1. Funcions polinòmiques, racionals i irracionals

Transcripción

1 1. Funcions polinòmiques, racionals i irracionals

2 Matemàtiques I 1r Batillerat 1. Construcció de gràfiques. Funcions, equacions i sistemes de primer grau. Funcions, equacions i sistemes de segon grau. Cúbiques i cuàrtiques. Equacions biquadrades. 5. Polinomis i funcions polinòmiques 6. Funcions racionals i radicals 7. Fraccions algebraiques 8. Equacions racionals i irracionals 9. Funcions i equacions polinòmiques amb calculadora CAS 10. Activitats amb ClassPad 11. Famílies de funcions amb calculadora gràfica

3 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals 1. Construcció de gràfiques APARCAMENT En l'aparcament d'un aeroport apliquen la tarifa següent: primera hora o fracció, 0,90 euros; cada hora o fracció següent, 0,60 euros. Forma una taula de valors en què s'especifique el que ha de pagar un automobilista, en funció del temps que dura l'estacionament. Dibuia la gràfica del cost segons el temps. TELÈFON Perquè comence a funcionar un telèfon públic es necessita una moneda de 5 cèntims; al cap d'1 minut, per a continuar la comunicació, s'ha d'introduir una altra moneda de 5 cèntims. Que permet parlar durant el següent minut, i aií successivament. Fes una gràfica que permeta veure com varia el preu d'una telefonada (I) segons la seua duració (X). CALEFACCIÓ Les calefaccions d'algunes cases funcionen de la manera següent: per a elevar la temperatura de les habitacions es fa circular aire calent fins a aconseguir una temperatura prefiada, en el moment de la qual cessa el flu d'aire. Quan la temperatura descendi graus, es reprén el flu d'aire calent. Si regulem una d'estes calefaccions de manera que la temperatura prefiada siga de graus centígrads i siga graus centígrads, construï la gràfica de la variació de la temperatura de la casa respecte al temps, tenint en compte que la temperatura de la casa, abans d'encendre la calefacció era de 1 graus centígrads. DIAGONAL En un rectangle de base i d'altura 6 cm, quina és l'epressió que relaciona la diagonal amb la base?. Construï una taula de valors per a esta funció i dibuia la seua gràfica. TRIANGLE RECTANGLE Epressa l'àrea d'un triangle rectangle isòsceles en funció del catet. Estudia i representa gràficament la funció que has obtingut. INTERVALS En el conjunt R dels números reals (també anomenat recta real) distingirem els següents conjunts de punts: Interval tancat d etrems a i b: a, b És el conjunt de números reals compresos entre a i b o coincidents amb ells: a b, / - 5

4 Matemàtiques I 1r Batillerat Interval obert d etrems a i b: a, b És el conjunt de números reales compresos entre a iy b però distints d ells: a < < b -, = / - < < Interval semiobert per l esquerra: a, b És el conjunt de números reales compresos entre a i b però distints de a: a < b -, = / - < Interval semiobert per la dreta: a, b És el conjunt de números reales compresos entre a i b però distints de b: a < b -, = / - < a) Epressa els següents conjunts de números reals com a intervals (si és necessari, utilitza els símbols d'unió () o intersecció (): b) Representa els següents intervals en la recta real: - 7, -, - 6, 0 0,,, 8, -, 8 -, 9, 10,1 c) També podem considerar intervals infinits, per eemple: -, = /, -, + = / > -, -, + = R Epressa els següents conjunts de números reals per mitjà d'intervals infinits (si és necessari utilitza els símbols i ): FUNCIONS Perquè una fórmula del tipus y = f() represente una funció ha de complir-se que a cada valor de només ha de correspondre-li un únic valor de i. Quins d'entre les següents gràfiques corresponen a funcions? 6

5 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals DOMINI I RECORREGUT El domini d'una funció y=f() és el conjunt de valors de per als que està definida la funció. Es representa per Dom(f). El recorregut o imatge de la funció y=f() és el conjunt de valors que presa la i per als valors de pertanyents al domini. S'epressa aií: Im(f). Calcula el domini i recorregut de les funcions donades per les gràfiques: TRIANGLE La suma dels catets d'un triangle rectangle és 70 cm. Troba la funció que ens dóna la superfície d'eie triangle depenent de la longitud de la base. Quin és el domini d'eia funció?. UNA CAIXA Es vol construir una caia partint d'una làmina rectangular de per cm retallant un quadret en cada cantó i doblegant. a) Determina l'epressió que dóna el volum de la caia en funció del costat del quadrat tallat. b) Quin volum tindrà la caia quan tallem 7'5 cm?. c) Establi el domini i el recorregut de V. d) Representa gràficament esta funció. e) Quant cal tallar perquè el volum de la caia siga 1000?. I perquè el volum siga màim?. 7

6 Matemàtiques I 1r Batillerat. Funcions, equacions i sistemes de primer grau La gràfica de la funció y = m + n és una recta que no passa per l origen de coordenades, però pel punt (0, n), en què talla a l ei d ordenades. El número m és el pendent de la recta (la seua inclinació). El número n s anomena ordenada en l origen i mesura la distància entre l origen de coordenades i el punt de tall de la recta amb l ei d ordenades. Dos rectes són paral.leles si i només si tenen el matei pendent. Si entre les magnituds i y eisti la relació y = m + n, diguem que entre les anomenades magnituds hi ha una rel.lació lineal o afí. LLANTERNER Un llanterner cobra 15. en concepte de desplaçament. A més, per cada hora de treball càrrega 0. a) Calcula l'epressió que dóna el que cal pagar a eie llanterner en funció de les hores treballades. b) Quant caldrà pagar-li per '5 hores?. COTXE Els gastos mensuals d'un cote són: 50 euros fios, més 10 cèntims. per cada quilòmetre recorregut. a) Representa gràficament la funció que relaciona el gasto mensual amb els quilòmetres recorreguts. Escriu la seua epressió analítica. b) Si este mes ha recorregut el doble de quilòmetres que el mes anterior, el gasto serà doble?. Raona la resposta. DISCOS Una botiga de discos oferta els preus següents: des d'1 fins a 5 discos, a 10. la unitat; cada disc addicional, fins a un màim de 10, a la mitat de preu. a) Epressa el cost de cada disc en funció dels discos comprats. b) Dibuia la gràfica corresponent. CONTRACTE DE TREBALL En el contracte de treball d'un venedor se li oferien dos alternatives: a) Sou fi de 1000 euros al mes. b) Sou de 500 euros més el 0% de les vendes que realitze durant el mes. Construï una gràfica que mostre el que guanyarà segons les vendes que faça, en les dos modalitats de contracte. Quant ha de vendre per a guanyar el matei de les dos formes?. Quan és millor la segona?. 8

7 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals PUNTS DE TALL AMB ELS EIXOS Per a trobar els punts de tall d una funció y = f() amb l ei de les, cal resoldre el sistema y 0 forma per l equació de l ei de les i l equació de la funció: y f ( ) ( és equivalent a fer y =0 en la fórmula de la funció). Per a trobar el punt de tall d una funció y = f() amb l ei de les y, cal resoldre el sistema 0 format per l equació de l ei de les y i l equació de la funció: y f ( ) ( és equivalent a fer =0 en la fórmula de la funció). Eemple. Troba els punts de tall de la recta + y = 6 amb els eios coordenats. Tall amb OX: Fem y = 0 en l equació de la recta: + 0 = 6 =. Tall amb OY: Fem = 0 en l equació de la recta: 0 + y = 6 y =. Els punts de tall són (, 0) i (0, ). HOTEL Un hotel té habitacions dobles i senzilles. En total hi ha 50 habitacions i 87 llits. Quantes habitacions té de cada tipus?. X = nº habitacions senzilles Y = nº habitacions dobles En cada habitació doble hi ha cames 50 habitacions y cames y 87 Usem el MÉTODE DE SUBSTITUCIÓ De la primera equació aïllem y = 50 (*) Substituïm en la segona equació : + ( 50 ) = 87 Llevem paréntesi : = 87 = 1 Substituïnt en l equació (*) : y = 7 SOLUCIÓ : L hotel té 1 habitacions senzilles i 7 habitacions dobles. El métode de substitució consisti en aillar una de les incógnites d una equació i substituir en l altra, obtenint aií una equació amb una incògnita. SUCS Un comerciant disposa de dos tipus de suc de euros i euros el litre respectivament i desitja obtindre 1000 litres d'un suc el preu del qual siga de,50 euros el litre. Quants litres de cada un dels sucs ha de mesclar?. 9

8 Matemàtiques I 1r Batillerat suc A euros/litre suc B euros/litre X = nº de litres de suc A Y = nº de litres de suc B Vol obtindre 1000 litres + y = 1000 Cada litre de la mescla costa,50 euros els 1000 litres costarán 500 euros Cada litre de suc A costa euros els litres d A costarán Cada litre de suc B costa euros els y litres d B costarán y El preu de la mescla és : + y Per tant, s ha de complir: + y = 500. Cal resoldre el sistema : Usem el MÉTODE DE REDUCCIÓ: y 1000 y 500 y 1000 y 500 y = 50 multipliquem la 1ª per y 1000 y 500 multipliquem la 1ª per = 1500 = 750 y 000 y 500 y 000 y 500 SOLUCIÓ : Cal mesclar 750 litres de suc A i 50 litres de suco B. sumant queda y = 500 sumant queda El métode de reducció consisti en multiplicar les equacions per números adecuats i sumarles amb l objectiu d eliminar una incògnita. GERMANS Dos germans arrant conclouen que entre ambdós tenen 9 anys, i l'un li diu a l'altre : d'ací a huit anys la meua edat serà el doble de la teua. Quants anys té cada un en l'actualitat?. Les edats actuals són X e Y, sent Y l'edat del germà que parla. D'ací a 8 anys, la seua edat serà y + 8, i pel que diu, ha de ser el doble que la del seu germà, que llavors serà de + 8. Per tant, ha de ser : y 9 y 8 8 o be y 9 y 8 Aillem y de les dos equacions : y 9 y 8 y 9 * y 8 Substituint en (*) queda y = Usem el MÈTODE D IGUALACIÓ Igualem : 9 = + 8 = 1 = 7 SOLUCIÓ : Les edats dels dos germans són 7 i anys. El mètode d'igualació consisti a aclarir una mateia incògnita de les dos equacions, i igualar els segons membres obtenint una sola equació. 10

