1. Leer el primer número y almacenarlo en la raíz del árbol. 2. Repetir hasta encontrar un duplicado o el árbol esté vacío.

Transcripción

1 Capítulo 6 Árboles 6.1 Introducción Esta no es una estructura lineal, deben conocerlos de matemáticas finitas. Ejemplos: la tabla de contenido de un libro, los que se hacen en los torneos, los arboles genealógicos. 6.2 Motivación Se tiene el problema de eliminar los elementos duplicados de un conjunto de datos. Para resolverlo se puede ir comparando cada dato con el resto del arreglo y al encontrar duplicados eliminarlos. Otra posibilidad, es ordenar los datos y los elementos duplicados quedan juntos así con una pasada al arreglo se pueden eliminar los duplicados (aquí la complejidad está en el ordenamiento). Una tercera opción es utilizar un árbol como sigue: 1. Leer el primer número y almacenarlo en la raíz del árbol. 2. Repetir hasta encontrar un duplicado o el árbol esté vacío. (a) Leer un número y compararlo con la raíz. (b) Si coinciden entonces hay un duplicado y no hay nada que hacer. (c) Si el número es menor repetir el proceso con el árbol izquierdo. (d) Si el número es mayor repetir el proceso con el árbol derecho. 1

2 6.3. DEFINICIONES 2 3. Si se llegó a un árbol vacío entonces almacenar el número en una nueva posición del árbol. Hacer dibujo de ejemplo: se dibuja al revés del mundo real, es decir arriba queda la raíz y las hojas hacia abajo. 6.3 Definiciones Árbol = colección de nodos conectados por arcos directos, en el cual no hay ciclos y existe un nodo distiguido llamado raíz. Hay un único camino de la raíz a cualquier nodo. Raíz = elemento distinguido a partir del cual se forma el árbol. Otra forma de definir la raíz es indicando que es nodo que no tiene ancestros. Padre = nodo que apunta a otros. Hijo = nodo apuntado por otros. Ancestros de un nodo = nodos a nivel superior conectados al nodo dado. Descendientes de un nodo = nodos de nivel inferior conectados al nodo dado. Hojas = Nodos sin hijos. Nodo interior = nodo con hijos. Altura = Mayor número de enlaces que se recorren al ir de la raíz a cualquier hoja. Nota que en todo árbol cualquier nodo puede considerarse la raíz de otro árbol formado por sus descendientes. De ahí que en árboles se utilice mucho la recursión, incluso en su definición: Un árbol es: Un nodo sin hijos es un árbol. Tal árbol se denomina una hoja y su altura es 0.

3 6.3. DEFINICIONES 3 Un nodo con una colección no vacía de hijos es un árbol. Este nodo es el padre y se denomina nodo interior. La altura de un nodo interior es uno más que la máxima altura de sus hijos. Un nodo sin padres se denomina raíz del árbol. Ejemplos: arboles genealógicos, arboles de torneos, organigramas, etc. Ejemplo de uso en computación, son los parsers o traductores sintácticos. Si se tiene la siguiente gramática: <proposición> ::= <selección> <expr> <selección> ::= if ( <exp> ) <proposición> else <proposición> <expr> ::= <relacional> <asignación> identificador <relacional> ::= <expr> < <expr> <asignación> ::= <expr> = <expr> Para la instrucción: if (a <b) max = b else max = a se construye un árbol como el que sigue:... <proposición> <selección> if <expr> <prop> else <prop> Las hojas representan los elementos terminales o símbolos empleados en la proposición. Los nodos interiores representan las categorías sintácticas. El compilador entre sus tareas tiene construir estos árboles para cada programa y verificar que éste cumpla con las reglas de la gramática en cuyo caso genera código objeto. También se usan los árboles para las expresiones, aunque para esto se requiere considerar la prioridad de los operadores. Con los recorridos generar postfija, prefija e infija y luego usar pilas para evaluar las expresiones.

