ASIGNATURA: (TIS-106) Estructuras de Datos II DOCENTE: Ing. Freddy Melgar Algarañaz

Transcripción

1 TEMA 1. Árboles Generalizados Son estructuras de datos no lineales, o también denominadas estructuras multienlazadas. El árbol es una estructura de datos fundamental en informática, muy utilizada en todos sus campos, porque se adapta a la representación natural de informaciones homogéneas organizadas y de una gran comodidad y rapidez de manipulación. Esta estructura se encuentra en todos los dominios (campos) de la informática, desde la pura algorítmica (métodos de clasificación y búsqueda ) a la compilación (árboles sintácticos para representar las expresiones o producciones posibles de un lenguaje) o incluso los dominios de la inteligencia artificial (árboles de juegos, árboles de decisiones, de resolución, etc.) Las estructuras tipo árbol se usan principalmente para representar datos con una relación jerárquica entre sus elementos, como son árboles genealógicos, tablas, etc. Un árbol A es un conjunto finito de uno o más nodos, tales que: 1. Existe un nodo especial denominado RAIZ (v1) del árbol. 2. Los nodos restantes (v2, v3,, vn) se dividen en m >= 0 conjuntos disjuntos denominado A1, A2,, Am, cada uno de los cuales es, a su vez, un árbol. Estos árboles se llaman subárboles del RAIZ. La definición de árbol implica una estructura recursiva. Esto es, la definición del árbol se refiere a otros árboles. Un árbol con ningún nodo es un árbol nulo; no tiene raíz. La figura siguiente muestra un árbol en el que se ha rotulado cada nodo con una letra dentro de un círculo. Esta es una notación típica para dibujar árboles. UAB Ingeniería de Sistemas - 1 -

2 TERMINOLOGÍA Y REPRESENTACIÓN DE UN ÁRBOL GENERAL La representación y terminología de los árboles se realiza con las típicas notaciones de las relaciones familiares en los árboles genealógicos: padre, hijo, hermano, ascendente, descendiente, etc. Sea el árbol de la figura: Las definiciones a tener en cuenta son: Raíz del árbol. Todos los árboles que no están vacíos tienen un único nodo raíz. Todos los demás elementos o nodos se derivan o descienden de él. El nodo raíz no tiene padre, es decir, no es el hijo de ningún elemento. Nodo, son los vértices o elementos del árbol. Nodo terminal u hoja (leaf node) es aquel nodo que no contiene ningún subárbol (los nodos terminales u hojas de la figura anterior son: E, F, K, L, H, I, J). A cada nodo que no es hoja se asocia uno o varios subárboles llamados descendientes o hijos. De igual forma, cada nodo tiene asociado un antecesor o ascendiente llamado padre. Los nodos de un mismo padre se llaman hermanos. Los nodos con uno o dos subárboles no son hojas ni raíz se llaman nodos interiores o internos. Una colección de dos o más árboles se llama bosque (forest). Todos los nodos tienen un solo padre excepto el raíz que no tiene padre. Se denomina camino el enlace entre dos nodos consecutivos y rama es un camino que termina en una hoja. Cada nodo tiene asociado un número de nivel que se determina por la longitud del camino desde el raíz al nodo específico. Por ejemplo, en el árbol de la figura anterior: Nivel 0 A Nivel 1 B, C, D Nivel 2 E, F, G, H, I, J Nivel 3 K, L La altura o profundidad de un árbol es el número máximo de nodos de una rama. Equivale al nivel más alto de los nodos más uno. El peso de un árbol es el número de nodos terminales. Del árbol de la figura anterior, la altura es 4, y el peso es 7. UAB Ingeniería de Sistemas - 2 -

