Temario. Tema 5. Estructuras de Datos no Lineales. 5.1 Árboles Binarios 5.2 Árboles n-arios
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- Tomás Rubio Peralta
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1 Temario 5.1 Árboles Binarios 5.2 Árboles n-arios Especificación Utilización Representación Enlazada 5.3 Árboles Binarios de Búsqueda 5.4 Árboles Parcialmente Ordenados 1
2 Árbol n-ario: O bien es el conjunto vacío árbol vacío. O bien no es vacío: elemento Raíz. A 1,,A n Subárboles. raíz
3 Formas de construir Árboles n-arios: Añadir nodos a un Árbol: como Hijo más a la Izquierda. como Hermano Derecho. Utilizar directamente en la definición recursiva de Árbol n-ario: Entradas: A 1,,A n Nodo Raiz Salida: El nuevo Árbol n-ario 3
4 Operaciones de Construcción: Arbol(Elemento e); Operaciones de Acceso: Elemento recupera(posicion p) const; void asigna(posicion p, Elemento e); Operaciones de Modificación: void insertaizquierdo(posicion p, Elemento e); void insertaderecho(posicion p, Elemento e); void suprimeizquierdo(posicion p); void suprimederecho(posicion p); Operaciones de Posicionamiento: Posicion inicio() const; Posicion fin() const; Posicion izquierdo(posicion p) const; Posicion derecho(posicion p) const; Posicion padre(posicion p) const; 4
5 TDA Árbol : Especificación Informal (Construcción y Acceso) Arbol(Elemento e) efecto: devuelve un árbol n-ario con el elemento e en la raíz. Elemento recupera(posicion p) const requerimientos: p no es fin. efecto: devuelve el elemento que ocupa la posición p. void asigna(posicion p, Elemento e) requerimientos: p no es fin. efecto: asigna el elemento e a la posición p. 5
6 TDA Árbol: Especificación Informal (Modificación) void insertaizquierdo(posicion p, Elemento e) requerimientos: p no es fin. efecto: inserta e como hijo más a la izquierda de p. void insertaderecho(posicion p, Elemento e) requerimientos: p no es fin y p no es la raiz. efecto: inserta e como hermano derecho de p. void suprimeizquierdo(posicion p) requerimientos: p no es fin y p tiene hijos. efecto: suprime el hijo más a la izquierda de p y todos sus descendientes. void suprimederecho(posicion p) requerimientos: p no es fin y p tiene hermanos a la derecha. efecto: suprime el hermano derecho de p y todos sus descendientes. 6
7 TDA Árbol: Especificación Informal (Posicionamiento) Posicion inicio() const efecto: devuelve la posición raíz. Posicion fin() const efecto: devuelve la posición fin. Posicion izquierdo(posicion p) const requerimientos: p no es fin. efecto: devuelve el hijo más a la izquierda de p o la posición fin si p no tiene hijos. Posicion derecho(posicion p) const requerimientos: p no es fin. efecto: devuelve el hermano derecho de p o la posición fin si p no tiene hermanos a la derecha. Posicion padre(posicion p) const requerimientos: p no es fin. efecto: devuelve el padre de p o la posición fin si p es la posición raíz. 7
8 Clase Arbol: Operaciones de Clase Mínima class Arbol private:... public: Arbol(Elemento e); ~Arbol(); Arbol(const Arbol & a); Arbol & operator=(const Arbol & a);... ; 8
9 Clase Arbol: Operaciones de Posicionamiento class Arbol private:... public:... Posicion inicio() const; Posicion fin() const; Posicion izquierdo(posicion p) const; Posicion derecho(posicion p) const;... ; 9
10 Clase Arbol: Operaciones de Acceso y Modificación class Arbol private:... public:... Elemento recupera(posicion p) const; void asigna(posicion p, Elemento e); ; void insertaizquierdo(posicion p, Elemento e); void insertaderecho(posicion p, Elemento e); void suprimeizquierdo(posicion p); void suprimederecho(posicion p); 10
11 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); raíz 1 11
12 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); raíz p1 1 12
13 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); raíz p
14 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = a.izquierdo(p1); raíz p1 1 p2 2 14