4 6.4. ÁRBOLES BINARIOS Árboles binarios Un árbol cuyos nodos tienen a lo más dos hijos se denomina binario. Un árbol binario de altura 0 sólo tiene a la raíz. Propiedades: Un árbol binario completo de altura n tiene a lo más 2 n hojas y el número de nodos es 2 n+1 1 Un árbol binario de n nodos debe tener a lo más una trayectoria de la raíz a las hojas de longitud mayor o igual a l ogn. En un árbol binario completo de n nodos, la mayor trayectoria de la raíz a su hojas no recorre mas de logn nodos. 6.5 Conversión de un árbol a binario Debido a la facilidad de manipular arboles binarios es conveniente representar un árbol cualquiera a binario. Ejemplo: A B C D E F G H I J Figura 6.1: Árbol no binario. Para convertirlo conservando la relación jerárquica entre los nodos, puede verse que hay dos tipos de nodos los hijos y los hermanos. Entonces se pone del lado izquierdo al primer hijo y del lado derecho a los hermanos. A B C -- D E - F G H -- I -- J Aunque no parece un árbol sí lo es. Si lo giramos se puede ver como estamos acostumbrados.

5 6.6. IMPLEMENTACIÓN Implementación Para implementar un árbol binario se usan nodos con dos ligas. Una para el hijo izquierdo y otra para el derecho. En este caso no hay una interfaz que implementar, el árbol se va creando de acuerdo a las necesidades de la aplicación. Los nodos que se utilizarán en la construcción de todo árbol binario en este texto son de la siguiente clase: class NodoBinario { public Object valor; // Valor del nodo public NodoBinario izquierda; // Liga a la izquierda public NodoBinario derecha; // Liga a la derecha /* * Inicializa con null el nodo creado. public NodoBinario () { valor = null; izquierda = null; derecha = null; * Inicializa el nodo con el valor dado como parámetro v valor public NodoBinario (Object v) { valor = v; izquierda = null; derecha = null; public NodoBinario (Object v, NodoBinario iz, NodoBinario der) { valor = v; izquierda = iz; derecha = der;

6 6.7. RECORRIDOS Recorridos Se desea imprimir todos los nodos del árbol, no necesariamente en forma de árbol. Por ejemplo, con el siguiente árbol: A B C D E F G H I Figura 6.2: Árbol para recorrido. Como los hacemos? Dado que no hay un orden lineal. Si se considera que tiene n nodos independientes, entonces hay n! secuencias en las cuales se puede visitar cada nodo. Generalmente, los algoritmos de recorrido se definen recursivamente en tres pasos: 1. Procesar un nodo. 2. Recursivamente visitar y procesar el sub-árbol izquierdo. 3. Recursivamente visitar y procesar el sub-árbol derecho. En este caso ya redujimos el número de posibilidades a seis: 1. Procesar un valor, luego el sub-árbol izquierdo y por último el sub-árbol derecho. 2. Procesar el sub-árbol izquierdo, luego el valor y por último el sub-árbol derecho. 3. Procesar el sub-árbol izquierdo, luego el sub-árbol derecho y por último el valor. 4. Procesar un valor, luego el sub-árbol derecho y por último el izquierdo.

7 6.7. RECORRIDOS 7 5. Procesar el sub-árbol derecho, luego el valor y por último el sub-árbol izquierdo 6. Procesar el sub-árbol derecho, luego el sub-árbol izquierdo y por último el valor. En la mayoría de los casos de interés, los arboles se analizan de izquierda a derecha, con lo cual las posibilidades se reducen a tres. 1. pre-orden: nodo, sub-árbol izquierdo, sub-árbol derecho. Es decir el padre está antes que los hijos (Pre). 2. in-orden: sub-árbol izquierdo, nodo, sub-árbol derecho. El padre está en medio de los hijos (In). 3. post-orden: sub-árbol izquierdo, sub-árbol derecho, nodo. El padre está después de los hijos (Post). Su programación es relativamente sencilla: void preorden (NodoBinario n) { if (n!= null) { procesar(n.valor); preorden(n.izquierdo); preorden(n.derecho); Para el árbol del inicio de la sección los recorridos son: Pre: ABDGCEHIF In: DGBAHEICF Post: GDBHIEFCA Si ahora el árbol fuera el siguiente: los recorridos serían: Preorden: que corresponde a la notación prefija. Inorden: que corresponde a la notación infija.