3 Fundamentos y terminología básica Hasta ahora hemos visto estructuras de datos lineales, es decir, los datos estaban estructurados en forma de secuencia. Sin embargo, las relaciones entre los objetos no siempre son tan simples como para ser representadas mediante secuencias (incluso, en muchas ocasiones, es conveniente que no sea así), sino que la complejidad de las relaciones entre los elementos puede requerir otro tipo de estructura. En esas situaciones se pasaría a tener estructuras de datos no lineales. Este es el caso de la estructura de datos conocida como árbol. Los árboles establecen una estructura jerárquica entre los objetos. Los árboles genealógicos y los organigramas son ejemplos comunes de árboles. Un árbol es una colección de elementos llamados nodos, uno de los cuales se distingue del resto como raíz, junto con una relación que impone una estructura jerárquica entre los nodos. Formalmente, un árbol se puede definir de manera recursiva como sigue: Definición: una estructura de árbol con tipo base T es: (i) Bien la estructura vacía. (ii) Un conjunto finito de uno o más nodos, tal que existe un nodo especial, llamado nodo raíz, y donde los restantes nodos están separados en n >= 0 conjuntos disjuntos, cada uno de los cuales es a su vez un árbol (llamados subárboles del nodo raíz). La definición implica que cada nodo del árbol es raíz de algún subárbol contenido en el árbol principal. El índice de un libro es un buen ejemplo de representación en forma de árbol. Ejemplos de estructuras arborescentes: Antes de continuar avanzando en las características y propiedades de los árboles, veamos algunos términos importantes asociados con el concepto de árbol: Grado de un nodo: es el número de subárboles que tienen como raíz ese nodo (cuelgan del nodo). Nodo terminal u hoja: nodo con grado 0. No tiene subárboles. Grado de un árbol: grado máximo de los nodos de un árbol. Hijos de un nodo: nodos que dependen directamente de ese nodo, es decir, las raíces de sus subárboles. Padre de un nodo: antecesor directo de un nodo del cual depende directamente. Nodos hermanos: nodos hijos del mismo nodo padre. UAB Ingeniería de Sistemas - 3 -

4 Camino: sucesión de nodos del árbol: n(1), n(2),.. n(k), tal que n(i) es el padre de n(i+1). Antecesores de un nodo: todos los nodos en el camino desde la raíz del árbol hasta ese nodo. Longitud de camino de un árbol: suma de las longitudes de los caminos a todos sus componentes. Bosque: conjunto de n >= 0 árboles disjuntos. La representación de un árbol general dependerá de su grado, es decir, del número de relaciones máximo que puede tener un nodo del árbol. Resulta más simple la representación y manipulación de una estructura árbol cuando el grado de éste es fijo e invariable. Por esa razón, para introducir los aspectos más concretos de la manipulación de árboles nos vamos a centrar en un tipo particular de los mismos, los llamados árboles binarios o de grado dos. Definiciones En términos matemáticos, un árbol es cualquier conjunto de puntos, llamados vértices, y cualquier conjunto de pares de distintos vértices, llamados lados o ramas, tales que : 1. Hay una secuencia de ramas, llamada paso de cualquier vértice a cualquier otro vértice. 2. No hay lazos, o sea, que no hay pasos que comiencen en un vértice y puedan volver al mismo vértice. Llamaremos a un árbol de tal generalidad, un árbol libre. Los árboles que tienen un vértice o nodo especial, llamado raíz, reciben el nombre de árboles enraizados. La particularidad del nodo raíz es que no puede ser hijo de otro nodo. Un árbol A es un conjunto finito de uno o más nodos tales que : 1. Existe un nodo especialmente designado y denominado RAIZ(v1) del árbol. 2. Los nodos restantes (v2, v3,..., vn) se dividen en m >= 0 conjuntos disjuntos denominados A1, A2,..., Am, cada uno de los cuales es a su vez, un árbol. Estos árboles se llaman subárboles del RAIZ. Observar la naturaleza recursiva de la definición de árbol. Un árbol es una estructura de datos no lineal. Las estructuras de datos lineales se caracterizan por que a cada elemento le corresponde no más que un elemento siguiente. En las estructuras de datos no lineales, como el árbol, un elemento puede tener diferentes "siguientes elementos", introduciendo una estructura de bifurcación, también conocidas como estructuras multi enlazadas. Un árbol es un conjunto finito de elementos no vacío en el cual un elemento se denomina raíz y los restantes se dividen en m >= 0 subconjuntos separados, cada uno de los cuales es por sí mismo un árbol. Cada elemento en un árbol se denomina nodo del árbol. Un árbol ordenado se define como un árbol en el que los subárboles de cada nodo forman un conjunto ordenado. En un árbol ordenado podemos hablar del primero, segundo o último hijo de un nodo particular. El primer hijo de un nodo, en un árbol ordenado, se denomina con frecuencia el hijo más viejo de este nodo y el último hijo, se denomina el hijo más joven. UAB Ingeniería de Sistemas - 4 -