15 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = a.izquierdo(p1); a.insertaderecho(p2,3); p2 2 raíz p
16 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = a.izquierdo(p1); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = a.derecho(p2); p2 2 raíz p1 1 p3 3 16
17 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = a.izquierdo(p1); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = a.derecho(p2); a.insertaderecho(p3,4); p2 2 raíz p1 1 p
18 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = a.izquierdo(p1); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = a.derecho(p2); a.insertaderecho(p3,4); a.insertaizquierdo(p2,6); p2 2 6 raíz p1 1 p
19 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = a.izquierdo(p1); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = a.derecho(p2); a.insertaderecho(p3,4); a.insertaizquierdo(p2,6); a.insertaizquierdo(p2,5); p2 2 p raíz p
20 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = a.izquierdo(p1); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = a.derecho(p2); a.insertaderecho(p3,4); a.insertaizquierdo(p2,6); a.insertaizquierdo(p2,5); Posicion p4 = a.derecho(p3); raíz p1 1 p2 2 p3 3 p
21 Construcción de un Árbol n-ario Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = a.izquierdo(p1); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = a.derecho(p2); a.insertaderecho(p3,4); a.insertaizquierdo(p2,6); a.insertaizquierdo(p2,5); Posicion p4 = a.derecho(p3); a.insertaizquierdo(p4,7); raíz p1 1 p2 2 p3 3 p
22 Esquemas de recorrido en Árboles n-arios: Preorden(A): Si A es vacío lista vacía. Si A no es vacío Raíz + Preorden(A 1 ) + + Preorden(A n ). Inorden(A): Si A es vacío lista vacía. Si A no es vacío Inorden(A 1 ) + Raíz + Inorden(A 2 ) + + Inorden(A n ). Postorden(A): Si A es vacío lista vacía. Si A no es vacío Posorden(A 1 ) + + Posorden(A n ) + Raíz. 22
23 Utilización de Árboles n-arios: Métodos Recursivos Bucle (for o while) para recorrer los n hijos Paso de parámetros Por valor: no es eficiente, no funciona Por referencia: eficiente, adecuado si modificamos el árbol Por referencia constante: eficiente, adecuado si no modificamos el árbol Por simplicidad, utilizaremos siempre el paso por referencia 23
24 Esquemas de Recorrido en Árboles n-arios: Preorden 1, 2, 5, 6, 3, 4, 7 raíz void preorden(arbol & a, Posicion p) if (p!=a.fin()) cout << a.recupera(p) << " "; for(posicion q=a.izquierdo(p); q!=a.fin(); q=a.derecho(q)) preorden(a,q);
25 Esquemas de Recorrido en Árboles n-arios: Inorden 5, 2, 6, 1, 3, 7, 4 raíz void inorden(arbol & a, Posicion p) if (p!=a.fin()) Posicion q = a.izquierdo(p); inorden(a,q); cout << a.recupera(p) << " "; while(q!=a.fin()) q = a.derecho(q); inorden(a,q);
26 Esquemas de Recorrido en Árboles n-arios: Posorden raíz 5, 6, 2, 3, 7, 4, void posorden(arbol & a, Posicion p) if (p!=a.fin()) for(posicion q=a.izquierdo(p); q!=a.fin(); q=a.derecho(q)) posorden(a,q); cout << a.recupera(p) << " ";
27 Descendientes: Un nodo a es descendiente de b, si existe un camino de b a a. Todo nodo es descendiente de sí mismo. Nodo Descendientes Descendientes Propios 1 1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5,6,7 2 2,5,6 5, , // Imprime los descendientes de p en preorden void descendientes(arbol & a, Posicion p) if (p!=a.fin()) cout << a.recupera(p) << " "; for(posicion q=a.izquierdo(p); q!=a.fin(); q=a.derecho(q)) descendientes(a,q); raíz
28 Hoja: Nodo sin descendientes propios. Nodo Hojas Descendientes del Nodo 1 5,6,7 2 5, raíz // Imprime las hojas descendientes de p void hojas(arbol & a, Posicion p) if (p!=a.fin()) if (a.izquierdo(p)==a.fin()) cout << a.recupera(p) << " "; else for(posicion q=a.izquierdo(p); q!=a.fin(); q=a.derecho(q)) hojas(a,q); 28
29 Altura de un nodo: Longitud del camino más largo de ese nodo a una hoja. Nodos Altura 1 2 2,4 1 3,5,6,7 0 // Devuelve la altura de p // Si p es fin devuelve -1 int altura(arbol & a, Posicion p) if (p==a.fin()) return -1; int max = 0; for(posicion q = a.izquierdo(p); q!=a.fin(); q=a.derecho(q)) int n = altura(a,q)+1; if (n>max) max = n; return max; 2 raíz
