Niveles de abstracción. Lisp y la pedagogía

Transcripción

1 Niveles de abstracción. Lisp y la pedagogía F. Javier Gil Chica versión de enero de 2015 Resumen Estudiar implica alcanzar sucesivos niveles de abstracción. En este artículo se muestra cómo estos niveles pueden hacerse explícitos mediante el uso de un lenguaje de programación y hacemos una excursión desde los niveles inferiores del aprendizaje de las matemáticas hasta el nivel de los estudios superiores, mostrando cómo estas abstracciones se pueden formalizar al tiempo que obtenemos herramientas útiles y adquirimos formas de pensar y enfrentar problemas. 1. Motivación El curso de los estudios supone la adquisición de niveles de abstracción cada vez más elevados, construidos a partir de abstracciones anteriores. Esto es válido al menos para las disciplinas científicas. Por otro lado, la computación personal es ya corriente. Por otro, finalmente, en muchos textos se exponen procedimientos algorítmicos, escritos en pseudocódigo, reconociendo implícitamente que ésta es una forma conveniente y útil de formalizar ciertos conocimientos. Nosotros nos proponemos mostrar cómo, mediante un lenguaje de programación de sintaxis trivial, el alumno puede formalizar estas sucesivas abstracciones, lo que tiene a nuestro modo de ver varias importantes ventajas. En primer lugar, el dominio o al menos la familiaridad con un lenguaje de programación resulta más que conveniente para las disciplinas científicas, desde el punto de vista de la mera utilidad. En segundo lugar, un nivel mediano en programación es suficiente para que el estudiante se de cuenta y aproveche algunos patrones generales, como pueden ser: la descomposición de un problema en una serie de problemas más pequeños, el uso de la recursividad, estrategias generales para abordar problemas (fuerza bruta, dividir para vencer, búsqueda aleatoria, exhaustiva, heurísitca,..., el reconocimiento de estructuras de datos generales para organizar la información, etc. En 1

2 tercer lugar, la programación de una abstracción recién adquirida obliga a plantear esta abstracción de una forma clara, libre de ambigüedades. En cuarto lugar, con el paso del tiempo, el alumno puede adquirir una biblioteca personal de valor permanente, que le ayude en sus estudios posteriores. Esto es mucho más interesante que instruirlo en el uso de programas comerciales, que nunca serán tan flexibles. No sugerimos que estos programas deban ser descartados, sólo que, con frecuencia, existen soluciones sencillas para problemas sencillos (o no tanto que están al alcance de un usuario corriente y que pueden alcanzarse con poco esfuerzo y un alto nivel de satisfacción intelectual. Además, la habilidad de los lenguajes para combinar herramientas sencillas formando otras más complejas hace que la destreza que se adquiera hoy se revalorizará con el tiempo: a medida que adquirimos nuevas herramientas, crecen las posibilidades para combinarlas con otras que ya poseemos. Para mostrar nuestro punto de vista, vamos a guiar al lector por una serie de niveles de abstracción creciente, y veremos cómo estos niveles se pueden expresar en un lenguaje de programación. En definitiva, vamos a crear pequeños programas, casi todos triviales, para formalizar los niveles crecientes que se alcanzan en el estudio de las matemáticas. Elegimos el lenguaje Lisp por varias razones. En primer lugar, es el único lenguaje del que puede decirse que es bello. Su uso recompensa al intelecto. En segundo lugar, porque su sintaxis es trivial, lo que nos ahorra tener que mostrar una sintaxis particular. De hecho, al lector le bastará leer los ejemplos para darse cuenta de la sintaxis. En tercer lugar, porque este lenguaje va mucho más allá de estos primeros niveles que nosotros vamos a desbrozar. En cuarto lugar, porque es uno de los más antiguos lenguajes de programación (junto con Cobol y Fortran, y su estabilidad en el pasado dice mucho sobre su posible estabilidad futura, de modo que el esfuerzo que se hace hoy en aprenderlo se podrá rentabilizar durante décadas. En quinto lugar, porque es interactivo: basta escribir una función y ésta función puede ejecutarse, con independencia de que pertenezca a un programa más complejo. Además, su interactividad nos libra del molesto ciclo de edición-compilación-ejecución. En sexto lugar, porque dispone de una aritmética completa y potente, que puede trabajar con enteros, reales, racionales y complejos, sin estar limitado por los bits del procesador. Con seis es suficiente, pero se pueden presentar otras seis, al menos. Quéharemosapartirdeaquí?Presentaremosnivelanivel,ycómopuede usarse Lips en cada uno de ellos. 2

