incluo, combinación de ambo. Lo telecopio de epejo (denominado relectore) en u modelo má imple (modelo Newtoniano) conta de un epejo cóncavo ituado en la bae de un cilindro. Lo rao paralelo que penetran por el tubo convergen tienden a converger en el oco del epejo en donde e itúa un epejo plano (epejo ecundario) que dirige lo rao hacia el lateral del tubo, (ocular) en donde ha ituado una lente (o conjunto de ella). En ete tipo de telecopio, e oberva por uno de lo laterale, en contra de otro modelo (Caegrain) en donde la viión e realiza obre el mimo eje del epejo mediante un itema de epejo añadido. En lo telecopio reractore, exite una lente convergente (en u modelo má imple) de má o meno diámetro en un extremo del tubo del telecopio. En el otro extremo e itúa el ocular, coincidiendo en ditancia con la ocal de la lente principal. EL OJO El comportamiento óptico del ojo e imilar al de una cámara. En la igura e muetran la parte undamentale del ojo humano coniderado como itema óptico. El ojo e de orma cai eérica tiene aproximadamente 2.5 cm de diámetro. La parte rontal tiene una curvatura un poco má marcada etá cubierta por una membrana dura tranparente llamada córnea. La región que etá detrá de la córnea contiene un líquido llamado humor acuoo. Eneguida viene el critalino, una cápula que contiene una gelatina ibroa, dura en el centro cada vez má uave hacia la perieria. El critalino e mantiene en u lugar gracia a ligamento que lo ujetan al múculo ciliar, el cual lo circunda. Detrá del critalino, el ojo etá lleno de una gelatina acuoa poco vicoa conocida como humor vítreo. Lo índice de reracción tanto del humor acuoo como del humor vítreo on de alrededor de.336, cai iguale al del agua. Aunque no e homogéneo, el critalino tiene un índice promedio de.437, no mu dierente de lo índice de lo humore acuoo vítreo. En conecuencia, la maoría de la reracción de la luz que penetra en Pág.

12 I.E.S. "Alono de Covarrubia"-Torrijo. el ojo ocurre en la upericie externa de la córnea. Departamento de Fíica Química La reracción en la córnea en la upericie del critalino produce una imagen real del objeto que e mira. Eta imagen e orma en la retina (enible a la luz) que recubre la upericie interna poterior del ojo. La retina deempeña el mimo papel que la película en una cámara. Lo batone lo cono de la retina actúan como una erie de otocelda en miniatura ; perciben la imagen la tranmiten a travé del nervio óptico hata el cerebro. La maor agudeza viual e da en una región central pequeña llamada óvea, de alrededor de 0.25 mm de diámetro. En rente del critalino etá el iri. Éte contiene una abertura de diámetro variable llamada pupila, la cual e abre cierra para adaptare a la intenidad cambiante de la luz. También lo receptore de la retina tienen mecanimo de adaptación a la intenidad. Para que un objeto e vea con nitidez, la imagen e debe ormar exactamente donde e encuentra la retina. El ojo e ajuta a la dierente ditancia de objeto modiicando la ditancia ocal de u lente (el critalino); la ditancia entre el critalino la retina, que correponde a, no cambia. En el ojo normal, un objeto ituado en el ininito etá enocado nítidamente cuando el múculo ciliar e encuentra relajado. Para permitir la ormación de imágene nítida de objeto má cercano en la retina, aumenta la tenión del múculo ciliar que rodea el critalino, e contrae el múculo ciliar, e arquea el critalino, diminuen lo radio de curvatura de u upericie; eto reduce la ditancia ocal. Ete proceo e llama acomodación. Lo extremo del ámbito donde e poible la viión deinida e conocen como el punto lejano el punto cercano del ojo. El punto lejano del ojo normal e halla en el ininito. La poición del punto cercano depende del grado en que el múculo ciliar puede aumentar la curvatura del critalino. El ámbito de acomodación diminue gradualmente con el aumento en la edad, porque el critalino crece a lo largo de la vida de lo ere humano (e alrededor de un 50% má grande a lo 60 año que a lo 20) lo múculo ciliare on meno capace de deormar un critalino má grande. Por tal razón, el punto cercano e aleja poco a poco a medida que uno envejece. Ete alejamiento del punto cercano recibe el nombre de prebicia. Por ejemplo, un er humano promedio de 50 año de edad no puede enocar un objeto ituado a meno de 40 cm del ojo. TASTONOS DE LA VISIÓN Vario deecto comune de la viión on reultado de relacione de ditancia incorrecta en el ojo. Un ojo normal orma en la retina una imagen de un objeto ituado en el ininito cuando el ojo e halla relajado. En el ojo miope (corto de vita), el globo del ojo e exceivamente largo de adelante hacia atrá, en comparación con el radio de curvatura de la córnea (o la córnea preenta una curvatura demaiado pronunciada), lo rao proveniente de un objeto ituado en el ininito e enocan delante de la retina. El objeto má ditante del cual e puede ormar una imagen en la retina etá entonce má próximo que el ininito. En el ojo hipermétrope (problema de viión a ditancia corta), el globo ocular e demaiado corto o la córnea no tiene la curvatura uiciente, por lo que la imagen de un objeto ininitamente ditante e orma detrá de la retina. El ojo miope produce demaiada convergencia en un haz de rao paralelo como para ormar una imagen en la retina; en el ojo hipermétrope, la convergencia e inuiciente. El atigmatimo e un tipo de deecto dierente, en el cual la upericie de la córnea no e eérica, ino que tiene una curvatura má pronunciada en un plano que en otro. En conecuencia, la imagen de la línea horizontale e puede ormar en un plano dierente que la imagen de la línea verticale. El atigmatimo puede hacer impoible, por ejemplo, enocar con claridad la barra horizontale verticale de una ventana al mimo tiempo. Pág. 2