5 Usos Un árbol desordenado se define como un árbol en el que los subárboles de cada nodo no guardan orden alguno. No existe forma, en este tipo de árboles, determinar cual es el primero, segundo o último hijo. La estructura de datos árboles es para mostrar datos jerárquicos. Veamos algunos ejemplos donde la estructura de datos árbol puede ser muy útil: 1. Los sistemas de archivos de los sistemas operativos, compuestos por jerarquías de directorios y archivos. 2. La jerarquía de clases en los lenguajes orientados a objetos. 3. La jerarquía de países, provincias, departamentos y municipios que organiza al poder político de una república. Terminología 1. Nodo (Node) También llamado vértice o elemento del árbol. Es el contenedor de los datos y los enlaces a sus hijos y a su padre. 2. Nodo Raiz (Root Node) Es el nodo donde comienza el árbol. Cada árbol tiene solamente un nodo raíz, desde el cual cuelgan todos sus descendientes. 3. Nodo Rama (Branch Node) También llamado nodo interior o interno. Es un nodo cualquiera que puede tener hijos, aunque en este preciso momento no los tenga. Es todo nodo que no es raíz o hoja. 4. Nodo Hoja (Leaf Node) También llamado nodo terminal. Es un nodo cualquiera que no puede tener hijos y nunca los podrá tener. Es un nodo que no tiene ningún subárbol. 5. Nodo Hermano (Sibling Node) Es un nodo que es hijo del mismo padre. 6. Camino (Path) Son los enlaces que van desde un nodo hasta otro nodo. 7. Rama (Branch) Es un camino que termina en una hoja. 8. Nivel del Nodo (Node Level) Es la longitud del camino desde el nodo raíz al nodo específico mas uno. 9. Peso del Arbol (Tree Wheight) Es el número de nodos terminales 10. Arbol Vacio (Empty Tree) Es un árbol que en este momento no tiene ningún nodo. De existir solo un nodo, ese nodo es el nodo raíz. 11. Grado de un Nodo (Node Degree) Es el número de subárboles que tiene un nodo. Los nodos hoja tienen grado cero. 12. Grado de un Arbol (Tree Degree) El grado máximo de todos los nodos del árbol. 13. Ancestros del Nodo (Ancestors) Son todos los nodos del árbol en el camino que va desde el raíz hasta el nodo específico. Enumeración de nodos Necesidades Muchas veces existe la necesidad de: 1. Encontrar un nodo en un árbol, cuando se ignora si existe o no el árbol. 2. Recuperar todos los nodos de un árbol. UAB Ingeniería de Sistemas - 5 -

6 Las soluciones a estas necesidades están regidas por la idea de transformar una estructura de datos que es básicamente no lineal en una lineal. Obviamente esta linealidad se logra sin alterar la estructura básica del árbol y visitando todos los nodos del árbol, una sola vez a cada uno, en las formas básicas. A continuación siguen las formas básicas de recorrer, navegar o enumerar los nodos de un árbol, las que veremos a través del siguiente árbol, el que representa jerárquicamente, por ejemplo, las ciudades donde una empresa tiene sus oficinas. Enumeraciones Básicas A Lo Ancho (Breadth First) Se usa el método Enumeration breadthfirstenumeration(). UAB Ingeniería de Sistemas - 6 -

