1 Tests de hipótesis. 1.1 Tests para una media

Transcripción

1 1 Tests de hipótesis Año 2012 En muchas ocasiones, el propósito de una investigación es determinar si es verdadera o no, alguna hipótesis sobre algún parámetro. Los métodos que se utilizan para esto se llaman pruebas o tests de hipótesis. Una hipótesis estadística es una expresión acerca del valor de una o varias características o parámetros de la población. Comenzaremos viendo algunos test de hipótesis acerca de la media de una población. 1.1 Tests para una media Ejemplo 1.1 Se realizan 6 mediciones de una misma muestra con una técnica cuyo un error de medición tiene = 0:08mg=ml: Se quiere saber si el verdadero valor del especimen que está midiendo es mayor que 1:22g=ml Las 6 mediciones se pueden considerar una muestra aleatoria X 1 ; X 2 ; ::; X 6 donde cada X i es el resultado de la i-ésima medición y tiene distribución N(; 0:08 2 ); en este caso el parámetro es el verdadero valor del especimen medido. Se debe entonces veri car si > 1:22; o si = 1:22, ésta última es la llamada hipótesis nula (H 0 ). La hipótesis que deseamos probar la llamaremos hipótesis alternativa (H A ): Para simpli car por el momento usaremos = 1:22 como hipótesis nula. Esto queda expresado: H 0 : = 1:22 H A : > 1:22 Debemos notar que al decidirnos por una de las dos hipótesis, podemos cometer dos tipos de errores diferentes. Podemos equivocarnos al concluir que > 1:22 cuando en realidad no lo es (error de tipo I : rechazar H 0 cuando es verdadera), o concluir que = 1:22, cuando en realidad es mayor que 1:22 (error de tipo II : aceptar H 0 cuando es falsa). Recordemos que nunca conocemos cuánto vale, y sólo podemos hacer inferencias, basadas en la muestra, acerca de su valor. 2

2 Los procedimientos que vamos a ver, nos permiten acotar la probabilidad de cometer un error de tipo I, por eso es importante saber cuál debe ser la hipótesis nula y cuál la alternativa. Lo más natural será calcular el promedio de las 6 mediciones x y compararlo con el valor 1:22, ya que sabemos que X es un estimador de ; si x resulta mucho más grande que 1:22; tendremos motivos para pensar que en realidad > 1:22 (cuánto más grande sea x; mayor será la evidencia contra H 0 : = 1:22 a favor de H A : > 1:22). Debemos decidir cuándo consideraremos que x es lo su cientemente grande como para rechazar la hipótesis nula. Para esto debemos considerar un estadístico con distribución conocida cuando H 0 es verdadera y de nir una zona de rechazo. Usaremos el estadístico de prueba: Z = X 1:22 0:08= p 6 que tiene distribución N(0; 1) cuando = 1:22 (cuando H 0 es verdadera) Se puede establecer una regla de decisión como la siguiente: rechazar H 0 cuando el valor del estadístico de prueba es mayor que 1:65; de este modo nos aseguramos que p P (errorde tipo I) = P 6 X 1:22 =0:08 > 1:65 j H0 verdadera = 0:05 En general la regla es: rechazar H 0 : = 0 a favor de H A : > 0 ; cuando p n (x 0 ) > z entonces P (error de tipo I ) = P H0 p n X 0 = > z j H 0 verdadera =, este valor se llama nivel de signi cación. Al jar un nivel de signi cación = 0:05; nos aseguramos que la probabilidad de cometer error de tipo I, no puede ser mayor que Se llama zona de rechazo, a los valores mayores que z. En nuestro ejemplo, se hicieron 6 repeticiones, y se obtuvo x = 1:28; reemplazando X por x = 1:28; el estadístico de prueba toma el valor p 6(1:28 1:22)=0:08 = 1:84: Como este valor cae en la zona de rechazo, podemos rechazar la hipótesis nula con nivel 0:05. Esto signi ca que podemos a rmar que el verdadero valor del especimen medido es mayor que 1.22 y la probabilidad de equivocarnos al hacer esta a rmación es a lo sumo 0:05 3