9 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals MÈTODE GRÀFIC Una equació lineal amb dos incògnites a + b y = c representa una recta en el pla. Per tant cada una de les equacions d'un sistema lineal amb dos incògnites representa una recta: A + b y = c recta r X + b'y = c' recta r' Per tant, un mètode que pots usar per a resoldre un sistema de dos equacions amb dos incògnites consisti a dibuiar, en uns mateios eios, les gràfiques de les rectes r i r' que representen les dos equacions. Es poden presentar tres casos: R i r' es tallen en un punt R i r' són coincidents R i r' són paral leles Sistema amb solució única Infinites solucions Sistema sense solució Utilitza el mètode gràfic per a resoldre els següents sistemes d'equacions: a) 5y 16 y b) 5 y 15 y c) y y 6 a) 5 y = 16 r r s + y = s y y SOLUCIÓ ÚNICA : = y = Les rectes r i s són ASSECANTS i es tallen en el punt P(, ). b) 5 y = r r s 15 y = s y y 0 0 0,7 1 1, SENSE SOLUCIÓ Les rectes r i r són PARAL.LELES. No tenen cap punt en comú. c) y = r r s + y =6 s INFINITES SOLUCIONS Les rectes r i r són COINCIDENTS. Tenen infinits punts en comú. 11

10 Matemàtiques I 1r Batillerat Un sistema amb solució única es diu que és COMPATIBLE DETERMINAT Un sistema amb infinites solucions es diu COMPATIBLE INDETERMINAT Un sistema sense solució es diu que és INCOMPATIBLE DETERMINAT(1solució) COMPATIBLE SISTEMA INDETERMINAT(infinites solucions) INCOMPATIBLE (sense solució) CLASIFICA SISTEMES Utilitzant el mètode gràfic indica quins dels següents sistemes són compatibles o incompatibles, determinats o indeterminats, trobant les solucions quan siga possible. Què fer quan el sistema és compatible indeterminat?. a) 6 y 5 y 15 b) y 8 / y / 5 c) 9y 6 1y 8 TRES INCÒGNITES Utilitzant el mètode de reducció, indica quins dels següents sistemes són compatibles o incompatibles, determinats o indeterminats, trobant les solucions quan siga possible : a) + y z = + y + z = 5 + y z = 1 b) + y z = 6 y + z = c) + y z = 0 y + z = 6 + y 5z = 6 d) + y + z = y + z = 7 + y + z = e) + y + z = 0 + y z = 0 y + z = 0 f) + y z = 6 + y z = 9 PER DOS PUNTS Troba l'equació de la recta que passa per cada parell de punts: a) (, 0) i (, 1) b) (, ) i (, ) c) (1, 1) i (1, ) d) (, 0) i (0, ) e) (1, 0) i (0, 1) f) (, 0) i (0, ). 1

11 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals INTERSECCIONS Esbrina quants punts d'intersecció tenen els següents parelles de rectes: a) + y = - y = b) + y = 8 - = -1y c) - y = + 8 = y Fes la corresponent interpretació gràfica en cada cas. POSICIONS RELATIVES Dos rectes en el pla poden tindre les següents posicions relatives: 0 punts d'intersecció 1 punt d'intersecció Infinits punts de tall Rectes paral leles Rectes assecants Rectes coincidents a) Quina és la posició relativa de les rectes: y =, y = +?. b) Com se situaran gràficament les rectes: + y = 1, + y =?. c) Troba el punt d'intersecció, si n'hi ha, de les rectes: y = +, y = + 7, y = + 1/. d) Estudia la posició relativa de les rectes: y =, y =, y = 6 +. AREA 1 Una recta de pendent forma amb els eios coordenats un triangle d'àrea 1 unitats d'àrea. Calcula l'epressió funcional de dita recta. JOCS D ORDINADOR A un venedor de jocs per a ordinadors li donen a triar entre dos modalitats de contracte: Modalitat a) mensuals, més. per cada nova venda a partir dels 175 jocs venuts. Modalitat b) fios més 50. per cada joc venut des del principi. a) Determina l'epressió que dóna el guany mensual en funció dels jocs venuts, segons la modalitat de contracte triada. Dibuia les gràfiques. b) Quants jocs ha de vendre perquè li compense l'un o l'altre contracte?. 1

12 Matemàtiques I 1r Batillerat EQUILIBRI Els costos fios d'una empresa són de 510 euros, siga quina siga la producció. Els costos variables són de euros per unitat de producció. El cost total és la suma del cost fi i els costos variables. El preu de venda de l'article és de 6 euros per unitat. Troba el punt d'equilibri entre guanys i pèrdues, dibuiant prèviament les gràfiques del cost total i dels ingressos. CONTAMINACIÓ El nivell de contaminació d'una ciutat a les 7 del matí és de 0 parts per milió, i crei de forma lineal 15 parts per milió cada hora. Siga i la contaminació en l'instant t després de les 7 del matí. a) Troba la funció que relaciona i amb t. b) Troba el nivell de contaminació a les 5 de la vesprada.. Funcions, equacions i sistemes de segon grau PARÀBOLES Sobre uns mateios eios de coordenades dibuia les gràfiques de les funcions següents: y = y = + y = - 5 y = ( - ) y = ( - ) + Què tenen en comú i en què es diferencien?. Com poden obtindre's a partir de i =?. Les funcions del tipus y = a ( - p) + q tenen per gràfiques paràboles què passen pel punt (a, b), anomenat vèrte. Aquest punt és un màim si a<0 i és un mínim si a>0. Aquestes corbes són simètriques respecte a la recta = p, què és ei de simetría de la paràbola. La paràbola y = a ( - p) + q s obté desplaçant la gràfica de y = a : p unitats en la direcció de l ei d abcises i q unitats en la direcció de l ei d ordenades; esto es, per mig d una traslació de vector (p, q). 1

13 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals En general la funció quadràtica y = a + b + c te per gràfica una paràbola. Per a determinar el seu vèrte identificarem els coeficients d aquesta epressió amb els què resulten al desenvolupar l epressió y = a ( - p) + q. Aií: y = a( - p) + q = a( - p+ p ) + q = a - ap + ap + q Per tant: y = a + b + c = a - ap + ap + q. Identificant coeficients: b = - ap c = ap +q p = - b a q = c - ap b = c - a a b = c - a El vèrte és el punt: V- b, c - a b a PARABOLA Donada la paràbola y = + - 6, troba: a) L ordenada del punt de la paràbola d abcisa. b) L abcisa del punt de la paràbola d ordenada 6. c) El vèrte de la paràbola. d) Els punts de corte de la parábola con los ejes coordenados. TETRAEDRE Quina relació eisti entre el costat d'un tetraedre regular i la superfície d'este?. Representa gràficament la funció que els relaciona. De quin tipus és?. LLANÇAMENT Llancem una pilota cap amunt i l'altura que aconsegui, epressada en metres, al cap de t segons, és: a) Representa gràficament esta funció. h = -t +15t b) A quina altura es trobarà als segons de llançar-la?. I als 5 segons?. En quin instant l'altura és màima?. 15

14 Matemàtiques I 1r Batillerat RECTANGLE INSCRIT Disposem d'un full amb forma triangular i dimensions segons indica la figura. Desitgem tallar-la per a formar un rectangle, tal com es mostra. a) Epressa l'àrea de tal rectangle en funció de la base. b) Representa gràficament la funció que relaciona el costat i l'àrea del rectangle. APARTAMENTS En un edifici eistien 60 apartaments turístics per a llogar per setmanes. El lloguer per eie període de temps és de 0000 ptes. i la demanda supera amb escrei a l'oferta. El propietari decidi elevar el preu a 5000 ptes, trobant que, d'eia forma, sempre té dos habitacions buides. Si la relació entre el nombre d'habitacions desocupades i el preu és lineal, esbrina els ingressos setmanals del propietari en funció del preu de lloguer, l'ingrés en funció del nombre d'habitacions ocupades, i el valor màim de tal ingrés. AUTOMÒBILS L'Empresa Autos, S. A. té en eclusiva el model turbo-b. Cada cote li costa a l'empresa 1000 euros i sap que en un mes pot vendre 0 cotes a euros cadascu. Un estudi de màrqueting li revela que per cada 00 euros de descompte sobre el preu anterior pot augmentar la venda en dos cotes més al mes. a) Li convé fer estos descomptes per a augmentar la venda mensual de cotes?. b) A quin preu haurà de vendre cada automòbil per a maimitzar els beneficis mensuals?. 16

