MATLAB 5 GUIA BASICA DE USO ELEMENTAL

Transcripción

1 MATLAB 5 GUIA BASICA DE USO ELEMENTAL MATLAB es un lenguaje de elevadas prestaciones orientado a cálculos técnicos, que integra el cómputo, la visualización y la programación en un ambiente de fácil utilización en el que tanto los problemas como sus soluciones son expresados mediante una notación matemática familiar para el usuario. Sus áreas de aplicación típica incluyen, entre otros a: Cálculos matemáticos Desarrollo de algoritmos Modelos y simulaciones... y ha sido justamente su inmediata aplicabilidad al área de simulación lo que ha conducido a tomarlo una de las herramientas básicas para el desarrollo de los trabajos prácticos en nuestra Cátedra. MATLAB ha sido desarrollado originalmente por Cleve Moller en lenguaje Fortran. La versión actual de MATLAB fue escrita en lenguaje C por los integrantes de The Math Works, Inc. MATLAB cuenta con una extensa ayuda on-line a la que puede accederse mediante los comandos help window o help desk (en este último caso, en su equipo ha de encontrarse instalado el programa NETSCAPE). Se presupone un conocimiento standard de inglés técnico por parte del usuario. 1

2 Para concluir esta breve referencia a la documentación de MATLAB, debemos mencionar los archivos en formato.pdf a los que puede accederse mediante Acrobat Reader versión 3 o superior (Acrobat puede obtenerse vía Internet en forma totalmente gratuita). Los documentos de mayor importancia son: c:\matlab\help\pfdocs\getstart.pdf Getting started with MATLAB contiene información muy útil para el principiante; c:\matlab\help\pfdocs\refbook.pdf Language Reference Manual describe el funcionamiento de los comandos de MATLAB; recomendamos especialmente imprimir y leer el primero de los documentos indicados, para tener una idea clara del funcionamiento de MATLAB. Resumiremos a continuación unas pocas ideas elementales que es necesario dominar para trabajar sin problemas con MATLAB. Una vez iniciado MATLAB, ya sea a través del Escritorio de Windows o por acceso a la carpeta de Programas del menú de inicio, aparece la Ventana de Comandos de MATLAB: El significado de los íconos que aparecen en la barra de herramientas, de izquierda a derecha, es Nuevo Archivo-M Abrir Archivo-M Cortar Copiar Pegar Deshacer Hojear Espacio de Trabajo (Workspace Browser) Hojear Rutas (Path Browser) Nuevo Modelo de Simulink Ventana de Ayuda 2

3 MATLAB opera en un entorno matricial con variables reales y/o complejas. Un escalar es tratado como una matriz de una fila por una columna. Los comandos de MATLAB pueden ser grabados en archivos especiales denominados genéricamente Archivos-M. Cada variable asignada ocupa un lugar en el Espacio de Trabajo (memoria física + memoria virtual) y sus características pueden ser analizadas utilizando el Workspace Browser. Las rutas de acceso a archivos pueden ser analizadas y modificadas por medio del Path Browser. En su momento trataremos lo relacionado a Simulink, una herramienta de MATLAB que proporciona un entorno gráfico muy sencillo para la simulación de sistemas dinámicos. Un detalle muy importante a tener en cuenta es que MATLAB diferencia entre mayúsculas y minúsculas. Por lo tanto x y X referenciarán dos objetos distintos. Lo mismo vale para los nombres de funciones, por lo que resulta aconsejable utilizar mayúsculas solamente en casos especiales y fáciles de recordar. Veamos ahora algunos ejemplos que nos introducirán en las peculiaridades de MATLAB. Para dar a una variable t el valor 5, escribimos en la Ventana de Comandos:» t=5 t = Observamos que, a pesar de no haberlo requerido, MATLAB muestra inmediatamente el valor asignado a la variable t. 5 Para evitar que MATLAB repita en cada expresión el o los valores asignados, debemos agregar al final de la misma un punto y coma (;) Probémoslo:» x=2;» Veamos cómo hacemos para ingresar una matriz A : Se separan los elementos de una fila con espacios o comas, Se emplea un punto y coma ; para indicar el fin de cada fila Se rodea la lista de elementos con corchetes [ ]» A=[ ; ; ; ] A = Cualquier elemento de la matriz A puede ser referenciado mediante subíndices en la forma usualmente empleada en notación matemática:» A(3,2) ans = 6 3

