PRÁCTICAS DE MECÁNICA CURSO Dpto. Física Aplicada E.T.S.I. Industriales Universidad Politécnica de Madrid

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1 Dpto. Física Aplicada E.T.S.I. Industriales Universidad Politécnica de Madrid PRÁCTICAS DE MECÁNICA CURSO Rafael Casquel del Campo Ángel Ponce Garres Miguel Castro Baeza

2 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES JOSE GUTIERREZ ABASCAL, 8006 MADRID DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA Teléfono /01- fax PRÁCTICAS DEL LABORATORIO DE MECÁNICA 1.- Durante el presente curso académico se realizarán las siguientes prácticas de Laboratorio: P1: El Giroscopio P: Equilibrio estático y dinámico de un sólido con eje fijo. P3: Diseño de una leva: Transformación de un movimiento circular en otro lineal predefinido P4: Relaciones de transmisión en una caja epicicloidal.- Los guiones de las prácticas 1 y se pueden conseguir en la página web del Departamento. ( Las prácticas 3 y 4 pueden documentarse en la dirección y así como en el Moodle de la asignatura. 3.- De las prácticas 1 y cada alumno tendrá que entregar una Memoria de cada una de las prácticas que realice y deberá constar de los siguientes apartados: -Modelo teórico -Breve descripción de la experiencia -Resultados obtenidos (incluyendo los cálculos, gráficos y cálculo de errores). Las prácticas 3 y 4 se realizan desde los ordenadores de la sala de prácticas y se evalúan de forma automática. La calificación de estas Memorias constituye la nota de Prácticas del Laboratorio. 4.- Las Memorias 1 y se entregará en el Laboratorio de Física (Planta Baja junto al ascensor). La bonificación por prácticas se obtiene según la calificación (hasta 1 punto) de las memorias entregadas y realizadas. Son individuales y realizadas según las instrucciones que se den en la misma. 5.- Los alumnos deberán asistir a las prácticas provistos de calculadora. Para la realización de la práctica deberán traer regla milimetrada, transportador de ángulos, compás y borrador. 6.-Se tendrá en cuenta la puntualidad en el laboratorio, así como la limpieza y el cuidado del material del Laboratorio, ya que cada grupo será responsable del mismo. 7.- La composición de los grupos de prácticas, se encuentra en Indusnet Alumnos. La fecha y horario de realización de las mismas se puede consultar en el tablón de anuncios de la asignatura, en el Proyecto de organización Docente y en la página web del Departamento: Sólo podrá cambiarse fecha y horario con otro compañero/a. 8. Las Prácticas son obligatorias para aprobar la asignatura, tal y como se recoge en la Guía de la asignatura y normas de matriculación. 9.- Para tener realizadas las prácticas es necesario asistir con aprovechamiento a las cuatro sesiones programadas y entregar las memorias correspondientes. La inasistencia a alguna de las prácticas o el manifiesto desinterés supondrá la pérdida de la calificación correspondiente a dicha práctica, sin posibilidad de recuperación y dará lugar a un examen final de prácticas. Madrid, 1 de septiembre 016

3 PRÁCTICA 1: EL GIROSCOPIO La fundamentación teórica de esta práctica puede consultarse en el Capítulo 15 del libro Mecánica para Ingenieros de Díaz de la Cruz, J.M. y Sánchez Pérez, A.M. Madrid. 016 Publicaciones ETSII 1.- Introducción teórica Se va a estudiar el movimiento de un sólido rígido, con un punto fijo, sometido a la acción de la gravedad y en el supuesto de que su centro de gravedad o centro de masas (cdm.) no coincida con O. Es necesario que repasemos o conozcamos los fundamentos de la mecánica del sólido rígido. La ecuación fundamental del movimiento de una partícula, (una masa en la que sus dimensiones no juegan ningún papel en el movimiento) es Fuerza aplicada = variación con el tiempo del momento lineal El momento lineal es un vector que depende de la masa y de la velocidad de la partícula: () Pero lo habitual es tener un cuerpo compuesto por muchas partículas, es decir, un sistema de partículas. Por tanto la ecuación (1) se transformará en (1) (3) donde la suma de los momentos de cada partícula será el momento del sistema de partículas Ahora necesitamos recordar el concepto de centro de masas o centro de gravedad. La velocidad del centro de masas se define como la media ponderada de las velocidades, que se calcula sumando los productos de la masa de cada una de las partículas por su velocidad y dividiendo el resultado entre la suma de todas las masas del sistema El concepto de centro de masas se puede aclarar con los siguientes ejemplos: (4) 3