15 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals RECTANGLE Escriu la funció que dóna la superfície d'un rectangle la base de la qual és cm més llarga que la seua altura. Si volem que la superfície siga de 15 m, quant ha de mesurar la base?. TRES PARÀBOLES a) Una funció quadràtica te una epressió de la forma y = + a + a Calcula el valor de a. y passa pel punt (1, 9). b) Se sap què la funció quadràtica d ecuació y = a + b + c passa pels punts (1, 1), (0, 0) i (-1, 1). Calcula a, b y c. c) Una paràbola te el seu vèrte en el punt V(1, 1) i passa pel punt (0, ). Troba la seua equació. CANALÓ Amb una chapa de metall de 10 cm d'ample es desitja fabricar un canaló doblegant els bords de la chapa una amplària igual per a cada costat. Troba l'amplària que hem de doblegar per a aconseguir un canaló que tinga la màima secció. DOS QUADRATS Un tros de fil d'aram de 0 m de llarg es talla en dos trossos, de manera que la suma dels quadrats de les longituds de cada tros és igual a 0 m. Troba la longitud de cada tros. INTERSECCIONS a) Troba els punts d intersecció de la circumferència y 5 y la recta +y=7. b) Troba els punts de tall de l el.lipse 9y 5 0 c) Troba els punts de tall de la circumferència 5 y 9 amb l el.lipse 9y y amb l el.lipse y d) Troba la posició relativa de l el.lipse 1 i la recta y0=0 e) Troba els punts de tall de la cónica y 1 amb la recta y=

16 Matemàtiques I 1r Batillerat. Cúbiques i cuàrtiques. Equacions biquadrades. CÚBIQUES a) Dibuia la gràfica de la funció y =, donant a valors positius i negatius. Estudia les simetríes d aquesta gràfica. La gràfica de la funció y = és una corba anomenada cúbica. Per als valors negatius de, la y pren els mateios valors que per als corresponents valors positius de, però canviats de signe, ja que () =. La funció és imparell. Podem dibuiar tota la corba utilitzant només mitja part. Per a aiò, basta doblegar el paper dos vegades consecutives, una per l'ei d'ordenades i una altra per l'ei d'abcisas (o viceversa). La corba és simètrica respecte de l'origen de coordenades. Una funció y = f() és IMPARELL si compli f() = f() per a tot punt del seu domini. La gràfica d'una funció imparella és SIMÈTRICA RESPECTE DE L'ORIGEN DE COORDENADES. b) Dibuia les gràfiques de les següents funcions, indicant si tenen o no relació amb la gràfica de la funció y = : y = + y = ( - ) y = ( - ) c) Dibuia, el més aproimadament que pugues, la gráfica de la funció y = Es pot obtindre a partir de y = per mig de translacions?. -5 Les funcions polinòmiques de tercer grau, y = a + b + c + d tenen per gràfiques corbes anomenades cúbiques. Són corbes que presenten centre de simetría. No totes les cúbiques es poden obtindre a partir de y = translacions. per mig de QUÀRTIQUES a) Dibuia la gràfica de la funció y =, donant a valors positius i negatius. Compara la gràfica d'esta funció amb la de y = en l'interval 1,1. 18

17 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals La gràfica de la funció y = és una corba anomenada quártica. Per als valors negatius d, la y pren els mateios valors què per als corresponents valors positius d, ja què () =. La funció és parell. Podem dibuiar tota la corba utilizant només mitja part. Per allò, és suficient doblegar el paper per l ei d ordenades. La corba és simètrica respecte de l ei d ordenades. Una funció y = f() és PARELL si compli f() = f() per a tot punt del seu domini. La gràfica d una funció parell és SIMÈTRICA RESPECTE DE L EIX D ORDENADES. b) Dibuia les gràfiques de les funcions y = - 5, y = ( +1), y = ( +1) -, comparantlas amb la gràfica de y =. c) Dibuia, el més aproimadament que pugues, la gràfica de la funció amb la gràfica de y =. y = -, comparánt-la Les funcions polinòmiques de quart grau, y = a + b + c + d + e tenen per gràfiques corbes anomenades quàrtiques. Son simètriques amb ei de simetría vertical. PARELLS O IMPARELLS? Esbrina si les següents funcions són parells o imparells: y = y = - y = - + y = y = y =. PUNTS DE TALL a) Troba els punts de tall amb els eios coordenats de les següents funcions: 1) f() 5 6 ) f() b) Troba els punts de tall amb els eios coordenats de les següents funcions: 1) f() 5 1 ) f()

18 Matemàtiques I 1r Batillerat BIQUADRADES S anomena equació biquadrada a una equació de la forma: a b c = 0. Si en aquesta ecuació substituim y y y prendrà la forma: ay by + c = 0 que és una equació de segon grau en y. Resolent aquesta equació resulta: -b b ac y = a b b ac quadrada: = a biquadrada: b b ac Com què y resulta: a i calculant l arrel que dona origen a les quatre solucions de l equació b + b ac b + b ac b - b ac b - b ac 1 ; ; ; a a a a Troba els punts de tall amb l ei OX de les següents funcions: 1) f() 10 9 ) f() 6 5 ) f() -17 ) f() 7 9 5) f() 5 1 MES BIQUADRADES Troba les arrels reals de les següents equacions biquadrades: 1) 16 0 ) ) 5 0 ) 600 5) Polinomis i funcions polinòmiques. POLINOMIS Les epressions +, + + s anomenem polinomis. També són polinomis altres epressions més complicades com les següents: , , 7a + a - a +1, etc. Les epressions anteriors són polinomis amb una indeterminada: 5 6 Les 5 +, epressions són de grau. és de grau. és de grau 5. 1 a b + 5ab - ab, - 5m nz, 7a b - ab, y - 7y + y són polinomis amb més d una indeterminada, de graus,, i respectivament. Les operacions amb polinomis són fàcils de realitzar si ese te en compte com s opera en el sistema de numeració decimal. 0

19 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals a) Completa les següents operacions: SISTEMA DECIMAL POLINOMIS = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = 5-1 = ( ) - ( ) = ( ) - ( ) = ( ) + ( ) = ( + + ) + ( ) = ( ) - ( ) = ( ) - ( + + ) = b) Efectúa les següents operacions amb polinomis: 1) ) ) ) (6 (6 5 5 (10a (10a - - MONOMIS - 7a - 7a + - 7) + ( ) - (5 + a - ) + (8a + a - ) - (8a a - 5a + -1) + -1) +1) +1) Són epressions que indiquen el producte de números per potències de variables, com per eemple,, 6a b, etc. Troba la suma dels següents parelles de monomis, simplificant el resultat quan siga possible: a) 5 y b) y - c) y - d) a b y - 5a b ÀREA I VOLUM Calcula el volum dels següents sòlids. Calcula també la suma de les àrees de totes les seues cares. Les epressions obtingudes són polinomis. Indica el grau de cada un d'ells. 1

20 Matemàtiques I 1r Batillerat MULTIPLICACIÓ Per a efectuar el producte de dos números, 1 i 10 podem procedir amb ajuda d'una taula de doble entrada. Aií: = =100 + També podem procedir aií: PRODUCTES PARCIALS TOTAL = = PRODUCTES PARCIALS TOTAL Utilitza el matei procediment per a efectuar els següents productes de polinomis: a) (5 b) (8a - - 5a OPERACIONS + -1) ( +1) (a - + 5) + a + 5) Donades les funcions polinómiques y1 = - +, y = + 6-1, calcula les funcions: SUMA I PRODUCTE a) y Suma i multiplica cada parella de polinomis: a) P() = 5 b) P() = 5 c) P() = , -, 1 + y b) y1 - y c) y1 y + Q() = 5 +, Q() = 5 Q() =

21 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals MES OPERACIONS Calcula els resultats de les següents operacions entre funcions polinómiques les epressions dels quals es donen a continuació: f() = 6 + a) g() = f() = b) g() = f() = c) g() = IGUALTATS ALGEBRAIQUES - +1 f() g() f() - g() f() + g() a) Realitzant els càlculs oportuns, comprova quins de les següents igualtats són verdaderes i quines falses: ( + 7) (7 5) (7 5) = = 7 = ( + ) (5 + ) (5 - ) = 5 ( + 7) = = b) Utilitzant els resultats de l'apartat anterior, digues quins de les següents relacions són verdaderes o falses: Recorda: (a + b) (a + b) (a - b) = a = a = a + b = a + ab + b + b + b + b + ab - ab (a + b) (a - b) a QUADRAT D UNA SUMA - b = a - ab + b = a (a + b) (a a QUADRAT D UNA DIFERENCIA + ba - b = a - b a SUMA PER DIFERENCIA=DIFERENCIA DE QUADRATS DIVISIONS ENTRE MONOMIS Per a efectuar quocients de monomis, basta utilitzar el quocient de números i de potències de la mateia base: 1 7 y y 5 z z 1 = 7 y y 5 z z = a - b) = y Per a dividir polinomis entre monomis cal utilitzar prèviament la propietat distributiva: + b - b = a z - b = - + = - +1

22 Matemàtiques I 1r Batillerat Efectua les divisions següents: 5 1 y z a) y z DIVISIONS 7 6a b z b) 1a b 5 1 c) y y y y 6 La divisió de polinomis segui el matei procés que la divisió de nombres enters. Convé que tant el dividend com el divisor estiguen ordenats de major a menor. La divisió s'acaba quan el grau de la resta és menor que el grau del divisor. Vegem un eemple: En general, ha de complir-se: 1) DIVIDEND = DIVISOR. QUOCIENT + RESIDU En el nostre eemple ha de complir-se: ) GRAU (RESIDU) < GRAU (DIVISOR) 1) = ) Grau - + < Grau + -1 COMPROBAHO! Si la resta és zero, la divisió és eacta. En este cas es diu que el dividend és divisible pel divisor o múltiple del divisor. També es diu que el divisor és un factor o divisor del dividend. Un polinomi és compost quan té algun divisor de menor grau i diferent d'un número; en cas contrari, el polinomi és primer o irreductible. Eemples de polinomis primers: +, +1, Eemples de polinomios compostos: -1 = +1-1, = - - Efectua les divisions següents: a) ( c) ( ):( + 7):( +1) + ) b) ( d) ( ):( - 5) - + 7):( + )