3 También podemos razonar de esta manera: si fuera = 1:22, cuál es la probabilidad de obtener una media muestral tan grande o más que el valor 1:28?, o lo que es equivalente, cuál es la probabilidad de que el estadístico de prueba alcanzara un valor mayor o igual que 1:84?. Esta probabilidad puede calcularse ya que el estadístico de prueba tiene distribución N(0; 1) cuando = 1:22 y es P H0 p 6 X 1:22 =0:08 > 1:84 j H0 verdadera = = 1 (1:84) = 1 0:9671 = 0:0329 Esto es lo que se llama el valor-p, cuánto menor sea este p; más evidencia tengo contra H 0 : En nuestro ejemplo, p = 0:0329 es una probabilidad bastante pequeña, podemos rechazar H 0 y a rmar la alternativa, es decir que > 1:22 Otra manera de expresar la regla de decisión, es decir que se rechaza H 0, cuando el valor-p es menor que : En realidad el valor-p es el menor nivel de signi cación (el más exigente) para el cual se puede rechazar H 0 con los valores observados. En este caso valor-p = 0:0329, esto signi ca que podemos rechazar H 0 hasta con un nivel 0:0329 Tratemos de resumir los principales conceptos que hemos visto hasta aquí. En un procedimiento de test de hipótesis tenemos siempre dos hipótesis para contrastar. En investigaciones cientí cas la hipótesis alternativa (H A ) suele llamarse "hipótesis del investigador" y la hipótesis nula (H 0 ) representa lo contrario, que no hay diferencias. En el ejemplo analizado, la hipótesis nula era H 0 : = 0 y la hipótesis alternativa es H A : > 0. En otros ejemplos la hipótesis alternativa también podría ser H A : < 0 o H A : 6= 0 : La igualdad siempre está en H 0 : Un procedimiento de test de hipótesis está determinado por un estadístico de prueba que debe tener una distribución conocida e independiente del parámetro sobre el cual estamos haciendo inferencias. Dado ese estadístico de prueba, se de ne una zona de rechazo y una regla de decisión. Dicha regla puede de nirse como: "se rechazará H 0 cuando el valor del estadístico de prueba cae en la zona de rechazo". En el ejemplo, la zona de rechazo eran los valores mayores que z. Siempre que la hipótesis alternativa es de la forma H A : > 0 la zona de rechazo son 4

4 los valores mayores que un punto crítico; en el caso H A : < 0 la zona de rechazo son los valores menores que un punto crítico; y en el caso H A : 6= 0 la zona de rechazo es bilateral, es decir está formada por la unión de valores a la derecha y a la izquierda de dos puntos críticos. Al tomar una decisión, ya sea aceptar o rechazar H 0 podemos cometer un error, hay entonces dos tipos de errores: Error de tipo I : rechazar H 0 cuando es verdadera Error de tipo II : aceptar H 0 cuando es falsa Se denomina nivel de signi cación del test a la probabilidad de cometer un error de tipo I, = P (error de tipo I ). Este nivel de signi cación se ja "a priori" y luego se determina cual debe ser la zona de rechazo, para que el nivel de signi cación sea el deseado. El área de la zona de rechazo es igual al nivel de signi cación () elegido. Se de ne el valor-p como la probabilidad de que el estadístico de prueba tome un valor "tan extremo" como el obtenido, si fuera cierta la hipótesis nula. O también puede de nirse como el menor nivel de signi cación para el cual se puede rechazar la hipótesis nula con los valores observados. Estas dos de niciones son equivalentes. Es importante observar que, el valor-p y el nivel de signi cación son cosas diferentes, el valor-p depende de los valores observados, mientras que el nivel de signi cación se de ne a priori. Veamos otro ejemplo. Ejemplo 1.2 Se sabe que la distribución del perímetro cefálico de recién nacidos de sexo masculino, es normal con media = 36 cm y desviación típica = 1:97 cm. Se han observado los perímetros cefálicos de 10 recién nacidos cuyas madres consumieron drogas durante el embarazo, y se ha obtenido x = 34:5 cm. Se puede inferir en base a estos datos, que la media del perímetro cefálico de los niños cuyas madres consumieron drogas durante el embarazo es menor que la de la población general? Suponemos que la distribución en estos niños también es normal y con el mismo : 5

