4.1 Concepto de árbol.

Transcripción

1 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página Concepto de árbol. Una estructura de árbol es una forma de representar la JERARQUÍA de ciertos objetos en una forma gráfica. Se le llama árbol porque la gráfica se asemeja un poco a un árbol natural, aunque, a diferencia de en la naturaleza, estas estructuras jerárquicas crecen hacia abajo, es decir, la raíz se encuentra arriba y las hojas en la parte inferior. Ejemplo: El organigrama de una empresa.

2 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 2 180º 4.1.1

3 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 3 Clasificación de árboles. En la teoría computacional, los árboles tienen diversos usos. La clasificación que nos interesa, por ahora, es la relativa al número de nodos a que puede apuntar otro nodo y al grado de eficiencia que puede aportar un árbol para la búsqueda de datos almacenados en él. Arboles Binarios Cada nodo solo puede apuntar a otros 2 nodos como máximo No Binarios Cada nodo puede apuntar a cualquier cantidad de nodos Balanceados Garantiza cierto grado de eficiencia durante su operación Desbalanceados Balanceados Garantiza cierto grado de eficiencia durante su operación Desbalanceados

4 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 4

5 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página Arboles Binarios. Operaciones Básicas. Si se desea localizar cierto dato en una lista lineal ordenada MUY GRANDE, el proceso puede tomar mucho tiempo. Las estructuras NO LINEALES incluyen más de una ruta para organizar los datos. Por lo tanto las búsquedas sobre estructuras NO LINEALES requieren menos tiempo. Los Árboles Binarios son estructuras NO LINEALES, y se implementan en memoria dinámica, son NO SECUENCIALES.

6 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 6 Una aplicación de los árboles, es la Búsqueda. Significa que se conservan en los nodos del árbol datos únicos (Llaves de Identificación), para fines, entre otros, de localización rápida. Los nodos de un Árbol Binario de Búsqueda pueden apuntar a otros dos, uno que le precede en la lista y otro que le sucede.

7 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 7 Comparación: LISTA ENCADENADA DOBLE ORDENADA Apuntador al Nodo Predecesor Inmediato (El dato menor más cercano de toda la lista). Apuntador al Nodo Sucesor Inmediato (El dato mayor más cercano de toda la lista). ARBOL BINARIO DE BUSQUEDA Apuntador al Nodo IZQUIERDO (Cualquiera de los datos de la lista que sea Menor). Apuntador al Nodo DERECHO (Cualquiera de los datos de la lista que sea Mayor).

8 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 8 Cabeza de Lista A D Figura lógica obtenida de una lista encadenada ordenada doble si entran los siguientes datos: M R D G H A Y G H M Último de Lista R Y

9 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 9 Cabeza de Lista A Figura lógica obtenida de una lista encadenada ordenada doble si los siguientes datos entran en el orden indicado: F B D G C A E B C Si los datos entraran en este otro orden: D B F C G A E Cuál será la figura lógica obtenida? D E F G Último de Lista

10 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 10

11 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 11 Si los datos F B D G C A E se guardan en un árbol binario de BUSQUEDA, la figura lógica resultante sería como la siguiente: Raíz A B D F G Cada nodo apunta a un dato menor por la izquierda. Cada nodo apunta a un dato mayor por la derecha. Se requiere un apuntador al primer nodo de la lista (RAIZ). C E

12 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 12 Si los datos entrasen en el siguiente orden: D B F C G A E la forma lógica resultante sería: Raíz D B F A C E G

13 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 13 Cuántos nodos se deben visitar para encontrar el dato G? En un árbol: 3 En una lista encadenada: 7 Si se construye un árbol COMPLETO (todos los niveles con el número máximo de nodos) con 1023 datos.. Cuántos nodos en promedio se visitarán suponiendo que se hacen 1023 búsquedas, cada vez un dato distinto y todos existen? En una lista encadenada: 512 En un árbol: 9.01

14 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 14 Vocabulario Básico RAIZ Por ahora, el primer nodo que entró al árbol. HIJO Nodo apuntado por otro. Si está apuntado por la izquierda es hijo izquierdo, si es por la derecha, es hijo derecho. SUBARBOL. Los descendientes de un nodo por la izquierda o por la derecha. PADRE Nodo que apunta a uno o dos nodos. ANTEPASADO. Nodo que es padre o ANTEPASADO del padre de otro nodo. DESCENDIENTE. Nodo que es hijo o DESCENDIENTE de un hijo de otro nodo. HOJA. Nodo sin hijos. HERMANOS. Nodos con el mismo padre. NIVEL. Distancia de un nodo desde la raíz. Nivel de la raíz = 0. Número máximo de nodos en el nivel n es 2 n.

15 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 15 IZQ(P) Dirección del hijo izquierdo del nodo de la dirección P. P Nomenclatura. En los algoritmos que estudiaremos se usará la siguiente nomenclatura de las partes de un nodo: INFO(P) El dato almacenado en el nodo de la dirección P. DER(P) Dirección del hijo derecho del nodo de la dirección P.