7 En esta navegación se debe utilizar una estructura de datos auxiliar, como ser una lista, para identificar los nodos que ya han sido visitados. En Profundidad (Depth First) Se usa el método Enumeration depthfirstenumeration(). En este tipo de navegación no necesito de una estructura de datos auxiliar para navegar el árbol. Toda la información necesaria esta disponible en los nodos. El dibujo esta muy simplificado, ya que muestra una travesía a través de hermanos en forma directa, cuando en la realidad no hay un puntero que permite navegar de hermano a hermano. Lo que ocurre es que para ir al siguiente hermano se debe volver al padre y allí si seguir al siguiente hermano. RESUMEN Un árbol se define como una colección de nodos organizados en forma recursiva. Cuando hay 0 nodos se dice que el árbol está vacío, en caso contrario el árbol consiste en un nodo denominado raíz, el cual tiene 0 o más referencias a otros árboles, conocidos como subárboles. Las raíces de los subárboles se denominan hijos de la raíz, y consecuentemente la raíz se denomina padre de las raíces de sus subárboles. Una visión gráfica de esta definición recursiva se muestra en la siguiente figura: UAB Ingeniería de Sistemas - 7 -

8 Los nodos que no poseen hijos se denominan hojas. Dos nodos que tienen el padre en común se denominan hermanos. Un camino entre un nodo n1 y un nodo nk está definido como la secuencia de nodos n1, n2,..., nk tal que ni es padre de ni+1, 1 <= i < k. El largo del camino es el número de referencias que componen el camino, que para el ejemplo son k-1. Existe un camino desde cada nodo del árbol a sí mismo y es de largo 0. Nótese que en un árbol existe un único camino desde la raíz hasta cualquier otro nodo del árbol. A partir del concepto de camino se definen los conceptos de ancestro y descendiente: un nodo n es ancestro de un nodo m si existe un camino desde n a m; un nodo n es descendiente de un nodo m si existe un camino desde m a n. Se define la profundidad del nodo nk como el largo del camino entre la raíz del arbol y el nodo nk. Esto implica que la profundidad de la raíz es siempre 0. La altura de un nodo nk es el máximo largo de camino desde nk hasta alguna hoja. Esto implica que la altura de toda hoja es 0. La altura de un árbol es igual a la altura de la raíz, y tiene el mismo valor que la profundidad de la hoja más profunda. La altura de un árbol vacío se define como -1. La siguiente figura muestra un ejemplo de los conceptos previamente descritos: A es la raíz del árbol. A es padre de B, C y D. E y F son hermanos, puesto que ambos son hijos de B. E, J, K, L, C, P, Q, H, N y O son las hojas del árbol. El camino desde A a J es único, lo conforman los nodos A-B-F-J y es de largo 3. D es ancestro de P, y por lo tanto P es descendiente de D. L no es descendiente de C, puesto que no existe un camino desde C a L. La profundidad de C es 1, de F es 2 y de Q es 4. UAB Ingeniería de Sistemas - 8 -

9 La altura de C es 0, de F es 1 y de D es 3. La altura del árbol es 4 (largo del camino entre la raíz A y la hoja más profunda, P o Q). Los arboles representan las estructuras no lineales y dinámicas de datos más importantes en computación. Dinámicas porque las estructuras de árbol pueden cambiar durante la ejecución de un programa. No lineales, puesto que a cada elemento del árbol pueden seguirle varios elementos. Los arboles pueden ser construidos con estructuras estáticas y dinámicas. Las estáticas son arreglos, registros y conjuntos, mientras que las dinámicas están representadas por listas. La definición de árbol es la siguiente: es una estructura jerárquica aplicada sobre una colección de elementos u objetos llamados nodos; uno de los cuales es conocido como raíz. Además se crea una relación o parentesco entre los nodos dando lugar a términos como padre, hijo, hermano, antecesor, sucesor, ancestro, etc.. Formalmente se define un árbol de tipo T como una estructura homogénea que es la concatenación de un elemento de tipo T junto con un número finito de arboles disjuntos, llamados subárboles. Una forma particular de árbol puede ser la estructura vacía. La figura siguiente representa a un árbol general. Se utiliza la recursión para definir un árbol porque representa la forma más apropiada y porque además es una característica inherente de los mismos. Los arboles tienen una gran variedad de aplicaciones. Por ejemplo, se pueden utilizar para representar fórmulas matemáticas, para organizar adecuadamente la información, para construir un árbol genealógico, para el análisis de circuitos eléctricos y para numerar los capítulos y secciones de un libro. UAB Ingeniería de Sistemas - 9 -