A) PREORDEN B) INORDEN C) POSTORDEN D) NIVELES

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1 Capitulo 5. Arboles 1. Al recorrer el siguiente árbol en se visitan más nodos para llegar al número 38. Justifique su respuesta mostrando cada uno de los recorridos. Tipo de Recorrido Recorrido A) PREORDEN B) INORDEN C) POSTORDEN D) NIVELES 2. Dado el siguiente árbol AVL X $ W & R O M? / G L Y = * i) Cuál de las siguientes operaciones no provoca que en el árbol se realicen rotaciones? a) Insertar un valor menor al símbolo Y y mayor al símbolo -. b) Eliminar el símbolo del nodo raíz c) Insertar un valor mayor al del símbolo $ y menor al símbolo M. d) Eliminar el nodo con el símbolo L e) Eliminar el nodo con el símbolo Y ii) Qué tipo de rotación ocurrirá al insertar un elemento que es mayor al símbolo / y menor a L? 3. Analiza el siguiente algoritmo e indica que regresa: int funcion(nodo raiz, Nodo x) { if(raiz == null ) return 0; if(x.clave == raiz.clave) return 0; else if(x.clave < raiz.clave) return funcion (raiz.izq, x) + 1; A) El número de ocurrencias de un nodo B) Altura del árbol C) El nodo conteniendo una determinada

2 } return funcion (raiz.der, x) + 1; clave D) Profundidad de un nodo 4. Crear un árbol B de dimensión 2 con los siguientes datos: 50,30,20,10,5,80,34,14,12,23,76 5. Se define por frontera de un árbol binario, la secuencia formada por los elementos almacenados en las hojas de un árbol binario, tomados de izquierda a derecha. Escribe un método que dado un árbol binario y una lista vacía pasados como parámetros, devuelva en dicha lista la frontera del árbol. 6. Para el siguiente árbol binario, indique cuál o cuáles de los siguientes recorridos son correctos: Donde converso significa que primero se recorre el subárbol derecho y después el izquierdo, es decir al contrario de los recorridos normales. A 3 * & R # $ + a) Preorden converso: A $ # + ^ * R 3 & 9 X b) Postorden converso: ^ + # $ R X 9 3 & * A c) Inorden converso: $ + ^ # A R * X & 9 3 d) Todos los anteriores e) Ninguno de los anteriores 9 X ^ 7. Dado el siguiente árbol B de orden 2: Muestre en un esquema el árbol resultante, después de insertar el dato Para el siguiente árbol AVL. Indique en cada recuadro qué tipo de rotaciones provoca la inserción de nuevos datos, suponiendo en cada caso el árbol original. (OK, RSI, RSD, RDI, RDD)

3 Rellene los huecos en las siguientes afirmaciones: a) Los árboles que tienen a los mas dos hijos se llaman b) Los nodos que no tienen hijos se llaman c) Todos los descendientes por la derecha de un nodo forman un d) A la distancia desde la raíz se llama e) Los árboles que cumplen el hecho de que para cualquier nodo la diferencia entre las alturas de sus subárboles no excede una unidad, se llaman: 10. Qué desplegará en pantalla la ejecución del modulo misterio, si se le envía como entrada el árbol que se muestra? Seleccione el inciso correcto. M * R + U 8 Z E P void Misterio(Nodo Raiz) { Pila P; Cola C; Nodo X; X=Raiz; If (X!=null) { C.Insertar(X); While (C.Extraer(X)) { P.push(X); If (X.der!=null) C.Insertar(X.der); If (X.izq!=null) C.Insertar(X.izq); } While( P.pop(X)) System.out.println(X,info); } } C 5 a) U * Z M 8 P R E + C 5 b) 5 C + E R P 8 M Z * U c) C 5 + R E M 8 P * Z U d) U Z * P 8 M E R + 5 C e) U * M R + C 5 Z 8 P E 11. Dado un árbol B de orden 3, Cuántos hijos por nivel puede tener? 12. Genera el árbol AVL de la siguiente secuencia de datos [ 40, 10, 35,60, 20, 75, 90, 5, 1]. Redibuja el árbol en cada inserción, indicando cuando corresponda, el tipo de rotación efectuada y el dato insertado.