30 // Elimina en a a partir de p todos los hijos de los nodos iguales a e bool poda(arbol & a, Posicion p, Elemento e) if (p!=a.fin()) if (a.recupera(p)==e) while(a.izquierdo(p)!=a.fin()) a.suprimeizquierdo(p); else for(posicion q = a.izquierdo(p);q!=a.fin();q=a.derecho(q)) poda(a,q,e); 30
31 Representación Enlazada Hijo Izquierdo Hermano Derecho typedef int Elemento; struct Celda Elemento elem; Celda * izq, * der; ; typedef Celda * Posicion; 2 1 primera class Arbol private: Celda * primera; public:... ;
32 Celda: Operaciones de Clase Mínima struct Celda Elemento elem; Celda * izq, * der; Celda(Elemento e, Celda * i, Celda * d) elem = e; izq = i; der = d; ~Celda(); Celda(const Celda & c); ; Celda::~Celda() if (izq!=0) delete izq; if (der!=0) delete der; Celda::Celda(const Celda & c) elem = c.elem; if (c.izq==0) izq = 0; else izq = new Celda(*c.izq); if (c.der==0) der = 0; else der = new Celda(*c.der); 32
33 Arbol: Operaciones de Clase Mínima Arbol(Elemento e) primera = new Celda(e,0,0); ~Arbol() delete primera; Arbol(const Arbol & a) primera = new Celda(*a.primera); Arbol & operator=(const Arbol & a); Arbol & Arbol::operator=(const Arbol & a) delete primera; primera = new Celda(*a.primera); return * this; Arbol & Arbol::operator=(const Arbol & a) Arbol aux(a); swap(primera,aux.primera); return * this; 33
34 Representación Enlazada Hijo Izquierdo Hermano Derecho Posicion inicio() const return primera; Posicion fin() const return 0; Posicion izquierdo(posicion p) const return p->izq; Posicion derecho(posicion p) const return p->der; Elemento recupera(posicion p) const return p->elem; void asigna(posicion p, Elemento e) p->elem = e; void insertaizquierdo(posicion p, Elemento e) p->izq = new Celda(e,0,p->izq); void insertaderecho(posicion p, Elemento e) p->der = new Celda(e,0,p->der); void suprimeizquierdo(posicion p) Celda * c = p->izq; p->izq = p->izq->der; delete c; void suprimederecho(posicion p) Celda * c = p->der; p->der = p->der->der; delete c; 34
35 Construcción de un Árbol n-ario Arbol(Elemento e) primera = new Celda(e,0,0); 1 primera 0 0 Arbol a(1); 35
36 Construcción de un Árbol n-ario Posicion inicio() const return primera; p primera Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); 36
37 Construcción de un Árbol n-ario void insertaizquierdo(posicion p, Elemento e) p1 p->izq = new Celda(e,0,p->izq); 1 primera 0 Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2);
38 Construcción de un Árbol n-ario primera Posicion izquierdo(posicion p) const return p->izq; p1 1 0 Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = p1.izquierdo(); p
39 Construcción de un Árbol n-ario void insertaderecho(posicion p, Elemento e) p->der = new Celda(e,0,p->der); p1 1 primera 0 Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = p1.izquierdo(); a.insertaderecho(p2,3); p
40 Construcción de un Árbol n-ario primera Posicion derecho(posicion p) const return p->der; p1 1 0 Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = p1.izquierdo(); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = p2.derecho(): p2 2 0 p
41 Construcción de un Árbol n-ario void insertaderecho(posicion p, Elemento e) p->der = new Celda(e,0,p->der); p1 1 primera 0 Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = p1.izquierdo(); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = p2.derecho(): a.insertaderecho(p3,4); p2 2 0 p
42 Construcción de un Árbol n-ario void insertaizquierdo(posicion p, Elemento e) p1 p->izq = new Celda(e,0,p->izq); 1 primera 0 Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = p1.izquierdo(); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = p2.derecho(): a.insertaderecho(p3,4); a.insertaizquierdo(p2,6); p p