4 - En una piedra desplazándose horizontalmente todos los puntos de la piedra se desplazan con la misma velocidad y por tanto el centro de gravedad también se moverá con esa velocidad. - Si un disco circular está girando en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro, cada punto del disco tendrá una velocidad de traslación distinta (los puntos más alejados del eje se desplazan más rápidamente que los que están más cerca). Sin embargo, por la simetría circular del disco, y debido a que gira en torno a su centro, cualquier punto tendrá su simétrico que se desplazará con la misma velocidad pero en sentido contrario. La media ponderada es por tanto cero y la velocidad de traslación del centro de masas es también cero. - Sería diferente si el disco girase en torno a un eje que no pasara por su centro. En ese caso la media ponderada, y por tanto la velocidad de traslación del centro de masas, ya no sería cero. Por tanto el momento lineal de un sistema de partículas que aparece en la ecuación (3) se define como el producto de la masa total del sistema de partículas por la velocidad de traslación del centro de masas (5) Es decir, el centro de masas o centro de gravedad es el punto en el que se considera que está concentrada, a los efectos de traslación, la masa del sistema. Con esto la ecuación (3) que relaciona las fuerzas con la variación del momento lineal de un sistema de partículas respecto del tiempo toma la forma Suma de fuerzas exteriores = variación del momento lineal del sistema de partículas (6) Pero no es suficiente conocer la velocidad de traslación del centro de masas: el disco puede estar girando en torno a su centro sin desplazarse. Para describir la dinámica de un sistema de partículas por completo hay que tener en cuenta los giros y en torno a qué eje o punto está girando el sistema de partículas. La capacidad que tiene una fuerza de hacer girar un cuerpo en torno a un eje se llama el momento de la fuerza respecto a ese eje y se define matemáticamente como el siguiente producto vectorial (7) donde r 0 es el vector de posición que va desde el punto O (por donde pasa el eje de rotación) hasta el punto de aplicación de la fuerza. Este producto vectorial da como resultado un vector cuyo módulo se define por 4

5 (8) De la misma forma que para la traslación de un sistema de partículas la magnitud fundamental es el momento lineal del sistema que depende de la masa y de la velocidad de traslación- en el caso de la rotación se define una magnitud que es en parte similar: el momento angular. De igual modo que el momento lineal depende de la velocidad de traslación, el momento angular depende de la velocidad de rotación ω ; y también, como el momento lineal, depende de la masa del sistema de partículas, aunque ahora es más complejo porque no sólo hay que tener en cuenta la masa, sino su distribución en el espacio (o sea de su forma). La magnitud que contiene esta información sobre la masa y la forma del sistema de partículas se llama momento de inercia I. Como hemos dicho anteriormente sigue siendo fundamental la posición del eje de rotación. El momento angular de un sistema de partículas con respecto a un eje que pasa por O se define como (9) 5

6 Tanto el momento de una fuerza (7) como el momento angular o el momento de inercia dependen de dónde esté colocado el eje de giro. La dirección y sentido del vector velocidad angular ω se obtiene utilizando la regla de la mano derecha: ω se orienta en la dirección y sentido del pulgar cuando el resto de los dedos se enrollan en el sentido de giro del movimiento que estamos describiendo. La relación que describe los giros en un sólido rígido, relación que completa así la información suministrada por la ecuación (6) para la traslación es Suma de momentos de fuerzas exteriores = variación del momento angular del sistema (10) Como se puede observar esta ecuación es bastante similar a la ecuación (6): donde allá se hablaba de fuerza y momento lineal, aquí se habla de momento y momento angular. En los dos casos ocurre que la fuerza/momento es la causa de la variación con el tiempo del momento lineal/momento angular. El conjunto de estas dos ecuaciones (11) describe por completo la dinámica de un sistema de partículas rígido: son las Leyes de Newton de la Mecánica. 6

7 La siguiente tabla contiene el resumen de los resultados para la dinámica de traslación y rotación de un sistema de partículas, y sirve para destacar la similitud que hay entre ambas dinámicas: 7