5 Podemos modelizar esta situación como sigue, tenemos una m.a. X 1 ; X 2 ; ::; X 10 donde cada X i es el perímetro cefálico del i-ésimo niño medido y X i tiene distribución N(; 1:97 2 ), y el problema a resolver es H 0 : = 36 H A : < 36 usaremos el mismo estadístico de prueba, que en este caso es: ahora, la regla de decisión es: Z = X 36 1:97= p n rechazar H 0 : = 36 a favor de H A : < 36; cuando p n (x 36) < z la zona de rechazo es el área a la izquierda de z : Si deseamos un nivel de signi cación = 0:01, usamos el valor z 0:01 = 2:326 Con los datos del ejemplo, p al reemplazar X por x = 34:5, el valor que toma el estadístico es: 10(34:5 36)=1:97 = 2:41, este valor cae en la zona de rechazo, de modo que podemos rechazar H 0 a nivel = 0:01. Es decir, podemos a rmar que la media del perímetro cefálico de los niños cuyas madres consumieron drogas durante el embarazo es menor que la media de la población general. También se dice que el resultado es signi cativo al 1%; también podríamos calcular el valor-p = P (Z < 2:41) = 0:008, (recordemos que esto signi ca que podemos rechazar H 0 aun con ese nivel, o decir que es signi cativo al 0.8%) Los dos ejemplos que hemos visto son tests unilaterales, porque la alternativa sólo puede ocurrir en una dirección. En estos tests hemos usado siempre H 0 : = 0 para cualquiera de las dos alternativas, en realidad los test unilaterales que hemos de nido y los que de neremos más adelente, también sirven cuando la hipótesis nula es H 0 : 0 contra la alternativa H A : > 0 ; y cuando la la hipótesis nula es H 0 : 0 contra la alternativa H A : < 0. Veamos ahora un ejemplo donde la alternativa puede ser > 0 o < 0. Ejemplo 1.3 En un estudio de niños con hipotiroidismo congénito (HC), se midió talla a un grupo de 13 niños con HC de sexo masculino y 6 mses de edad, y se obtuvo x = 67:16: Se desea saber si el valor medio de la talla de 6

6 los niños con HC di ere del valor medio de la población general. Se sabe que la distribución de tallas para niños sanos de esa edad, es normal con media 68.2 cm y desviación típica 2.34 cm. En este caso se puede suponer que la distribución de tallas de los niños con HC también es normal con la misma desviación típica. Tenemos una m.a. X 1 ; X 2 ; ::; X 13 donde cada X i es la talla del i-ésimo niño medido y X i v N(; 2:34 2 ) En este caso no hay una hipótesis a priori de que las tallas de los niños con HC son mayores o menores que las de la población general (68:2), es por eso que la alternativa debe ser H A : 6= 68:2: Decimos que este es un test bilateral, en general el problema se expresa: H 0 : = 68:2 H A : 6= 68:2 Usaremos el mismo estadístico de prueba que en los ejemplos anteriores: Z = X 68:2 2:34= p n pero ahora parece razonable rechazar H 0, cuando x sea mucho mas grande o mucho más pequeño que 68.2, dicho de otro modo, cuando la distancia entre x y 68.2 sea grande. Esto signi ca que una vez que evaluemos Z reemplazando X por x, deberemos considerar su valor absoluto. La regla de decisión es: p n jx 68:2j rechazar H 0 : = 68:2 a favor de H A : 6= 68:2; cuando > z =2 es importante observar que la zona de rechazo es la región a la derecha de z =2 y la región a la izquierda de z =2, es una región bilateral; como siempre, si = 0 ; el área total de la zona de rechazo es. Si elegimos un nivel de signi cación = 0:05 tenemos z 0:025 = 1:96; entonces se rechaza H 0 cuando el estadístico tome un valor superior a 1.96 o inferior a Con los datos del ejemplo tenemos p 13 (67:16 68:2) =2:34 = 1:60; este valor no está en la zona de rechazo, y por lo tanto no podemos a rmar, a nivel 0.05, que las tallas de los niños de 6 meses con HC di eran, en promedio, de las de la población general. También podemos calcular el valor-p, que ahora es P H0 p 13 X 68:2 =2:34 > 1:60 j H0 verdadera = P (jzj > 1:60) = = P (Z > 1:60) + P (Z < 1:60) = 2 (1 (1:60)) = 0:11 7