16 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página Creación e Inserción en Arboles Binarios de Búsqueda. Todos los árboles inician vacíos. Para crear un árbol solo se requiere una variable apuntador que señale a un árbol nulo (FIN DE LISTA) Es más sencillo analizar el problema de inserción de datos, suponiendo que el árbol ya tiene nodos y considerar posteriormente los posibles casos especiales. Cuando se quiere añadir nuevos nodos a una lista hay que hacer una búsqueda. La búsqueda en un ABB consiste en mover un apuntador a la izquierda o a la derecha hasta encontrar el valor deseado.

17 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 17 El algoritmo siguiente muestra ese proceso de búsqueda. Temp RAIZ MIENTRAS INFO(Temp) <> VALOR BUSCADO SI VALOR > INFO(Temp) Temp DER(Temp) DE LO CONTRARIO Temp IZQ(Temp) FIN SI FIN MIENTRAS Este algoritmo deberá adecuarse a las características de cada proceso de búsqueda particular: Generalmente se requiere una búsqueda cuando se va a añadir un nuevo dato. Se requiere una búsqueda si que quiere conocer alguno de los datos de un nodo. Puede haber muchos datos en un nodo, correspondientes a una persona por ejemplo, sin embargo el que determina su lugar en el árbol, solo es uno de ellos y se le llama LLAVE.

18 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 18 Si se quiere eliminar un nodo, primero hay que localizarlo. En un ABB cada nuevo nodo se añade como una HOJA, por lo tanto hay que adecuar el algoritmo de arriba para buscar un sub-árbol NULO dentro del árbol mientras se viaja por él. Construyamos un ABB con las llaves: H Q M K A F O en ese orden Estado Inicial Raíz Raíz Raíz H H Q

19 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 19 Raíz Raíz H H Q Q M M K

20 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 20 Raíz Raíz H H A Q A Q M F M K K

21 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 21 Raíz H A Q F M K O

22 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 22 Procesos a efectuar durante altas de datos a un ABB: 1. Crear un nodo para el nuevo dato. 2. Buscar el lugar donde insertarlo. 3. Colocar el apuntador al nuevo nodo. 1 IZQ(NuevoNodo) FIN DER(NuevoNodo) FIN INFO(NuevoNodo) VALOR (NuevoNodo es la dirección proporcionada por el Sistema Operativo para un nuevo nodo)

23 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 23 2 Temp RAIZ PadreNN FIN MIENTRAS Temp <> FIN PadreNN Temp SI INFO(NN) > INFO(Temp) Temp DER(Temp) DE LO CONTRARIO Temp IZQ(Temp) FIN SI FIN MIENTRAS (PadreNN es la dirección que será el Padre del Nuevo Nodo)

24 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 24 3 SI PadreNN = FIN RAIZ NN DE LO CONTRARIO SI INFO(NN) > INFO(PNN) DER(PadreNN) NN DE LO CONTRARIO IZQ(PadreNN) NN FIN SI FIN SI

25 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 25 EJERCICIO: Escriba un programa, usando manejo dinámico de memoria, que guarde en cada nodo de un árbol, el Número de Control y el nombre de un alumno, usando el siguiente algoritmo: Mostrar un menú con las siguientes opciones (use el algoritmo descrito): 1.- Altas a) Pedir al usuario que escriba el Número de Control de un alumno. b) En caso que exista en el árbol ese Número de Control, el programa debe mostrar un mensaje indicando que se no se puede dar de alta de nuevo (se debe mostrar el nombre de la persona a la que corresponde ese número de control). c) Si no existe, el programa pedirá al usuario que escriba el nombre del alumno que se va a dar de alta. d) Ya con ambos datos, se busca el lugar adecuado para el nuevo nodo en el árbol (de acuerdo a los algoritmos estudiados) y se enlaza.

26 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página Consultas a) Pedir al usuario que escriba el Número de Control de un alumno. b) Se buscará dentro del árbol ese Número de Control. c) En caso de que no exista en el árbol, se indicará con un mensaje. d) En caso de que se encuentre, el programa debe mostrar el nombre del alumno al que corresponde el Número de Control y los siguientes datos técnicos: El nivel en el que está el nodo. El número de Control del nodo que es su padre (si se trata de la raíz, como no tiene padre, hay que indicarlo). Los Números de Control del (de los) nodo(s) hijos (indicando cuál es el izquierdo y cual el derecho, en caso de que no tenga ninguno indicar que es una hoja). Estos datos no serían de interés para un usuario común de este programa, se incluyen como medio de aprendizaje. 3.- Fin Observaciones: El Número de Control es el dato que determina el orden en el árbol, el nombre es un dato adicional. Los datos que se piden en la opción de consulta, no son de interés para un usuario común del programa, solo servirán al programador para que pueda comprobar que la organización lógica de los datos corresponde con la teoría que se ha estudiado.