23 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals RUFFINI Per a calcular el valor numèric del polinomi procedir de la següent forma, llevant factor comú repetides voltes: = = 6-1 per a =, podem Si observes detingudament l última epressió, veuràs què obtindre el valor del polinomi en = es redui a multiplicar el primer coeficient per i sumar el segon coeficient, tornar a multiplicar per el resultat i sumar el següent coeficient, etc. Este procediment es conei amb el nom d'algoritme d'horner. Podem disposar els càlculs de la forma següent: 1) Col loquem dalt els coeficients del polinomi i bai el, que és el valor de per al que volem obtindre el valor del polinomi: Les operacions que s'efectuen en els passos següents es donen de forma esquemàtica: Amb una calculadora que dispose de memòries podem procedir de la següent forma per a efectuar els càlculs anteriors: Min (ó M + ) 5 = 5 MR = 7 MR = 10 MR + 6 = 6 MR 1 = 51 Utilitzant els resultats parcials ( 5, 7, 10 i 6 ) podem formar un nou polinomi de grau inferior en una unitat al del dividend: Comprova què es verifica l epressió: =

24 Matemàtiques I 1r Batillerat Recorda què en tota divisió es compli: DIVIDEND = DIVISOR QUOCIENT + RESIDU. Per tant, allò què hem fet és una divisió de polinomis en què: és el DIVIDEND; - és el DIVISOR; i és el QUOCIENT; 51 és el RESIDU. És a dir, hem efectuat la divisió: : - L'algoritme d'horner servi per a dividir qualsevol polinomi entre altres de la forma - a. Els resultats parcials són els coeficients del polinomi quocient (de grau inferior en una unitat al del dividend) i la resta de la divisió és, precisament, el valor del polinomi per a = a. Este resultat és conegut com a REGLA DE RUFFINI i permet fer ús de la calculadora per a dividir polinomis. Efectua les divisions que s'indiquen, aplicant la regla de Ruffini: a) (5-1 c) ( +1): e) : - RESIDU + + ):( + ) b) ( d) ( f) Troba el residu de la divisió de -1 per + 1 DIVISIBLES + 5-9):( +) ): : fent servir dos procediments distints. Si a l'aplicar la regla de Ruffini per a dividir el polinomi P() entre - a, s'obté residu 0, llavors el polinomi P() és divisible entre - a o és múltiple de - a. Com la resta de la divisió és el valor numèric de tal polinomi per a = a, resulta que: El polinomi P() és divisible entre a si i només si P(a) = 0 Per tant, per a esbrinar si un polinomi és divisible entre a és suficient utilitzar la Regla de Ruffini i trobar el valor numèric del polinomi per a = a. Si el polinomi P() és divisible entre a, es diu què a és un factor de P() a) Determina a per què el polinomi a b) Determina a per què el polinomi - - a POLINOMI MISTERIÓS + b + c és divisible per 1 siga divisible per siga divisible per El polinomi +. Al dividir-lo per -1 dona un residu igual què el obtingut al dividir-lo per -. Quánt valen b i c?. 6

25 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals ARRELS S anomenen arrels d un polinomi P() als números =a tals què el seu valor numèric és 0, P(a)=0. Per eemple, el polinomi P() = -5+6 té per arrels = i =, ja què P() = P() = 0. Un polinomi de grau n té com a màim n arrels reals. Les arrels senceres d'un polinomi amb coeficients sencers són divisors del terme independent, si és que ho té. Eemple: Quines són les arrels senceres del polinomi P() = + - -? Possibles arrels senceres: +1, -1, +, -. Per a =1 s obté: P(1)=1+-1-=0. Per a = -1 s obté: P(-1)= =0. Per a = s obté: P()= Per a = - s obté: P(-)= =0. Les arrels senceres són: 1, -1,-. Calcula les arrels dels polinomis següents: a) P() = b)p() = c)p() = d)p() = FACTORITZA POLINOMIS Factoritzar un polinomi (descompondre en factors) consisti en epresar-lo com a producte de factors primers o irreductibles. El coneiement de les arrels del polinomi és imprescindible per a factoritzar-lo, ja que: Si les arrels del polinomi P() = a n + b n-1 + c n factorització de l esmentat polinomi és: P() = a - r - r - r rn Eemple: Factoritza el polinomi P() = són r 1, r,... r n, la Possibles arrels senceres: +1, -1, +, -, +, -. Es comproba què són arrels: -1, -,. Factorització del polinomi: P() =

26 Matemàtiques I 1r Batillerat Descompon en factors les epressions següents: a) b) d) ( + ) - ( - ) e) c) f) + +1 FACTORITZA EXPRESSIONS Igual que els polinomis, podem factorizar epressions algebraiques, usant per a aiò l'operació de traure factor comú i utilitzant algunes propietats algebraiques, com quadrat d'una suma, suma per diferència, etc. Vegem alguns eemples: 1) Factoritza l epressió: 1 y -10 y - y Llevant factor comú y resulta: 1 y -10 y - y = y 6 y y ) Factoritza l epressió: 5 - y Descomposant la diferència de quadrats com a suma per diferència, resulta: 5 - y = 5 + y 5 - y ) Factoritza l epressió: a + ab + b Utilizant la fòrmula del quadrat d una suma: a + ab + b = a + b = a + b a + b Descompon en factors les següents epressions: a) + y - y b) 6a b - 9ab + ab c) a b - c d) 9 - y PUNTS DE TALL e) a -16ab + 6b f) - a + a Per a obtindre els punts de tall de la gràfica d'una funció amb els eios de coordenades, cal tindre en compte que tots els punts situats sobre l'ei d'abcisas (OX) tenen ordenada zero (y=0 ) i tots els situats sobre l'ei d'ordenades (OY) tenen abcisa zero ( = 0 ). Si y=f() és la fórmula de la funció, els punts de tall amb l ei OX s obtenen resolent el sistema: els punts de tall amb l ei OY s obtenen resolent el sistema: Eemples: y = f() y = 0 y = f() = 0 1) Comproba què els punts de tall amb els eios de la funció = (-, 0), (1, 0), (, 0) y (0, 6). y són ) Troba els punts de tall amb els eios de la funció y = Al trobar els punts de tall amb l ei OX cal resoldre l equació = 0. Comproba, per la regla de Ruffini, què les solucions són:, 1, -, -. Els punts de tall són, pui, (, 0), (1, 0), (-, 0), (-, 0) y (0, 1). ) Troba els punts de tall amb els eios de la funció y =

27 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals Per a trobar els punts de tall amb l ei OX cal resoldre l equació = 0. Pots epresar-la, per a més comoditat, aií: + = 1. Probem = ; +. = 8; falta. Probem = ; +. = 15; sobra. Una solució está entre i, més próima a. Probem = 9; ( 9) +. 9 = 1 1. Sobra. Probem = 8; ( 8) +. 8 = 1. Falta. Podem continuar probant, o deiar-lo, per eemple en 87. Aplicant ara la regla de Ruffini, dividim el polinomi entre - 87: 87 M + 1 = 1 MR + = 87 MR - 1 = = 0 per tant podem escriure: = ( - 87) ( + 87). Les solucions són, pui, = 87 i = - 87 aproimadament. Per tant els punts de tall amb els eios són: ( 87, 0), (- 87, 0) i (0, - 1). 1) Troba els punts de tall amb els eios de la funció f() = ) Troba els punts de tall amb els eios de les seguents funcions: a) f() c) f() = = b) f() = d) f() = 6 + ) Troba els punts de tall amb els eios de les següents funcions: a) f() c) f() = = GRÀFIQUES b) f() = Representa gràficament, de forma aproimada, les funcions següents: a) f() = b) f() = c) f() =

28 Matemàtiques I 1r Batillerat MÀXIM I MÍNIM Amb ajuda d'una calculadora gràfica podem determinar aproimadament els màims i mínims d'una funció. Eemple: Troba els màims i mínims de la funció: y = La gràfica, obtinguda amb la calculadora, suggeri l'eistència d'un màim en l'interval -1, 0 i un mínim en l'interval 1,. Si recorrem amb el cursor la gràfica, en la part inferior de la pantalla obtenim les coordenades del cursor. El valor de la per al qual la i és major que en els punts pròims és = -0'15 i la corresponent ordenada val i = '116. Per tant, el màim aproimat serà (-0'15, '116). De la mateia manera, el mínim aproimat és el punt (1'55, -0'611). Si no es disposa d'una calculadora gràfica, es pot anar calculant l'ordenada per als punts en què se suposa pot estar el màim o el mínim. Quan trobem un punt en què l'ordenada siga major que en els punts pròims, este serà el màim aproimat. De la mateia manera trobarem el mínim. La funció f() = - té un màim en l interval forma aproimada els esmentats punts. MÍNIMS - 1, 0 i un mínim en l interval 1 0,. Troba de La funció = - 1,. Troba l esmentat mínim de forma aproimada. És aquesta funció simètrica respecte de l ei OY?. En cas afirmatiu, on hi haurà un altre mínim?. PRODUCTE MÀXIM f() té un mínim en l interval Troba dos números la suma dels quals siga 0, sabent que el seu producte és màim. NUMEROS MISTERIOSOS Determina dos números la suma dels quals és i tals que el producte de l'un pel cub de l'altre siga màim. 0