8 Aun así hay dos diferencias fundamentales entre la dinámica de rotación y la de traslación: - Siempre hay que indicar el eje respecto del cual hacemos los cálculos. - En la dinámica de traslación el momento lineal del sistema siempre es paralelo a la velocidad de traslación, en dinámica de rotación esa relación entre el momento angular y velocidad de rotación no se cumple en general..- DESCRIPCIÓN DEL APARATO UTILIZADO El giroscopio que vamos a utilizar consta de las siguientes partes: Una base con un soporte vertical que sostiene un eje por un punto de apoyo O fijo. Este eje está articulado en O y puede cambiar su orientación. Un disco grande y pesado (para que así su momento de inercia sea grande) que gira en torno al eje que pasa por su centro. Este disco es el giroscopio. Un contrapeso en el lado opuesto al del disco para que así el eje pueda mantenerse horizontal en equilibrio. Cuando esto ocurre podemos afirmar que el centro de masas del sistema se halla situado justo encima del punto O que es el soporte del eje. Para la caracterización del movimiento del giroscopio, vamos a usar a partir de ahora los Ángulos de Euler, vistos en el tema de cinemática esférica. Considerando el triedro de Euler, tenemos tres ángulos diferentes, ϕ (ángulo de precesión), θ (ángulo de nutación) y ψ (ángulo de rotación propia). Durante el desarrollo de la práctica se va a obviar el movimiento de nutación (cabeceo del disco), y sólo se considerara el movimiento de precesión ϕ (giro alrededor del eje vertical del giroscopio) y de rotación propia ψ (giro del disco alrededor de su propio eje). Las derivadas temporales de dichos ángulos serán la velocidad de precesión y rotación propia, respectivamente. ψ ϕ ϕ ψ 8

9 Por ser grandes el radio y la masa del disco, el momento de inercia del giroscopio con respecto al eje que pasa por su centro es mayor que con respecto a un eje vertical cualquiera, por ejemplo, el que pasa por el punto de apoyo O y que aparece con línea discontinua en la figura. Si además hacemos que el disco gire con una velocidad angular ω muy grande en torno a su eje, entonces la componente del momento angular paralela a este eje es mucho más grande que las otras dos (podemos descomponer el momento angular, como cualquier vector, en tres componentes dirigidas a lo largo de tres ejes perpendiculares entre sí), siendo estas otras dos componentes por lo tanto despreciables en primera aproximación. Si se cumple que el disco y ψ son grandes, podemos considerar que el momento angular es prácticamente sólo su componente paralela al eje del giroscopio y que el momento angular es paralelo al vector velocidad angular ψ del disco. (Obsérvese la figura de la regla de la mano derecha). 3.- DESCRIPCIÓN DE LA PRÁCTICA A REALIZAR Equipo necesario: - Giroscopio - Cronómetro - Masas auxiliares - Cinta métrica o regla - Cuerda (1,5 metros) - Estroboscopio Objeto El objeto del experimento es medir la velocidad angular de precesión del giroscopio y comparar este valor medido directamente con el valor calculado a partir de otras magnitudes. Procedimiento Se aplica un par al giroscopio suspendiendo una masa m del extremo de su eje. Este par hace que el giroscopio tenga un movimiento de precesión con velocidad angular de precesión de módulo ϕ. Suponemos que inicialmente el giroscopio está equilibrado en posición horizontal, θ = 90º. Se hace girar el disco a una velocidad angular ψ (rotación propia) y, a continuación, se suspende del extremo del eje una masa m a una distancia d del eje vertical; esto crea un par τ = m g d. Pero este par es también igual a dl/dt, siendo L el momento angular del disco. Según vemos en la figura 1.1, para pequeñas variaciones del ángulo dϕ, dl = L dϕ. 9

10 dϕ Considerando ahora el valor en módulo de los vectores considerados, sustituyendo dl en la ecuación del par tenemos dl dϕ τ = mgd = = L = ϕ dt dt y, teniendo en cuenta que la velocidad de precesión ϕ es d ϕ = ϕ dt dϕ mgd = L = L ϕ dt por lo que la velocidad angular de precesión viene dada por la expresión ϕ calculada mgd = ψ I donde I es el momento de inercia del disco respecto de su eje, y ψ es su velocidad angular de rotación. Para hallar el momento de inercia del disco lo desequilibramos adosándole una pequeña masa m 1 de 15g, le hacemos oscilar y medimos el periodo de oscilación T. (Asumimos que la pequeña masa m 1 modifica de forma despreciable el momento de inercia del disco) Para una mejor aproximación mediremos el tiempo necesario para diez oscilaciones y dividiremos el resultado entre diez. I se obtiene aplicando la siguiente ecuación: I z = (T g /4π R 1) m 1 R El radio R del disco se mide con la cinta métrica o una regla. 10