4 13. Para cada uno de los siguientes incisos, dados los recorridos, construya el árbol binario correspondiente: a) Inorden:? / - X + % * # $ & Postorden:? - / + X % * & 3 # b) Preorden: Postorden: Los árboles binarios de búsqueda equilibrados (AVL) se caracterizan porque la diferencia en altura de los subárboles izquierdo y derecho de cada nodo no difiere en más de una unidad. Para poder determinar si el árbol está o no equilibrado se maneja el concepto de factor de equilibrio de un nodo, definido como la diferencia en altura del subárbol izquierdo respecto del derecho. Por tanto, en un árbol AVL el factor de equilibrio de los nodos sólo puede valer 1, 0 ó 1. Implementar un programa en java que identifique si un árbol es AVL o no. 15. Se dice que un árbol binario es zurdo si o bien (1) es el árbol vacío o una hoja, o bien (2) sus hijos izquierdo y derecho son ambos zurdos y más de la mitad de sus descendientes son descendientes izquierdos. Desarrollar un programa en java para decidir si un árbol binario es o no zurdo. 16. Cuáles de los siguientes árboles de búsqueda binaria son AVL? En caso de no tratarse de árboles AVL determinar los nodos que lo impiden. a) b) c) 17. Dado el siguiente árbol binario de búsqueda codificado (cada símbolo de un nodo corresponde a un valor numérico), responde cada uno de los siguientes incisos: = < $ /? + a. Qué símbolo representa el valor numérico más grande del árbol? &

5 b. Qué símbolo representa el valor numérico más pequeño del árbol? c. Qué símbolo representa el valor medio del árbol? d. Cuáles son los ancestros del nodo que contiene el símbolo?? e. Cuántas comparaciones se requerirán para encontrar el símbolo & en el árbol? f. Cuántos nodos como máximo podrían existir en el árbol si su altura fuera igual a 4? g. Cuál es el símbolo cuyo valor numérico asociado es inmediatamente mayor al valor numérico del símbolo =? h. Si el símbolo % representa la suma de los valores asociados a los símbolos $ y /, muestre con un dibujo cómo quedaría el árbol para insertar el símbolo %?. 18. Dibuja el árbol B de orden 2 que resulta después de insertar al árbol B de la figura los datos siguientes:, 3, 12, 23, 51, 80, 14, 59, 15, 9, 13, Dada la secuencia de claves enteras 190, 57, 89, 90, 121, 170, 35, 48, 91, 22, 126, 132 y 80. Dibuja el árbol B de orden 5 que se corresponde con dichas claves. 20. Para el siguiente árbol AVL. Indique en cada recuadro qué tipo de rotaciones provoca la inserción de nuevos datos, suponiendo en cada caso el árbol original. (OK, RSI, RSD, RDI, RDD)

6 21. Dado el siguiente árbol binario, indique cuantos llamados recursivos se llevan para visitar el nodo H: a) SI el recorrido es en Postorden = b) Si el recorrido es en Preorden = c) Si el recorrido es en Inorden = 22. A partir de un árbol binario, codifique un método que determine el nivel de un nodo. 23. Dibuja paso a paso el árbol B de orden 2 con los siguientes datos: 6, 21, 39, 12, 33, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 1, 8,45,34, Dado el siguiente árbol AVL, indica el tipo de rotación a aplicar (RSI, RDI, RSD, RDD o SIN ROTACION) considerando en cada caso el árbol original: a) Si se inserta el nodo 100 = b) Si se inserta el nodo 63 = c) Si se inserta el nodo 56 = 25. Proporcione un árbol tri-ário de sus elección, con al menos 10 nodos, y realice lo siguiente: a) Transfórmelo a su correspondiente árbol binario. b) Balancee el árbol binario anterior considerando el orden de sus elementos e indicando las rotaciones simples o dobles y si son izquierda o derecha, que usó en cada caso. 26. Escriba un método que explore a profundidad un árbol m-ário dado. 27. Considere la lista de números siguiente: 42, 23, 9, 30, 16, 64, 6, 80 e insértelos en un B-Tree de orden 3, mostrando cada paso con diagramas de cada inserción. 28. Codifique un método que reciba como entrada la raíz de un árbol binario y que proporcione como salida un valor booleano que indique si el árbol está balanceado (verdadero), o no (falso).