3 2. Nivel 1 Cuando un estudiante se encuentra en este nivel, es seguramente demasiado joven para introducirle un lenguaje de programación. No obstante, para hacer un recorrido completo, partimos de aquí. En este nivel, el alumno, probablemente en primaria, reconoce algunos números a primera vista. Cuando se le presentan conjuntos de objetos, reconoce inmediatamente cuántos de estos objetos hay en el conjunto, sin necesidad de contar. Esto sucede para conjuntos de 1, 2, 3 y probablemente 4 objetos. La suma es entonces algo natural, pues consiste sólo en asignar nombres al cardinal de los conjuntos mostrados. Por ejemplo, si a un infante se le muestran dos conjuntos, uno con 1 elemento y otro con 2 elementos, la suma de ambos cardinales es el cardinal de un conjunto de 3 elementos, reconocible inmediatamente. En Lisp, esta operación con números sencillos se escribe así: > (+ 1 2 > 3 y el resultado es 3. Suponemos que tras escribir la primera línea pulsamos la tecla INTRO, y como resultado se imprime la segunda. Se observa ya que en este lenguaje las operaciones se encierran entre paréntesis, y que tras el paréntesis de entrada se escribe la operación que se desea realizar, y a continuación sus argumentos. Prácticamente, esta es toda la sintaxis que hay que saber. 3. Nivel 2 En el siguiente nivel de abstracción, el alumno aprende a sumar números cualesquiera. Esto requiere de un algoritmo, y el algoritmo es independiente de qué números concretos se desean sumar. Esto expande las posibilidades. En Lisp: > ( > Nivel 3 A partir del nivel anterior, se alcanzan enseguida operaciones adicionales, como la resta, la multiplicación (que no es más que una suma repetida y la división (que no es más que una resta repetida. En Lisp: 3

4 > ( > 303 > ( > 18 > (* > 400 > (/ > 4 En este punto, el estudiante puede usar Lisp como una calculadora potente, si bien limitada a números enteros. Sin duda, es una calculadora mejor que una de sobremesa, pues no está limitada por el tamaño de los números y la introducción de las operaciones es más cómoda. Por qué entonces no usar Lisp como calculadora? > ( > > ( > > (* > Nivel 4 En este nivel, el alumno conoce distintas clases de números. Los enteros no son suficientes, y se le presentan los naturales, y después los racionales, los reales y, finalmente, los complejos. Nuestro lenguaje es capaz de operar con distintos tipos de números. Por ejemplo con racionales: > (+ 12/67 34/101 > 3490/6767 Con reales: > (* > y con complejos: > (/ #C(12-9 #C(-9 7 > #C(-171/130-3/130 4

5 6. Nivel 5 El siguiente nivel borra las diferencias entre los distintos tipos de números: un número es sólo un número. Lisp permite usar tipos distintos en la misma expresión, y da el resultado en el tipo adecuado. Por ejemplo, la suma de dos racionales es un racional, pero el producto de un racional por un real es un real: > (* 7/ > Además, se puede operar con complejos cuyas partes real e imaginaria sean de cualquier tipo: > (/ #C(5.0 45/118 #C(-9 14 > #C( Nivel 6 En el nivel 6, generalizamos las operaciones básicas haciendo que puedan tomar un número cualquiera de argumentos: > (+ 1 2/ > > (/ > Nivel 7 En el nivel 6, tenemos ya los operadores elementales, que pueden tomar un número arbitario de operandos. Ahora ampliamos aún más las capacidades de cálculo, admitiendo que un operando puede ser no sólo un número, sino otra expresión, es decir, el resultado de otro u otros operandos. Además, el proceso puede anidarse tanto como se desee o necesite: > (+ 2 (* 3 3 > 18 > (* 4 (+ (/ > 12 > (- 10 (* 2 (+ 9 1 (- 3 5 > -6 5