11 Velocidad angular de precesión: medición directa y cálculo Ajustes: 1.- Nivelamos el giroscopio en la base A sobre la que descansa..- Ajustamos la posición del contrapeso mayor hasta lograr que el giroscopio quede equilibrado sin la masa auxiliar. (El contrapeso menor puede utilizarse para el equilibrado fino.) Procedimiento operatorio. 1.- El valor de la masa auxiliar m es de 150g. Suspender esta masa auxiliar en el extremo del eje. Medir la distancia d desde el eje vertical hasta la masa auxiliar. Anotar esta distancia en la tabla Mientras se sujeta el giroscopio para impedir la precesión (ver fig 1.3) se imprime una rotación al disco con la cuerda, aproximadamente a 500 revoluciones por minuto. Medir exactamente esta velocidad angular ψ 1 con el estroboscopio (conviene ponerla en radianes/s) y anotarla en la tabla Procediendo con cierta rapidez, a fin de que el giroscopio no pierda mucha velocidad de rotación, liberar el giroscopio para permitir su movimiento de precesión y cronometrar el tiempo que tarda en una revolución completa, determinando así el valor experimental de la velocidad angular de precesión ϕ e. Anotar este valor en la tabla Repetir inmediatamente la medida de la velocidad angular de rotación con el estroboscopio, de forma totalmente análoga a la del punto. Anotar el nuevo valorψ. Se tomará como valor definitivo de ψ la media de los valores ψ 1 y ψ. 5.- Realizar las operaciones para calcular la velocidad de precesión ϕ c y obtener el error relativo respecto al valor ϕ e medido en el punto 3. Tabla 1.1. Masa auxiliar m (kg) Distancia d (m) VELOCIDADES Velocidad angular de rotación propia ψ 1 (antes) Velocidad angular de precesión experimental ϕ e Velocidad angular de precesión calculada ϕ c Error relativo: diferencia porcentual entre los valores experimental y calculado de la velocidad angular de precesión 0,150 kg. Revoluciones/ min Rad/s Tiempo de una revolución en segundos Rad/s (%) Rad/s 11

12 PRACTICA : ESTUDIO DEL EQUILIBRADO ESTÁTICO Y DINÁMICO. ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO. La fundamentación teórica de esta práctica puede consultarse en el Capítulo 11 del libro Mecánica para Ingenieros de Díaz de la Cruz, J.M. y Sánchez Pérez, A.M. Madrid. 016 Publicaciones ETSII 1. -INTRODUCCIÓN TEÓRICA El objeto de la experiencia será el equilibrar estática y dinámicamente un sistema de masas que gira con velocidad uniforme, sirviéndonos de una máquina para equilibrados, BALANCING MACHINE. La figura representa un cuerpo rígido cuyos puntos A y B están fijos en el espacio mediante los soportes S y S. El movimiento del cuerpo rígido es entonces una rotación pura alrededor del eje AB fijo en el espacio y en el cuerpo mismo. Como cualquier punto O del cuerpo rígido sobre el eje de rotación AB esta siempre en reposo tendremos: dl 0 = N 0, ext ( O eje rotación) dt (1) Teniendo en cuenta que la relación existente entre la derivada temporal de un vector respecto a un sistema de referencia inercial y su derivada temporal respecto a un sistema móvil solidario al sólido rígido, se cumple: L = 0 ω ; 0 I dω + ω dt ( I 0 ω ) = N 0 ext I 0 x, () L L L I x P x xy = Pyx I y y Pzx P z zy P xz P yz I z ω x ω y ω z Siendo I 0 el tensor de Inercia del cuerpo rígido, para el punto O, y respecto a un sistema de referencia solidario al cuerpo rígido con origen en el punto O,{o,x,y,z} tiene por representación matricial 1