29 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals UNA CUBICA Representa gràficament, obtenint prèviament una taula de valors, la funció: UTILITAT 1 f() = La funció d'utilitat de la Companyia Aèria Transairlines, des de 1970 fins a 1980, ve donada per la fórmula: U(t) = -t + 8t, On t es mesura en anys i U(t) en milions de dòlars. El valor t = 0 correspon a l'any 1975, en el que no va haver-hi pèrdues ni guanys. Estudia la funció i dibuia el seu gràfica. SIMETRIA PARELL O IMPARELL? Quines funcions de què es donen a continuació són paries o imparells?. a) f() = - b) g() = c) h() = 1-6. Funcions racionals i radicals. LA PALANCA La palanca és un dispositiu que consisti en una barra rígida que pot girar alrrededor d'un suport, tal com indica la figura. De cada etrem de la barra es poden penjar pesos. La llei de la palanca, descoberta per Arquimedes, afirma el següent: Si el braç llarg és doble que el curt, el pes que es pot alçar en l'etrem del braç llarg es multiplica per dos en l'etrem del braç curt. Si el braç llarg és triple que el curt, llavors el pes del costat llarg es multiplica per tres en l'etrem del braç curt. 1

30 Matemàtiques I 1r Batillerat En general, si a i b són les longituds de cada braç de la palanca, i m'i n els pesos respectius en els seus etrems, la relació entre a, b, m'i n és: a m = b n a) Presa a = 10 metres i m = 1 tona. Escriu la relació entre b i n en este cas. Dibuia la gràfica de la funció que epressa n conegut b. 1 y, donant a valors positius i negatius. Estudia el comportament d'esta funció per a valors de pròims a 0 i per a valors de allunyats de l'origen. b) Dibuia la gràfica de la funció GRÀFIQUES a) Representa gràficament les següents funcions: La gràfica de la funció següents: a = = y ; 5 = y ; -1 = y ; - 6 = y. y és una corba anomenada hipèrbola que té les propietats 1) No eisti per a = 0, és a dir el seu domini és R-{ 0 } ) Per a valors de pròims a 0 (per l'esquerra o per la dreta) els valors de i es fan cada vegada majors i positius (o negatius), la qual cosa s'epressa aií: Si + 0 aleshores y + (y -). Si - 0 aleshores y - (y + ) Se diu què la recta = 0 (ei de les y) és asímptota vertical de la corba. ) Per a valors d allunyats de 0 (per l esquerra i per la dreta), els valors de y se fan cada vegada més pròims a 0 (per l esquerra o per la dreta), el què s epressa aií: Si aleshores y 0 (y 0 ). Si - aleshores y 0 (y 0 ) Se diu què la recta y = 0 (ei de les ) és una asímptota horitzontal de la corba. Anomenem asimptota a una recta a la qual s apropa la corba cada vegada més, sense arrivar a tocar-la. - + b) Representa gràficament les seguents funcions: = y ; y = - ; y = -

31 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals MES GRÀFIQUES Per a dibuiar la gràfica de la funció a = + c + b y comencem dibuiant la gràfica de a = y. A continuació traslladem esta gràfica b unitats cap a l esquerra, obtenint la gràfica de a y = + b. Per últim, traslladem esta segona gràfica c unitats cap amunt, obtenint com a resultat la gràfica buscada. El domini de la funció és R { b} Representa gràficament les funcions següents: 1 6 a) y = - b) y = + 5 c) y = FUNCIONS HOMOGRÀFIQUES Les funcions de la forma a + b = c + d y s anomenen funcions homogràfiques. Abans de dibuiar la gràfica, efectuem el quocient de polinomis, obtenint com a quocient un número m i com a residu un número n. Tenint en compte què DIVIDEND=DIVISOR QUOCIENT + RESIDU, podem escriure: + n a + b = m c + d per tant: La gràfica de la funció inicial coincidi amb la de la funció a + b n = m + c + d c + d y = m + n c + d. Per a dibuiar aquesta, seguirem els mateios passos què en el problema anterior, representant inicialment la funció n = c y i traslladándo-la d unitats cap a l esquerra i m unitats cap a la dreta. El domini de la funció homogràfica denominador, en aquest cas d = - c a + b = c + d y s obté trobant els valors d què anul.len el. Per tant el domini és R - { - d / c }. Dibuia les gràfiques de les funcions: a) y = b) y = - c) y = -1-1

32 Matemàtiques I 1r Batillerat DOMINI I ASÍMPTOTES Per a determinar el domini d una funció racional p() = q() f() trobarem els valors d què anul.len el denominador, resolent l equació q() = 0, és a dir trobant les arrels del polinomi q(). Per a eios valors d la funció no está definida. Asímptotes verticals: Es determinen trobant els valors d què anul.len el denominador. Per eemple, la funció = d ordenades), ja què es compli: y -. y té com a asímptota vertical la recta d equació = 0 (ei Si + 0, aleshores + y i si - 0, aleshores Asímptotes horitzontals: Es determinen estudiant el comportament de la funció per a valors d allunyats de 0. La recta d equació y = a és una asímptota horitzontal de la funció si: quan i quan -, ocorre què y a o bé y a. Per eemple, la funció - y = té com asímptota horitzontal la recta y =, ja que si +, y i si , y. Asimptotas oblíques: Es determinen també estudiant el comportament de la funció per a valors d allunyats de 0. Per a trobar les asímptotes obliques de la funció, y = +1 comencem efectuant la divisió de polinomis, obtenin -1 com a quocient i residu 1. Tenint en compte què DIVIDEND = DIVISOR QUOCIENT + RESIDU, resulta = per tant obtenim: y = = +1-1 Per a valors d allunyats de 0, el quocient , tendi a 0, de forma què la funció es comporta com la recta y = - 1, ja què s apropaa a ella cada vegada més. Diguem aleshores què la recta d equació y = -1 és una asímptota oblíqua de la corba. Troba el domini de cadascuna de les següents funcions. Troba les asímptotes verticals, horitzontals i obliqües, si tenen: +1 a) y = d) y = -1 b) y = -1 e) y = -1 c) y = + f) y = -

33 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals TENDÈNCIA a) Donada la funció la gràfica de la qual representem: Quan Quan Quan Quan +, a què tendi f()?. -, a què tendi f()?. -, a què tendi f()?. +, a què tendi f()?. b) Donada la funció la gràfica de la qual representem: Quan Quan +, a què tendi f()?. -, a què tendi f()?. c) Donada la funció la gràfica de la qual representem: Quan Quan -, a què tendi f()?. +, a què tendi f()?. 5

34 Matemàtiques I 1r Batillerat DOMINIS Determina el domini de les següents funcions: a) f() = 1 d) y = b) g() = e) y = c) h() = f) p() = OXÍGEN L'anomenada Llei de Boyle establi que, si la temperatura d'un gas es manté constant, la pressió eercida pel gas varia inversament amb el volum. Esta propietat s'epressa per mitjà de la fórmula: P.V = k. Un tractament mèdic per a pacients amb problemes respiratoris consisti en l'administració d'oigen. Este oigen es presenta en bambolles a pressió. El volum d'estes bambolles és 1 cm. a) Quina és la pressió de l'oigen en la bambolla a 1oc, si a esta temperatura la constant k per a l'oigen val 600?. b) Representa gràficament la funció 600 V = P PRESSIÓ I VOLUM A una temperatura de 0ºC, la relació entre el volum V que ocupa un gas i la seua pressió P és: ' = P V ( V en litres i P en atmosferes ) Què ocorre si la pressió disminuï? I si augmenta?. Com varia el volum del gas al variar la seua pressió?. Representa gràficament la funció que relaciona el volum i la pressió del gas a 0 o C. Quin és el seu domini?. RECTANGLE En un rectangle de base i d'altura 6 cm, quina és l'epressió que relaciona la diagonal amb la base?. Dibuia la gràfica d'esta funció. 6

35 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals RECTANGLE INSCRIT En una circumferència de radi 10 m s'inscriu un rectangle. Epressa l'àrea del rectangle en funció del costat de la base. Intenta dibuiar la gràfica de la dita funció. Quin és el seu domini?. QUADRAT I ARREL Dibuia en els mateios eios de coordenades les gràfiques de les funcions g() =. Quina relació hi ha entre ambdós gràfiques?. f() = i ARRELS Troba el domini i el recorregut de les següents funcions i representa-les gràficament: a) y = b) y = - 5 c) y = + -1 Per a trobar el domini d una funció radical valors d per als què el radicand és positiu o nul, g()0. f() = g() cal obtindre els MÉS DOMINIS Troba els dominis de les funcions següents: 1 a) f() = b) y = 5-1+ d) y = 1 g) y = e) m() = h) y = c) y =1- f) n() = i) y =

36 Matemàtiques I 1r Batillerat 7. Fraccions algebraiques. SIMPLIFICA f() Una epressió del tipus, on f() i g() són polinomis s anomena fracció algebraica. Una g() fracció algebraica només está definida per als valors d què no anul.len el denominador g(). Per a simplificar una epressió algebraica s'han d'utilitzar les tècniques conegudes de polinomis: traure factor comú, suma per diferència, etc. A més cal assegurar-se que la simplificació es pot fer i que no estem dividint entre 0. Vegem dos eemples: 1) + + = +1 = simplificació és correcta, sempre què 0. on hem tret factor comú en el numerador. La ) - = = + on hem utilitzat què suma per diferència és diferència de quadrats. La simplificació és correcta sempre què - 0, és a dir. Simplifica les següents fraccions algebraiques: + a) b) - c) d) + EQUIVALENTS Dos fraccions algebraiques q p i s r són equivalents si p r =. q s Són equivalents les fraccions -1 - i ?. Suggeriment: Factoriza prèviament el numerador i el denominador de la segona fracció i tracta de simplificar la dita fracció tot el que puga COMÚ DENOMINADOR Reduir dos fraccions algebraiques a comú denominador consisti a transformar les dites fraccions en altres equivalents que tinguen el matei denominador. Redui a comú denominador les fraccions: 1, y 1-1. Suggeriment: Per quina epressió has de multiplicar numerador i denominador de cada fracció perquè totes elles tinguen el matei denominador?. Recorda que suma per diferència és diferència de quadrats. 8