7 29. Considere la lista siguiente de valores y genere el árbol binario ordenado de tal lista, después balancee el árbol anterior indicando en cada paso el tipo y dirección de las rotaciones usadas para tal fin. 30. Considere el B-Tree siguiente de orden 5 y profundidad 2 e indique paso por paso como se transforma tal árbol al insertarle la clave Transforme el árbol siguiente a su correspondiente árbol binario. 32. Balancee el árbol resultante de la pregunta 1, sin considerar ningún orden e indique en cada paso el tipo y dirección de las rotaciones que usó para ello. 33. Considere la lista de números siguiente: 42, 23, 9, 30, 16, 64, 6, 80 y genere el árbol B-Tree de orden 3 correspondiente, posteriormente inserte el valor 69 al árbol obtenido, mostrando con diagramas cada paso realizado. 34. Codifique un método que reciba como entrada un árbol binario y que calcule su altura. 35. Codifique un método que reciba como entrada un árbol m-ario y alguno de sus nodos y que muestre cuáles son los hermanos de dicho nodo, es decir todos los nodos que se encuentran en el mismo nivel del nodo dado. 36. Considere la lista de valores 30, 7, 20, 25, 10, 19, 15, 18 y realice lo siguiente: - Dibuje el Árbol Binario de Ordenamiento. - Balancee el árbol anterior, indicando en cada paso el tipo y dirección de la rotación que usó.

8 37. Considere el intervalo cerrado de 500 a 1000 y genere el Árbol B con tres entradas que distribuya uniformemente tal intervalo. 38. Codifique un método que reciba como entrada una lista de n números y que los ordene descendentemente generando y recorriendo el correpondiente Árbol Binario Ordenado. 39. A partir de un árbol binario, codifique un método que determine el nivel de dicho nodo. 40. A partir de un árbol triario de su elección, con al menos 15 nodos, determine cuál es su orden, grado, nivel y altura. 41. Considere el árbol siguiente y seleccione la respuesta correcta, al siguiente cuestionamiento: Al recorrer el árbol en se visitan más nodos para llegar al número 38. A) Preorden B) Inorden C) Postorden D) Niveles 42. Respóndase a las siguientes preguntas del árbol de la figura siguiente: A B C D E F G H I J K L M N

9 a) Qué nodos son hojas? b) Qué nodo es la raíz? c) Cuál es el padre del nodo C? d) Qué nodos son los hijos de C? e) Qué nodos son los antecesores de C? f) Qué nodos son los descendientes de E? g) Cuáles son los hermanos derechos de D y E? h) Qué nodos están a la izquierda y a la derecha de G? i) Cuál es la profundidad del nodo C? j) Cuál es la altura del nodo C? 43. Cuántos caminos distintos de longitud 3 hay en el árbol de la pregunta anterior? (106) 44. Escríbase un programa o un método que calcule la altura de un nodo de un árbol de aridad n 45. Recorra el árbol de la pregunta 106 a) en PreOrden b) En Orden c) en PosOrden 46. Escríbanse los métodos correspondientes para recorrer un árbol binario en PreOrden, EnOrden y en PosOrden 47. Conviértase la expresión ((a+b)+c*(d+e)+f)*(g+h) en a) Una expresión prefija b) Una expresión Posfija 48. Implemente en JAVA métodos que regresen respectivamente: a) el hijo izquierdo de un nodo en un árbol binario b) el hijo derecho de un nodo en un árbol binario c) el padre de un nodo dado en un árbol binario 49. Escriba métodos donde dada una referencia a un árbol binario, digamos T, calculen: a) El número de hojas de T b) El número de nodos de T que contienen exactamente un hijo distinto de null c) El número de nodos de T que contienen exactamente dos hijos distintos de null 50. Genere el correspondiente árbol ABB de la siguiente secuencia de datos (respete el orden): 5, 8, 2, 10, 6, 3, 1, 11, 9, 7, Implemente en JAVA un método que sirva para verificar si un ABB es un árbol AVL 52. Genere el correspondiente árbol AVL de la siguiente secuencia de datos indicando las rotaciones que se llevan a cabo para balancear en todo momento el árbol. 8, 9, 3, 7, 13, 15, 1, 4, 6, 17, 5, 11, 10, 18, 21, 2, 12, 19, 14, 20, Construya un árbol B de orden 3, con los siguientes datos: 43, 21, 77, 58, 63, 15, 37, 41, 72, 39, 70, 26, 8, 30. a) Indique para cada dato como se llevó a cabo su inserción. b) Elimine del árbol B construido los valores: 77, 15, 21 y 8, indicando en cada caso como se llevó a cabo la eliminación.

