Ondas Planas en medios reales Reflexión y Transmisión

Transcripción

1 Ondas Planas en medios reales Reflexión Transmisión Campos Ondas FACULTAD D INGNIRÍA UNIVRSIDAD NACIONAL D LA PLATA ARGNTINA

2 ONDAS LCTROMAGNTICAS * PROPAGACIÓN D ONDAS PLANAS. Propagación de ondas planas en distintos medios homogéneos, isotrópicos lineales, no acotados espacialmente Las ondas planas son una buena aproximación a las ondas reales en la maoría de las situaciones prácticas.

3 Dieléctricos conductores. DILÉCTRICOS Y CONDUCTORS. Clasificación de materiales: dieléctricos conductores La separación NO está mu bien definida, la tierra por ejemplo, se considera conductora hasta ciertas frecuencias, dieléctrico con pérdidas para frecuencias superiores. H σ + jω ε La relación entre los módulos de las densidades de corriente de conducción de desplaamiento, resulta ser: J J c d σ ωε Dieléctricos: Cuasiconductores: Conductores: σ ωε < 0,0 0, 0 < σ < 00 ωε σ ωε > 00

4 Dieléctricos conductores. Buenos conductores, tales como los metales, la relación σ/(ω ε) es mu superior a la unidad en todo el espectro de las radiofrecuencias. l Cobre a MH, σ / (ω ε) 3, Conductores, tanto ε como σ son independientes de la frecuencia. Dieléctricos o aislantes, la relación σ / (ωε) es mucho menor que la unidad Tanto ε como σ son funciones de la frecuencia. σ / (ω ε ) puede ser aproximadamente constante dentro de un rango de frecuencias de interés M σ/ωε 0 a b M c Región dieléctrica Frecuencias de radio bajas, medias altas d Región conductora Región cuasiconductora Visible e Raos X Microondas Infrarrojo Ultravioleta N (a) Agua dulce (b) Terreno urbano (c) (d) Terreno rural Agua de mar (e) Cobre 7 N Frecuencia 0 H

5 Dieléctricos conductores. La maoría de los materiales usados, o bien dejan pasar fácilmente las corrientes de conducción o evitan su circulación, es decir se comportan como conductores o como dieléctricos o aislantes, excepto algunas excepciones entre las que cabe mencionar por su importancia práctica, sobre todo en radioenlaces, a la tierra al agua dulce o salada. n radioenlaces, a la tierra al agua dulce o salada, que a bajas frecuencias son buenos conductores a altas frecuencias son buenos dieléctricos.

6

7 DSARROLLO GNRAL D LA CUACIÓN D PROPAGACIÓN. D H J + t B t J σ Bµ H Se supone una onda electromagnética plana, el campo eléctrico está linealmente polariado en la dirección del eje, se propaga en el sentido del eje x positivo, H polariado en. H x x x 0 0 H 0 H x 0 H 0 H 0 H 0 H x 0 iˆ ˆj kˆ 0ˆ H ˆ 0ˆ ˆ i j+ k σ ˆ j+ ε j x x t 0 0 H ( x) iˆ ˆj kˆ x ˆ ˆ ( x) 0 0 ˆ H i + j+ k µ kˆ x t 0 ( x) 0

8 DSARROLLO GNRAL D LA CUACIÓN D PROPAGACIÓN. H σ+ ε t iˆ ˆj kˆ 0ˆ H ˆ 0ˆ ˆ i j+ k σ ˆ j+ ε j x x t 0 0 H ( x) H µ t iˆ ˆj kˆ x ˆ ˆ ( x) 0 0 ˆ H i + j + k µ kˆ x t 0 ( x) 0 H σ + ε x t t t H x σ ε t t x H x µ H t µ x x µ x σ ε t t 0 x H t

9 DSARROLLO GNRAL D LA CUACIÓN D PROPAGACIÓN. µ x σ ε t t 0 cuación de propagación de campo eléctrico de una onda electromagnética plana, dentro de un material dieléctrico o conductor. Si imaginamos una variación sinusoidal, usamos fasores µ x jωσ ω ε 0 j t 0 e ω + ( jωµσ ω µε ) 0 γ jωµσ ω µε x x γ 0 γ jωµ ( σ + jωε ) Constante de Propagación

10 DSARROLLO GNRAL D LA CUACIÓN D PROPAGACIÓN. x γ 0 Forma simplificada de la ecuación de propagación, el tiempo no está en forma explícita, variación temporal del tipo armónica. UNA SOLUCIÓN PARA LA ONDA INCIDNT D CAMPO LÉCTRICO RSULTA SR NTONCS: H µ t x µ H t e e H 0 jωt γ x γ jωµ γ dt γ e e. dt e e x jω jω t γ x jωt γ x 0 0 H jωµ ( σ + jωε ) jωµ

11 DSARROLLO GNRAL D LA CUACIÓN D PROPAGACIÓN. IMPDANCIA INTRINSCA DL MDIO Zi H jωµ σ + jωε Relación entre las ondas incidentes de campos eléctrico magnético.