37 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals OPERACIONS Per a efectuar sumes i restes combinades de fraccions algebraiques, és convenient reduir-les prèviament a comú denominador. Després se sumen i resten els numeradors de les fraccions, deiant com a denominador el denominador comú. Eemple: Reduint a comú denominador tenim: = = = Efectua les següents operacions amb fraccions algebraiques: 1 1 a) b) c) d) SIMPLIFICA ALTRA VEGADA Simplifica, quan siga possible, les següents fraccions algebraiques: a) b) + 6 Suggeriment: Factoritza prèviament numerador i denominador de cada fracció. PRODUCTES I QUOCIENTS Per a multiplicar dos fraccions algebraiques, denominadors respectius. Aií: p q r p r = s q s. p, q r s, és suficient multiplicar els numeradors i els Per a dividir dos fraccions algebraiques, del divisor. Aií: p r : q s p = q s p s = r q r. p, q r s, és suficient multiplicar el dividend per l invers a) Multiplica per b) Multiplica per. 8 - c) Dividi - +1 entre d) Dividi -1 + entre CONSTANTS DESCONEGUDES Determina quin valors prenen A i B per a què es verifique: = A - + B + 9

38 Matemàtiques I 1r Batillerat 8. Equacions racionals i irracionals. EQUACIONS RACIONALS Són equacions en què apareien fraccions amb la incògnita en el denominador. Es resolen llevant els denominadors tenint en compte que ara, al buscar el mínim comú múltiple, apareieran epressions algebraiques. 1) Troba els punts de tall amb l ei OX de les següents funcions: 5 a) f() 1 b) f() c) f() ) Troba els punts de tall de les gràfiques de les següents funcions: a) f() - i g() 1 6 b) f() 6 i g() 1 - c) - f() i 5 g() EQUACIONS IRRACIONALS Són equacions en què la incògnita aparei davall el signe de l'arrel. Es resolen aillant l'arrel i elevant el quadrat els dos membres de l'equació. En estes equacions sempre hi ha fer la comprovació, perquè poden aparéier solucions que no siguen verdaderes. 1) Troba els punts de tall amb l ei OX de les següents funcions: a) f() -1 8 b) f() - c) f() - 1 d) f() - - e) f() 1 1 f) ) Troba els punts d'intersecció de les gràfiques de les funcions següents: a) f() 1 1 i g() b) f() 1 1- i g() 1 f() - 0

39 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals 9. Funcions i equacions polinòmiques amb calculadora CAS RESOLUCIÓ NUMÈRICA Toca el botó Menú de la barra situada en la pantalla de la Classpad. En el menú d aplicacions, toca l icona Resolución. En la següent taula es mostren alguns dels submenús del menú : Submenú Acció Resolució numèrica Fa què la finestra de resolució numèrica siga la finestra activa. Editar gràfic Fa què la finestra de l editor de gràfics siga la finestra activa. Editor gràfic D Fa què la finestra de l editor de gràfics D siga la finestra activa. Principal Fa què la finestra de l aplicació Principal siga l aplicació activa. En la següent taula es mostren els comands del menú : Funció Acció Eliminar az Esborra totes les variables d entrada d 1 caràcter (des d a fins z), incloent els programes. Inicialitzar límit Inicialitza el límit superior i el límit inferior. La barra d eines de l aplicació Resolució numèrica ens proporciona un accés ràpid a l aplicació Principal, a l editor de gràfics D, a l editor de gràfics i al comand Solve (Resolució). Toca el botó què permet accedir a l editor de gràfics. Observa què s obri la finestra de l editor de gràfics en la part inferior de la pantalla. En la finestra de l editor de gràfics, introduï, junt a y1, l epressió. Toca en l equació a la dreta de y1=. Tria el comand Edit / Seleccionar todo. Arrosega l equació a la posició del cursor Equació. A continuació, toca el botó Solve per a resoldre l equació =0, o be, selecciona el comand Resolver / Ejecutar. Observa el resultat. PROBLEMA DEL LLANÇAMENT Siga t el temps què tarda un objecte en abastar una altura h, quan és llançat cap a dalt en línia recta amb una velocitat inicial v. Utilitza la fòrmula h v t 1 g t per a calcular la velocitat inicial v per a una altura h = 1 metres i un temps t = segons. L aceleració de la gravetat és g = 9,8 m/s. 1

40 Matemàtiques I 1r Batillerat Toca el botó Menú de la barra d eines de la finestra i, en el menú d aplicacions, toca l icona Resolución. Una vegada iniciada l aplicació Resolució numèrica, polsa [Keyboard] [mth] [VAR]. Introduï l equació i després polsa [EXE], tal com s indica a continuació: [h] [=] [v] [t] [] [(] [1] [] [] [)] [g] [t] [] [] [EXE]. Si no introduïes un signe igual (=), la Classpad supondrá què tota l epressió es troba a l esquerra del signe igual i que el costat dret és zéro. Si introduïes més d un signe igual es produï un error. En la lista de variables d epressió que aparéi, introduï els valors desitjats per a les variables, tal com s indica a continuació: [1] [] [EXE] [0] [EXE] [] [EXE] [9] [] [8] [EXE]. També pots indicar valors per als límits inferior i superior per a la solució. Si no hi ha cap solució en el rang de valors especificat, es produirà un error. Selecciona la variable per a la qual cal resoldre l equació, de manera què el botó junt a la variable es convertisca en ). Toca el botó Solve o selecciona el comand Resolver / Ejecutar en el menú de resolució numèrica. El valor LeftRight mostra la diferència entre els resultats del costat esquerra i del costat dret. Nota. La Classpad utilitza el mètode de Newton per a l aplicació Resolución numérica. Açò fa què en algunes solucions s inclouen errores què no són solucions reals. La precisió està donada per la diferència [LeftRight]. Si els resultats no convergen suficientement, la calculadora mostra el missatge: Did not converge. Do you wish to continue a calculation?. Polsa [Yes] per a continuar, o [No] per a cancelar el càlcul.

41 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals DISTINTES TÉCNIQUES DE RESOLUCIÓ D EQUACIONS AMB LA CLASSPAD 0 Mètodes gràfics per a resoldre una equació Per a resoldre l equació , accedim a la secció de funcions de la Classpad en, introduïm la funció y en la calculadora, la seleccionem en la casella de l esquerra i la representem gràficament amb, Per a veure els intervals en els quals es representa polsem en, veiem què els valors -7,7<<7,7 i què -,8<y<,8. Després en Aceptar per a tornar a la gràfica. Ara podem allunyar-nos amb Zoom/Reducir i tindrem la pantalla què aparéi a la dreta i la representació es farà per a valors -15,<<15,; -7,6<y<7,6 Els arrels de l equació estàn donats pels punts de tall de la funció amb l ei d abcisses. La calculadora permet que ens desplacem sobre la corba amb per a situar-nos amb els cursors esquerra/dreta de la part central del teclat en el punt més a prop a l arrel. Podem ampliar la zona què desitgem, per allò tenim diverses opcions: Zoom de quadre: necessitarem obrir una finestra amb el llápis sobre la pantalla què continga la zona a ampliar. Zoom de apropament (Zoom/Aumentar): a partir del centre de la pantalla en la què estem, es fa una ampliació d una regió de la pantalla amb un factor. Tornem a la pantalla anterior amb (Zoom/Reducir). Podem modificar el factor de ampliació/reducció amb Zoom/Factor. Modificar els etrems de la finestra amb : escrivim els valors d i y entre els què desitjem estudiar la funció. És una opció interessant quan hem obtingut previament informació de la regió què anem a analitzar, mentres què les dos anteriors tenen més sentit quan estem en la fàse eploratòria i volem determinar-la. En qualsevol cas podem tornar a la pantalla anterior amb Zoom/anterior, també a la primera de totes amb Zoom/original, amés d altres especials com els de funcions quadràtiques, trigonomètriques o eponencials.

42 Matemàtiques I 1r Batillerat Qualsevol dels procediments descrits es pot fer repetidament o utilitzar combinacions d ells fins conseguir l aproimació desitjada en funció de les eigències de la situació. Mètodes numèrics per a resoldre equacions Els mètodes numèrics per a resoldre equacions es basen en la búsca dels llocs en els quals la funció canvia de signe. En la majoría dels casos cal fer algunes proves per a trobar el pas dels valors positius a negatius o a l inrevés. En la mateia funció anterior , polsem per a què construisca una taula de valors d i y. En este cas trobem a primera vista un dels canvis de signe (hi ha dos més què no aparéien açí encara què els hem vist anteriorment en la gràfica). Per a buscar l arrel amb més precissió, hem de variar el valor inicial i l increment amb tenim les pantalles què tenen els seguents valors inicials e increments: Valor inicial = Valor inicial =,6 Valor inicial Increment =0,1 Increment =0,01 Increment =0,1. Açí bai i aií successivament fins abastar la precissió desitjada.