6 9. Nivel 8 El nivel 8 es crucial, pues es el paso desde el concepto de operando al concepto de función. Sabemos que existen funciones como las exponenciales, raíces, logarítimas y trigonométricas que, en última instancia, se reducen a una secuencia, quizás larga, de operaciones elementales de suma, resta, división y multiplicación. Podemos ahora ver las operaciones elementales como funciones sencillas e incluirlas en la gran familia de las funciones. Estas otras funciones también se pueden calcular en Lisp: > (sqrt 25.3 > > (log 12 > > (sin 0.34 > > (cos 2.71 > > (atan 3.0 > Nivel 9 El número de funciones que pueden definirse es infinito. Lisp permite definir nuevas funciones, combinando funciones ya existentes. Existe una función especial, defun, para definir nuevas funciones. Para hacerlo además, necesitamos una abstracción adicional: la variable. En efecto, podemos escribir (sqrt 8, (sqrt 34 o de cualquier otro valor. El hecho de que la función pueda aplicarse a cualquier argumento de su dominio implica la separación entre el procedimiento de cálculo y los valores a los que se aplica este procedimiento. Mediante el uso de variables podemos designar no un valor en concreto, sino cualquier valor. Como ejemplo, definimos una función que calcula la media de dos números. Para representar a dos números cualesquiera, usamos dos variables, a y b: > (defun media (a b (/ (+ a b 2 > (media 4 9 > 13/2 > (media > 5.3 6

7 Inmediatamente después, es posible usar esta función como si fuese parte del lenguaje, con el mismo rango que las funciones elementales o trigonométricas: > (* 2.0 (media 3 4 > Nivel 10 A veces una función puede calcularse recursivamente. Recursivas son aquellas funciones que entran dentro de su propia definición. Por ejemplo, el factorial de un número n se puede definir en función del factorial de n 1: n! = n (n 1!. Hay muchas funciones que pueden calcularse así. Para el factorial: (defun factorial (n (if (= n 0 1 (* n (factorial (- n 1 Recordemos que Lisp no está limitado a la representación de los números por hardware, es decir, puede trabajar con cantidades que superan en mucho las que se pueden representar con los 32 o 64 bits de los procesadores: > (factorial 543 >

8 Entretanto, el mayor entero que se puede representar con 32 bits es ; con 64 bits: y una hipotética futura generación de procesadores de 128 bits podrá representar enteros hasta Para calcular estos números, hemos escrito en Lisp la función elevado a que toma dos enteros y calcula el primero de ellos elevado al segundo: > (defun elv (x y (if (= y 0 1 (* x (elv x (- y 1 > (elv 2 32 > Intermedio: listas La lista es la estructura de datos más general, si admitimos que un elemento de una lista puede a su vez ser una lista. Entonces, las listas permiten representar vectores, matrices, pilas, colas, árboles y, por supuesto, listas. Estas estructuras de datos son abstractas, en el sentido de que pueden contener elementos de muchos tipos distintos, como números, palabras o combinaciones de ambos. Por ejemplo, un diccionario es una lista de listas de dos elementos, cada una de las cuales contiene un término y su definición. Todos los datos que se organizan jerárquicamente encajan en el tipo de datos abstracto árbol. Por ejemplo, la taxonomía de los reinos vegetal y animal se pueden representar como un árbol. En Lisp, una lista se representa encerrando a sus elementos entre paréntesis: ( (hola adios luna Como se ve, en Lisp el código y los datos se representan de la misma forma. La única diferencia es que en una lista de código se supone que el primer elemento es un operador y el resto de elementos sus argumentos. Pero si Lisp encontrase la segunda lista buscaría en vano el operador hola y se emitiría un mensaje de error. Para evitar esto, se indica a Lisp con un apóstrofo que la lista que viene a continuación contiene sólo datos: 8