4 Los dos_puntos : es uno de los más importantes operadores de MATLAB y puede emplearse de muy diversas maneras, 1:10 produce un vector fila que contiene los diez primeros enteros 1 a 10» 1:10 ans = Para obtener un espaciado no unitario, se especifica un incremento, por ejemplo 100:-7:50 produce» 100:-7:50 ans = El incremento no ha de ser necesariamente un entero; así 0:pi/4:pi produce» 0:pi/4:pi ans = Expresiones subindicadas con dos_puntos hacen referencia a porciones de una matriz. Así por ejemplo A(1:k,j) se refiere a los primeros k elementos de la columna j de la matriz A. EXPRESIONES Como muchos otros lenguajes de programación, MATLAB opera sobre expresiones matemáticas, pero tales expresiones involucran matrices. Los elementos constitutivos de las expresiones son Variables Números Operadores Funciones Variables MATLAB no requiere sentencias declarativas de tipo ni el dimensionamiento de sus variables. Cuando MATLAB encuentra un nuevo nombre de variable, automáticamente crea la variable y le asigna el almacenamiento apropiado. Por ejemplo cant_alumnos = 25 crea una matriz de 1-por-1 llamada cant_alumnos y almacena el valor 25 en su único elemento. Los nombres de variables consisten de una letra seguida de cualquier cantidad de letras, dígitos y signos de subrayado (_). MATLAB utiliza solamente los primeros 31 caracteres de un nombre de variable. Números MATLAB emplea para los números la notación decimal convencional, con un punto decimal opcional y un signo más o menos antepuesto. La notación científica utiliza la letra e para indicar 4

5 una potencia de diez como factor de escala. Los número imaginarios emplean i o j como sufijo. Ejemplos de números válidos son e e23 1i 3e5j 3 + 2i Todos los números son almacenados internamente empleando el formato largo especificado por la norma IEEE. Los números de punto flotante tiene una precision de aproximadamente 16 dígitos decimales y un rango finito que va de aproximadamente a Operadores Las expresiones utilizan operadores aritméticos y emplean las reglas de precedencia que nos son ya familiares + adición - sustracción * multiplicación / división \ división por la izquierda (matricial) potencia ' (apóstrofe): transpuesta compleja conjugada matricial () especifican el orden de evaluación. Funciones MATLAB brinda un gran número de funciones matemáticas standard incluyendo abs, sin, sqrt y exp. Tomar la raíz cuadrada o el logaritmo de un número negativo no produce error, sino que el número complejo resultante es calculado automáticamente. Asimismo posee numerosas funciones matemáticas especiales, incluyendo funciones de Bessel y gamma. La mayor parte de éstas aceptan argumentos complejos. Para obtener un listado de funciones elementales basta tipear help elfun Elementary math functions. Trigonometric. sin - Sine. sinh - Hyperbolic sine. asin - Inverse sine. asinh - Inverse hyperbolic sine. cos - Cosine. cosh - Hyperbolic cosine. acos - Inverse cosine. acosh - Inverse hyperbolic cosine. tan - Tangent. tanh - Hyperbolic tangent. atan - Inverse tangent. atan2 - Four quadrant inverse tangent. atanh - Inverse hyperbolic tangent. sec - Secant. sech - Hyperbolic secant. asec - Inverse secant. asech - Inverse hyperbolic secant. csc - Cosecant. csch - Hyperbolic cosecant. acsc - Inverse cosecant. acsch - Inverse hyperbolic cosecant. cot - Cotangent. coth - Hyperbolic cotangent. acot - Inverse cotangent. acoth - Inverse hyperbolic cotangent. Exponential. exp - Exponential. log - Natural logarithm. log10 - Common (base 10) logarithm. log2 - Base 2 logarithm and dissect floating point number. pow2 - Base 2 power and scale floating point number. sqrt - Square root. nextpow2 - Next higher power of 2. Complex. abs - Absolute value. angle - Phase angle. conj - Complex conjugate. imag - Complex imaginary part. real - Complex real part. unwrap - Unwrap phase angle. isreal - True for real array. cplxpair - Sort numbers into complex conjugate pairs. Rounding and remainder. fix - Round towards zero. floor - Round towards minus infinity. ceil - Round towards plus infinity. round - Round towards nearest integer. mod - Modulus (signed remainder after division). rem - Remainder after division. sign - Signum. 5