12 PROPAGACIÓN N MDIOS DILÉCTRICOS RALS. Un material dieléctrico real, con pérdidas. e e 0 jω t γ x γ jωµ ( σ + jωε ) 0 e ( ω t β x ) α x j e constante de fase. γ α + jβ constante de atenuación µε σ α Re jωµσ ω µε ω + ω ε µε σ β Im jωµσ ω µε ω + + ω ε

13 PROPAGACIÓN N MDIOS DILÉCTRICOS RALS. Para buenos dieléctricos (bajas pérdidas), se cumple que: σ ωε << en tales casos es posible realiar la siguiente aproximación binómica: + x + x donde se han usado los dos primeros términos del desarrollo binómico de la raí x << cuadrada. σ σ + + ωε ωε α ω + ω ε µ ε σ σ µ ε Como se puede apreciar, la constante de atenuación es pequeña, al serlo la conductividad, tendiendo a cero cuando ésta lo hace.

14 PROPAGACIÓN N MDIOS DILÉCTRICOS RALS. µε σ β Im jωµσ ω µε ω + + ω ε σ σ + + ωε ωε + x + x x << β ω µε + σ + σ ω µε + ω ε 8ω ε Impedancia característica o impedancia intrínseca del medio. Z i H jωµ γ jωµ jωµσ ω µε ( jωµ ) jωµσ ω µε σ + jωµ jωε Z i µ ε + σ jωε cuación que puede ser aproximada por expansión binómica en: Z i µ + ε jσ ωε

15 PROPAGACIÓN N MDIOS DILÉCTRICOS RALS. Dieléctrico ideal Zi es resistiva pura (campos eléctrico magnético en fase temporalmente), Dieléctrico real con bajas pérdidas, Zi es compleja (el campo magnético atrasa ligeramente en el tiempo con respecto al campo eléctrico). Z i µ + ε jσ ωε Z i µ σ + 4ω ε ε ste módulo resulta ser igual a la impedancia intrínseca de un medio dieléctrico perfecto (sin pérdidas), multiplicada por el factor, maor a la unidad pero mu próximo a ella. La relación entre campo eléctrico magnético es menor en un medio dieléctrico que en el vacío εr>. Z i Z o ε r

16 IMPDANCIA CARÁCTRÍSTICA D UN MDIO CONDUCTOR H jωµ ( σ + / j// ωε ) jωµ jωµσ σ jωµ jωµ Zi δ ωσµ Z i ξ jωµ + j H H σ σδ 0 j e 0 Zi R + j X ωµ + j σ ωµ σ Z i ξ 45 H ωµ σ l ángulo de fase de la impedancia característica resulta de 45 grados Dieléctrico perfecto la Zi es resistiva pura (campos eléctrico magnético en fase temporalmente) La Zi para un medio conductor es una cantidad compleja (el campo magnético atrasa 45 respecto al campo eléctrico).

17 RFLXIÓN Y RFRACCIÓN D ONDAS PLANAS. Onda incidente: campo magnético campo eléctrico, en fase temporal Onda reflejada aparece por discontinuidad en el medio de propagación. Ambas incidente reflejada, son ondas progresivas, cada una transporta energía en forma progresiva en sentidos opuestos. Las ondas incidente reflejada se propagan en el mismo medio. xiste otra onda, denominada transmitida o refractada, que ingresa al nuevo medio, transportando así energía en este medio.

18 RFLXIÓN Y RFRACCIÓN D ONDAS PLANAS. n la superficie de discontinuidad se plantea: Balance energético onda incidente energía suministrada por el generador de la onda, parte es devuelta al mismo medio, onda reflejada, el resto será la onda transmitida en el nuevo medio. Condiciones de contorno de los campos eléctrico magnético, en la superficie límite de separación entre ambos medios.