8 6.7. RECORRIDOS 8 * + B C D E Figura 6.3: Árbol con una expresión aritmética. Postorden: que corresponde a la notación postfija. Cómo hago para recorrer el árbol por niveles? Examinar primero todos los nodos del nivel 1 (la raíz), luego de izquierda a derecha todos los del nivel 2, etc. Para resolver este problema se utiliza una cola en la cual se van guardando los nodos visitados. Primero se inserta la raíz y luego en cada paso se elimina un nodo de la cola y sus hijos se colocan en la cola. * Programa que recorre un arbol por niveles. Amparo López Gaona Noviembre 2004 class OrdenPorNivel implements java.util.iterator { private Cola c = new Cola(); public OrdenPorNivel (NodoBinario raiz) { c.agregar(raiz); public boolean hasnext() { return! c.estavacia(); public Object next() { NodoBinario actual = (NodoBinario) c.tomar(); if (actual.izquierda!= null) c.agregar(actual.izquierda); if (actual.derecha!= null) c.agregar(actual.derecha);

9 6.8. ARBOLES DE BÚSQUEDA 9 return actual.valor; public void remove () { throw new IllegalStateException(); Para probarlo en un método imprime poner este cuerpo: public void imprime() { OrdenPorNivel e = new OrdenPorNivel(raiz); while(e.hasnext()) System.out.print(e.next()+" "); 6.8 Arboles de búsqueda Un árbol binario de búsqueda es uno en el que para cada nodo se cumple que los valores de su árbol izquierdo son menores que él, y los del lado derecho son mayores que él. Con lo cual un recorrido en inorden los proporciona en orden ascendente. Ejemplo: Alejandro Alberto Andrea Abigail Adela Alicia Amparo Adan Agustin Arturo Figura 6.4: Árbol de búsqueda Una ventaja de usar arboles que para localizar un elemento se tiene que recorrer a lo más de la raíz a la hoja correspondiente lo cual toma O(logn). El árbol del ejemplo contiene 10 elementos y su profundidad es cuatro.

10 6.8. ARBOLES DE BÚSQUEDA 10 En el constructor se requiere un objeto comparador que será utilizado para hacer las pruebas de relación de orden entre los valores en el árbol. import java.util.comparator; public class ArbolBusBin { protected NodoBinario raiz = null; public final Comparator prueba; * Inicializa un árbol binario de búsqueda. c objeto comparador usado para colocar elementos en secuencia. public ArbolBusBin (Comparator c) { prueba = c; raiz = null; * Determina si el árbol está vacío. true en caso de que el árbol esté vacío. public boolean estávacio () { return raiz == null; El procedimiento consiste en comparar el elemento buscado con el nodo raíz, si son iguales ya se terminó el trabajo. En caso contrario se verifica si es menor se vuelve a realizar este método ahora con el sub-árbol izquierdo, en caso de ser mayor se trabaja con el sub-árbol derecho. Notar que es un método recursivo puesto que en la definición se presta para ello. * Inserta en el árbol, ignora duplicados. x el dato a insertaar public void inserta(object x) { raiz = inserta(x, raiz); * Método interno para insertar en un sub-árbol.

11 6.8. ARBOLES DE BÚSQUEDA 11 x el dato a insertar. t la raíz del árbol. la nueva raíz. private NodoBinario inserta(object x, NodoBinario t) { if(t == null) t = new NodoBinario(x); else if(prueba.compare(x,t.valor) < 0) t.izquierda = inserta(x, t.izquierda); else if(prueba.compare(x, t.valor) > 0) t.derecha = inserta(x, t.derecha); else ; // No hace nada con los duplicados return t; El siguiente método permite determinar si un elemento está en el árbol o no. * Busca un dato en el árbol. x el dato a buscar. el elemento en el árbol o bien null si no está. public boolean encuentra(object x) { return encuentra(x, raiz); * Método interno para encontrar un elemento en un árbol. x el elemento a buscar. t el nodo raíz del árbol el nodo que contiene el dato buscado. private boolean encuentra(object x, NodoBinario t) { if(t == null) return false; if(prueba.compare (x, t.valor) < 0) return encuentra(x, t.izquierda); else if(prueba.compare(x,t.valor) > 0)

12 6.8. ARBOLES DE BÚSQUEDA 12 return encuentra(x, t.derecha); else return true; // Lo encontró Ahora vamos a ver como eliminar un elemento del árbol. Para ello una vez encontrada la posición del nodo no se puede dejar un hueco. Este lugar debe llenarse con uno de los siguientes valores: El valor mayor en el subárbol izquierdo. El valor menor en el subárbol derecho. * Elimina un elemento del árbol, en caso de no encontrarlo no hace nada. x el dato a eliminar public void elimina(object x) { raiz = elimina(x, raiz); * Método interno para eliminar de un subárbol. x el dato a eliminar. t el nodo raíz del árbol. la nueva raíz. private NodoBinario elimina(object x, NodoBinario t) { if(t == null) return t; // No lo encontró if(prueba.compare(x, t.valor) < 0) t.izquierda = elimina(x, t.izquierda); else if(prueba.compare(x, t.valor) > 0) t.derecha = elimina(x, t.derecha); else if(t.izquierda!= null && t.derecha!= null) { //Tiene dos hijos t.valor = encuentramin(t.derecha).valor; t.derecha = elimina(t.valor, t.derecha); else // A lo más tiene un hijo t = (t.izquierda!= null)? t.izquierda : t.derecha;