13 I 0 I x P P yx zx P I xy y P zy P P I z xz yz Construyamos un sistema de referencia solidario al sólido de forma que su eje Z coincida con el eje de rotación AB y sus ejes, x e y, sean dos rectas cualesquiera perpendiculares, contenidas en el plano normal por el punto O, al eje de rotación AB y que cortan en O. Como el eje de rotación está fijo en el espacio, el cuerpo rígido no tiene movimiento de precesión alrededor del eje Z del sistema de referencia fijo. d ϕ = 0 (3) dt Por tanto, para el ángulo de Euler ϕ se verifica en todo instante que ϕ = cte., lo cual indica que la línea nodal permanece fija en el espacio, y además el ángulo de nutación θ = cte. Además, siempre podemos tomar como tercer eje del sistema fijo el de la dirección del eje fijo, y como tercer eje del sistema móvil solidario al sólido el del eje fijo. Lo que significa un grado de libertad cuyo parámetro es Ψ (ahora no tiene sentido el eje de nodos al ser θ = 0). La velocidad angular del cuerpo rígido es dψ ω = ω k = k (4) dt Siendo k el vector unitario en la dirección del eje de rotación y sentido determinado pero arbitrario. Supongamos que sobre el cuerpo rígido sólo actúan la fuerza de la gravedad M g = Mgk y las reacciones φ y φ de los soportes S 1 y S respectivamente. Entonces: N ext = N + OA x φ + O x φ (5) 0, 0 B donde N 0 es el momento, respecto a O, de la fuerza de la gravedad. Consideremos por comodidad que el punto O A coincide con el origen del sistema móvil y además con uno de los soportes, asi OA x φ = o. Llamemos a la distancia AB = OB = h Desarrollando por componentes las ecuaciones () y (4) en el sistema de referencia {O,x,y,z} móvil solidario al cuerpo rígido. ω + ω = φ (6.1) P zx Pyz N ox h y ω ω φ (6.) P yz Pzx = N oy + h x ω I z = N oz (6.3) 13

14 La ecuación (6.3) es la que rige el movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor del eje fijo AB. Las ecuaciones (6.1) y (6.) determinan los momentos, respecto al punto O, de las FUERZAS DE LIGADURA (reacciones en los soportes) necesarias para mantener el eje fijo. De la ecuación (6.3) se desprende que debido al momento de la fuerza de gravedad respecto al eje de rotación, el cuerpo rígido adquiere una aceleración angular, y se pondrá en movimiento de rotación alrededor del eje fijo AB. Se dice, que el CUERPO RIGIDO ESTA DESEQUILIBRADO RESPECTO AL EJE DE ROTACION. Si consideramos el teorema fundamental de la dinámica: F ac = M a dr dm = Mg + φ + φ dt (7) (8) Desarrollando por componentes en el sistema de referencia móvil solidario con el cuerpo rígido ω M ω M = Mg + φ + φ (9.1) oy oy x x x ω M ω M = Mg + φ + φ (9.) ox oy z z y z y y 0 = Mg + φ + φ (9.3) Sin embargo, si el centro de masas G estuviera sobre el eje de rotación AB entonces, el momento áxico de la fuerza de gravedad respecto al eje es nulo, ya que en este caso el vector OG sería paralelo al eje Z. Tendríamos: ω = 0 I z De forma que es ω constante, ó lo que es lo mismo: ω ψ = cte ψ = 0 Si en las ecuaciones (6) y (9) despejamos las reacciones, las ecuaciones obtenidas indicarían que las reacciones de los soportes se pueden considerar compuestas de dos componentes: 1) REACCIONES ESTATICAS. -No contienen la velocidad angular. ) REACCIONES DINAMICAS.-Contienen la velocidad angular. Sus módulos son proporcionales al cuadrado de la velocidad angular. Además responden a las fuerzas que, debido al movimiento de rotación, el cuerpo rígido ejerce sobre los soportes al querer escapar de la ligadura impuesta por los soportes, obligándole a girar alrededor de un eje fijo. Por tanto, debido a ellas, se producen vibraciones y un mayor desgaste de los soportes o cojinetes. nulos. Caso de pasar el eje por el c.d.m., los momentos estáticos M ox, M oy, M oz son 14