19 Condiciones de contorno sobre una superficie límite. Componentes tangenciales de. Para el análisis de la componente tangencial de se supone tener una superficie de separación entre dos medios distintos, ubicada en el plano x0 Medio µ ε σ x x x x Medio µ ε σ B t dl t B ds x x x x + x3 x + x 4 x t ( B x ) x3 x4 x 0 s decir que:la componente tangencial de campo eléctrico es siempre continua

20 Condiciones de contorno sobre una superficie límite. Componentes tangenciales de H. Aplicada la anterior ecuación a un rectángulo elemental similar al de la figura anterior H J+ H dl lim D t J ds t D ds x 0 x x x x H Hx Hx H + Hx 3 + Hx4 J + x ( D x ) t Medio µ ε σ H H x x H x x H Medio µ ε σ H H lim J x x 0 H x3 H x4

21 Condiciones de contorno sobre una superficie límite. Componentes tangenciales de H. H H lim J x x 0 De la anterior ecuación se desprenden dos casos, ) Densidad de corriente de conducción finita H H ) Densidad de corriente de conducción Infinita J x

22 Condiciones de contorno sobre una superficie límite. ) densidad de corriente de conducción Infinita Un conductor perfecto o ideal, es decir un conductor con conductibidad infinita (caso teórico). densidad de corriente laminar o superficial. Cuando se tiene una densidad de corriente superficial o laminar Infinita, circula una corriente Finita i S is por unidad de ancho (amperes por metro) es finita lim J x 0 x A m Corriente por unidad de largo en dirección aire δ f σµ σ x J x

23 Condiciones de contorno sobre una superficie límite. Volviendo ahora a la expresión hallada para determinar las condiciones de contorno del campo magnético tangencial, aplicada ahora a un conductor ideal, cuando x tiende a cero se obtiene: H H lim J x x 0 Por lo tanto si x tiende a cero resulta H H i S H H i S Ahora bien, si el campo eléctrico es cero dentro de un conductor ideal, lo propio debe acontecer con el campo magnético (para campos variables en el tiempo), por lo que resulta: H 0 H i S l campo magnético tangencial, inmediatamente afuera de una superficie conductora ideal, es igual a la densidad de corriente superficial, corriente por unidad de ancho en sentido transversal al campo magnético.

24 Condiciones de contorno sobre una superficie límite. l campo magnético tangencial, inmediatamente afuera de una superficie conductora ideal, es igual a la densidad de corriente superficial, corriente por unidad de ancho en sentido transversal al campo magnético. H H is n notación vectorial es: i S Donde r n n Η es el vector unitario sobre la normal a la superficie. n x J x

25 Condiciones de contorno sobre una superficie límite. n un conductor ideal, el campo eléctrico (variable en el tiempo) es cero para cualquier densidad de corriente de conducción, Para satisfacer la condición de contorno del campo eléctrico tangencial, debe ser nulo a ambos lados de la superficie límite. l campo magnético dentro del conductor es cero, la componente tangencial fuera del conductor queda determinada por la corriente de conducción superficial del conductor i S n Η

26 Condiciones de contorno sobre una superficie límite Componentes normales de D. D ds ρ libre dv D ds D ds + ψ ρ x ds n n lateral libre Cuando x tiende a cero, el flujo saliente por los laterales tiende también a cero Medio µ ε σ x Medio µ ε σ Dn ds Dn σ lim ρ D x 0 D n n ds libre σ x ρ libre xds La componente normal del vector desplaamiento eléctrico es continua, si no existe carga superficial, discontinua si existe tal carga. ds D n Dn n un medio conductor, la carga reside en la superficie, por lo tanto: D n 0 D n σ

27 Condiciones de contorno sobre una superficie límite Componentes normales de B. B B n n

28 Reflexión Refracción de Ondas Planas con Incidencia Normal. Onda propagándose en un dado medio, incide sobre otro medio que tiene distinta permitividad, permeabilidad o conductibidad, Onda reflejada otra refractada o transmitida, Una nueva repartición de la energía electromagnética. Medio Onda Incidente Onda Reflejada H H x Medio Onda Transmitida 3 H 3

29 Reflexión sobre superficie conductora perfecta. No pueden existir campos eléctricos ni magnéticos variables en el tiempo en el interior de dicho medio. Onda incidente no puede transmitir energía hacia el interior del conductor perfecto, si lo hiciera sería infinita (.J) Toda la energía que transporta la onda incidente en el vacío, es devuelta a dicho medio ahora transportada por la onda reflejada.