10 54. Construya un árbol B de orden 2 con los datos 43, 21, 77, 58, 63, 15, 37, 41, 72, 39, 70, 26, 8, 30 y responda las siguientes preguntas: a) Cuál es el número máximo de hijos que puede tener un nodo de este árbol? b) Cuál es la cantidad mínima de hijos que puede tener un nodo de este árbol? (sin considerar la raíz ni las hojas) c) Si la raíz del árbol tiene hijos Cuál es la cantidad mínima de hijos de la raiz? 55. Implementar una función que calcule el número de hojas de un árbol binario. 56. Dado el siguiente árbol binario a) Indique cuantos llamados recursivos de la rutina postorden se llevan a cabo, hasta que se visite el nodo H. b) Indique cuantos llamados recursivos de la rutina preorden se llevan a cabo, hasta que se visite el nodo F. c) Indique cuantos llamados recursivos de la rutina inorden se llevan a cabo, hasta que se visite el nodo A. 57. Construir un ABB balanceado a partir de los siguientes datos: 10, 75, 34, 22, 64, 53, 41,5, 25, 74, 20, 15, 90, verificar la condición de balanceo en cada inserción. 58. Dado el siguiente árbol contesta las siguientes preguntas a) Qué nodos tienen FB positivo (+) b) Qué nodos tienen FB negativo (-) c) Si insertas el nodo 100 que tipo de rotación se provoca en el árbol i) no hay rotación ii) RSI iii) RDI iv) RSD v)rdd

11 d) Si insertas el nodo 63 que tipo de rotación se provoca en el árbol i) no hay rotación ii) RSI iii) RDI iv) RSD v)rdd e) Si insertas el nodo 56 que tipo de rotación se provoca en el árbol i) no hay rotación ii) RSI iii) RDI iv) RSD v)rdd 59. Dibuja el árbol B de orden 3, inicialmente vacío, que resulta de realizar las siguientes inserciones: 6, 21, 39, 12, 33, 15, 35, 7, 26, 18, 22, 5, 1, El recorrido en preorden de un cierto árbol binario produce: ADFGHKLPQRWZ, y el recorrido enorden produce: GFHKDLAWRQPZ, dibujar el árbol binario. 61. Para el siguiente árbol responda a las siguientes preguntas R U U + = O * 7-8 Z K & / E L Árbol de símbolos $ Z X % T a) Si los símbolos representan la codificación de los valores del 1 al 20 cuál es el valor asociado al símbolo +? a) 5 b) 8 c) 9 d) 13 e) 15 b) Si se quisiera dar de baja la raíz del árbol, cuál de los siguientes símbolos es candidato para sustituirlo? a) R b) - c) O d) T e) Z c) Si el símbolo Σ representa un valor menor que todos los valores del árbol, en qué posición se insertaría? i) A la izquierda del nodo que contiene el símbolo L ii) A la derecha del nodo que contiene al símbolo O iii) A la izquierda del nodo que contiene al símbolo Z iv) A la derecha del nodo que contiene al símbolo L v) A la izquierda del nodo que contiene al símbolo Realizar una función que sirva para encontrar el numero de nivel en que se encuentra un dato en un ABB. 63. Realizar una función que dado un elemento del árbol, obtenga el elemento que es su abuelo. 64. Realizar una función que dado un elemento del árbol, obtenga los elementos que son sus primos. 65. Realizar una función que obtenga la altura de un nodo dado del árbol. 66. Para el siguiente árbol AVL realice las siguientes inserciones, indicando que operaciones realiza, para cada inserción considerar el árbol original :

12 a) Inserción de: 19,28,33,45,51,75 b) Inserción de: 100, 65, 68 c) Inserción de: 5,16 d) Inserción de 8 e) Inserción de: 36,57,59, Responda a las siguientes preguntas, suponiendo que se tiene un árbol B de orden 25: a) Cuál es el número máximo de hijos que puede tener un nodo de este árbol? b) Cuál es la cantidad mínima de hijos que puede tener un nodo de este árbol (sin considerar la raíz y las hojas)? c) Si la raíz del árbol tiene hijos, Cuál es la cantidad mínima de hijos de la raíz? d) Cuantos elementos como mínimo puede tener el árbol si consta de dos niveles? 68. Si un árbol B de orden k tiene todos sus nodos a su máxima capacidad y se sabe que existen x niveles: a) Cuántos elementos guarda cada nodo? b) Cuantos niveles tendrá el árbol después de hacer la inserción de un elemento? c) Cuántos nodos nuevos existen en el árbol después de hacer la inserción de un elemento?