6 Algunas funciones especiales suministran los valores de constantes útiles: pi i Unidad imaginaria, (-1) 1/2 eps Precisión relativa en punto flotante, 2-52 realmin número de punto flotante más pequeño, realmax el número de punto flotante más grande, (2-eps) 1023 inf infinito nan not-a-number (no es un número). El infinito inf se genera al intentar dividir un valor distinto de cero por cero o al evaluar expresiones que producen desborde (overflow). nan se produce al intentar evaluar expresiones indeterminadas del tipo 0/0 o bien - que matemáticamente no poseen valor. Los nombres de funciones no son reservados, por lo que resulta posible sobrescribirlos con una nueva variable, como por ejemplo eps = 1e-6 para utilizarla en cálculos subsiguientes. La función original puede ser restablecida en cualquier momento mediante el comando clear, clear eps < vuelve al valor original de eps 2-52 >. Expresiones Ya hemos utilizado precedentemente varias expresiones. Damos a continuación algunos ejemplos adicionales con los valores resultantes» a = abs(3+4i) a = 5» z = log(-1) z = i» grande = exp(log(realmax)) grande = e+308» demasiado_grande = pi * grande demasiado_grande = Inf 6

7 A título ilustrativo, echemos una ojeada al espacio de trabajo que hemos generado con nuestros ejemplos: El comando format Este comando controla el formato numérico de los valores mostrados por MATLAB. Mostramos un ejemplo de los diversos formatos de visualización para un vector x con componentes de muy distinta magnitud» x = [4/ e-6];» format short» x» format long» x x = » format short e» x x = x = » format long e» x x = e e e e-006» format short g» x x = e-006 Para más información acerca de la totalidad de los formatos utilizables en MATLAB tipear help format 7

8 GRAFICACIÓN Deseamos crear un gráfico de la función e -0.2t.sen(t) para valores de la variable independiente comprendidos en el intervalo [0, 6π], nos valemos para ello de los comandos» t=0:pi/100:6*pi;» y=exp(-0.2*t).*sin(t);» plot(t,y) obteniendo el siguiente resultado en pantalla: Observemos que tanto t como exp(-0.2*t) como sin(t) son matrices (hablando con propiedad, vectores fila de 1 fila por 100 columnas), por lo que la multiplicación de la función exponencial por la función seno no puede ser indicada simplemente con el operador *. Esto es así porque la multiplicación de matrices exige que las mismas sean conformables -es decir, que la cantidad de columnas de la matriz multiplicando sea igual a la cantidad de filas del multiplicador: X(mxn) * Y(nxp) = Z(mxp) -. Ahora bien, nosotros deseamos multiplicar escalarmente cada valor de exp(- 0.2*t) por el valor de sin(t) correspondiente al mismo instante t, por lo tanto empleamos el operador.* ("punto por") para indicar este tipo de operación. 8