43 Construcción de un Árbol n-ario void insertaizquierdo(posicion p, Elemento e) p1 p->izq = new Celda(e,0,p->izq); 1 primera 0 Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = p1.izquierdo(); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = p2.derecho(): a.insertaderecho(p3,4); a.insertaizquierdo(p2,6); a.insertaizquierdo(p2,5); p p
44 Construcción de un Árbol n-ario primera Posicion derecho(posicion p) const return p->der; p1 1 0 Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = p1.izquierdo(); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = p2.derecho(): a.insertaderecho(p3,4); a.insertaizquierdo(p2,6); a.insertaizquierdo(p2,5); Posicion p4 = p3.derecho(); p p p
45 Construcción de un Árbol n-ario void insertaizquierdo(posicion p, Elemento e) p1 p->izq = new Celda(e,0,p->izq); 1 primera 0 Arbol a(1); Posicion p1 = a.inicio(); a.insertaizquierdo(p1,2); Posicion p2 = p1.izquierdo(); a.insertaderecho(p2,3); Posicion p3 = p2.derecho(): a.insertaderecho(p3,4); a.insertaizquierdo(p2,6); a.insertaizquierdo(p2,5); Posicion p4 = p3.derecho(); a.insertaizquierdo(p4,7); p p3 3 0 p
46 Representación Enlazada Hijo Izquierdo Hermano Derecho Padre struct Celda Elemento elem; Celda * izq, * der, * padre; Celda(Elemento e,celda *i,celda *d,celda *p) elem=e;izq=i;der=d; padre=p; ~Celda(); Celda(const Celda & c); ; Celda::~Celda() if (izq!=0) delete izq; if (der!=0) delete der; Celda::Celda(const Celda & c) elem = c.elem; if (c.izq==0) izq = 0; else izq = new Celda(*c.izq); izq->padre = this; if (c.der==0) der = 0; else der = new Celda(*c.der); der->padre = this; padre = 0; 46
47 Representación Enlazada Hijo Izquierdo Hermano Derecho Padre Arbol(Elemento e) primera = new Celda(e,0,0,0); ~Arbol() delete primera; Arbol(const Arbol & a) primera = new Celda(*a.primera); Arbol & operator=(const Arbol & a); Arbol & Arbol::operator=(const Arbol & a) delete primera; primera = new Celda(*a.primera); return * this; Arbol & Arbol::operator=(const Arbol & a) Arbol aux(a); swap(primera,aux.primera); return * this; 47
48 Representación Enlazada Hijo Izquierdo Hermano Derecho Padre Posicion inicio() const return primera; Posicion fin() const return 0; Posicion izquierdo(posicion p) const return p->izq; Posicion derecho(posicion p) const return p->der; Posicion padre(posicion p) const return p->padre; Elemento recupera(posicion p) const return p->elem; void asigna(posicion p, Elemento e) p->elem = e; void insertaizquierdo(posicion p,elemento e) p->izq = new Celda(e,0,p->izq,p); void insertaderecho(posicion p, Elemento e) p->der = new Celda(e,0,p->der,p->padre); void suprimeizquierdo(posicion p) Celda * c = p->izq; p->izq = p->izq->der; delete c; void suprimederecho(posicion p) Celda * c = p->der; p->der = p->der->der; delete c; 48
49 Árbol n-ario con Excepciones struct posicion_erronea char * error() return "Posicion incorrecta"; ; 49
50 Árbol n-ario con Excepciones Posicion izquierdo(posicion p) const if (p==0) throw posicion_erronea(); return p->izq; Posicion derecho(posicion p) const if (p==0) throw posicion_erronea(); return p->der; Posicion padre(posicion p) const if (p==0) throw posicion_erronea(); return p->padre; 50
51 Árbol binario con Excepciones Elemento recupera(posicion p) const if (p==0) throw posicion_erronea(); return p->elem; void asigna(posicion p, Elemento e) if (p==0) throw posicion_erronea(); p->elem = e; 51
52 Árbol n-ario con Excepciones void insertaizquierdo(posicion p, Elemento e) if (p==0) throw posicion_erronea(); p->izq = new Celda(e,0,p->izq,p); void insertahijoderecho(posicion p, Elemento e) if ((p==0) (p==primera)) throw posicion_erronea(); p->der = new Celda(e,0,p->der,p->padre); 52
53 Árbol n-ario con Excepciones void suprimeizquierdo(posicion p) if ((p==0) (p->izq==0)) throw posicion_erronea(); Celda * c = p->izq; p->izq = p->izq->der; delete c; void suprimederecho(posicion p) if ((p==0) (p->der==0)) throw posicion_erronea(); Celda * c = p->der; p->der = p->der->der; delete c; 53
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