7 este valor-p no brinda su ciente evidencia para rechazar H 0 Cuándo se considera que hay su ciente evidencia para rechazar la hipótesis nula?. Esto depende de la situación; pero en la mayoría de las aplicaciones, se considera que un valor-p 0:05 es su ciente evidencia. Esto equivale a elegir un nivel de signi cación = 0:05: Si el test da no signi cativo, esto no debe tomarse como una demostración de que H 0 sea verdadera, solamente indica que no hay su ciente evidencia en contra. Esto puede deberse a una muestra demasiado pequeña. En este ejemplo, si la muesrta hubiera sido de tamaño 30, y si hubiéramos obtenido el mismo valor de x; tendríamos Z = 2:43, que caería en la zona de rechazo para un nivel 0.05, (sería signi cativo al 5%), más aun el valor-p sería 0:015 Se debe observar que los test bilaterales son más conservadores que los unilaterales, para un mismo valor del estadístico de prueba, el valor-p es mayor para un test bilateral que para un test unilateral. Podemos resumir lo que hemos visto sobre test para la media, cuando la muestra X 1 ; X 2 ; :::; X n proviene de una distribución normal con conocido. Hipótesis nula: H 0 : = 0 Valor de estadístico de prueba: z = p n (x 0 ) = Hipótesis alternativa Región de rechazo para un nivel H A : > 0 z > z H A : < 0 z < z H A : 6= 0 z > z =2 o z < z =2 Realice los ejercicios de 1 a 4 Cuando la distribución de los datos es normal, pero desconocemos el valor de, no podemos usar el mismo estadístico de prueba que en el caso anterior. Recordemos lo que vimos al construir intervalos de con anza, en este caso usamos un estadístico con distribución de Student. Cuando = 0, el estadístico T = X 0 S= p n tiene distribución de Student con n 1grados de libertad Usaremos entonces este estadístico de prueba, del mismo modo que antes usamos el Z. 8

8 Ejemplo 1.4 Se desea estudiar si el nivel de aluminio en la sangre en la población de niños que reciben antiácidos con aluminio, di ere de la población general de niños que no reciben estos antiácidos. La distribución de los niveles de aluminio en sangre es aproximadamente normal; además el nivel medio de aluminio en sangre en la población de niños que no reciben antiácidos es de 4:13 g=l: Se seleccionó una muestra de diez niños que reciben este tipo de antiácidos, y se obtuvo x = 37:20 g=l y s = 7:13 g=l Tenemos una m. a. X 1 ; X 2 ; ::; X 10 donde cada X i es el nivel de aluminio en sangre del i-ésimo niño y X i v N(; 2 ). Igual que en el ejemplo 1.3, se tiene un valor de referencia 0 = 4:13, y se quiere decidir si la media verdadera de la distribución di ere de ese valor. Podemos enunciar el problema como: H 0 : = 4:13 H A : 6= 4:13 Se puede de nir la regla de decisión del siguiente modo: p n jx 4:13j rechazar H 0 : = 4:13 a favor de H A : 6= 4:13; cuando > t =2 s donde t =2 se busca en la tabla de Student para n 1 grados de libertad. Si deseamos un nivel de signi cación = 0:05, el valor crítico para 9 grados de libertad es t 0:025 = 2:262. Esto signi ca que la zona de rechazo es el área a la derecha de 2:262 y el área a la izquierda de 2:262. Reemplazando por los valores de la media muestral x = 37:20: y la desviación típica muestral s = 7:13; calculamos el valor del estadístico y obtenemos t = p 10 (37:20 4:13) =7:13 = 14:67: Este valor cae en la zona de rechazo, podemos a rmar que el nivel medio de aluminio en sangre de esta población es diferente de En este caso el valor del estadístico es mucho mayor que el valor crítico t 0:025 = 2:262, si hubiéramos elegido un nivel de signi cación = 0:001, el valor crítico sería t 0:0005 = 4:781, y también rechazaríamos H 0 con este nivel de signi cación. No podemos calcular exactamente el valor-p, pero podemos a rmar que p < 0:001. Ejemplo 1.5 Consideremos ahora la situación de una droga antihipertensiva. Se debe mostrar evidencia de que la presión sistólica media de los individuos que reciben esta droga es menor que la de los que reciben la droga 9