9 Podemos agregar el reticulado, etiquetas a los ejes, título a la figura y leyendas descriptivas mediante los comandos: grid on» xlabel('t (tiempo)')» ylabel('y(t)')» title('oscilacion AMORTIGUADA exp(-0.2*t).*sin(t)')» text(6, 0.5, 'Período de oscilación 2{\pi}') Finalmente, podemos copiar la figura con la opción Copy Figure del menú Edit de la misma, obteniendo el gráfico: 1 OSCILACION AMORTIGUADA exp(-0.2*t).*sin(t) Período de oscilación 2π y(t) t (tiempo) Y aún podemos jugar con el grosor de la línea y el rango de los ejes, empleando los comandos» hold on %mantiene la figura anterior» plot(t,y,'linewidth',2)» axis([ ])» plot(t,exp(-0.2*t),':') % ':' muestra línea punteada» plot(t,-exp(-0.2*t),':')» text(11, -0.3,'\it{envolventes en líneas de puntos}') Con lo que, en definitiva, obtenemos la figura de la página siguiente. 9

10 1 OSCILACION AMORTIGUADA exp(-0.2*t).*sin(t) Período de oscilación 2π 0.2 y(t) envolventes en líneas de puntos t (tiempo) Manejo de Polinomios y Gráficos Logarítmicos Planteamos el problema concreto de graficar la función de respuesta en frecuencia (diagramas de Bode) de módulo y fase correspondiente a la función de transferencia H ( 9 9 s) = = con s = 4 3 s + 0.6s s s + 9 P( s) jω para valores de la pulsación ω comprendidos entre 0.1 y 100 radianes/seg. Como en H(s) el numerador es constante, nuestro problema radica en evaluar el polinomio denominador de cuarto grado P(s) para los valores indicados de s=jω. El tratamiento de polinomios en MATLAB es sumamente simple, tanto para valores reales como complejos de la variable independiente. Un vector fila formado por n+1 coeficientes ordenados según el orden decreciente de las potencias de la variable, es interpretado como un polinomio, cuyas raíces pueden ser investigadas mediante la función roots,» p=[ ]; % Vector de los coeficientes de P(s)» r=roots(p) r = % r es un vector columna que contiene las % raíces de P(s) i i % Observamos dos pares de raíces complejas i % conjugadas, lo que nos hace predecir dos i % frecuencias de resonancia. 10

11 Para trabajar en escala logarítmica MATLAB permite, mediante el uso la función logspace, definir un vector de valores de la variable independiente -que llamaremos om- logarítmicamente espaciados. El comando es» om=logspace(-1,2,1000); y genera 1000 valores logarítmicamente distribuidos entre 10-1 y 10 2 que corresponden a los extremos inferior (0.1) y superior (100) del rango de interés para nuestro problema. Evaluamos ahora el módulo de H(jω) -que almacenamos en el vector h- aplicando al polinomio (almacenado en la variable p), las funciones abs (valor absoluto: que en el caso de un complejo corresponde al módulo) y polyval (que calcula el valor del polinomio para los valores de la variable de su segundo argumento,» h=9./abs(polyval(p,om*i)); % Nótese que como 9 es un escalar, % y el denominador produce un vector, % resulta necesario realizar la división % con el operador./ La conversión a decibeles es inmediata, empleando la fórmula conocida y la función (logaritmo decimal. log10» h_db=20*log10(h); % h_db contiene el valor de % h expresado en decibeles. Sólo nos resta ahora graficar h_db versus om para completar el diagrama de Bode del módulo de H(jω). Empleamos para ello la función semilogx (cuyo nombre aclara totalmente su cometido).» semilogx(om,h_db) Resultando la figura A la que aplicamos nuestra "cosmética" para hacerla un poco más legible, 11