43 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals Mètodes automàtics per al càlcul d arrels Les calculadores gràfiques incorporen una colecció de eines molt potents, què permitien realitzar automàticament càlculs sobre gràfiques de funcions per a obtindre la solució d una equació. Podem obtindre el punt de tall de la corba anterior, y 6 6 6, amb l ei d abcisses amb Análisis/ Resolución gráfica/ Raíz La calculadora situa el cursor sobre la primera de les arrels i en la part inferior ens dona les coordenades. Si polsem la flea de la dreta, el cursor es desplaça a les altres arrels Podem trobar les solucions des de la pantalla principal amb solve. Despleguem el teclat en la part inferior de la pantalla i escribim solve ( -6-6+,) El resultat què obtenim és el conjunt d arrels d una funció per a una determinada variable, en la pantalla només aparéien la primera i part de la segona, caldrà polsar en la fleta que hi ha a la dreta perquè aparega allò que falta. La sintài és solve (funció, variable). En la pantalla veiem com obtenim dos de les solucions de l equació què hem introduït en la función Y 1 de l editor de funcion, per a un matéi interval al prendre aproimacions distintes. Resolució de sistemes en el teclat [D] Un comerciant disposa de dos tipus de suc de euros i euros el litre respectivament i desitja obtindrer 1000 litres d un suc el preu del qual siga de,50 euros el litre. Quánts litres de cadascun dels sucs ha de mesclar?. 5

44 Matemàtiques I 1r Batillerat 1) Siga =nombre de litres del suc A (de euros/litre) y=nombre de litres del suc B (de y 1000 euros/litre). Cal resoldre el sistema: y 500 ) Toca el botó [D] per accedir al teclat virtual. Toca el botó i després el botó què té la plantilla de sistema de equacions. ) Fent servir el teclat virtual [D] introduï les equacions del sistema, polsant en la primera línea: [] [+] [y] [=] [1000] i polsant en la segona línea [] [] [+] [] [y] [=] [500]. A continuació sitúa el cursor en el quadre inferior dret i polsa [] [,] [y] per a indicar què les incògnites són i y. Polsa [Ejec.] i observa què la solució única del sistema és =750, y=50. Per tant, cal mesclar 750 litres de suc de euros/litre i 50 litres de suc de euros/litre. Una familia disposa de 7500 euros per a invertir. Part d eie diner el posa en un compte corrent al 5,5 % ; la resta l inverti en bonos al 11,5 %. Com haurà de fer la seua inversió per a obtindre una renda anual de 71,50 euros? 1) En compte corrent invertim euros i en bonos invertim y euros. Ha de cumplir-se: +y= ,5 A més: euros al 5,5 % donen uns interessos de = 0,055. D altra banda: y euros al ,5 11,5 % donen uns interessos de y =0,115 y. La renda anual será: 0, ,115 y. Ha 100 de ser : 0, ,115 y = 71,50. Cal resoldre el sistema: y y ) Utilitza el teclat virtual [D] per a introduïr les equacions del sistema. A continuació situa el cursor en el botó inferior dret i polsa [] [, ] [ y] per a indicar què les incògnites són i y. ) Toca el botó [Ejec.]. Observa què el sistema té una única solució. Per tant, cal invertir 0000 euros en bonos i 7500 euros en compte corrent. 6

45 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals Els 1000 grams d un menú consten de dos aliments A i B. Cada gram d A té unitats de proteïnes i de gruï, mentres què cada gram de B té 5 unitats de proteïnes i de gruï. El menú ha de tindre 700 unitats de proteïnes i 00 de gruï. Quánts grams d A i de B té el menú?. 1) Siguen = grams d A, y = grams de B. Ha de ser + y = Els grams d A tenen unitats de proteïnes; els y grams de B tenen 5y. Com en total han de ser 700 unitats, ha de cumplir-se: + 5y = 700. D altra banda, els grams d A tenen unitats de gruï; els y grams de B tenen y. Com en total han de ser 00 unitats, ha de cumplir-se: + y = y =1000 Per consegüent, cal resoldre el sistema: +5y = y = 00 ) Utilitza el teclat virtual [D] per a introduïr les equacions del sistema. Per a què aparega una plantilla amb tres equacions cal tocar dos vegades el botón. A continuació sitúa el cursor en el botó inferior dret i polsa [] [, ] [ y] per a indicar què les incógnites són e y. ) Toca el botó [Ejec.]. Aparéi un missatge d error, indicant què el sistema no té el matéi nombre d equacions què d incógnites. És a dir, el teclat [D] solament servi per a resoldre sistemes en els quals n hi ha tantes incògnites com equacions. Resol els següents sistemes d equacions: + y z = + y z = 0 a) + y + z = 5, b) y + z = 6, c) + y z = 1 + y 5z = 6 + y + z = y + z = 7 + y + z = 1) Utilitza el teclat virtual [D] per a introduïr les equacions del sistema (a). Per a què aparega una plantilla amb tres equacions cal tocar dos vegades el botó. A continuació sitúa el cursor en el botó inferior dret i polsa [] [, ] [ y] per a indicar què les incógnites són i y. ) Toca el botó [Ejec.]. Aparéi un missatge d error, indicant què el sistema no té solució. 7

46 Matemàtiques I 1r Batillerat ) Utilitza el teclat virtual [D] per a introduïr les equacions del sistema (b). Per a què aparega una plantilla amb tres equacions cal tocar dos vegades el botó. A continuació sitúa el cursor en el botó inferior dret i polsa [] [, ] [ y] per a indicar què les incógnites són i y. ) Toca el botó [Ejec.]. El sistema té infinites solucions què es poden epressar en forma paramètrica aií: =t+, y=t, z=t. 5) Utilitza el teclat virtual [D] per a introduïr les equacions del sistema (c). Per a què aparega una plantilla amb tres equacions cal tocar dos vegades el botó. A continuació sitúa el cursor en el botó inferior dret i polsa [] [, ] [ y] per a indicar què les incógnites són i y. 6) Toca el botó [Ejec.]. El sistema té solució única: =1, y=1, z=0. Sistemes no lineals Però... què ocòrre si el sistema a resoldre és no lineal? Per eemple, si usamos el teclado D, podem y 9 resoldre el sistema d equacions y el matéi passa si utilitzem el comand solve de y 1 l aplicación Principal. El menú de resolució d equacions no resol sistemes, però podem introduïr l equació què resulta al aïllar una de les incógnites de la segona equació i sustituir en la primera. Després cal polsar el botó Solve: 8

47 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals D aquesta forma obtenim una solució. Per a obtindre l altra, hem d introduïr en la línia = un valor positiu, per eemple, i polsar el botó Solve. Per tant, el sistema té dos solucions què es corresponen amb els dos valors d següents: =1,56 =,56. La millor opció és recurrir a l aplicació Gráficos y Tablas, representant gràficament les tres funcions eplícites què representen les equacions del sistema, a saber: y 9 1 equival a y 9 y 9 y 1 equival a + y = 1 A continuació, mitjançant el comand Intersecció del menú Análisis / Resolución gráfica, obtenim les coordenades dels dos punts de tall. En les següents pantalles es mostra el procés: 9

48 Matemàtiques I 1r Batillerat Veiem què el primer punt de tall té de coordenades (1.56,.56) El segon punt de tall té de coordenades (.56, 1.56). Per tant, el sistema té dos solucions: X=1.56 Y=.56 X=.56 Y= Activitats amb ClassPad 1) Resol aproimadament l equació: 5 1 amb l aplicació Resolució numèrica, prenent com a límits inferior i superior 10 i 10, respectivament. Comprova que la solució és, aproimadament, A continuació, toca el botó Editor de gráficos, selecciona l epresió 5 1 i arrosega-la amb el llàpis tàctil a la funció y1. Polsa en la casella de selecció de dita funció i a continuació toca el botó per a representar-la gràficament. Si és precís, modifica les dimensions de la finestra de visualizació, utilitzant el menú / Preferències / Ventana vis. Comprova en la finestra de gràfics D què, efectivament, la gràfica talla a l ei d abcises en =0,75. 50

49 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals ) (Valor absolut). Resol l equació: 7 utilitzant el comand solve. Després, obri la finestra de l editor de gràfics i introduï la funció y1= - 7. Polsa la casella de selecció corresponent i en el botó per a representar-la gràficament. Si és precís, modifica les dimensions de la pantalla de visualització amb el comand / Preferències / Ventana vis. Comprova què les solucions de l equació es corresponen amb els punts de tall de la gràfica amb l ei OX. ) (Equació irracional). Utilitzant el comand solve, resol l equació: 6. ) (Ecuació bicuadrada). Utilitza el comand solve per a resoldre l equació: 5 0. y 1 5) Resol el sistema d equacions:. Utilitza per allò el comand solve de l aplicació y Principal. Posteriorment, comprova geomètricament el resultat. Per allò, en l editor de gràfics introduï les funcions y1=+1, y=(1/)+1, activa les seues caselles i representa-les gràficament tocant el botó. Si és precís modifica les dimensions de la finestra gràfica amb el menú / Preferencias / Ventana vis. Comprova gràficament què la solució és l obtinguda amb el comand solve. y z y 1 6) Resol els sistemes d equacions: y z 5 utilitzant el teclat virtual D. 5 y 1 y z 1 a) Toca el botó Sistemes d equacions del teclat D i introduï en cada fila l equació corresponent. Després, en la casella del final, introduï les variables incógnita. Finalment, polsa [EXE] per a obtindre la solució del sistema. 51

50 Matemàtiques I 1r Batillerat b) Toca el botó Sistemas de ecuaciones del teclat D. A continuació torna a polsar el matéi botó perquè es mostren tres files en lloc de (cada vegada què polses l esmentat botó s incrementa en una el nombre de files). Escriu les tres equacions en les seues respectives files i després, en la última casella, introduï les tres incògnites. Finalment, polsa [EXE] per a obtindre el resultat. 7) Estudia la compatibilitat dels següents sistemes i els resols quan siga possible: a) y z 0 6y z 0 1y 1z -y z 1 b) - y z y z d) y z c) - y z -1 y z 5 y- z y z 1 y z 8) Es vol realitzar el repartiment de beneficis d una empresa valorant el tipus de treball realitzat per cadascun dels tres socis. S acorda què el primer reba 00 euros més que el segon. Aquest rebrà 00 euros més què el tercer. Com fer el repartiment si els beneficis són 000 euros?. 11. Families de funcions amb calculadora gràfica Funcions lineals Estudiarem el efecte dels paràmetres a i b en la funció lineal y = a+b, per allò començarem representant la funció y = amb Zoom/ Rápido estándar ( 10 10, 10 y 10 ). La gràfica té un aspecte diferent de l usual degut a la forma rectangular de la pantalla. Perquè les escales dels eios siguen iguals, cal triar l opción Zoom/ Cuadrado. Representem ara Y=X+, Y=X. Activem Análisis/ trazo per a recòrrer les gràfiques (amb les fletes esquerra-dreta recorrem la gràfica i amb les fletes dalt-bai canviem de funció). 5