9 (hola adios luna Dos funciones son útiles: (list y (cons. La primera crea una lista a partir de los argumentos que se le ofrezcan: > (list > ( La segunda toma como argumentos un objeto y una lista, y añade el objeto al principio de la lista. El objeto, a su vez, puede ser una lista: > (cons 3 (2 1 0 > ( > (cons (1 2 (3 4 5 > ( ( Como ejemplo de uso, escribimos una función que toma una lista de números como argumento y devuelve otra cuyos elementos son los elementos de la lista original multiplicados por 2: (defun duplica (lista (if (null lista nil (cons (* 2 (firs lista (duplica (rest lista 13. Nivel 11 Operar sobre listas es un nuevo nivel de abstracción, puesto que se opera sobre ellas con independencia de qué contengan: si números, cadenas, combinaciones de ambos u otras listas. Por ejemplo, la longitud de una lista es 0 si la lista está vacía y 1 más la longitud de la lista que resulta de saltar el primer elemento en caso contrario. Esta definición es naturalmente recursiva, y se puede formaliza así: (defun longitud (lista (if (null lista 0 (+ 1 (longitud (rest lista La función (first aplicada a una lista da como resultado el primer elemento. La función (rest aplicada a una lista da como resultado la sublista formada por el segundo y sucesivos elementos. Ahora podemos probar: 9

10 > (longitud (1 2 3 (4 5 > 4 Volviendo a la función (media definida anteriormente, es natural escribir una nueva versión que calcule la media no de dos números, sino de una lista de longitud arbitraria. Para ello será preciso calcular la suma de una lista. Si la lista está vacía, la suma de sus elementos es 0, si no, es el valor del primer elemento más la suma del resto de elementos. Esta definición es también naturalmente recursiva, y se escribe inmediatamente: (defun suma (lista (if (null lista 0 (+ (first lista (suma (rest lista Y ahora: (defun media (lista (/ (suma lista (longitud lista Probemos: > (media ( > 16/7 Un ejemplo más. Para calcular el máximo de una lista, suponiendo que no está vacía: (defun maxlista (lista (if (null (rest lista (first lista (if (> (first lista (maxlista (rest lista (first lista (maxlista (rest lista En lenguaje claro: si la lista contiene un sólo elemento, él es el máximo, si no, puede suceder que el primer elemento sea mayor que el máximo del resto, y entonces es él el máximo, o puede que no, y entonces el máximo es el máximo del resto de la lista. La recursión parece magia. 10

11 14. Nivel 12 Es una operación frecuente aplicar una función sobre todos los elementos de una lista. En una sección anterior hemos escrito una función llamada (duplica. En este nivel, generalizamos la idea y nos proponemos aplicar una función cualquiera a los elementos de una lista. Esto implica que las funciones puedan pasarse como parámetros. Para completar, una función debería también ser capaz de devolver como resultado otra función. Por ejemplo, la suma de una serie es un ejemplo de lo primero: la función encargada de la suma ha de recibir como parámetro la función f que se aplica a cada n en el intervalo desde n = a a n = b (f(n es el término general. Un ejemplo de lo segundo es la derivada: dada una función, se obtiene otra. Cubriremos estos aspectos en este nivel. Lisp incorpora tres funciones que pueden tomar a otras funciones como argumento. La primera es (funcall, que toma una función y los argumentos sobre los que se aplicará esa función: > (funcall # > 15 La segunda es (apply que toma una función y una lista. La función se aplicará a los elementos de la lista: > (apply # + ( > 21 La tercera es (mapcar, que toma una función de una variable y una lista y aplica la función a cada elemento de la lista, obteniendo otra: > (mapcar # sqrt ( > ( Aplicaremos estas ideas para escribir una función capaz de calcular la integral numérica por la fórmula de los trapecios. Esta función tomará como argumentos: 1 la función que se quiere integrar; 2 el extremo inferior a de la integral; 3 el extremo superior b de la integral y 4 el número de puntos N >= 2 que se tomarán para la integral, incluyendo a a y b. En primer lugar, escribiremos una función que devuelva una lista con valores igualmente espaciados, entre a y b, de N elementos: (defun valores (a b N (if (= N 2 (cons a (cons b nil (cons a (valores (+ a (/ (- b a(- N 1 b (- N 1 11