15 Consiguientemente, cuando el centro de masas del cuerpo rígido está situado sobre el eje de rotación fijo, y por tanto el momento áxico de la fuerza de gravedad respecto al eje de rotación es nulo, y los momentos estáticos son nulos, se dice que el cuerpo está ESTATICAMENTE EQUILIBRADO. Si además el eje de rotación δ Z es un eje principal de inercia del elipsoide de inercia del cuerpo rígido en un punto, al pasar por C, lo será en todo punto y los productos de inercia son nulos. P yz = P xz = o (eje principal central de inercia) Por lo tanto las reacciones dinámicas de los soportes son entonces también nulas, lo cual indica que el cuerpo rígido al girar no tiene entonces, debido a su rotación, tendencia alguna a desprenderse de los soportes o cojinetes que mantienen su eje de rotación fijo. Se dice entonces que el cuerpo rígido esta ESTATICAMENTE Y DINAMICAMENTE EQUILIBRADO. En esta situación de movimiento, en que el sólido está equilibrado estática y dinámicamente las reacciones en los apoyos son las mismas que en situación estática, es decir son independientes de su velocidad de giro. Es muy importante para evitar vibraciones y el desgaste de los cojinetes que todo cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo esté estáticamente y dinámicamente equilibrado, es decir, su eje de rotación fijo sea eje principal de inercia y el c.d.m. esté situado sobre el eje de rotación fijo. El sistema que nosotros disponemos es el correspondiente a la figura: 15

16 Tenemos: Velocidad de rotación es uniforme ω = cte. La masa M será M = Σ m i, siendo m i las masas que intervienen. Como los momentos estáticos tienen que ser nulos M m ( u r ) = 0 x n = Como los productos de inercia tienen que ser nulos P m ( u r )( u r ) = 0 i= 1 i n π π = i π i π i i= 1 i. - PROCEDIMIENTO.1 OBJETOS NECESARIOS Balancing machine 4 bloques (masas) Bolitas de acero. Dos recipientes unidos por un hilo Regla, compás y transportador de ángulos..- DESCRIPCION DEL APARATO La Balancing Machine básicamente consiste en un eje perfectamente paralelo, sujeto con rodamientos por los extremos a un armazón rectangular con un motor adosado, que transmite al eje un movimiento de rotación uniforme. Un extremo del eje va provisto de una polea sujeta a un disco provisto de dos escalas, que usaremos como balanza y como goniómetro. En la parte superior del armazón rectangular hay un nivel (burbuja) para comprobar el paralelismo del eje y el resultado final del experimento. Para equilibrar estática y dinámicamente la balancing machine se utilizan cuatro bloques de diferentes masas y simétricas que se pueden sujetar sobre el eje..3.- Máquina A DETERMINACIÓN DE LA MASA DE LOS BLOQUES. Se fija el aparato a otro soporte ya preparado para ello. Se coloca alrededor de la polea el hilo del cual penden dos recipientes cilíndricos. Anteriormente habremos dejado libre la polea del motor. Sujetamos uno de los bloques al eje de forma que el bloque esté en la vertical. Se introducen las bolitas todas tienen el mismo peso en uno de los recipientes hasta que el bloque este totalmente estacionado en la horizontal. El número de bolitas necesarias será la masa del bloque, lo determinamos por W r. 16

17 Además si tenemos en cuenta la definición de momento estático W r será también el momento máximo. Realizamos el proceso para los cuatro bloques. Máquina B Determinación experimental de los valores de (Wr) (a) (b) (c) Retirar la cubierta transparente y quitar la correa de la polea. Retirar de su soporte la extensión del eje e insertarla en el extremo del eje en el que estaba la polea. Mover el aparato hasta el borde de la mesa. Arrolle dos o tres vueltas de la cuerda con los cubiletes sobre la polea. Asegurarse de que no hay obstáculos para el libre movimiento de los cubiletes 17

18 (d) Insertar el disco excéntrico con el orificio menor en uno de los bloques rectangulares. Fijar el bloque sobre el eje de modo que la escala de ángulos marque 0. Le llamaremos bloque (1). (e) Colocar gradualmente bolas en uno de los cubiletes hasta que el bloque haya girado 90. (f) Anotar el número de bolas que se han requerido para girar el bloque. Este número es proporcional al momento de desequilibrio del bloque (Wr). (g) Repetir el proceso con los restantes bloques. Anotar los resultados en una tabla semejante a la Tabla 1 (h) Retirar la prolongación del eje y volver a fijarla en su pinza soporte Tabla 1 Resultados experimentales Típicos.4 Cálculo de las posiciones de equilibrio de los bloques Suponemos que hay que encontrar las posiciones de los bloques (3) y (4) para que el conjunto este equilibrado dinámicamente. Habiendo fijado las de los bloques (1) y (). Para poder obtener una solución que nos permita demostrar el equilibrio es preciso ser cuidadoso al elegir las posiciones de los bloques (1) y (). Como ayuda se da en la Tabla una serie de configuraciones diferentes con las que se obtienen resultados prácticos. El procedimiento es el siguiente: (a) Elegir las posiciones angulares y longitudinales adecuadas para los bloques (1) y ) (b) Determinar las posiciones angulares de los bloques (3) y (4), ya sea por cálculo grafico o analítico (c) Determinar la posición longitudinal de los bloques (3) y (4), por cálculo (d) Montar los bloques sobre el eje en las posiciones así determinadas (e) Comprobar si el eje se encuentra en equilibrio estático 18