13 6.9. ARBOLES AVL 13 return t; Por último veremos cómo imprimir los datos en orden ascendente. * Imprime el contenido del árbol ordenado. public void imprimeárbol() { if(estávacio()) System.out.println("Árbol vacio"); else imprimeárbol(raiz); * Método interno para imprimir un subárbol. t nodo raiz del árbol. private void imprimeárbol(nodobinario t) { if(t!= null) { imprimeárbol(t.izquierda); System.out.println(t.valor); imprimeárbol(t.derecha); 6.9 Arboles AVL La ventaja de usar un árbol de búsqueda se pierde si éste no está balanceado,porque la búsqueda podría en el peor de los casos (cuando el árbol sólo tiene una rama hacia uno de los lados) tomar n comparaciones. Es decir, si se tiene un árbol como el siguiente: Para evitar estos problemas se requiere que el árbol esté balanceado. Un árbol está balanceado si para todo nodo en el árbol, la diferencia entre la altura de su subárbol derecho y su subárbol izquierdo es a lo más uno. Como la altura es un elemento muy importante en este tipo de árboles, se incluye está información en cada nodo.

14 6.9. ARBOLES AVL 14 class NodoAvl extends NodoBinario{ //Hereda valor, izquierda y derecha int altura; NodoAvl( Object val ) { this(val, null, null ); altura = 0; NodoAvl( Object val, NodoAvl iz, NodoAvl der ) { super(val,iz,der); altura= 0; El código para crear el árbol es el siguiente: * Inserta un nodo en el árbol, ignorando los duplicados x el elemento a insertar. public void insertar(object x) { raiz = insertar(x, raiz); * Método interno, auxiliar, para insertar en un árbol. x elemento a insertar. t nodo raiz del árbol. la nueva raiz. private NodoAvl insertar(object x, NodoAvl t) { if(t == null) t = new NodoAvl(x); else if(cmp.compare(x, t.elemento) < 0) { t.izquierda = insertar(x, t.izquierda); if(altura(t.izquierda) - altura(t.derecha) == 2) if(cmp.compare(x, t.izquierda.elemento) < 0) t = rotarizq(t);

15 6.9. ARBOLES AVL 15 else t = doblerotacionizquierda(t); else if(cmp.compare(x, t.elemento) > 0) { t.derecha = insertar(x, t.derecha); if(altura(t.derecha) - altura(t.izquierda) == 2) if(cmp.compare(x, t.derecha.elemento) > 0) t = rotarder(t); else t = doblerotacionderecha(t); else ; // Encontró un duplicado y no hace nada. t.altura = max(altura(t.izquierda), altura(t.derecha)) + 1; return t; private int altura (Nodo Avl t) { return (t == null)? -1 : t.altura; Los métodos para rotar son los siguientes: private NodoAvl rotarizq(nodoavl n) { NodoAvl nraiz = n.izquierda; n.izquierda = nraiz.derecha; nraiz.derecha = n; n.altura = max(altura(n.izquierda), altura(n.derecha)) + 1; nraiz.altura = max(altura(nraiz.izquierda), n.altura) + 1; return nraiz; private NodoAvl rotarder(nodoavl n) { NodoAvl nraiz = n.derecha; n.derecha = nraiz.izquierda; nraiz.izquierda = n; n.altura = max(altura(n.izquierda), altura(n.derecha)) + 1; nraiz.altura = max(altura(nraiz.derecha), n.altura) + 1; return nraiz;

16 6.9. ARBOLES AVL 16 private NodoAvl doblerotacionizquierda(nodoavl n) { n.izquierda = rotarder(n.izquierda); return rotarizq(n); private NodoAvl doblerotacionderecha(nodoavl n) { n.derecha = rotarizq(n.derecha); return rotarder(n); Para suprimir cualquier elemento del árbol AVL se puede usar el mismo método que para árboles de búsqueda sencillos.