30 Reflexión sobre superficie conductora perfecta La Onda incidente de se propaga sentido eje positivo, está polariada linealmente en la dirección del eje x La superficie límite está ubicada en 0. Onda Incidente x cos β m Onda Completa [ ( vt ) ] [ β ( vt ) ] + f [ vt ] x m cos + Medio Onda Incidente H H Onda Reflejada H x f dependerá de la onda incidente, de las condiciones de contorno impuestas por la superficie límite. Medio Onda Transmitida H

31 Reflexión sobre superficie conductora perfecta l campo eléctrico sobre la superficie conductora debe ser nulo (para todo valor del tiempo). x x x 0( conductor) Para todo otro, la onda reflejada resulta ser: m β ( ) [ ] f vt m cos β( vt) cos vt 0 + f vt+ 0 0 f vt+ m cos β( vt+ ) x La onda reflejada sobre la superficie conductora (para 0), coincide en amplitud con la incidente, está en oposición de fase con la misma No existe onda transmitida, la onda reflejada transportará la misma cantidad de energía que la onda incidente, pero en sentido contrario, dando un flujo neto nulo de energía en el medio (vacío). La ONDA TOTAL: cos β( vt ) cos β( vt + ) x m m

32 Reflexión sobre superficie conductora perfecta expresada en términos de la pulsación angular: cos( ωt β) cos( ωt+ β) x m m otación exponencial para facilitar las ope-raciones a realiar, la onda completa resulta ser: x m j ( ω t β ) m j ( ω t + β ) Real e e x x Re al Re al [ ( )] jωt jβ jβ e e e m [ ( )] jωt j e sen β m sen( β) sen ( ωt) ; 0 x m

33 Reflexión sobre superficie conductora perfecta ( ω β ) cos( ω β ) cos t t+ x m m ( β ) ( ω ) sen sen t x m La onda compuesta de campo eléctrico, onda incidente más reflejada. no se propaga en ninguna dirección, siendo denominada: onda estacionaria. nvolvente sen( β) - Incidente (cambiada de signo) m Incidente 0.8 Reflejada Construcción de la onda reflejada

34 Reflexión sobre superficie conductora perfecta t0 tt/8 tt/ t3t/8 tt/ NVOLVNT λ/475 m, f0mh - -.5

35 Reflexión sobre superficie conductora perfecta Vientres (máximos) Nodos (mínimos), en ubicaciones espaciales fijas, distantes entre sí λ/4. Vientres a múltiplos impares de λ /4 desde la superficie conductora perfecta Nodos a múltiplos de λ/, desde la superficie conductora perfecta. n cada punto del espacio, la variación temporal de la onda estacionaria de campo eléctrico es senoidal, alcanando el valor máximo correspondiente al punto en cuestión. n todos los puntos espaciales dentro de un ojo, los fasores de campo eléctrico están en fase temporal entre sí, en contrafase con respecto a aquellos pertenecientes a ojos adacentes.

36 Reflexión del Campo magnético l campo magnético se refleje sin inversión de fase. sto ocurre necesariamente pues de no ser así, no habría inversión del sentido de propagación de la onda electromagnética reflejada. La corriente superficial duplica el campo H, (HiHr) anula (i-r) Ondas incidentes de i/hizi r/hr-zi cambia el sentido de propagación OR OI r i Hr Hi is

37 H m m cos( ωt β)+ cos( ωt+ β) i i m H cos( β) cos( ωt) Hx H 0 i m nvolvente cos( β) i Los nodos de la onda estacionaria de campo magnético coinciden con los vientres de la onda de campo eléctrico, viceversa. l fasor campo magnético está en cuadratura temporal con el fasor campo eléctrico, dando por consiguiente una potencia transportada nula,

38 Onda de Campo Magnético (Incidente Reflejada) Onda de Campo léctrico (Incidente Reflejada) t 0 tt/8 tt/4 t3t/8 tt/ tt/ t3t/8 tt/4 Onda stacionaria tt/4 tt/8 3T/8 7 λ 3 λ 5 λ λ λ λ λ λ 5 λ 3 λ λ λ λ λ λ t0 tt/8 t0 T/

39

40 Reflexion sobre superficie dieléctrica perfecta. Si una onda plana, propagándose en un medio dieléctrico ideal o perfecto, incide normalmente sobre una superficie límite de separación con un medio dieléctrico perfecto, se generarán una Onda reflejada que vuelve al medio original, Onda Transmitida que ingresa se propaga en el nuevo medio dieléc-trico, estableciendose un nuevo balance energético. La onda total en el vacío será la suma de las ondas incidente reflejada, tendrá la siguiente expresión genérica: j ( ω t β ) j ( ωt+ β ) x vacío m e + m e Mientras que la onda de campo eléctrico en el dieléctrico será: j ( ωt β3 e ) x dieléctrico m 3