19 (f) Colocar la correa en la polea y situar la cubierta transparente; conectar el motor y observar si el conjunto se encuentra equilibrado. (g) Si no es así, comprobar las posiciones de los bloques y, si es preciso, repetir los cálculos hasta lograrlo (h) Cuando se haya logrado el equilibrio de forma satisfactoria, desplazar levemente uno de los bloques. Observar el desequilibrio producido..5 Cálculos Suponemos el bloque (1) situado a 18 mm del final del eje y con ángulo cero, y que el bloque () está situado a 100 mm y a 10. Los momentos de desequilibrio que se han medido son los de la Tabla 1. Figura 10 Determinación de las posiciones angulares para un sistema de cuatro masas Se dibuja el polígono de momentos con los valores (Wr) como en la figura 10 (a), para determinar las posiciones angulares de los bloques (3) (4). (Wr)1 y (Wr) son conocidos tanto en magnitud como en dirección. El vector (Wr)1 se ha dibujado hacia abajo por convenio. Las longitudes de (Wr)3 y de (Wr)4 son conocidas y dibujamos los 19

20 arcos desde los extremos de (Wr)1 y de(wr) para encontrar las direcciones de los vectores desconocidos. La Figura 10 (b) muestra una interpretación grafica de las posiciones angulares de los bloques obtenida a partir del polígono. La Figura 10(c) muestra como se interpreta este diagrama para colocar los bloques sobre el eje. Utilizando las ecuaciones deducidas que determinan las fuerzas de ligadura, e igualando a cero se determinan las Z desconocidas. w Z cos ϕ + w Z w Z 1 1 sen ϕ + w 1 Z cos ϕ + w Z 3 sen ϕ + w 3 3 Z cos ϕ + w Z sen ϕ + w 4 4 Z 4 cos ϕ = 0 4 sen ϕ = 0 Los valores a3 y a4 de la tabla se determinan por cálculo con las ecuaciones anteriores : {100 x 8 sin (180 10) } {74 x a3sin( ) } = {64 x a4sin(360 94) } Por lo tanto: ,9 a3 58,5 a4 = 0 {100 x 8 cos(180 10) } + {74 x a3cos( ) } = {64 x a4cos(360 94) } Por lo tanto: ,8 a3 6 a4 = 0 Resolviendo este sistema de dos ecuaciones: a3 = 11,75 mm Medido desde el bloque (1) a4 = 13,7 mm Para asegurarse de que los alumnos obtienen resultados independientes se sugiere que los valores (Wr) se modifiquen usando diferentes posiciones de los orificios excéntricos. También pueden variarse las posiciones angulares de los bloques (1) y () 4 0

21 Ángulos medidos respecto al bloque (1). Distancias medidas desde el cero de la escala. Desequilibrios: (1) 88; () 8; (3) 74; (4) 64 (Medidos en bolas). Distancia entre(1) y (): 100 mm (constante). Tabla Algunas posiciones posibles de equilibrio dinámico APÉNDICE A LISTA DE SIMBOLOS a r x W F α θ ω Posición longitudinal sobre el eje Radio del bloque desequilibrante Posición longitudinal respecto al cero de la escala Peso del bloque (W = mg) Fuerza centrífuga que actúa sobre el bloque (F = mrω ó Posición angular del bloque. Posición angular del bloque desde el cero de la escala Velocidad angular del eje (rad/s) W g rω Los subíndices 1,, 3 y 4 se refieren a los bloques (1), (), (3) y (4). 1

22 PRÁCTICA 3 Diseño de una leva: Transformación de un movimiento circular en otro lineal predefinido. Consultar página y temas, 3 y 4 del programa de la asignatura de Mecánica. PRÁCTICA 4 Relaciones de transmisión en una caja epicicloidal Consultar página y específicamente tema 7 del programa de la asignatura Mecánica..