12 A continuación, la función (mapcar producirá una lista de valores, que serán los valores que toma la función que se desea integrar en cada punto de la lista primera. Una vez hecho esto la integral se obtiene enseguida, pues es el producto de (b a/(n 1 por: la suma de la lista menos la semi-suma de los extremos. Sabemos cómo sumar una lista, y sabemos cómo obtener el primer elemento. Cómo obtener el último? Con la función (last. Pero, al contrario que (first, que devuelve el primer elemento de la lista, (last devuelve una lista que contiene sólo el último elemento. Por tanto, (car (last lista devuelve el último elemento. Ahora, la función que suma la lista completa y le resta la semi-suma de los elementos primero y último es trivial: (defun sumatorio (lista (- (suma lista (/ (+ (first lista (car (last lista 2.0 Con todo esto, es posible escribir la función que integra numéricamente una función cualquiera entre dos extremos: (defun trapecios (f a b N (* (/ (- b a (- N 1 (sumatorio (mapcar f (valores a b N Ahora podemos calcular la integral de una función pasándola como argumento a (trapecios. Por ejemplo: > (defun cuadrado (x (* x x > (trapecios # cuadrado > Segundo intermedio Una macro es un programa que escribe un programa, que después se ejecuta. El alcance de las macros en Lisp va muchísimo más lejos de lo que pretendemos en estas notas, pero a título ilustrativo, escribiremos una macro que tome como argumento una función y escriba la expresión que después se ejecutará para darnos la integral: > (defmacro trapmac (f a b N (* (/ (-,b,a(-,n,1 (sumatorio (mapcar #,f (valores,a,b,n 12

13 después de lo cual es posible escribir > (trapmac cuadrado > Nivel 12, segunda parte La segunda parte de este nivel consiste en ver que una función puede devolver otra función. La función devuelta es creada en el interior de otra, y devuelta como resultado, de la misma forma que se calculan y devuelven números. La sintaxis es casi trivial: (defun f (x # (lambda (n (+ x n f es una función que toma un argumento x y que devuelve otra función que toma un argumento n y devuelve la suma (+ x n. lambda es un nombre especial con el que Lisp se refiere a funciones anónimas. A veces se quiere hacer un pequeño cálculo dentro de una función y para eso se usa otra cuya utilidad es local: no vale la pena ponerle un nombre especial porque no va a ser llamada desde otras instancias. Entonces se usa la forma lambda. De manera que si se llama (f 3, el resultado no será un número, sino una función, que a su vez requerirá de otro argumento y dará un resultado. > (funcal (f 3 5 > 8 > (apply (f 3 (5 > 8 > (mapcar (f 3 ( > ( De manera que, en este punto, las funciones realizan cálculos donde pueden manipular no sólo números, sino también otras funciones, y pueden tomarlas como argumento y devolverlas como resultado. 17. Nivel 13 Este es el último nivel que vamos a presentar aquí, pero no el último al que permite acceder Lisp. De hecho, Lisp está hecho de tal forma que puede generar nuevas abstracciones a partir de otras anteriores, del nivel que se 13

14 quiera. Trataremos ahora de la forma en que es posible combinar funciones en una sola unidad. Hasta ahora, hemos escrito funciones individuales, o funciones que usaban funciones anteriores, autónomas. Por ejemplo, en el programa que calcula la integral de una función por el método de los trapecios, hemos usado las funciones(sumatorio y(valores, que fueron definidas antes. A su vez, (sumatorio hace uso de (suma. Puede ser que todas estas funciones tengan utilidad en sí mismas o puede que no. Por ejemplo (suma puede ser útil fuera del contexto del cálculo de la integral, pues hace la operación genérica de sumar los elementos de una lista. Pero (sumatorio no parece tener otra utilidad que la de servir a (trapecios. Entonces, se plantea la necesidad, o al menos la conveniencia, de poder aglutinar junto con una determinada función, todas aquellas funciones auxiliares que no tienen otro propósito que el de ayudar dentro de su contexto, y no tienen por qué ser conocidas fuera de ese contexto. Estas funciones auxiliares se declaran en Lisp mediante (labels. Vamos a reescribir la función (trapecios de tal forma que las funciones en que se apoya sean parte suya y sólo conocidas por ella. Antes de eso, un par de ejemplos para aclarar la sintaxis: (defun f (n (labels ( (a (n (+ n 4 (* n (a 7 Aquí, inmediatamente después de declarar nuestra intención de crear una función de nombre f que tomará como argumento un número n, abrimos un ámbito con (labels. Este ámbito se extiende hasta el penúltimo paréntesis, que cierra (labels, justo antes del último, que cierra (defun. Dentro de ese ámbito, y conocida sólo ahí, se declara la función a. Obsérvese que no es preciso usar (defun. Esa función hace un pequeño cálculo, y servirá de auxiliar a f. El cálculo es simple: toma su argumento y le suma 4. Una vez terminada de definir a, se pasa a definir f, que toma su argumento y lo multiplica por el resultado de hacer (a 7. Obsérvese que hemos llamado n tanto al argumento de f como al de a. Pero no son la misma n. La primera es el argumento de f, y la segunda es el argumento de a. Son dos variables distintas, pero tienen el mismo nombre. (a es llamada con argumento 7: cuando se realiza la llamada, se calcula (a con n=7. Cuando se llama a f, se llama con el argumento que se quiera. Por supuesto, también podríamos haber escrito: (defun f (n (labels ( (a (x (+ x 4 (* n (a 7 14