41 La componente tangencial de campo eléctrico debe ser continua en 0, + m m m3 j ( ωt β3 e ) x dieléctrico m 3 Por otra parte, el campo magnético en el vacío tiene la si guiente expresión: j ( ω t β ) j ( ωt+ β H H e + H e ) vacío dieléctrico m j ( ωt β3 ) H H e m 3 m Por otra parte, dada la no existencia de una densidad de corriente de conducción superficial finita, la componente tangencial de campo magnético es continua a ambos lados de la superficie límite, o sea que: H + H H m m m3

42 COFICINT D RFLXIÓN Y TRANSMISIÓN Z H m i m Z H m i m Z H m3 i3 m3 + m m m3 H + H H m m m3 m Zi 3 Zi Z Z ρ + i 3 i m R m m 3 Zi 3 Z Z ρ + i 3 i m T m, H m Zi 3 Zi Z Z H ρ + H i 3 i m RH m H m 3 Zi Z Z H ρ + H i 3 i m TH m Los coeficientes de reflexión de los campos eléctrico magnético difieren entre sí por su signo l módulo de estos coeficiente varía entre 0., Ambos coeficientes, reflexión transmisión, son en general un número complejo, siendo en este caso particular de la reflexión dieléctrico perfecto-dieléctrico perfecto un número real.

43 COFICINT D RFLXIÓN Y TRANSMISIÓN La onda total (incidente más reflejada) puede ser descompuesta en la suma de una onda estacionaria más otra progresiva (propagándose en el mismo sentido que la incidente). Si el coeficiente de reflexión tiende a la unidad (reflexión total), la onda total (incidente más reflejada) tiende a una onda estacionaria pura. Si el coeficiente de reflexión tiende a cero (transmisión total), la onda total (incidente más reflejada) tiende a una onda progresiva pura (no ha discontinuidad entre los medios). Cuantificar el contenido estacionario de una onda. ste factor se denomina relación de onda estacionaria (RO), siendo este coeficiente igual a la relación entre las intensidades de campo (eléctrico o magnético) en los vientres nodos. O sea: RO Vientre + + σ Nodo σ m m R m m R

44 Onda estacionaria RO Vientre Nodo m m m m RO es un número real, varía entre : + +, cuando el coeficiente de reflexión es nulo (medios completamente adaptados) Infinito, cuando el coeficiente de reflexión es unitario (medios completamente desadaptados). σ σ R R m wt0; wtπ/8; ; wtπ/

45 Onda estacionaria o o cos( ωt βx) cos( ωt + βx) Zi 3 Zi 0.5 Z + Z i 3 i o o.cos( ωt βx) + cos( ωt + βx) Z Z Z + Z i 3 i i 3 i 0.5 o o o cos( ωt βx) + cos( ωt βx) cos( ωt βx) + progresiva estacionaria Z i µ ε Z i 3 µ 3 ε 3

46 Onda estacionaria icos( ωt βx) rcos( ωt+ βx) i cos( ωt)cos( βx) + i. sen( ωt) sen( βx) r cos( ωt)cos( βx) + r. sen( ωt) sen( βx) ( i r)cos( βx)cos( ωt) + ( i + r). sen( βx) sen( ωt) Acos( ωt) + Bsen( ωt) A + B.cos( ωt γ ) [( )cos( β )] [( ) ( β )] A + B i r x + i + r sen x nvolvente tag( γ ) B A

47 Onda estacionaria (Incidente Reflejada) Onda de Campo léctrico (Transmitida) (Incidente Reflejada) Onda de Campo Magnético (Transmitida) t 0 tt/8 tt/4 t3t/8 tt/ stacionaria nvolventes stacionaria Progresiva Progresiva Progresiva Progresiva 5 3 λ λ λ 3 λ λ λ 4 λ λ 3 4 λ λ 9 λ 7 λ 5 λ λ λ 4 λ 4 λ 3 λ 4

48 RFLXIÓN SOBR SUPRFICI DILÉCTRICA RAL O CONDUCTOR RAL. Medio con conductividad real o equivalente por efecto de la histéresis dieléctrica, puede existir una densidad de corriente de conduccción apreciable Análisis de este reflexión sobre una superficie dieléctrica perfecta, a condición de: Reemplaar la constante de fase por la constante de propagación, es ahora un número complejo α+jβ La impedancia intrínseca del medio es ahora compleja (en lugar de real). Zi jωµ σ + jωε Las ondas reflejadas de campo eléctrico o magnético no estarán necesariamente en fase o contrafase con las incidentes, No estarán necesariamente en fase entre sí las ondas incidentes de ambos campos, o las reflejadas.