9 estándar. Se sabe por investigaciones previas que estos últimos tienen una presión sistólica cuya distribución es normal con media de 130 mm Hg; y puede suponerse que para los individuos tratados con la nueva droga la distribución también es normal con media desconocida. Se desea probar que esta media es menor que el valor 0 = 130: Se seleccionan 26 individuos con hipertensión, se les administra la nueva droga, y se obtiene una media muestral de x = 121:5 mm Hg y una desviación s = La m.a. es X 1 ; X 2 ; ::; X 26 donde cada X i es la presión sistólica del i- ésimo individuo tratado con la nueva droga y X i v N(; 2 ) Este es un test unilateral, podemos plantearlo como: o también como: H 0 : = 130 H A : < 130 H 0 : 130 H A : < 130 para las dos situaciones, planteamos la regla de decisión: p n (x rechazar H 0 : = 130 a favor de H A : < 130; cuando s 130) < t calculamos el valor del estadístico t = p 26 (121:5 130) =19:2 = 2:257; el valor crítico es t 0:05 = 1.708, entonces como el valor del estadístico es menor que 1:708 se rechaza la hipótesis nula. Podemos ver en la tabla para 25 grados de libertad que el valor crítico correspondiente a = 0:025 es y el correpondiente a = 0:01 es Esto signi ca que si elegimos un nivel de signi cación = 0:025 podemos rechazar H 0, pero no podríamos hacerlo con nivel = 0:01: El valor-p está entre 0.01 y 0.025, podemos a rmar que p < 0:025. Podemos resumir los diferentes test para la media, cuando la muestra X 1 ; X 2 ; :::; X n proviene de una distribución normal con desconocido como sigue:. Hipótesis nula: H 0 : = 0 Valor del estadístico de prueba: t = p n (x 0 ) =s Hipótesis alternativa Región de rechazo para un nivel H A : > 0 t > t H A : < 0 t < t H A : 6= 0 t > t =2 o t < t =2 10

10 Realice los ejercicios 5 y 6 Del mismo modo que en la construcción de un intervalo de con anza, cuando no conocemos la distribución de los datos, si la muestra es su cientemente grande, podemos utilizar el teorema del límite central. Ejemplo 1.6 Consideremos los datos del ejemplo??, supongamos que se sabe que la concentración media de zinc en el hígado de esa especie de peces, que viven en una área libre de contaminación es de 8.2 g=g, pero se desconoce la forma de esa distribución. Se puede a rmar, en base a estos datos, que los peces examinados tienen niveles de zinc mayores que ese valor esperado? Aquí tenemos una m. a. X 1 ; X 2 ; ::; X 56 donde cada X i es la concentración de zinc en el hígado del i-ésimo pez examinado y desconocemos su distribución El problema puede plantearse como: H 0 : = 8:2 H A : > 8:2 y en este caso, como n es grande, podemos aplicar el resultado del teorema del límite central y usar el estadístico Z = X 8:2 S= p n ya que, según ese teorema, cuando = 8:2 tiene una distribución aproximadamente N(0; 1). Entonces podemos de nir, como siempre, una regla de decisión: p n (x 8:2) rechazar H 0 : = 8:2 a favor de H A : > 8:2; cuando > z s con los datos del ejemplo, x = 9:15 g=g y s = 1:27 g=g, reemplazando en el estadístico, obtenemos un valor p 56 (9:15 8:2) =1:27 = 5:59, vemos en la tabla de la distribución normal que el valor-p = P (Z > 5:59) < 0:0001, esto signi ca que hay muy fuerte evidencia para rechazar H 0 ; y se puede rechazar con cualquier nivel de signi cación razonable. Podemos resumir el caso test para la media de una distribución desconocida, cuando n es grande: 11