15 (labels puede contener más de una función, y esas funciones locales pueden llamarse entre sí, e incluso pueden ser recursivas. Un segundo ejemplo, en el que usamos una indentación diferente para hacer más claro el ámbito determinado por (labels : (defun g (n (labels ( y ahora (a (x (+ x 5 (b (y (* y (a 4 (* n (a 1 (b 2 > (mapcar # g ( > ( La función g se apoya en a y b, y b se apoya a su vez en a. Ni a ni b son conocidas fuera de g, y por tanto no pueden ser llamadas: si se intenta, se obtendrá un mensaje de error. Ahora, podemos reescribir la función (trapecios. Usamos una indentación generosa para hacer explícito cada bloque. (defun trapecios (f a b N (labels ( (suma (lista (if (null lista 0 (+ (first lista (suma (rest lista (valores (a b N (if (= N 2 (cons a (cons b nil (cons a (valores (+ a (/ (- b a(- N 1 b (- N 1 (sumatorio (lista (- (suma lista (/ (+ (first lista (car (last lista

16 (* (/ (- b a (- N 1 ;; (sumatorio (mapcar f (valores a b N ;; trapecios ;; Ahora se puede calcular: > (trapecios # cuadrado > Conclusión Aunque hemos sólo arañado la superficie de Lisp, ha sido suficiente para hacer el recorrido típico que lleva a un estudiante desde la escuela primaria a la Universidad: desde la suma de pequeñas cantidades al análisis funcional, donde los elementos que se manipulan no son números, sino funciones. Hemos visto cómo cada nuevo nivel de abstracción puede formalizarse mediante un lenguaje de programación, y cómo esa formalización tiene un valor añadido: no sólo se expresan conceptos en un nuevo lenguaje, lo que obliga a expresarlos de forma clara y precisa, sino que como resultado se adquieren herramientas y utilidades duraderas. Como ejemplo trivial, una vez que se dispone de la función (media se tiene la herramienta para calcular medias de listas de números de cualquier tipo y longitud arbitraria. (media puede ser útil en muchos contextos y, sobre todo, puede usarse de forma independiente o como una pieza para construir funciones más complejas. En el camino, también se adquieren formas de pensar útiles. Por ejemplo, se aprende a plantear problemas usando recursividad. Dado el carácter de estas notas, no hemos explorado las abstracciones de datos, con lo cual se podrá organizar y manipular la información con estructuras naturales para cada tipo de problema. Para finalizar, tenemos que citar la obra Structure and Interpretation of Computer Programas, de Harold Abelson, Gerald Jay Sussman y Julie Sussman. Es una obra maestra y una fuente de placer intelectual. El lector interesado puede acudir a otras muchas obras: Practical Common Lisp, de Peter Seibel; Successful Lisp: How to Understand and Use Common Lisp, de David B. Lamkins; Land of Lisp, de Conrad Barski M. D.; Common Lisp: a Gentle Introduction to symbolic computation, de David S. Touretzky; Common 16

17 Lisp, de Paul Graham. Omitimos otros libros, de gran calidad pero muy alto nivel. Por supuesto, hay muchas páginas sobre Lisp que pueden consultarse también. 1 1 Sugerencias, erratas: gil@disc.ua.es 17