12 20 Función de Transferencia de 4º Orden - Doble Resonancia 0 Módulo de H(jω) en db Pulsación ω en rad/s Para el diagrama de ángulos de fase, observamos que en nuestra función de transferencia es jωϕ H ( jω) = H ( jω) e con ϕ = arg{ P( jω)} ya que el numerador es un número real. Evaluamos la fase del polinomio denominador, en todo el rango de ω con el comando angle que brinda como resultado el argumento (o ángulo de fase) de un número complejo, e inmediatamente lo graficamos» w=-angle(polyval(p,om*i)); % almacenamos en w la fase de p» semilogx(om,w); % graficamos y oh sorpresa! La figura nos aparece con las ordenadas en radianes y, lo que es verdaderamente grave, una injustificable discontinuidad (salto de valor 2π) en ω 3 rad/s. Pero no hay que apenarse! Ello se debe al algoritmo empleado por MATLAB en angle. Afortunadamente, tenemos la solución por medio de unwrap. Con unwrap, pasando radianes a grados y un poco de manicura... 12

13 fi=180*unwrap(w)/pi; % Convierte radianes en grados semilogx(om,fi); grid on axis([ ]) title('función de Transferencia de 4º Orden - Doble Resonancia') xlabel('pulsación {\omega} en rad/s') ylabel('fase de H(j{\omega}) en grados') 0 Función de Transferencia de 4º Orden - Doble Resonancia -50 Fase de H(jω ) en grados Pulsación ω en rad/s Archivos Script Mucho nos agradaría, en nuestro afán de simplificar tareas, guardar todos los comandos que hemos empleado en el punto precedente, de manera de tenerlos disponibles para cualquier otra ocasión que se nos presente un problema similar. Y lo vamos a hacer empleando el icono New M-File de la barra de tareas. Aparece la siguiente pantalla, sobre la cual podemos rescribir los comandos anteriores o, si somos más duchos, podemos copiar con Ctrl.-C y Ctrl.-V las líneas escritas en la Ventana de Comandos: 13

14 Éste es un editor de texto, con alguna funciones auxiliares que invitamos a experimentar. Procediendo entonces como dijimos en la página precedente, llegamos a % FT_4o_ORDEN % F. DE TRANSFER. H(s)=9/(s^4+0.6s^ s^2+4.6s+9) % diagramas de Bode de amplitud y fase p=[ ]; % Coeficientes r=roots(p); % Raíces om=logspace(-1,2,1000); % 1000 valores de om entre 0.1 y 100 h=9./abs(polyval(p,om*i)); % Módulo de h h_db=20*log10(h); % decibeles figure(1); % define la Figura 1 como la figura actual semilogx(om,h_db); % Gráfico semilogarítmico del módulo en db grid on axis([ ]) title('función de Transferencia de 4º Orden - Doble Resonancia') xlabel('pulsación {\omega} en rad/s') ylabel('módulo de H(j{\omega}) en db.') w=-angle(polyval(p,om*i)); % Cálculo del argumento fi=180*unwrap(w)/pi; % Elimina discontinuidades y transforma a grados figure(2); % define la Figura 2 como la figura actual semilogx(om,fi); %Gráfico semilogarítmico del ángulo de fase en grados grid on axis([ ]) title('función de Transferencia de 4º Orden - Doble Resonancia') xlabel('pulsación {\omega} en rad/s') ylabel('fase de H(j{\omega}) en grados')... y con el comando Save del menú File lo podemos almacenar como archivo.m en un directorio tal como C:\MATLAB\ejercicios (que deberemos haber creado anteriormente) bajo el nombre ft_4o_orden.m Desde el momento que se encuentra almacenado, este archivo puede ser invocado desde la Ventana de Comandos introduciendo simplemente su nombre de la siguiente forma» ft_4o_orden??? Undefined function or variable 'ft_4o_orden'. 14