11 Hipótesis nula: H 0 : = 0 Valor del estadístico de prueba: z = p n (x 0 ) =s Hipótesis alternativa Región de rechazo para un nivel (aproximado) H A : > 0 z > z H A : < 0 z < z H A : 6= 0 z > z =2 o z < z =2 En este caso el nivel es aproximado, porque no conocemos la distribución exacta del estadístico de prueba, sino que estamos utilizando una aproximación. 1.2 Relación entre intervalos de con anza y test de hipótesis. Sea X 1 ; X 2 ; ::; X n una muestra aleatoria de una distribución F () y sea IC (1 ) un intervalo de con anza de nivel (1 ) para, esto signi ca que: P 2 IC (1 ) = 1 Consideremos el problema de test de hipótesis: H 0 : = 0 H A: 6= 0 si la hipótesis nula es verdadera, entonces: lo cual implica que: P 0 2 IC (1 ) = 1 P 0 =2 IC (1 ) = Entonces podemos establecer la siguiente regla de decisión: rechazar H 0 cuando 0 =2 IC (1 ) de este modo construimos un test de nivel : Ejemplo 1.7 Consideremos el ejemplo??, en ese ejemplo construimos un intervalo de con anza para la concentración de ion nitrato en una muestra de agua. 12

12 Si estamos interesados en saber si la verdadera concentración es 53g=ml, debemos construir un test para: H 0 : = 53 H A: 6= 53 podemos construir un test a partir del intervalo calculado antes. La regla de decisión será: rechazo H 0 si 53 =2 IC (1 ) El intervalo de 95% de con anza obtenido fue (48:98 ; 52:16), y como el valor 53 no está dentro de ese intervalo, debemos rechazar H 0 con nivel = 0:05 y la conclusión será que la concentración de ion nitrato en esa muestra no es 53g=ml: 13

13 Práctica 7 1. Para cada una de las siguientes aseveraciones, diga si es una legítima hipótesis estadística y por qué: (a) H : > 100 (b) H : x = 45 (c) H : s 0:2 (d) H : < 18 (e) H : 0:01 (donde es el parámetro de una distribución exponencial) 2. La distribución de presiones arteriales diastólicas para la población de mujeres diabéticas con edades entre 30 y 34 años se supone normal con media desconocida y desviación típica = 9:1 mmhg. Se desea conocer si la presión diastólica media de esta población es diferente de la de la población general de mujeres de esa edad, 0 = 74:4 mmhg. (a) Enuncie las hipótesis nula y alternativa y plantee el test correspondiente. Indique cuales son los errores de tipo I y tipo II en este caso. (b) Se elige una muestra de diez mujeres diabéticas, cuya presión diastólica es x = 82 mmhg, cuál es su conclusión con nivel = 0:05? (c) Calcule el valor-p 3. Se ha determinado el punto de fusión de 16 muestras de cierta marca de aceite vegetal hidrogenado, resultando x = 94:32. suponga que el punto de fusión es una v. a. cuya distribución es normal con = 1:20. Se desea determinar si el punto de fusión es menor que 95 (a) Plantee el test de hipótesis, indique cuales son los errores de tipo I y tipo II para el problema planteado. (b) Calcule el p-valor (c) Cuál sería su conclusión usando un nivel 0:01? 4. Considerando los datos del ejercicio 7 de la Práctica 5, se desea probar que el nivel medio de hemoglobina de los niños expuestos a niveles altos de plomo es inferior al de la población general, 0 = 11:59 g=100ml. Cuál es el menor nivel de signi cación para el cuál se puede hacer esa a rmación? Cuál es su conclusión? 14