27 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página Eliminación en Arboles Binarios de Búsqueda Es evidente que es más complejo eliminar un nodo con 2 hijos que una hoja Por lo que conviene desglosar el problema en 3 casos: 1. Eliminar una hoja 2. Eliminar un nodo que tiene solo un hijo 3. Eliminar un nodo que tiene 2 hijos 1. Supresión de una hoja Procedimiento muy simple. Hay que colocar el apuntador de su padre en FIN DE LISTA. Deshacerse del nodo ya eliminado.

28 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 28 Estado original de cierto ARBOL o SUB-ARBOL: D B F Al eliminar la F, el sub-árbol resultante será: D N U L L B F Nodo que se desechará

29 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página Supresión de un nodo con un hijo No se puede usar el algoritmo anterior porque se perderían los descendientes del nodo que se elimina. Estado original de cierto ARBOL o SUB-ARBOL: D B F C E G Cómo quedará el árbol al eliminar la B?

30 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 30 El padre del nodo que se elimina señalará al único hijo de éste último. D Nodo que se desechará B C E F G El sub-árbol con la raíz C sube un nivel. D C F E G

31 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página Supresión de un nodo con dos hijos Caso más complejo que el anterior porque no se puede hacer que un nodo apunte a otros dos por la izquierda o la derecha. El método más común para resolver este caso es sustituir información. Se reemplazará el dato que se quiere eliminar con el dato más cercano del subárbol izquierdo (equivalente al predecesor inmediato). Cómo se encuentra el predecesor inmediato? Se viaja (a partir del nodo a eliminar) una vez a la izquierda y luego tantas veces como se pueda hacia la derecha. Ya encontrado el dato sustituto, se coloca en el lugar del nodo a eliminar, y el nodo del dato sustituto se elimina (solo tendrá un hijo como máximo).

32 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 32 M D R B F P V A C E G N Q T Z Ejemplo: Eliminar la R Se reemplazará la información del nodo que contiene la R por el predecesor inmediato, es decir la Q, luego el nodo que contenía la Q deberá ser eliminado.

33 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 33 M D Q B F P V A C E G N Q T Z Nodo que se elimina

34 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 34 M D Q B F P V A C E G N T Z Ejemplo: Eliminar la Q Se reemplazará la información del nodo que contiene la Q por el predecesor inmediato, es decir la P, luego el nodo que contenía la P deberá ser eliminado.

35 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 35 M D P B F P V A C E G N T Z Nodo que se elimina

36 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 36 Algoritmos: P PADRE = dirección del nodo a eliminar. = dirección del padre del nodo a eliminar. PROCEDIMIENTO SUPRIME_NODO(P) SI IZQ(P)=FIN Y DER(P)=FIN EJECUTA PROCEDIMIENTO CASO_1 DE LO CONTRARIO SI IZQ(P)<>FIN Y DER(P)<>FIN EJECUTA PROCEDIMIENTO CASO_3 DE LO CONTRARIO EJECUTA PROCEDIMIENTO CASO_2 FIN SI FIN SI Una vez ejecutado el algoritmo anterior, se sabrá cuantos hijos tiene el nodo a eliminar.

37 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 37 CASO 1 Hay que determinar si el nodo a eliminar es hijo izquierdo o derecho de su padre. PROCEDIMIENTO CASO_1(P, PADRE) SI IZQ(PADRE)=P IZQ(PADRE) FIN DE LO CONTRARIO DER(PADRE) FIN FIN SI Adecue este algoritmo para verificar si el nodo a eliminar es la RAIZ, porque en tal caso no hay un nodo PADRE.

38 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 38 CASO 2 Hay que determinar si el nodo a eliminar es hijo izquierdo o derecho de su padre y si el único hijo que tiene es izquierdo o derecho PROCEDIMIENTO CASO_2(P,PADRE) SI IZQ(P)<>FIN SI IZQ(PADRE)=P IZQ(PADRE) IZQ(P) DE LO CONTRARIO DER(PADRE) IZQ(P) FIN SI DE LO CONTRARIO SI IZQ(PADRE)=P IZQ(PADRE) DER(P) DE LO CONTRARIO DER(PADRE) DER(P) FIN SI FIN SI Se debe adecuar este algoritmo para verificar si el nodo a eliminar es la RAIZ, porque en tal caso no hay un nodo PADRE.

39 Apuntes Estructura de Datos Autor: Ing. Felipe Alanís González Página 39 P_SUST PADRE_SUST PROCEDIMIENTO CASO_3(P) PADRE_SUST P P_SUST IZQ(P) MIENTRAS DER(P_SUST) <> FIN PADRE_SUST P_SUST P_SUST DER(P_SUST) FIN MIENTRAS INFO(P) INFO(P_SUST) CASO 3 = Dirección del nodo sustituto = Dirección del Padre del Nodo Sustituto. SI PADRE_SUST = P IZQ(PADRE_SUST) IZQ(P_SUST) DE LO CONTRARIO DER(PADRE_SUST) IZQ(P_SUST) FIN SI