15 El mensaje de error se origina porque MATLAB no tiene incorporado el camino C:\MATLAB\ejercicios a sus rutas de búsqueda. Para solucionar el inconveniente accedemos al icono Path Browser de la barra de tareas. Para que el camino se incorpore en forma permanente a la ruta de búsqueda, deberá responderse afirmativamente al cuadro de diálogo que aparece a continuación Un archivo.m como el que acabamos de generar se conoce como script. Un script no posee argumentos de entrada y al ser invocado, MATLAB simplemente ejecuta los comandos que encuentra en el archivo generando o modificando valores en el espacio de trabajo. Un segundo tipo de archivos.m son las funciones function, las cuales aceptan argumentos de entrada y devuelven valores en los argumentos de salida; las variables internas de una función son locales a la misma y no afectan al espacio de trabajo. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES MATLAB posee potentes algoritmos para la solución de ecuaciones diferenciales, con el comando help funfunctions obtenemos el listado Ordinary differential equation solvers. (If unsure about stiffness, try ODE45 first, then ODE15S.) ode45 - Solve non-stiff differential equations, medium order method. ode23 - Solve non-stiff differential equations, low order method. ode113 - Solve non-stiff differential equations, variable order method. ode15s - Solve stiff differential equations, variable order method. ode23s - Solve stiff differential equations, low order method. odefile - ODE file syntax. 15

16 Nosotros emplearemos normalmente ode45 y utilizaremos ode15s tan sólo cuando notemos que la solución tarda excesivamente en ser calculada, lo que ocurre cuando la curva solución Φ(t) presenta flancos muy abruptos (casi verticales). ode45 implementa un algoritmo de Runge-Kutta modificado, de paso de integración variable, desarrollado por Dormand-Prince. Invocaremos ode45 para resolver una ecuación diferencial de alguna de las maneras alternativas siguientes: [T,Y] = ode45('f', rango_tiempo, y0) [T,Y] = ode45('f', rango_tiempo, y0, opciones) [T,Y] = ode45('f', rango_tiempo, y0, opciones, p1, p2,...) donde los argumentos tienen los significados T,Y F Matriz solución Y en la que cada fila corresponde a un valor de tiempo consignado en el vector columna T. Nombre de un archivo ODE, una función de T e Y que devuelve un vector columna. La sintaxis especial de este archivo será considerada más adelante. rango_tiempo Un vector que especifica el intervalo total de integración [t0 tfinal] y0 opciones Un vector de condiciones iniciales. Argumentos de integración opcionales para aplicaciones avanzadas. No los utilizaremos en nuestro curso. p1, p2,... Parámetros opcionales para la función_f. Como ejemplo aplicativo, veamos la solución de la ecuación diferencial de Van der Pol, que es de la forma 2 y µ (1 y ) y + y = 0 que equivale al sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden El archivo-m function out1= vdpl(t,y) %Resuelve Van der Pol con mu=1 out1= [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]; y 1 y 2 = y = µ ( 1 y ) y y 2 1 define este sistema de ecuaciones con µ=1. La grabamos bajo el nombre vdpl.m Para resolver el sistema de Van der Pol en el intervalo de tiempo [0 20] con los valores iniciales y(1)=2 e y(2)=0, invocamos [t,y]=ode45('vdpl',[0 20],[2;0]) plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.') 16

17 y poniendo títulos, comentarios y demás, obtenemos la figura 3 Ecuación de Van der Pol con µ=1 dy/dt 2 y(t) t Como vemos, el procedimiento no es para nada complicado. Lo que debe quedar claro respecto de la función vdpl que creamos más arriba, es que out1 es un vector columna de dos componentes. Por ello, también las condiciones iniciales y0 son introducidas en los argumentos de ode45 como un vector columna [2; 0]. Resulta instructivo analizar el contenido de las primeras 10 componentes de las variables t e y:» t(1:10) ans = e e e » y(1:10,:) ans = e ganamos así, un conocimiento adicional acerca de la cantidad de valores que calcula y almacena MATLAB al resolver una ecuación diferencial. Los interesados en realizar elaboraciones algo más profundas, pueden utilizar el comando help odefile y consultar las páginas a del documento Refbook.pdf. 17