14 5. Considerando los datos del ejercicio 9 de la Práctica 5, si se sabe que el valor real del suero es 245, (a) Se puede a rmar con nivel = 0:05; que el procedimiento de análisis está dando un error sistemático? (b) De una acotación del valor-p 6. Un artículo reporta los siguientes valores para ujo térmico del suelo de 8 terrenos cubiertos por polvo de carbón: La media de ujo térmico del suelo para terrenos cubiertos sólo con pasto es 29.0 Si se supone que la diistribción de ujo térmico es normal, sugier la información que el polvo de arbón es e caz para aumentar la media de ujo térmico sobre la del pasto? (a) Establezca y pruebe las hipótesis pertinentes usando = 0:05. (b) Acote el p-valor (c) Si la distribución de ujo térmico no fuera normal, podría usar el procedimiento anterior? 7. La ingesta de cinc recomendada para mayores de 50 años es de 15 mg=dia. Se seleccionó una muestra de115 hombres entre 65 y 74 años para los que se determinó la ingesta diaria de cinc y se obtuvo x = 11:3 y s = 6:43. No se puede a rmar nada sobre la distribuciónde la ingesta de cinc en la población. (a) Puede a rmarse con nivel 0:05 que el promedio de la ingesta diaria de cinc en la población de hombres entre 65 y 74 años es inferior a la recomendación? (b) Calcule aproximadamente el valor-p 8. En una investigación de la toxina producida por cierta serpiente venenosa, un investigador preparó 32 frascos diferentes, cada uno con 1 g de la toxina, y luego determinó la cantidad de antitoxina necesaria para neutralizar la toxina. Se encontró que la cantidad promedio muestral de antitoxina necesaria fue de 1.89 mg, y la desviación estándar 15

15 muestral fue de 0.42 mg. Otra investigación anterior indicaba que el veradero promedio de cantidad neutralizante era de 1.75 mg/g d toxina. Contradice la nueva información el valor sugerido por el investigador anterior? 9. Denotemos por p a la proporción de votantes que están a favor del candidato A contra el candidato B, en cierta elección. Considere que se desea probar H 0 : p = 0:5 versus H A : p 6= 0:5 con base a una muestra aleatoria de 25 votantes. Denotemos por X al número de votantes en la muestra que está a favor del candidato A y representemos con x el valor observado de X (a) Cuál de las siguientes regiones de rechazo es más adecuada y por qué? R 1 = fx : x 7 o x 18g R 2 = fx : x 8g R 3 = fx : x 17g (b) En el contexto de la situación de este problema, describa cuales son los errores tipo I y tipo II (c) Cuál es la distribución de probabilidad del estadístico de prueba X cuando H 0 es verdadera? Utilícela para calcular la probabilidad de error de tipo I. (d) Calcule la probabilidad de error de tipo II cuando p = 0:3, cuando p = 0:4 y cuando p = 0:7 (e) Qué se concluye si 6 de los 25 entrevistados elige al candidato A? 10. La calibración de una báscula debe veri carse al pesar 25 veces un especímen de prueba de 10kg. Supongamos que los resultados de diferentes pesadas son independientes entre si y que el peso en cada intento es una v. a. con distribución normal con = 0:2kg. Denotemos por el verdadero promedio de lectura de peso de la báscula. (si la báscula está bien calibrada ese debe ser el verdadero valor del especímen que se está pesando) (a) Cuáles hipótesis deben probarse? (b) Según el protocolo de control de calibración, la báscula debe recalibrarse cuando x 10:1032 o x 9:8968: Cuál es la probabilidad de que la recalibración se realice cuando en realidad no es necesaria? 16

16 (c) Cuál es la probabilidad de que no se considere necesaria la recalibración cuando de hecho = 10:1? Cuándo = 9:8? (d) Sea z = (x 10) =(= p n): Para qué valor c, es la región de rechazo de la parte (b) equivalente a la región bilateral jzj > c? (e) Vuelva a expresar el procedimiento de prueba de la parte (b) en términos del estadístico de prueba Z = X 10 =(= p n) 11. Con los datos del ejercicio 3, cuál es la probabilidad de no poder probar que la media del punto de fusión es menor que 95 cuando en realidad es 94? cómo se llama este tipo de error? 12. Considerando los datos del ejercicio 15 de la práctica anterior, interesa saber si la prevalencia de desnutrición en esa población de niños es igual a 0:10, cuál es su conclusión? 13. Usando el resultado del ejercicio 18 de la práctica anterior, puede concluir que la desviación típica de la tallas de las niñas de 12 meses de edad es distinta del valor 2:54; que es el informado en las tablas de crecimiento? 17