51 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals Veiem una traslació de dos unitas, cap a dalt o cap a bai, o una traslació de dos unitats, cap a la dreta o l esquerra. Els talls amb l ei OY són els punts (0,) i (0,) respectivament. En realitat es tracta d una traslació vertical o horitzontal de dos unitats respecte de y =. Anem a la Hoja de gràfics per a representar y=, y=, y= simultàniament. Polsem Análisis/ trazo per a situar el cursor en la primera de les gràfiques representades, ens desplaçem sobre ella o pasem a les altres amb els cursors. S observa què la primera funció y= és la de menor inclinació o pendent. Representem ara y=+ i y=+6 comparàndo-les amb y=. Veiem què y=+ és una traslació vertical de tres unitats, i què y=+6 és una traslació horitzontal de unitats. També pot considerarse l inrevés, la primera una traslació horitzontal de 1 5 unitats i la segona una traslació vertical de 6 unitats. Per a estudiar els conceptes de pendent i ordenada en l origen utilitzem l edició de funcions amb llistes. Introduïm en la funció Y 1 la llista, como a coeficient del terme de primer grau per a un valor fie del terme independent. Amb allò veiem què l ordenada en l origen és la mateia per a les tres rectes, tenint major pendent la de major coeficient, 6 en el nostre cas. Editem ara una llista de cinc elements per al terme independent en y= + {-,-,0,,} Modificar un gràfic La calculadora Classpad 0 permet estudiar els canvis de la gráfica d una funció al modificar els seus coeficients. El comprovarem per a l estudi de rectes. 5

52 Matemàtiques I 1r Batillerat En primer lloc introduïm la funció y=+1, la representem amb. Amb entrem en la modificació dels coeficients de la funció. Seleccionem el terme independent. Cada vegada què polsem fleta dreta (esquerra) de la pantalla, el coeficient augmentarà (disminuirà) una unitat. Si introduïm la funció y=+1.5, i si entrem en la modificació i seleccionem la ifra 5 de les dècimes, els augments i disminucions es produïen en una dècima. Si seleccionem el coeficient d, i polsem les fletes esquerra i dreta el què canviem és el pendent de la recta Generació automàtica de gràfics dinàmics Podem modificar els coeficients de la funció y=a+b amb valors d a entre i i valors de b entre 1 i 5 de forma dinàmica. En primer lloc anem a la pantalla principal per assignar els valors 1 en a i en b. Després introduïm la funció linial y1=a+b, utilitzem el Zoom/ Rápido estándar. Utilitzem l eina /Controlador Gráfico per a introduïr en la calculadora els intervals en què varíen els coeficients i el pas. A més, indiquem què volem què la transició siga automàtica (Auto). 5

53 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals Si polsem la fleta dreta canviaràn els valors d a en el rang què s ha epressat. Igual ocòrre amb els valors de b al polsar la fleta cap a dalt. Triem l opció Manual en el Controlador gráfico, el que ens permt canviar cadascun dels dos coeficients per separat amb les fletes esquerra/dreta i dalt/bai. En estes pantalles es manté fie el valor d a per a modificar el de b. Funcions quadràtiques Representem y= en la finestra estàndar per a, posteriorment, analitzar els canvis dels paràmetres a, b i c en la familia funcional y=a( b) +c. Representem y=(-1) i y=(+1). S observen traslacions horitzontals de dos unitats. En y= +1 i y= 1 veiem una traslació vertical d una unitat, dependent del signe del terme independent, respecte de la gràfica original y =. Al comparar y= con y= i y= 1 veiem què y= es transforma en y= 1 per una dilatació vertical de factor de les branques de la paràbola i es transforma en y= por una contracció. 55

54 Matemàtiques I 1r Batillerat En ambdós casos hem considerat les funcions com la homotècia y=af(), en el primer cas per a= i en el segon per a= 1 1. També podem prendre casos particulars de y=f(a) per a i a i, per tant, analitzar-los com a dilatacions horitzontals. Si en lloc d un coeficient positiu introduïm un negatiu veiem què la funció y= és la simètrica respecte a l ei d abscises de y=. Al representar y= +1 veiem què la gràfica no talla l ei d abscises, què y=( 1) talla una única vegada a l ei d abscises i què y= 1 talla en dos punts (en =1 i = 1). Podem relacionar els talls amb els eios amb les solucions de l equació de segon grau: a + b + c = 0 Cap solució real Una solució doble = 1 Dos solucions = 1 i = Cap tall amb l ei Un únic punt de tall en el punt Dos punts de tall en eios mateios d abscises d abscisa 1 punts 1 i L estudi de les funcions quadràtiques també es pot plantejar des de l anàlisi de les variacions què generen els paràmetres a, b, c de la familia funcional y=a +b+c. Es pot comprovar la relació entre els dos enfocaments, demostrant què a +b+c=a(b) +C. Igual que vam fer per a les funcions polinòmiques de primer grau, podem introduïr llistes en la epressió analítica de les funcions de segon grau per a veure simultàniament els canvis què es produïen en les gràfiques. Primer introduïrem una llista en el lloc d A, després de B i per último de C. y= {1,,} (+1) - y= (+{1,,}) - y= (+) -{1,,}) Fem un estudi paregut amb la Modificación de gráficos per a y=a(b) +c. començem amb y=() 1. Veiem els canvis per a cadascun dels tres paràmetres: 56

55 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals Ara ho fem amb y=a +b+c. Començem amb y= +c i anem modificant des del terme independent fins el coeficient de segon grau. Funcions racionals y P() Q() Començem per l hipèrbola equilàtera 1 y, per analitzar les següents transformacions: y f () y f ( a) y a f () y af() y f (a) 1 y y 1 ( ) y 1 y y 1 La representació de 1 y amb Zoom/ Rápido inicialización és: 1 1 Veiem a la vegada la representació de les gràfiques de y f( ), y f() i ( ) y f() per a veure si es compli el vist en les funcions linials i quadràtiques. 57

56 Matemàtiques I 1r Batillerat En els dos primeros casos és una traslació horitzontal o vertical. L última transformació eigi una representació conjunta de les dos funcions, l original 1 y f(), y f(). I també 6 y 6 f(). Veiem què es tracta d una dilatació vertical (una homotècia de raó ). En l últim cas y f (a) (amb el eemple de y 1 ) es tracta d una dilatació horitzontal: Analitzcem els canvos què eperimenten les asímptotes en els quatre tipus de funcions estudiades. La traslació horitzontal trasllada l asímptota vertical i roman l asímptota horitzontal. La traslació vertical trasllada l asímptota horitzontal i roman la vertical. Els dos tipus de dilatacions no canvien les asímptotes. Fem el matéi estudi per a una funció racional amb polinomis de primer grau en numerador i denominador, per eemple y ( 1) y f() y f( a) y a f() y af() y f(a) y ( 1) ( ) y ( ) y ( 1) y ( 1) y ( 1) 58

57 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals 1 Aquesta funció presenta com a diferencies fonamentals respecte de y el fet de presentar el salt 1 en =1, igual què y i, sobre tot, què quan la funció pren valors molt grans tant positius com ( 1) negatius, és a dir, quan, la funció tendi a uno (i no a zero com ocorría a les anteriors funcions). Per tant la seua assímptota horitzontal és la recta y=1. Representem les dos funcions generades per traslació respecte d ella, f() : ( 1) ( ) f( ) o ( ) En la primera (traslació horitzontal) l assímptota vertical s ha traslladat també horitzontalment passant a ser la recta =. L assímptota horitzontal es manté igual en la recta y=1. En la segonda gràfica (traslació vertical) veiem què l assínptota vertical es manté igual en la recta =1 mentres què l assímptota horitzontal es desplaça posicions igual què tota la funció, passant a ser y=. Ara dibuiem les dilatacions comparàndo-les amb la funció inicial y : ( 1) 59

58 Matemàtiques I 1r Batillerat En la primera representació (dilatació vertical) l assímptota vertical es manté igual en =1, mentres què l assímptota horitzontal es modifica amb el matéi factor què tota la gràfica passant a ser la recta y=. En la segona representació (dilatació horitzontal) l assímptota vertical es modifica pasant a ser la recta =1/, mentres què l horitzontal es manté en y=1. Anem a comprovar aquestes últimes afirmacions per mitjà de l anàlisi numèric de les taules què ens proporciona la ClassPad 0. Polsem, i, com volem veure el què ocòrre per a valors molt alts d, li demanem què els mostre de 1000 en 1000: ( ) Compararem per parelles Y 1 amb Y Y, Y, ( 1) ( ) ( 1) ( 1) Y 5. Per a passar d una a l altra és suficient anul.lar la selecció de la primera i activar la de ( 1) la segona polsant amb el llàpis sobre el quadret què es troba a l esquerra de la funció. 60

59 Funcions polinòmiques, racionals i irracionals Les afirmacions anteriors respecte a les assímptotes horitzontals tenen la seua constatació numèrica. L estudi de les funcions racionals pot plantejar-se d eiida com una investigació en què cal canviar els a b paràmetres a, b, c i d en y i analitzar els canvis què es produïen en les corresponents c d gràfiques. Per allò usem l eina Modificar funciones. Començem amb y per anar introduïnt canvis en cadascun dels quatre coeficients. 61